6.2平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積1.兩個(gè)向量的夾角2.平面向量的數(shù)量積3.投影向量1)如圖1,設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量,

=a,

=b,考慮如下的變換:過(guò)

的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分別作

所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到

,稱上述變換為向量a向向量b投影,

叫做向量a在向量b上的投影向量.

圖12)如圖2,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作

=a,

=b.過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線,垂足為M1,則

就是向量a在向量b上的投影向量.4.向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b都是非零向量,e是與b方向相同的單位向量,θ是a與e的夾角,則圖21)e·a=a·e=|a|cosθ.2)a⊥b?a·b=0.3)當(dāng)a與b同向時(shí),a·b=|a||b|;當(dāng)a與b反向時(shí),a·b=-|a||b|.特別地,a·a=|a|2.4)cosθ=

.5)|a·b|≤|a|·|b|.考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),則1)證明垂直問題,常用向量垂直的充要條件:a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.2)求夾角問題,利用夾角公式:cos<a,b>=

=

.3)求向量的模:|a|=

=

或|AB|=|

|=

(A(x1,y1),B(x2,y2)).考法一求平面向量模的方法1.求向量模的方法1)|a|=

;2)|a±b|=

;3)若a=(x,y),則|a|=

;4)解向量所在三角形,轉(zhuǎn)化為求三角形的邊長(zhǎng);5)通過(guò)解方程(組)求解.2.求向量模的最值(范圍)的方法1)代數(shù)法,把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù),再用求最值的方法求解;2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法),弄清所求的模表示的幾何意義,結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的

圖形求解.3)利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求模的取值范圍.例1(1)已知|a|=5,|b|=3,e是與b方向相同的單位向量.若a在b方向上的投影

向量為-3e,則|2a+3b|=

.(2)已知在直角梯形ABCD中,AB=AD=2CD=2,AB∥CD,∠ADC=90°,若點(diǎn)M

在線段AC上,則|

+

|的取值范圍為

.解析(1)由題意得|a|cos<a,b>=-3,即

=-3,∴a·b=-3|b|=-9,∴|2a+3b|=

=

=

=

.(2)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(2,0),C(1,2),D(0,2),則

=(1,2),設(shè)

=λ

(0≤λ≤1),則M(λ,2λ),故

=(-λ,2-2λ),

=(2-λ,-2λ),則

+

=(2-2λ,2-4λ),故|

+

|=

=

,當(dāng)λ=0時(shí),|

+

|取得最大值2

,當(dāng)λ=

時(shí),|

+

|取得最小值

,∴|

+

|∈

.答案(1)

(2)

考法二求平面向量夾角的方法1.定義法:當(dāng)a,b是非坐標(biāo)形式時(shí),需求出a·b及|a|,|b|或得出它們之間的關(guān)

系.2.坐標(biāo)法:若已知a=(x1,y1)與b=(x2,y2),則可直接利用公式cos<a,b>=

求解,<a,b>∈[0,π].3.轉(zhuǎn)化成解三角形,利用正弦、余弦定理求解.例2(1)(2021濟(jì)南一模,5)已知單位向量a,b,c,滿足a+b+c=0,則a與b的夾角

為

(

)A.

B.

C.

D.

(2)(2020皖南八校聯(lián)考,7)設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1,平面內(nèi)一點(diǎn)M滿

足

=

+

,則向量

與

夾角的余弦值為

(

)A.

B.

C.

D.

解析(1)由a+b+c=0,得a+b=-c,所以|a+b|=|-c|,即|a+b|=

=1,所以a·b=-

,由a·b=|a||b|cos<a,b>=cos<a,b>=-

,及<a,b>∈[0,π]得<a,b>=

,故選C.(2)解法一:∵△ABC是等邊三角形,∴

與

的夾角為

,∴

·

=

·

=

+

·

=

×12+

×1×1×cos

=

.∵

=

=

+

+

·

=

+

+

×1×1×cos

=

,∴|

|=

.設(shè)

與

的夾角為θ,則cosθ=

=

=

,故選D.

解法二:以AB所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐

標(biāo)系,如圖所示,∵△ABC的邊長(zhǎng)為1,∴A

,B

,C

,∴

=(1,0),

=

,∴

=

+

=

+

=

,∴|

|=

=

.易知|

|=1.設(shè)

與

的夾角為θ,則cosθ=

=

=

=

,故選D.答案(1)C

(2)D應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用1.用向量法解決平面幾何問題的基本步驟1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平

面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;2)通過(guò)向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系,

如距離、夾角等問題;3)把運(yùn)算結(jié)果轉(zhuǎn)化成幾何關(guān)系.2.三角形的四心與向量之間的關(guān)系在△ABC中,∠A,∠B,∠C所對(duì)的邊分別為a,b,c.1)在

=λ

的條件下,存在λ使得I為△ABC的內(nèi)心;a

+b

+c

=0?P為△ABC的內(nèi)心.2)|

|=|

|=|

|?P為△ABC的外心.3)

+

+

=0?G為△ABC的重心.4)

·

=

·

=

·

?P為△ABC的垂心.例1(2019江蘇,12,5分)如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E在邊AB上,BE=2

EA,AD與CE交于點(diǎn)O.若

·

=6

·

,則

的值是

.

解析解法一:過(guò)D作DF∥EC,交AB于F.∵D為BC的中點(diǎn),∴F為BE的中點(diǎn),

又BE=2EA,∴EF=EA,又DF∥EO,∴AO=

AD,∴

=

=

(

+

).∴

·

=

(

+

)·

=

.∵

·

=6

·

,∴

·

=

-

+

·

,∴

=3

,∴|

|=

|

|,∴

=

.解法二:由于題目中對(duì)∠BAC沒有限制,所以不妨設(shè)∠BAC=90°,AB=c,AC=

b,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

則E

,D

,C(b,0),

=

.易得lAD:y=

x,lEC:

+

=1,聯(lián)立得

解得

則O

,

=

.由

·

=6

·

得6

·

=0,∴c2=3b2,∴c=

b,∴

=

.答案

例2在△ABC中,向量

與

滿足

·

=0,且

·

=

,則△ABC為

(

)A.等邊三角形

B.直角三角形C.等腰非等邊三角形

D.等腰直角三角形解析∵

·

=0,

,

分別為

,

方向上的單位向量,∴∠A的平分線與BC垂直,則AB=AC,由

·

=|

|·|

|·cosB,可得cosB=

·

=

,則∠B=

,∴∠B=∠C=

,∠A=

.∴△ABC為等腰直角三角形.答案D創(chuàng)新利用解析幾何思維解決向量問題向量具有代數(shù)與幾何的雙重特性,而解析幾何內(nèi)容最為有效的方法是數(shù)

形結(jié)合,合理使用數(shù)形結(jié)合不僅可以轉(zhuǎn)化解析幾何中的向量問題,還可以

借用解析幾何思想來(lái)轉(zhuǎn)化向量中的相關(guān)問題.解決此類問題常從兩個(gè)方

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條件.例(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C

為圓心且與BD相切的圓上.若

=λ

+μ

,則λ+μ的最大值為

(

)A.3

B.2

C.

D.2解析以C為原點(diǎn),以

,

為x,y軸的正方向建立直角坐標(biāo)系,則A(2,1