計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)濟(jì)南大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院授課教師：李實(shí)cse_lis@1教1007室1計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)濟(jì)南大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院授課教師：李實(shí)cse3.2剛性系統(tǒng)的特點(diǎn)及算法宇航飛行器自動(dòng)控制系統(tǒng)一般包含兩個(gè)相互作用但效應(yīng)速度相差十分懸殊的子系統(tǒng)，一個(gè)是控制飛行器質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)，當(dāng)飛行器速度較大時(shí)，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)慣性較大，因而相對來說變化緩慢；另一個(gè)是控制飛行器運(yùn)動(dòng)姿態(tài)的系統(tǒng)，由于慣性小，相對來說變化很快，因而整個(gè)系統(tǒng)就是一個(gè)剛性系統(tǒng)。導(dǎo)彈、魚雷等航行器的慣性導(dǎo)航也是如此，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度較慢，偏航與俯仰運(yùn)動(dòng)較快，導(dǎo)致兩個(gè)變化速度相差十分大的系統(tǒng).這些現(xiàn)象，主要是由于系統(tǒng)模型中的一些小參數(shù)，如小時(shí)間常數(shù)、小質(zhì)量等存在而引起的.23.2剛性系統(tǒng)的特點(diǎn)及算法宇航飛行器自動(dòng)控制系統(tǒng)一般包含兩剛性系統(tǒng)在用微分方程描述的一個(gè)變化過程中，若往往又包含著多個(gè)相互作用但變化速度相差十分懸殊的子過程，這樣一類過程就認(rèn)為具有“剛性”。描述這類過程的微分方程初值問題稱為“剛性問題”，該微分方程成為“剛性方程”，該系統(tǒng)成為“剛性系統(tǒng)”.3剛性系統(tǒng)3剛性系統(tǒng)[例3.3]以一個(gè)二階微分方程組為例：滿足初始條件：經(jīng)計(jì)算，該方程的解析解為：方程矩陣A的特征值為：可以看到，方程的解由兩個(gè)特征值決定，因?yàn)樘卣髦郸?=-1000非常小，對應(yīng)系統(tǒng)的最小時(shí)間常數(shù)，當(dāng)時(shí)間t增大，該項(xiàng)在方程的解中很快減小，并可以忽略.4剛性系統(tǒng)[例3.3]以一個(gè)二階微分方程組為例：滿足初始條件：剛性系統(tǒng)該表給出例3.3微分方程的兩個(gè)解的具體數(shù)值，其中y*代表將λ2忽略，只保留λ1的方程解的值，進(jìn)行比較：t0120-10.0011.631.998-0.63112-0.990.011.980051.98010-0.99000-0.990050.11.809681.80968-0.90484-0.90484在0.01s時(shí)，精確解與簡化解已經(jīng)幾乎一致，即在0.01s以后，可以將λ2忽略.而在t=0到0.01之間時(shí)，可以看到精確解與簡化解的差別是很大的，這時(shí)不能將λ2忽略.這就是系統(tǒng)的邊界層效應(yīng)，即奇異攝動(dòng)系統(tǒng).5剛性系統(tǒng)該表給出例3.3微分方程的兩個(gè)解的具體數(shù)值，其中y*剛性系統(tǒng)[例3.4]代數(shù)方程的剛性系統(tǒng)，方程：經(jīng)計(jì)算，該方程解為：如果將b攝動(dòng)為：這兩個(gè)特征值的差別很大，該方程為剛性方程，說明了b攝動(dòng)后引起了解的較大的變動(dòng).這時(shí)，方程的解變?yōu)椋喝绻覀冇?jì)算矩陣A的特征值，可以得到：6剛性系統(tǒng)[例3.4]代數(shù)方程的剛性系統(tǒng)，方程：經(jīng)計(jì)算，該方程剛性系統(tǒng)對于剛性系統(tǒng)來說，仿真算法的步長要由最大的特征值來決定，也就是步長取很小的值，但會(huì)使求解時(shí)間加長，而隨著時(shí)間增大，實(shí)際上可以忽略掉最大的特征值作用，不必要用很小的步長浪費(fèi)計(jì)算機(jī)資源求解.一般使用Gear方法來求解剛性系統(tǒng)，Gear首先進(jìn)入剛性穩(wěn)定性的概念，可以滿足穩(wěn)定性，同時(shí)又降低對步長的要求.對于剛性系統(tǒng)的認(rèn)識，我們會(huì)在后面MATLAB建模與仿真中舉例說明.7剛性系統(tǒng)對于剛性系統(tǒng)來說，仿真算法的步長要由最大的特征值來決3.3實(shí)時(shí)半實(shí)物仿真實(shí)時(shí)數(shù)字仿真通常是指把一個(gè)數(shù)字仿真過程嵌入到一個(gè)具有實(shí)物模型的實(shí)際系統(tǒng)或仿真系統(tǒng)的運(yùn)行過程中.這種系統(tǒng)必須按照實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行的時(shí)序要求來完成數(shù)字仿真過程.半實(shí)物仿真是指在仿真實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的仿真回路中接入部分實(shí)物的實(shí)時(shí)仿真.準(zhǔn)確定義為“HardwareIntheLoopSimulation(HILS)”，即回路中含有實(shí)物的仿真.實(shí)時(shí)性是半實(shí)物仿真的必要前提.實(shí)時(shí)半實(shí)物仿真具有更高真實(shí)度，是仿真技術(shù)中置信度最高的一種仿真方法.因?yàn)樵试S在系統(tǒng)中接入部分實(shí)物，意味著把部分實(shí)物放在系統(tǒng)中考察，可以提高系統(tǒng)設(shè)計(jì)的可靠性和研制質(zhì)量.隨著科學(xué)研究和大型工程設(shè)計(jì)的需要，計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，實(shí)時(shí)數(shù)字仿真已經(jīng)在航空、航天、核工業(yè)、電子、電力工業(yè)等領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用.83.3實(shí)時(shí)半實(shí)物仿真實(shí)時(shí)數(shù)字仿真通常是指把一個(gè)數(shù)字仿真過程實(shí)時(shí)半實(shí)物仿真假設(shè)一個(gè)實(shí)際的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)由實(shí)物系統(tǒng)過程A和B組成，在實(shí)時(shí)仿真過程中，可以將系統(tǒng)的一部分，比如A用數(shù)學(xué)模型來代替，在實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí)，用計(jì)算機(jī)的數(shù)字處理過程來代替，如圖所示.實(shí)物系統(tǒng)過程B實(shí)物系統(tǒng)過程A實(shí)物系統(tǒng)過程B計(jì)算機(jī)處理過程A采樣A/Dz保持D/Ayzmym9實(shí)時(shí)半實(shí)物仿真假設(shè)一個(gè)實(shí)際的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)由實(shí)物系統(tǒng)過程A和B組計(jì)算機(jī)數(shù)字處理過程A必須在實(shí)物系統(tǒng)同步的條件下獲得動(dòng)態(tài)輸入信號zm，并實(shí)時(shí)的產(chǎn)生動(dòng)態(tài)輸出響應(yīng)ym.zm和ym都是具有固定采樣周期的數(shù)值序列.ym對輸入zm的延遲稱為響應(yīng)時(shí)間.實(shí)時(shí)仿真要求響應(yīng)時(shí)間滿足系統(tǒng)的時(shí)間限制.實(shí)時(shí)半實(shí)物仿真實(shí)物系統(tǒng)過程B計(jì)算機(jī)處理過程A采樣A/D保持D/Azyzmym10計(jì)算機(jī)數(shù)字處理過程A必須在實(shí)物系統(tǒng)同步的條件下獲得動(dòng)態(tài)輸入信實(shí)時(shí)仿真算法由于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)仿真有實(shí)物系統(tǒng)介入仿真模型，所以要求仿真模型的時(shí)間比例尺完全等于原始模型的時(shí)間比例尺.進(jìn)行實(shí)時(shí)仿真時(shí)必須采用相應(yīng)的實(shí)時(shí)仿真算法.要求實(shí)時(shí)仿真算法具有快速性、可行性、魯棒性和相容性的特點(diǎn)實(shí)時(shí)仿真算法的快速性實(shí)物系統(tǒng)過程B計(jì)算機(jī)處理過程A采樣A/D保持D/Azyzmym假設(shè)采樣周期為T，zm=z(mT)，ym=y(mT)，由zm和ym計(jì)算出T+1時(shí)刻的ym+1值，因此計(jì)算時(shí)間需要小于采樣時(shí)間T，否則實(shí)物系統(tǒng)得不到及時(shí)的數(shù)據(jù).對于快速性的要求，希望采用單遍算法(只需計(jì)算一次右函數(shù)值，比如顯式方法)和大步長積分算法.但對于右函數(shù)復(fù)雜，剛性問題或高頻振蕩的，則需要小步長，可以采用變化速率方法或構(gòu)造并行算法.11實(shí)時(shí)仿真算法由于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)仿真有實(shí)物系統(tǒng)介入仿真模型，實(shí)時(shí)仿真算法實(shí)時(shí)仿真算法的可行性 算法所用的輸入信息應(yīng)該是已經(jīng)從實(shí)物系統(tǒng)或其它過程獲取的，在計(jì)算時(shí)不允許使用還沒有獲得的信息.即kT時(shí)刻，只知道x(kT),x((k-1)T),…但x((k+1)T)未知不能使用. 例如，二階龍格-庫塔法：(3.17) 取步長h=T，即步長等于采樣時(shí)間.在計(jì)算x((n+1)T)時(shí)，需要計(jì)算兩次函數(shù)f(t,x)的值，在計(jì)算k2時(shí)需要知道u在n+1時(shí)刻的值，該值并未獲得，所以該算法不能使用.12實(shí)時(shí)仿真算法實(shí)時(shí)仿真算法的可行性 例如，二階龍格-庫塔法：(實(shí)時(shí)仿真算法 改變后的二階龍格-庫塔法：(3.17)取u的采樣周期為T=0.5h，將兩次函數(shù)求值分為兩步，每步在0.5h時(shí)間內(nèi)求值.在時(shí)間區(qū)間[nTnT+T]上，計(jì)算函數(shù)f求得K1在時(shí)間區(qū)間[nT+TnT+2T]上求K2，這時(shí)已知u(nT+T)的采樣值.這樣，仿真模型的周期為h=2T.這類算法稱為實(shí)時(shí)二階龍格-庫塔算法.13實(shí)時(shí)仿真算法 改變后的二階龍格-庫塔法：(3.17)取u的采實(shí)時(shí)仿真算法實(shí)時(shí)仿真算法的魯棒性(強(qiáng)壯性) 算法的魯棒性指在不同的復(fù)雜計(jì)算環(huán)境下，都能給出合理的計(jì)算結(jié)果，即適應(yīng)不同環(huán)境和干擾的能力叫做魯棒性，適應(yīng)性越強(qiáng)，魯棒性越好，算法和程序?qū)Σ煌沫h(huán)境和異常干擾均具有良好的運(yùn)行能力.

由于這種要求，實(shí)時(shí)仿真算法應(yīng)該具有處理異常因素的能力，必要時(shí)能夠?qū)τ?jì)算流程進(jìn)行重組、切換或使算法具有容錯(cuò)能力，可靠性高.

如果算法具有迭代過程，應(yīng)該能夠保證在規(guī)定次數(shù)內(nèi)結(jié)束該迭代過程.絕對不允許迭代不收斂和計(jì)算時(shí)間大于規(guī)定的時(shí)間.因此，為了避免超時(shí)現(xiàn)象發(fā)生，要有措施對數(shù)字處理過程測試其計(jì)算過程的隨機(jī)尖峰負(fù)載時(shí)間.14實(shí)時(shí)仿真算法實(shí)時(shí)仿真算法的魯棒性(強(qiáng)壯性)14實(shí)時(shí)仿真算法實(shí)時(shí)仿真算法的相容性 相容性指當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)中的某個(gè)子系統(tǒng)由數(shù)字處理過程替代時(shí)，這個(gè)數(shù)字處理過程所用的數(shù)字仿真算法能保證在替代后的系統(tǒng)具有與原系統(tǒng)相同的動(dòng)態(tài)特性.如用數(shù)字系統(tǒng)A與實(shí)物系統(tǒng)B構(gòu)成的替代系統(tǒng)，與原系統(tǒng)有幾個(gè)差別：實(shí)物系統(tǒng)過程B計(jì)算機(jī)處理過程A采樣A/D保持D/Azyzmym實(shí)物過程A由數(shù)字過程替代，會(huì)引起模型誤差和離散化誤差.即數(shù)序模型不匹配或參數(shù)失真的誤差，和離散化數(shù)值方法引起的誤差實(shí)物A與B之間的信息傳輸由數(shù)字系統(tǒng)A與實(shí)物系統(tǒng)B之間的信息傳輸取代，采樣、保持會(huì)引起量化誤差原連續(xù)系統(tǒng)A與B是同步的，但數(shù)字系統(tǒng)A與實(shí)物系統(tǒng)B是異步的，實(shí)物系統(tǒng)B給出的輸出值需經(jīng)過一個(gè)步長h時(shí)間后才能得到數(shù)字系統(tǒng)A給出的響應(yīng)輸出值，這里有一個(gè)延遲時(shí)間h.15實(shí)時(shí)仿真算法實(shí)時(shí)仿真算法的相容性實(shí)物系統(tǒng)過程B計(jì)算機(jī)處理過程實(shí)時(shí)仿真算法：亞當(dāng)斯-貝希霍斯顯式算法(Adams-Bashforth)(AB)AB1階法=向前歐拉法：AB2階法：AB3階法：AB4階法：這些算法都是單遍算法，在采樣時(shí)間間隔T=h時(shí)，在一個(gè)積分步長中只需要采樣輸入信息u一次，并對右函數(shù)f求值一次，計(jì)算工作量較小.16實(shí)時(shí)仿真算法：亞當(dāng)斯-貝?；羲癸@式算法(Adams-Bash實(shí)時(shí)仿真算法：亞當(dāng)斯-莫爾頓隱式算法(Adams-Moulton)(AM)AM1階法=向后歐拉法：AM2階法：AM3階法：AM4階法：隱式的穩(wěn)定區(qū)域要比顯式算法大得多，但是隱式方法每積分一個(gè)步長需要求解一個(gè)非線性方程組，在復(fù)雜的函數(shù)情況下無法求得，在實(shí)時(shí)仿真中一般采用預(yù)測-校正法：將顯式作為預(yù)測值，將顯式法得到的預(yù)測值代入隱式法，最終得到校正值.17實(shí)時(shí)仿真算法：亞當(dāng)斯-莫爾頓隱式算法(Adams-Moult實(shí)時(shí)龍格-庫塔法 實(shí)時(shí)二階龍格-庫塔法：對于三階算法，取u的采樣周期為T=h/3，分為三次函數(shù)求值：在時(shí)間區(qū)間[nTnT+T]上，計(jì)算函數(shù)f求得K1，采樣獲得u(nT+T)時(shí)刻值，在時(shí)間區(qū)間[nT+TnT+2T]上求K2，采樣獲得u(nT+2T)時(shí)刻值，在時(shí)間區(qū)間[nT+2TnT+3T]上求K3. 實(shí)時(shí)三階龍格-庫塔法：18實(shí)時(shí)龍格-庫塔法 實(shí)時(shí)二階龍格-庫塔法：對于三階算法，取u的3.4采樣控制系統(tǒng)的仿真方法數(shù)字控制系統(tǒng)，或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，其控制器是由數(shù)字計(jì)算機(jī)組成.它的輸入變量和控制變量只是在采樣點(diǎn)（時(shí)刻）取值的間斷的脈沖序列信號，描述控制器的數(shù)學(xué)模型是離散的——差分方程或者離散狀態(tài)方程.而被控對象是時(shí)間連續(xù)的，其數(shù)學(xué)模型是連續(xù)時(shí)間模型，它們之間用采樣器和保持器相連接，整個(gè)系統(tǒng)可看作一個(gè)連續(xù)-離散混合系統(tǒng).主要包括連續(xù)的控制對象、離散的控制器、采樣器（A/D轉(zhuǎn)換器）、保持器（D/A轉(zhuǎn)換器）等幾個(gè)環(huán)節(jié)組成，如圖所示的典型采樣系統(tǒng).控制對象保持器（D/A）數(shù)字控制器r(t)e(t)e(kT)u(kT)u(t)y(t)193.4采樣控制系統(tǒng)的仿真方法數(shù)字控制系統(tǒng)，或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)kT時(shí)刻的誤差信號e(kT),經(jīng)計(jì)算機(jī)計(jì)算后得到u(kT)，對于零階保持器來說，u(kT)保持T時(shí)間，直到下一輪新的計(jì)算機(jī)輸出結(jié)果u(kT+T)到達(dá)才改變一次數(shù)值.采樣器，數(shù)字控制器，保持器并不是同步并行的工作方式，而是串行流水的工作方式：但通常認(rèn)為采樣、控制器、保持器三者的計(jì)算處理時(shí)間是瞬時(shí)完成，即三者總和時(shí)間可以忽略不計(jì)，若將三者完成任務(wù)的時(shí)間加入，等于系統(tǒng)中增加一個(gè)純滯后環(huán)節(jié).控制對象保持器（D/A）數(shù)字控制器r(t)e(t)e(kT)u(kT)u(t)y(t)20kT時(shí)刻的誤差信號e(kT),經(jīng)計(jì)算機(jī)計(jì)算后得到u(kT)對連續(xù)系統(tǒng)離散化，等于對被控對象加了一個(gè)虛擬的采樣器，一般假設(shè)虛擬采樣時(shí)間和仿真步長是一致的.而該步長與實(shí)際的采樣周期可能相同，也可能不同，如何來確定連續(xù)系統(tǒng)離散化的仿真步長？也就是說，如何解決實(shí)際的離散部分仿真與虛擬的連續(xù)部分仿真的接口問題.可以考慮三種情況實(shí)際采樣周期T與連續(xù)系統(tǒng)仿真步長h相等采樣周期T大于仿真步長h采樣周期T小于仿真步長h控制對象保持器（D/A）數(shù)字控制器r(t)e(t)e(kT)u(kT)u(t)y(t)21對連續(xù)系統(tǒng)離散化，等于對被控對象加了一個(gè)虛擬的采樣器，一般假采樣周期T等于仿真步長h 兩者相等，則等于實(shí)際的采樣開關(guān)與虛擬的采樣開關(guān)是同步工作的，因此，這種仿真與連續(xù)系統(tǒng)仿真完全相同，是最為理想的情況，可以簡化仿真模型，縮短仿真程序，提高仿真速度. 當(dāng)采樣周期T較小時(shí)，可以取仿真步長h=T，滿足仿真精度和穩(wěn)定性.采樣周期T大于仿真步長h 這是實(shí)際系統(tǒng)仿真中最為常見的情況.采樣周期T由系統(tǒng)頻帶寬度采樣開關(guān)硬件性能和數(shù)字控制器執(zhí)行時(shí)間所決定，一般大于仿真步長h.

一般取T=kh，即取采樣時(shí)間為仿真步長的k整數(shù)倍.離散部分按采樣周期T進(jìn)行仿真，將輸入按保持器要求保持，連續(xù)部分仿真模型按步長h計(jì)算k次，將最后第k次結(jié)果輸出作為離散部分下一采樣周期的輸入.采樣周期T小于仿真步長h 有時(shí)為了減小計(jì)算量，加快仿真速度，采用大的仿真步長h來仿真，會(huì)出現(xiàn)h大于T的情況.這時(shí)需要對仿真模型作出修改.控制對象保持器（D/A）數(shù)字控制器r(s)e(s)e(z)u(z)u(s)y(s)22采樣周期T等于仿真步長h控制對象保持器數(shù)字控制器r(s)e(采樣系統(tǒng)仿真方法將連續(xù)系統(tǒng)部分進(jìn)行離散化處理，得到離散差分方程或脈沖傳遞函數(shù).數(shù)字部分本身已經(jīng)給出了離散差分方程或脈沖傳遞函數(shù).就可以將兩個(gè)系統(tǒng)相連，求出整體閉環(huán)系統(tǒng)的輸出.[例3.5]系統(tǒng)如圖所示，采用計(jì)算機(jī)控制，控制器的脈沖傳遞函數(shù)和被控對象的傳遞函數(shù)已經(jīng)給出，采用零階保持器，T為采樣周期.系統(tǒng)的初始狀態(tài)為：e(0)=0,u(0)=0,y(0)=0.求輸出量y的表達(dá)式？TT保持器（D/A）r(t)e(t)e(n)u(n)u(t)y(t)u(n)y(n)23采樣系統(tǒng)仿真方法將連續(xù)系統(tǒng)部分進(jìn)行離散化處理，得到離散差分方y(tǒng)(n)根據(jù)離散化方法求連續(xù)傳遞函數(shù)的脈沖傳遞函數(shù)：控制器的脈沖傳遞函數(shù)為：TT保持器（D/A）r(t)e(t)e(n)u(n)u(t)y(t)令 ，得到脈沖傳遞函數(shù)為：24y(n)根據(jù)離散化方法求連續(xù)傳遞函數(shù)的脈沖傳遞函數(shù)：控制器的y(n)得到開環(huán)的脈沖傳遞函數(shù)為：y對設(shè)定值r的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：TT保持器（D/A）r(t)e(t)e(n)u(n)u(t)y(t)得到系統(tǒng)的差分方程為：25y(n)得到開環(huán)的脈沖傳遞函數(shù)為：y對設(shè)定值r的閉環(huán)脈沖傳遞y(n)如果連續(xù)系統(tǒng)的仿真步長h小于采樣時(shí)刻T，取T=Nh，即要將連續(xù)系統(tǒng)仿真N個(gè)步長才能將輸入y用于數(shù)字控制器.那么零階保持器在Nh內(nèi)輸入u(n)不變，此時(shí)連續(xù)系統(tǒng)的差分方程變?yōu)椋篢T保持器（D/A）r(t)e(t)e(n)u(n)u(t)y(t)26y(n)如果連續(xù)系統(tǒng)的仿真步長h小于采樣時(shí)刻T，取T=Nh，換成采樣時(shí)間，T=Nh，得到：與T=h不同的是，這里僅把β替換成為βN，N=T/h，即可以得到總的差分方程：變換為脈沖傳遞函數(shù)，T=Nh，得到：27換成采樣時(shí)間，T=Nh，得到：與T=h不同的是，這里僅把β替3.5分布參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)字仿真以上章節(jié)介紹的都是常微分方程(ODE:ordinarydifferentialequation)的數(shù)字仿真及模型，它們又叫集中參數(shù)模型.實(shí)際上，在工程應(yīng)用中，更為廣泛的是偏微分方程(PDE:partialdifferentialequation)，又叫分布參數(shù)模型，即變量除了隨時(shí)間軸變化，也隨空間軸變化.比如熱傳遞、流體、波的傳遞、電磁…PDE的形式更為復(fù)雜，比ODE問題復(fù)雜得多.實(shí)際上，ODE往往是PDE問題的一種簡化形式.比如，我們可以將3維空間(x,y,z三個(gè)空間坐標(biāo)軸)里面的熱傳遞簡化為二維空間(x,y兩個(gè)方向)熱傳遞，進(jìn)而可以簡化為一維空間，即x方向，最后將空間維度忽略，即空間內(nèi)各處溫度相等，只考慮時(shí)間變化，即變?yōu)镺DE問題.T(t)283.5分布參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)字仿真以上章節(jié)介紹的都是常微分方程(3.5分布參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)字仿真利用計(jì)算機(jī)求解PDE問題時(shí)，可以將空間內(nèi)的物體分解成無限小的小塊，對每個(gè)小塊進(jìn)行ODE問題求解，實(shí)際上是無限個(gè)ODE的集合，并具有一定的邊界約束.那么相應(yīng)的數(shù)值運(yùn)算工作量變大.比如，一維空間的熱傳導(dǎo)問題：因?yàn)榇嬖谥鴾囟鹊牟煌?，使得熱量從溫度高的地方傳遞到溫度低的地方，叫熱的傳導(dǎo)(conduction).微觀上溫度可以看作分子活躍狀態(tài)，即熱能從溫度高的地方傳遞到溫度低的地方.

取u為x軸上某點(diǎn)在時(shí)間t時(shí)刻的熱量(J)，可以寫出熱傳導(dǎo)的方程式：x=0x=lu(t,x)Fourierlaw:thetimerateofheattransferthroughamaterialisproportionaltothenegativegradientinthetemperatureandtothearea.293.5分布參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)字仿真利用計(jì)算機(jī)求解PDE問題時(shí)，可x=0x=lu(t,x)Fourierlaw:thetimerateofheattransferthroughamaterialisproportionaltothenegativegradientinthetemperatureandtothearea.還要滿足一定的邊界條件：在x=0和x=l時(shí)，熱量u(t)對時(shí)間t的函數(shù)：在穩(wěn)態(tài)情況下，或靜態(tài)情況下，熱量u(x)對坐標(biāo)軸x的函數(shù)：最后，考慮t和x的邊界約束條件：30x=0x=lu(t,x)Fourierlaw:thetPDE問題的數(shù)值求解方法有限差分法(Finitedifferencemethod) 基本思想是把連續(xù)的區(qū)域用有限個(gè)離散點(diǎn)構(gòu)成的網(wǎng)格來代替，這些離散點(diǎn)稱作網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)；把連續(xù)區(qū)域上的連續(xù)變量的函數(shù)用在網(wǎng)格上定義的離散變量函數(shù)來近似；把原方程和定解條件中的微商用差商來近似，積分用積分和來近似，于是原微分方程和定解條件就近似地代之以代數(shù)方程組，即有限差分方程組，解此方程組就可以得到原問題在離散點(diǎn)上的近似解。txxnxn+1Xn-1tntn+131PDE問題的數(shù)值求解方法有限差分法(FinitediffePDE問題的數(shù)值求解方法有限體積法(Finitevolumemethod) 將計(jì)算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制體積，并使每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)周圍有一個(gè)控制體積；將待解的微分方程對每一個(gè)控制體積積分，便得出一組離散方程。有限元法(Finiteelementmethod) 將連續(xù)的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來分片的表示求解域上待求的未知場函數(shù)，近似函數(shù)通常由未知場函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在單元各節(jié)點(diǎn)的數(shù)值插值函數(shù)來表達(dá)。從而使一個(gè)連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。 有限元法在工程應(yīng)用中是最為常用的一種高效能算法，廣泛的應(yīng)用在各種物理場(力場，磁場，流體，傳熱，波…)的描述中.32PDE問題的數(shù)值求解方法有限體積法(Finitevolum二維有限元法分析靜態(tài)磁場33二維有限元法分析靜態(tài)磁場33有限元法分析汽車撞擊后的變形34有限元法分析汽車撞擊后的變形34計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)濟(jì)南大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院授課教師：李實(shí)cse_lis@1教1007室35計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)濟(jì)南大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院授課教師：李實(shí)cse3.2剛性系統(tǒng)的特點(diǎn)及算法宇航飛行器自動(dòng)控制系統(tǒng)一般包含兩個(gè)相互作用但效應(yīng)速度相差十分懸殊的子系統(tǒng)，一個(gè)是控制飛行器質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)，當(dāng)飛行器速度較大時(shí)，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)慣性較大，因而相對來說變化緩慢；另一個(gè)是控制飛行器運(yùn)動(dòng)姿態(tài)的系統(tǒng)，由于慣性小，相對來說變化很快，因而整個(gè)系統(tǒng)就是一個(gè)剛性系統(tǒng)。導(dǎo)彈、魚雷等航行器的慣性導(dǎo)航也是如此，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度較慢，偏航與俯仰運(yùn)動(dòng)較快，導(dǎo)致兩個(gè)變化速度相差十分大的系統(tǒng).這些現(xiàn)象，主要是由于系統(tǒng)模型中的一些小參數(shù)，如小時(shí)間常數(shù)、小質(zhì)量等存在而引起的.363.2剛性系統(tǒng)的特點(diǎn)及算法宇航飛行器自動(dòng)控制系統(tǒng)一般包含兩剛性系統(tǒng)在用微分方程描述的一個(gè)變化過程中，若往往又包含著多個(gè)相互作用但變化速度相差十分懸殊的子過程，這樣一類過程就認(rèn)為具有“剛性”。描述這類過程的微分方程初值問題稱為“剛性問題”，該微分方程成為“剛性方程”，該系統(tǒng)成為“剛性系統(tǒng)”.37剛性系統(tǒng)3剛性系統(tǒng)[例3.3]以一個(gè)二階微分方程組為例：滿足初始條件：經(jīng)計(jì)算，該方程的解析解為：方程矩陣A的特征值為：可以看到，方程的解由兩個(gè)特征值決定，因?yàn)樘卣髦郸?=-1000非常小，對應(yīng)系統(tǒng)的最小時(shí)間常數(shù)，當(dāng)時(shí)間t增大，該項(xiàng)在方程的解中很快減小，并可以忽略.38剛性系統(tǒng)[例3.3]以一個(gè)二階微分方程組為例：滿足初始條件：剛性系統(tǒng)該表給出例3.3微分方程的兩個(gè)解的具體數(shù)值，其中y*代表將λ2忽略，只保留λ1的方程解的值，進(jìn)行比較：t0120-10.0011.631.998-0.63112-0.990.011.980051.98010-0.99000-0.990050.11.809681.80968-0.90484-0.90484在0.01s時(shí)，精確解與簡化解已經(jīng)幾乎一致，即在0.01s以后，可以將λ2忽略.而在t=0到0.01之間時(shí)，可以看到精確解與簡化解的差別是很大的，這時(shí)不能將λ2忽略.這就是系統(tǒng)的邊界層效應(yīng)，即奇異攝動(dòng)系統(tǒng).39剛性系統(tǒng)該表給出例3.3微分方程的兩個(gè)解的具體數(shù)值，其中y*剛性系統(tǒng)[例3.4]代數(shù)方程的剛性系統(tǒng)，方程：經(jīng)計(jì)算，該方程解為：如果將b攝動(dòng)為：這兩個(gè)特征值的差別很大，該方程為剛性方程，說明了b攝動(dòng)后引起了解的較大的變動(dòng).這時(shí)，方程的解變?yōu)椋喝绻覀冇?jì)算矩陣A的特征值，可以得到：40剛性系統(tǒng)[例3.4]代數(shù)方程的剛性系統(tǒng)，方程：經(jīng)計(jì)算，該方程剛性系統(tǒng)對于剛性系統(tǒng)來說，仿真算法的步長要由最大的特征值來決定，也就是步長取很小的值，但會(huì)使求解時(shí)間加長，而隨著時(shí)間增大，實(shí)際上可以忽略掉最大的特征值作用，不必要用很小的步長浪費(fèi)計(jì)算機(jī)資源求解.一般使用Gear方法來求解剛性系統(tǒng)，Gear首先進(jìn)入剛性穩(wěn)定性的概念，可以滿足穩(wěn)定性，同時(shí)又降低對步長的要求.對于剛性系統(tǒng)的認(rèn)識，我們會(huì)在后面MATLAB建模與仿真中舉例說明.41剛性系統(tǒng)對于剛性系統(tǒng)來說，仿真算法的步長要由最大的特征值來決3.3實(shí)時(shí)半實(shí)物仿真實(shí)時(shí)數(shù)字仿真通常是指把一個(gè)數(shù)字仿真過程嵌入到一個(gè)具有實(shí)物模型的實(shí)際系統(tǒng)或仿真系統(tǒng)的運(yùn)行過程中.這種系統(tǒng)必須按照實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行的時(shí)序要求來完成數(shù)字仿真過程.半實(shí)物仿真是指在仿真實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的仿真回路中接入部分實(shí)物的實(shí)時(shí)仿真.準(zhǔn)確定義為“HardwareIntheLoopSimulation(HILS)”，即回路中含有實(shí)物的仿真.實(shí)時(shí)性是半實(shí)物仿真的必要前提.實(shí)時(shí)半實(shí)物仿真具有更高真實(shí)度，是仿真技術(shù)中置信度最高的一種仿真方法.因?yàn)樵试S在系統(tǒng)中接入部分實(shí)物，意味著把部分實(shí)物放在系統(tǒng)中考察，可以提高系統(tǒng)設(shè)計(jì)的可靠性和研制質(zhì)量.隨著科學(xué)研究和大型工程設(shè)計(jì)的需要，計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，實(shí)時(shí)數(shù)字仿真已經(jīng)在航空、航天、核工業(yè)、電子、電力工業(yè)等領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用.423.3實(shí)時(shí)半實(shí)物仿真實(shí)時(shí)數(shù)字仿真通常是指把一個(gè)數(shù)字仿真過程實(shí)時(shí)半實(shí)物仿真假設(shè)一個(gè)實(shí)際的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)由實(shí)物系統(tǒng)過程A和B組成，在實(shí)時(shí)仿真過程中，可以將系統(tǒng)的一部分，比如A用數(shù)學(xué)模型來代替，在實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí)，用計(jì)算機(jī)的數(shù)字處理過程來代替，如圖所示.實(shí)物系統(tǒng)過程B實(shí)物系統(tǒng)過程A實(shí)物系統(tǒng)過程B計(jì)算機(jī)處理過程A采樣A/Dz保持D/Ayzmym43實(shí)時(shí)半實(shí)物仿真假設(shè)一個(gè)實(shí)際的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)由實(shí)物系統(tǒng)過程A和B組計(jì)算機(jī)數(shù)字處理過程A必須在實(shí)物系統(tǒng)同步的條件下獲得動(dòng)態(tài)輸入信號zm，并實(shí)時(shí)的產(chǎn)生動(dòng)態(tài)輸出響應(yīng)ym.zm和ym都是具有固定采樣周期的數(shù)值序列.ym對輸入zm的延遲稱為響應(yīng)時(shí)間.實(shí)時(shí)仿真要求響應(yīng)時(shí)間滿足系統(tǒng)的時(shí)間限制.實(shí)時(shí)半實(shí)物仿真實(shí)物系統(tǒng)過程B計(jì)算機(jī)處理過程A采樣A/D保持D/Azyzmym44計(jì)算機(jī)數(shù)字處理過程A必須在實(shí)物系統(tǒng)同步的條件下獲得動(dòng)態(tài)輸入信實(shí)時(shí)仿真算法由于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)仿真有實(shí)物系統(tǒng)介入仿真模型，所以要求仿真模型的時(shí)間比例尺完全等于原始模型的時(shí)間比例尺.進(jìn)行實(shí)時(shí)仿真時(shí)必須采用相應(yīng)的實(shí)時(shí)仿真算法.要求實(shí)時(shí)仿真算法具有快速性、可行性、魯棒性和相容性的特點(diǎn)實(shí)時(shí)仿真算法的快速性實(shí)物系統(tǒng)過程B計(jì)算機(jī)處理過程A采樣A/D保持D/Azyzmym假設(shè)采樣周期為T，zm=z(mT)，ym=y(mT)，由zm和ym計(jì)算出T+1時(shí)刻的ym+1值，因此計(jì)算時(shí)間需要小于采樣時(shí)間T，否則實(shí)物系統(tǒng)得不到及時(shí)的數(shù)據(jù).對于快速性的要求，希望采用單遍算法(只需計(jì)算一次右函數(shù)值，比如顯式方法)和大步長積分算法.但對于右函數(shù)復(fù)雜，剛性問題或高頻振蕩的，則需要小步長，可以采用變化速率方法或構(gòu)造并行算法.45實(shí)時(shí)仿真算法由于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)仿真有實(shí)物系統(tǒng)介入仿真模型，實(shí)時(shí)仿真算法實(shí)時(shí)仿真算法的可行性 算法所用的輸入信息應(yīng)該是已經(jīng)從實(shí)物系統(tǒng)或其它過程獲取的，在計(jì)算時(shí)不允許使用還沒有獲得的信息.即kT時(shí)刻，只知道x(kT),x((k-1)T),…但x((k+1)T)未知不能使用. 例如，二階龍格-庫塔法：(3.17) 取步長h=T，即步長等于采樣時(shí)間.在計(jì)算x((n+1)T)時(shí)，需要計(jì)算兩次函數(shù)f(t,x)的值，在計(jì)算k2時(shí)需要知道u在n+1時(shí)刻的值，該值并未獲得，所以該算法不能使用.46實(shí)時(shí)仿真算法實(shí)時(shí)仿真算法的可行性 例如，二階龍格-庫塔法：(實(shí)時(shí)仿真算法 改變后的二階龍格-庫塔法：(3.17)取u的采樣周期為T=0.5h，將兩次函數(shù)求值分為兩步，每步在0.5h時(shí)間內(nèi)求值.在時(shí)間區(qū)間[nTnT+T]上，計(jì)算函數(shù)f求得K1在時(shí)間區(qū)間[nT+TnT+2T]上求K2，這時(shí)已知u(nT+T)的采樣值.這樣，仿真模型的周期為h=2T.這類算法稱為實(shí)時(shí)二階龍格-庫塔算法.47實(shí)時(shí)仿真算法 改變后的二階龍格-庫塔法：(3.17)取u的采實(shí)時(shí)仿真算法實(shí)時(shí)仿真算法的魯棒性(強(qiáng)壯性) 算法的魯棒性指在不同的復(fù)雜計(jì)算環(huán)境下，都能給出合理的計(jì)算結(jié)果，即適應(yīng)不同環(huán)境和干擾的能力叫做魯棒性，適應(yīng)性越強(qiáng)，魯棒性越好，算法和程序?qū)Σ煌沫h(huán)境和異常干擾均具有良好的運(yùn)行能力.

由于這種要求，實(shí)時(shí)仿真算法應(yīng)該具有處理異常因素的能力，必要時(shí)能夠?qū)τ?jì)算流程進(jìn)行重組、切換或使算法具有容錯(cuò)能力，可靠性高.

如果算法具有迭代過程，應(yīng)該能夠保證在規(guī)定次數(shù)內(nèi)結(jié)束該迭代過程.絕對不允許迭代不收斂和計(jì)算時(shí)間大于規(guī)定的時(shí)間.因此，為了避免超時(shí)現(xiàn)象發(fā)生，要有措施對數(shù)字處理過程測試其計(jì)算過程的隨機(jī)尖峰負(fù)載時(shí)間.48實(shí)時(shí)仿真算法實(shí)時(shí)仿真算法的魯棒性(強(qiáng)壯性)14實(shí)時(shí)仿真算法實(shí)時(shí)仿真算法的相容性 相容性指當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)中的某個(gè)子系統(tǒng)由數(shù)字處理過程替代時(shí)，這個(gè)數(shù)字處理過程所用的數(shù)字仿真算法能保證在替代后的系統(tǒng)具有與原系統(tǒng)相同的動(dòng)態(tài)特性.如用數(shù)字系統(tǒng)A與實(shí)物系統(tǒng)B構(gòu)成的替代系統(tǒng)，與原系統(tǒng)有幾個(gè)差別：實(shí)物系統(tǒng)過程B計(jì)算機(jī)處理過程A采樣A/D保持D/Azyzmym實(shí)物過程A由數(shù)字過程替代，會(huì)引起模型誤差和離散化誤差.即數(shù)序模型不匹配或參數(shù)失真的誤差，和離散化數(shù)值方法引起的誤差實(shí)物A與B之間的信息傳輸由數(shù)字系統(tǒng)A與實(shí)物系統(tǒng)B之間的信息傳輸取代，采樣、保持會(huì)引起量化誤差原連續(xù)系統(tǒng)A與B是同步的，但數(shù)字系統(tǒng)A與實(shí)物系統(tǒng)B是異步的，實(shí)物系統(tǒng)B給出的輸出值需經(jīng)過一個(gè)步長h時(shí)間后才能得到數(shù)字系統(tǒng)A給出的響應(yīng)輸出值，這里有一個(gè)延遲時(shí)間h.49實(shí)時(shí)仿真算法實(shí)時(shí)仿真算法的相容性實(shí)物系統(tǒng)過程B計(jì)算機(jī)處理過程實(shí)時(shí)仿真算法：亞當(dāng)斯-貝希霍斯顯式算法(Adams-Bashforth)(AB)AB1階法=向前歐拉法：AB2階法：AB3階法：AB4階法：這些算法都是單遍算法，在采樣時(shí)間間隔T=h時(shí)，在一個(gè)積分步長中只需要采樣輸入信息u一次，并對右函數(shù)f求值一次，計(jì)算工作量較小.50實(shí)時(shí)仿真算法：亞當(dāng)斯-貝希霍斯顯式算法(Adams-Bash實(shí)時(shí)仿真算法：亞當(dāng)斯-莫爾頓隱式算法(Adams-Moulton)(AM)AM1階法=向后歐拉法：AM2階法：AM3階法：AM4階法：隱式的穩(wěn)定區(qū)域要比顯式算法大得多，但是隱式方法每積分一個(gè)步長需要求解一個(gè)非線性方程組，在復(fù)雜的函數(shù)情況下無法求得，在實(shí)時(shí)仿真中一般采用預(yù)測-校正法：將顯式作為預(yù)測值，將顯式法得到的預(yù)測值代入隱式法，最終得到校正值.51實(shí)時(shí)仿真算法：亞當(dāng)斯-莫爾頓隱式算法(Adams-Moult實(shí)時(shí)龍格-庫塔法 實(shí)時(shí)二階龍格-庫塔法：對于三階算法，取u的采樣周期為T=h/3，分為三次函數(shù)求值：在時(shí)間區(qū)間[nTnT+T]上，計(jì)算函數(shù)f求得K1，采樣獲得u(nT+T)時(shí)刻值，在時(shí)間區(qū)間[nT+TnT+2T]上求K2，采樣獲得u(nT+2T)時(shí)刻值，在時(shí)間區(qū)間[nT+2TnT+3T]上求K3. 實(shí)時(shí)三階龍格-庫塔法：52實(shí)時(shí)龍格-庫塔法 實(shí)時(shí)二階龍格-庫塔法：對于三階算法，取u的3.4采樣控制系統(tǒng)的仿真方法數(shù)字控制系統(tǒng)，或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，其控制器是由數(shù)字計(jì)算機(jī)組成.它的輸入變量和控制變量只是在采樣點(diǎn)（時(shí)刻）取值的間斷的脈沖序列信號，描述控制器的數(shù)學(xué)模型是離散的——差分方程或者離散狀態(tài)方程.而被控對象是時(shí)間連續(xù)的，其數(shù)學(xué)模型是連續(xù)時(shí)間模型，它們之間用采樣器和保持器相連接，整個(gè)系統(tǒng)可看作一個(gè)連續(xù)-離散混合系統(tǒng).主要包括連續(xù)的控制對象、離散的控制器、采樣器（A/D轉(zhuǎn)換器）、保持器（D/A轉(zhuǎn)換器）等幾個(gè)環(huán)節(jié)組成，如圖所示的典型采樣系統(tǒng).控制對象保持器（D/A）數(shù)字控制器r(t)e(t)e(kT)u(kT)u(t)y(t)533.4采樣控制系統(tǒng)的仿真方法數(shù)字控制系統(tǒng)，或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)kT時(shí)刻的誤差信號e(kT),經(jīng)計(jì)算機(jī)計(jì)算后得到u(kT)，對于零階保持器來說，u(kT)保持T時(shí)間，直到下一輪新的計(jì)算機(jī)輸出結(jié)果u(kT+T)到達(dá)才改變一次數(shù)值.采樣器，數(shù)字控制器，保持器并不是同步并行的工作方式，而是串行流水的工作方式：但通常認(rèn)為采樣、控制器、保持器三者的計(jì)算處理時(shí)間是瞬時(shí)完成，即三者總和時(shí)間可以忽略不計(jì)，若將三者完成任務(wù)的時(shí)間加入，等于系統(tǒng)中增加一個(gè)純滯后環(huán)節(jié).控制對象保持器（D/A）數(shù)字控制器r(t)e(t)e(kT)u(kT)u(t)y(t)54kT時(shí)刻的誤差信號e(kT),經(jīng)計(jì)算機(jī)計(jì)算后得到u(kT)對連續(xù)系統(tǒng)離散化，等于對被控對象加了一個(gè)虛擬的采樣器，一般假設(shè)虛擬采樣時(shí)間和仿真步長是一致的.而該步長與實(shí)際的采樣周期可能相同，也可能不同，如何來確定連續(xù)系統(tǒng)離散化的仿真步長？也就是說，如何解決實(shí)際的離散部分仿真與虛擬的連續(xù)部分仿真的接口問題.可以考慮三種情況實(shí)際采樣周期T與連續(xù)系統(tǒng)仿真步長h相等采樣周期T大于仿真步長h采樣周期T小于仿真步長h控制對象保持器（D/A）數(shù)字控制器r(t)e(t)e(kT)u(kT)u(t)y(t)55對連續(xù)系統(tǒng)離散化，等于對被控對象加了一個(gè)虛擬的采樣器，一般假采樣周期T等于仿真步長h 兩者相等，則等于實(shí)際的采樣開關(guān)與虛擬的采樣開關(guān)是同步工作的，因此，這種仿真與連續(xù)系統(tǒng)仿真完全相同，是最為理想的情況，可以簡化仿真模型，縮短仿真程序，提高仿真速度. 當(dāng)采樣周期T較小時(shí)，可以取仿真步長h=T，滿足仿真精度和穩(wěn)定性.采樣周期T大于仿真步長h 這是實(shí)際系統(tǒng)仿真中最為常見的情況.采樣周期T由系統(tǒng)頻帶寬度采樣開關(guān)硬件性能和數(shù)字控制器執(zhí)行時(shí)間所決定，一般大于仿真步長h.

一般取T=kh，即取采樣時(shí)間為仿真步長的k整數(shù)倍.離散部分按采樣周期T進(jìn)行仿真，將輸入按保持器要求保持，連續(xù)部分仿真模型按步長h計(jì)算k次，將最后第k次結(jié)果輸出作為離散部分下一采樣周期的輸入.采樣周期T小于仿真步長h 有時(shí)為了減小計(jì)算量，加快仿真速度，采用大的仿真步長h來仿真，會(huì)出現(xiàn)h大于T的情況.這時(shí)需要對仿真模型作出修改.控制對象保持器（D/A）數(shù)字控制器r(s)e(s)e(z)u(z)u(s)y(s)56采樣周期T等于仿真步長h控制對象保持器數(shù)字控制器r(s)e(采樣系統(tǒng)仿真方法將連續(xù)系統(tǒng)部分進(jìn)行離散化處理，得到離散差分方程或脈沖傳遞函數(shù).數(shù)字部分本身已經(jīng)給出了離散差分方程或脈沖傳遞函數(shù).就可以將兩個(gè)系統(tǒng)相連，求出整體閉環(huán)系統(tǒng)的輸出.[例3.5]系統(tǒng)如圖所示，采用計(jì)算機(jī)控制，控制器的脈沖傳遞函數(shù)和被控對象的傳遞函數(shù)已經(jīng)給出，采用零階保持器，T為采樣周期.系統(tǒng)的初始狀態(tài)為：e(0)=0,u(0)=0,y(0)=0.求輸出量y的表達(dá)式？TT保持器（D/A）r(t)e(t)e(n)u(n)u(t)y(t)u(n)y(n)57采樣系統(tǒng)仿真方法將連續(xù)系統(tǒng)部分進(jìn)行離散化處理，得到離散差分方y(tǒng)(n)根據(jù)離散化方法求連續(xù)傳遞函數(shù)的脈沖傳遞函數(shù)：控制器的脈沖傳遞函數(shù)為：TT保持器（D/A）r(t)e(t)e(n)u(n)u(t)y(t)令 ，得到脈沖傳遞函數(shù)為：58y(n)根據(jù)離散化方法求連續(xù)傳遞函數(shù)的脈沖傳遞函數(shù)：控制器的y(n)得到開環(huán)的脈沖傳遞函數(shù)為：y對設(shè)定值r的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：TT保持器（D/A）r(t)e(t)e(n)u(n)u(t)y(t)得到系統(tǒng)的差分方程為：59y(n)得到開環(huán)的脈沖傳遞函數(shù)為：y對設(shè)定值r的閉環(huán)脈沖傳遞y(n)如果連續(xù)系統(tǒng)的仿真步長h小于采樣時(shí)刻T，取T=Nh，即要將連續(xù)系統(tǒng)仿真N個(gè)步長才能將輸入y用于數(shù)字控制器.那么零階保持器在Nh內(nèi)輸入u(n)不變，此時(shí)連續(xù)系統(tǒng)的差分方程變?yōu)椋篢T保持器（D/A）r(t)e(t)e(n)u(n)u(t)y(t)60y(n)如果連續(xù)系統(tǒng)的仿真步長h小于采樣時(shí)刻T，取T=Nh，換成采樣時(shí)間，T=Nh，得到：與T=h不同的是，這里僅把β替換成為βN，N=T/h，即可以得到總的差分方程：變換為脈沖傳遞函數(shù)，T=Nh，得到：61換成采樣時(shí)間，T=Nh，得到：與T=h不同的是，這里僅把β替3.5分布參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)字仿真以上章節(jié)介紹的都是常微分方程(ODE:ordinarydifferentialequation)的數(shù)字仿真及模型，它們又叫集中參數(shù)模型.實(shí)際上，在工程應(yīng)用中，更為廣泛的是偏微分方程