1第一頁，共106頁。6.1半群和獨(dú)異點(diǎn)定義(dìngyì)半群設(shè)V=<S,?>是代數(shù)系統(tǒng),?為二元運(yùn)算．如果?是可結(jié)合的,則稱V為半群．第二頁，共106頁。例6.1<Z+,+>是半群。<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，其中+表示普通加法。<Mn(R),·>是半群,其中·表示矩陣乘法(chéngfǎ)。<P(B),>是半群,其中表示集合的對稱差運(yùn)算．<Zn,>是半群,其中Zn={0,1,…,n-1},表示模n加法。第三頁，共106頁。因?yàn)榘肴篤=<S,?>中的運(yùn)算(yùnsuàn)?是可結(jié)合的,可以定義運(yùn)算(yùnsuàn)的冪．對任意的x∈S,規(guī)定xn是x1=x,xn+1=xn?x,n為正整數(shù)。易證x的冪遵從以下規(guī)律：xn?xm=xn+m,(xn)m=xnm,n為正整數(shù)．半群中運(yùn)算(yùnsuàn)的冪第四頁，共106頁。例第五頁，共106頁。

定理6.1.1

定理若V=<S,*>是半群,S為有限集合，則S中必含有冪等元。

證明：設(shè)=<S,*>是半群,對任何a∈S,有

a2,a3….∈S,.由于S為有限集合，所以必存在(cúnzài)j>i,使得ai＝aj。

令p=j-i,便有ai＝aj＝ap*ai

所以，am＝ap*am（m>i)

令m=kp,

akp＝ap*akp＝ap*(ap*akp)=a2p*akp=…=akp*akp

令b=akp,有b=b*b,即S中含有冪等元第六頁，共106頁。

定義(dìngyì)6.1.2可交換半群

如果半群V=<S,*>中的二元運(yùn)算*是可交換的,則稱V為可交換半群.

定義6.1.3獨(dú)異點(diǎn)如果半群V=<S,?>中的二元運(yùn)算含有幺元,則稱V為含幺半群,也可叫做獨(dú)異點(diǎn).為了(wèile)強(qiáng)調(diào)幺元的存在,有時(shí)將獨(dú)異點(diǎn)記為<S,?,e>。第七頁，共106頁。例6.2<Z+,+>是可交換半群。<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是可交換半群和獨(dú)異點(diǎn)，其中+表示普通加法(jiāfǎ)。幺元是0。<N,+,0>,…,<R,+,0><Mn(R),·>是半群和獨(dú)異點(diǎn),其中·表示矩陣乘法。矩陣乘法的幺元是n階單位矩陣E.<Mn(R),·,E><P(B),>是半群和獨(dú)異點(diǎn),其中表示集合的對稱差運(yùn)算．對稱差運(yùn)算的幺元是.<Zn,>是半群和獨(dú)異點(diǎn),其中Zn={0,1,…,n-1},表示模n加法(jiāfǎ)。模n加法(jiāfǎ)的幺元是0.<Zn,,0>.第八頁，共106頁。在獨(dú)異點(diǎn)V=<S,?,e>中,如果規(guī)定x0=e(x是S中的任意元素),那么(nàme)有關(guān)半群中冪的定義可以變成x0=exn+1=xn?xn為非負(fù)整數(shù)．而關(guān)于冪的兩個(gè)運(yùn)算公式不變,只要其中的m和n是非負(fù)整數(shù)就可以了。獨(dú)異點(diǎn)中(diǎnzhōnɡ)運(yùn)算的冪第九頁，共106頁。在獨(dú)異點(diǎn)V=<S,?,e>中,如果規(guī)定x0=e(x是S中的任意元素(yuánsù)),那么有關(guān)半群中冪的定義可以變成x0=exn+1=xn?xn為非負(fù)整數(shù)．而關(guān)于冪的兩個(gè)運(yùn)算公式不變,只要其中的m和n是非負(fù)整數(shù)就可以了。獨(dú)異點(diǎn)中(diǎnzhōnɡ)運(yùn)算的冪第十頁，共106頁。注意：此定理(dìnglǐ)對半群不成立。定理6.1.2一個(gè)有限獨(dú)異點(diǎn)<S,*，e>的運(yùn)算表中不會(huì)有任何(rènhé)兩行或兩列元素相同。第十一頁，共106頁。獨(dú)異點(diǎn)的子代數(shù)叫做子獨(dú)異點(diǎn).對獨(dú)異點(diǎn)V=<S,?,e>,<T,?,e>構(gòu)成V的子獨(dú)異點(diǎn)，需要(xūyào)滿足：T是S的非空子集，T要對V中的運(yùn)算?封閉，e∈T，即可。子獨(dú)異點(diǎn)第十二頁，共106頁。第十三頁，共106頁。半群同態(tài)定義(dìngyì)6.3設(shè)V1=<S,?>,V2=<T,*>為半群,:S→T，且對任意x,y∈S有(x?y)=(x)*(y)則稱為半群V1到V2的同態(tài)．第十四頁，共106頁。例半群V=<S,.>,其中S=.是矩陣(jǔzhèn)乘法。令:S→S,那么有==

=這說明是半群V的自同態(tài),但不是滿自同態(tài)第十五頁，共106頁。V1=<S1,?,e1>,V2=<S2,*,e2>是獨(dú)異點(diǎn),設(shè):S1→S2,如果(rúguǒ)對任意x,y∈S1都有(x?y)=(x)*(y)(e1)=e2,則稱為獨(dú)異點(diǎn)V1到V2的同態(tài)?補(bǔ)充(bǔchōng)：獨(dú)異點(diǎn)的同態(tài)第十六頁，共106頁。例獨(dú)異點(diǎn)V=其中S=，.是矩陣(jǔzhèn)乘法。令:S→S,那么對任意x,y∈S都有

第十七頁，共106頁。但是(dànshì)而不是獨(dú)異點(diǎn)V的么元,因此,不是獨(dú)異點(diǎn)V的自同態(tài)。這就是說,如果把V看作半群,則是V的自同態(tài);如果把V看作獨(dú)異點(diǎn),則就不是它的自同態(tài)了。第十八頁，共106頁。定理(dìnglǐ)：設(shè)V1=<S,*>,V2=<T,?>為半群,f為S到T的半群同態(tài)，則對半群同態(tài)有

（1）同態(tài)象<f(s),?>為一半群。

（2）若<S,*>為獨(dú)異點(diǎn)，則<f(s),?>也為獨(dú)異點(diǎn)第十九頁，共106頁。群定義(dìngyì)設(shè)〈G,?！凳谴鷶?shù)系統(tǒng),。為二元運(yùn)算．如果。是可結(jié)合的,存在幺元e∈G,并且G中的任意元素x,都有x-1∈G,則稱G是群.第二十頁，共106頁。例<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群;<P(B),,>是群,其中表示集合的對稱差運(yùn)算．元素的逆元是自身(zìshēn)；<Zn,,0>是群,其中Zn={0,1,…,n-1},表示模n加法。0的逆元是0,非0元素的逆元是n-x.<Q,.>不是群;<Q+,.>是群;第二十一頁，共106頁。例

設(shè)G＝{e,a,b,c},。為G上的二元運(yùn)算,它由以下運(yùn)算表給出．不難證明(zhèngmíng)G是一個(gè)群.e為G中的幺元,。是可交換的.任何G中的元素與自己運(yùn)算(yùnsuàn)的結(jié)果都等于e.在a,b,c三個(gè)元素中,任何兩個(gè)元素運(yùn)算(yùnsuàn)的結(jié)果都等于另一個(gè)元素.一般稱這個(gè)群為Klein四元群.第二十二頁，共106頁。群的術(shù)語(shùyǔ)若群G中的二元運(yùn)算是可交換(jiāohuàn)的,則稱群G為交換(jiāohuàn)群,也叫做阿貝爾(Abel)群．<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群,也是阿貝爾(Abel)群;<P(B),,>是群,,也是阿貝爾(Abel)群;<Zn,,0>是群,,也是阿貝爾(Abel)群.Klein四元(sìyuán)群也是阿貝爾群．第二十三頁，共106頁。定理

設(shè)<G,*>為一個(gè)(yīɡè)群，<G,*>為阿貝爾群的充分必要條件是對任意x,y∈G,有(x*y)*(x*y)=(x*x)(y*y)第二十四頁，共106頁。無限(wúxiàn)群有限群若群G中有無限多個(gè)元素,則稱G為無限群,否則(fǒuzé)稱為有限群.例如,<Z,＋>,<R,＋>都是無限群.<Zn,>是有限群.Klein四元群也是有限群.第二十五頁，共106頁。群的階對于有限群G,G中的元素(yuánsù)個(gè)數(shù)也叫做G的階,記作|G|.<Zn,>是有限群,其階是n.Klein四元群也是有限群,其階是4.第二十六頁，共106頁。在群G中,由于G中每個(gè)元素都有逆元，所以可以定義負(fù)的冪，對任意x∈G,n為正整數(shù)(zhěngshù),那么有關(guān)群中冪的定義可以變成x0=exn+1=xn*xn為非負(fù)整數(shù)(zhěngshù)．x-n=(x-1)n,n為正整數(shù)(zhěngshù)而關(guān)于冪的兩個(gè)運(yùn)算公式不變,只要其中的m和n是任意整數(shù)(zhěngshù)就可以了。群中運(yùn)算(yùnsuàn)的冪第二十七頁，共106頁。群的性質(zhì)(xìngzhì)定理設(shè)G為群,則G中的冪運(yùn)算(yùnsuàn)滿足x∈G,(x-1)-1＝xx,y∈G,(x*y)-1＝y(tǒng)-1*x-1x1,x2,…,xn∈G,(x1*x2*…xn)-1＝xn-1…x2-1x1-1x∈G,xn*xm＝xn+m．x∈G,(xn)m＝xnm.m,n是整數(shù)第二十八頁，共106頁。定理設(shè)<G,*>為群，則（1）G有唯一的幺元，G的每個(gè)元素(yuánsù)恰有一個(gè)逆元；（2）G為群,a,b∈G,方程a*x＝b和y*a＝b在G中有解,且有唯一解．（3）當(dāng)G不等于{e}時(shí)，G無零元第二十九頁，共106頁。c=ec第三十頁，共106頁。例設(shè)G=<P({a,b}),>,其中為集合的對稱(duìchèn)差運(yùn)算,求下列群方程{a}X=,Y{a,b}=解X={a}-1={a}={a}Y={a,b}-1={a,b}={a}第三十一頁，共106頁。消去律定理G為群,則G中適合(shìhé)消去律,即對任意a,b,c∈G有(1)若a*b＝a*c,則b＝c.(2)若b*a＝c*a,則b＝c.第三十二頁，共106頁。定理設(shè)<G,*>為有限獨(dú)異點(diǎn),適合消去律，證明<G,*>為群。定理6.1.8設(shè)<G,*>為一群(yīqún),則幺元是G的唯一的冪等元。第三十三頁，共106頁。設(shè)<G,*>為群,用aG和Ga分別表示下列集合Ga={g*a|g∈G}aG={a*g|∈G}則有定理(dìnglǐ)設(shè)<G,*>為一群,a為G中任意元素,那么aG=G=Ga第三十四頁，共106頁。通過運(yùn)算表判斷哪些代數(shù)系統(tǒng)(xìtǒng)不是群設(shè)S是一個(gè)非空集合(jíhé),從集合(jíhé)S到S的一個(gè)雙射稱為S的一個(gè)置換.例如:對于集合(jíhé)S={a,b,c,d},將a映射到b,b映射到d,c映射到a,d映射c是一個(gè)從S到S的一對一映射,這個(gè)置換可以表示為:abcdbdac第三十五頁，共106頁。定理G為有限群,則G的運(yùn)算表中的每一行(每一列)都是G中元素(yuánsù)的一個(gè)置換,且不同的行(或列)的置換都不相同?；蛘哒fG為有限群,則G的運(yùn)算表中的每一行(每一列)都是G中元素(yuánsù)的一個(gè)全排列判斷(pànduàn)方法第三十六頁，共106頁。元素(yuánsù)x的階設(shè)G是群,x∈G,使得xk＝e成立的最小的正整數(shù)k叫做x的階(或周期)．如果不存在正整數(shù)k,使xk＝e,則稱x是無限階的.對有限階的元素(yuánsù)x,通常將它的階記為|x|.在任何群G中幺元e的階都是1．第三十七頁，共106頁。例在Klein四元(sìyuán)群中,|a|=?,|b|=?,|c|=?,|e|=?第三十八頁，共106頁。第三十九頁，共106頁。下面一些(yīxiē)結(jié)論：定理6.1.10.設(shè)<G,*>是有限群，|G|＝n，則G中每個(gè)元素的階≤n。定理6.1.11.設(shè)<G,*>是群，a∈G，a的階為r，即|a|＝r.若an＝e當(dāng)且僅當(dāng)r整除n。定理6.1.12.設(shè)<G,*>是群，g∈G，則g與g－1有相同的階。第四十頁，共106頁。例.設(shè)<G,*>是n階有限(yǒuxiàn)群，證明1)G中階大于2的元素的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)。2)若n是偶數(shù)，則G中階等于2的元素個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)。第四十一頁，共106頁。定理6.1.13

設(shè)<G,*>為一個(gè)(yīɡè)群，<G,*>為阿貝爾群的充分必要條件是對任意x,y∈G,有(x*y)*(x*y)=(x*x)(y*y)第四十二頁，共106頁。第6章幾個(gè)(jǐɡè)典型的代數(shù)系統(tǒng)6.1半群與群6.2子群6.3循環(huán)群和置換群6.4陪集與拉格朗日定理(dìnglǐ)6.5正規(guī)子群、商群和同態(tài)基本定理(dìnglǐ)6.6環(huán)與域第四十三頁，共106頁。子群(zǐqún)定義設(shè)群<G,*>,H是G的非空子集．如果(rúguǒ)H關(guān)于G中的運(yùn)算*構(gòu)成群,則稱<H,*>為<G,*>的子群,記作H≤G.例如,在群<Z,＋>中,取2Z＝{2x|x∈Z}則2Z關(guān)于加法構(gòu)成<Z,＋>的子群.同樣,{0}也是<Z,＋>的子群.第四十四頁，共106頁。例在Klein四元群中,G={e,a,b,c}中,有5個(gè)子群,它們(tāmen)是:{e},{e,a},{e,b},{e,c},G平凡子群是…真子群是…第四十五頁，共106頁。判定(pàndìng)定理定理(dìnglǐ)設(shè)<G,*>為群,<H,*>為<G,*>的子群的充要條件是(1)G的幺元e∈H(2)若a,b∈H,則a*b∈H(3)若a∈H,則a-1∈H定理設(shè)<G,*>為群,H是G的非空有限子集，且H對*運(yùn)算(yùnsuàn)封閉，那么<H,*>為<G,*>的子群。第四十六頁，共106頁。子群(zǐqún)的性質(zhì)定理(dìnglǐ)設(shè)<G,*>為群,H是G的非空子集.那么<H,*>是<G,*>的子群的充分必要條件是對任意x,y∈H都有x*y-1∈H第四十七頁，共106頁。例設(shè)G為群,(1)對任何a∈G,令H＝{ak|k∈Z},即x的所有(suǒyǒu)冪的集合．不難判定H是G的子群．因?yàn)槿稳中的元素am,al,都有am(al)-1＝ama-l＝am-l∈H.稱這個(gè)子群是由元素x生成的子群,記作<a>．注意：由a生成的子群是包含(bāohán)a的最小子群。第四十八頁，共106頁。例第四十九頁，共106頁。群G的中心(zhōngxīn)設(shè)G為群,令C是與G中所有的元素都可交換的元素構(gòu)成(gòuchéng)的集合,即C＝{a|a∈G∧x∈G(ax=xa)},稱C為群G的中心.

第五十頁，共106頁。群G的應(yīng)用(yìngyòng)群<Zn,>在計(jì)算機(jī)科學(xué)中有十分重要的應(yīng)用，下面(xiàmian)以圖書國際標(biāo)準(zhǔn)書號(hào)ISBN號(hào)的校驗(yàn)位為例，說明其應(yīng)用?？梢园l(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤或順序顛倒。例1：書ISBN號(hào)為7-5053-8708-1（中國-電子工業(yè)出版社-書編號(hào)-校驗(yàn)碼），由10位數(shù)字組成。x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10,校驗(yàn)位通過下列余式計(jì)算1x1+2x2+3x3+4x4+5x5+6x6+7x7+8x8+9x9=x10（mod11)221=x10（mod11)1=x10（mod11)現(xiàn)有錯(cuò)誤書號(hào)7-5053-8705計(jì)算194=x10（mod11)7=x10（mod11)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤。例2：書號(hào)7-5062-0335-7和7-5062-0353-7。前一個(gè)錯(cuò)，因?yàn)?41=7（mod11)9=7（mod11)；后一個(gè)139=7（mod11)，7=7（mod11)正確。說明有組數(shù)據(jù)順序錯(cuò)了。

第五十一頁，共106頁。第6章幾個(gè)典型的代數(shù)(dàishù)系統(tǒng)6.1半群與群6.2子群6.3循環(huán)群和置換群6.4陪集與拉格朗日定理(dìnglǐ)6.5正規(guī)子群、商群和同態(tài)基本定理(dìnglǐ)6.6環(huán)與域第五十二頁，共106頁。循環(huán)群定義(dìngyì)在群G中如果存在aG使得G={ak|kZ}而稱G為循環(huán)群,記作G=<a>,稱a為G的生成元.（約定a0=e)所謂循環(huán)群，就是群中的每個(gè)元素都可表示成某個(gè)固定元素a的整數(shù)次冪。第五十三頁，共106頁。第五十四頁，共106頁。<Z,+>是循環(huán)群,1或-1為生成元;<2i,.>是循環(huán)群,其中(qízhōng)2為生成元；<Z8,,0>是循環(huán)群,其中(qízhōng)1,3為生成元；第五十五頁，共106頁。在循環(huán)群G=<a>中,生成元a的階與群G的階是一樣(yīyàng)的.如果a是有限階元,|a|＝n,則稱G為n階循環(huán)群.如果a是無限階元,則稱G為無限階循環(huán)群.n階循環(huán)群第五十六頁，共106頁。定理設(shè)<G,*>是由a生成的有限群，則有G={e,a1,a2…an-1},其中n=|G|,也是a的階。n階循環(huán)群必同構(gòu)于<Zn,+n>證明：設(shè)a的階為k，則H={e,a1,a2…ak-1}為G的子群(zǐqún)，HG?，F(xiàn)證明GH。任取amG,如果不屬于H，則m=kt+rr<kam=akt+r=akt*ar=arH矛盾。設(shè)有映射ｆ：Ｇ－＞Zn，任意f(ai）=i證明該映射是同構(gòu)映射。第五十七頁，共106頁。定理6.3.3.設(shè)<G,*>為無限循環(huán)群，且G=<a>,則G只有兩個(gè)生成元a和a-1。且<G,*>同構(gòu)于<Z,+>證明(zhèngmíng)：（1）證明(zhèngmíng)a-1是生成元（2）證只有這兩個(gè)。假設(shè)還有一個(gè)b,aG,有a=bt,又因bG,b=ak,a=bt=aktakt-1=ekt=1,t=1或t=-1設(shè)有映射ｆ：Ｇ－＞Ｚ，任意f(ai）=i證明(zhèngmíng)該映射是同構(gòu)映射。第五十八頁，共106頁。例1：在<I,*>群中取1∈I,由于0＝10,n=1n,-n=(-1)n=1-n故I中的每個(gè)元素都可表示(biǎoshì)成1的整數(shù)次冪。由循環(huán)群的定義知<I,＋>是循環(huán)群，1是循環(huán)群的生成元。

例2：〈{1,-1,i,-i},×〉是循環(huán)群，生成元為i和-i。第五十九頁，共106頁。例3：生成元為c,d結(jié)論：循環(huán)群的生成元可以(kěyǐ)不唯一第六十頁，共106頁。定理：任何一個(gè)(yīɡè)循環(huán)群必定是阿貝爾群。第六十一頁，共106頁。所以(-a)b是ab的加法逆元,即-(ab).n階循環(huán)群必同構(gòu)于<Zn,+n>==5正規(guī)子群、商群和同態(tài)基本定理(dìnglǐ)<(23)>={(1),(23)},定理：任何一個(gè)(yīɡè)循環(huán)群必定是阿貝爾群。矩陣乘法的幺元是n階單位矩陣E.第七十六頁，共106頁。第七十八頁，共106頁。設(shè)<G,*>為群，則第六十四頁，共106頁。(1)對任何a∈G,令而稱G為循環(huán)群,記作G=<a>,稱a為G的生成元.am=akt+r=akt*ar=arH矛盾。證明：設(shè)a的階為k，則H={e,a1,a2…ak-1}為G的子群(zǐqún)，HG。同理可證a(-b)=-(ab)5設(shè)S為下列集合(jíhé),+和.第六十二頁，共106頁。定理循環(huán)群的子群都是循環(huán)群。定理6.3.5設(shè)<G,*>為a生成的循環(huán)群，（1）若G是無限(wúxiàn)循環(huán)群，則G有無限(wúxiàn)多個(gè)子群，它們分別由e,a1,a2…an-1生成。（2）若G是有限循環(huán)群，階為n，則G的子群的階都是n的因子。對于n的正因子d，在G中只有一個(gè)d階子群，就是由an/d生成的子群。第六十三頁，共106頁。置換群定義6.3.3置換(zhìhuàn)有限集上的雙射函數(shù)稱為置換(zhìhuàn)第六十四頁，共106頁。置換群定義(dìngyì)設(shè)S＝{1,2,,n},S上的任何雙射函數(shù):S→S構(gòu)成了S上n個(gè)元素的置換,稱為n元置換.例如，S={1,2,3}，令:S→S，且有:(1)=2,(2)=3,(3)=1,第六十五頁，共106頁。則將1,2,3分別(fēnbié)置換成2,3,1,此置換常被記為

=采用這種記法,一般的n元置換可記為第六十六頁，共106頁。n個(gè)不同(bùtónɡ)元素有多少種排列的方法?n!種排列的方法,所以,S上有n!個(gè)置換.例如,<1,2,3>上有3!=6種不同(bùtónɡ)的置換,即

第六十七頁，共106頁。對于n元置換(zhìhuàn)也可以用不交的輪換之積來表示.=(a1a2…am),mn那么的映射關(guān)系是a1a2,a2a3,…am-1am,ama1,而其他的元素都有aa.稱為m次輪換.任何n元置換(zhìhuàn)都可表成不交的輪換之積.第六十八頁，共106頁。例如,是{1,2,…6}上的置換(zhìhuàn),且

=那么的映射關(guān)系是16,25,33,44,52,61.去掉3和4這兩個(gè)保持不變的元素,可得16,61,25,52所以=(16)(25)(3)(4)第六十九頁，共106頁。又如,也是{1,2,…6}上的置換,且=則有=(14325)(6)為使表達(dá)式簡潔,可以(kěyǐ)去掉1次輪換那么有=(16)(25)=(14325)第七十頁，共106頁。根據(jù)(gēnjù)這種表法,{1,2,3}上的置換可記為：1=(1),2=(12),3=(13),4=(23),5=(123),6=(132)第七十一頁，共106頁。設(shè)S={1,2,…n},S上的n!個(gè)置換構(gòu)成(gòuchéng)集合S,其中恒等置換Is=(1)∈Sn．在Sn上規(guī)定二元運(yùn)算,對于任意n元置換,∈Sn,表示與的復(fù)合.顯然也是S上的n元置換,所以,Sn對運(yùn)算是封閉的,且是可結(jié)合的.任取Sn中的置換,有Is=Is=n元對稱(duìchèn)群、n元置換群第七十二頁，共106頁。所以,恒等置換Is=(1)是Sn中的幺元且的逆置換-1=就是的逆元。即:Sn關(guān)于置換的復(fù)合構(gòu)成(gòuchéng)一個(gè)群,稱之為S上的n元對稱群.Sn的任何子群稱為S上的n元置換群.第七十三頁，共106頁。定義6.3.4置換(zhìhuàn)群將n個(gè)元素的集合A上的置換(zhìhuàn)全體記為Sn,那么稱群<Sn,*〉為n次對稱群，它的子群又稱為n次置換(zhìhuàn)群。第七十四頁，共106頁。例如(lìrú)S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},S3的運(yùn)算表如表6.1所示．第七十五頁，共106頁。從表6.1可以(kěyǐ)看到(13)。(12)≠(12)。(13)所以,S3不是阿貝爾群,在S3中,(12),(13)和(23)都是2階元,而(123)和(132)是3階元.第七十六頁，共106頁。S3有6個(gè)子(gèzi)群,即<(1)>={(1)},<(12)>={(1),(12)},<(13)>={(1),(13)},<(23)>={(1),(23)},<(123)>=<(132)>={(1),(123),(132)},所以,S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}.其中{(1)}和S3是平凡的,除S3自己以外,都是S3的真子群．第七十七頁，共106頁。上面講了由有限集合X到X的雙射即置換，以及置換群；下面不再限于X是有限集，換言之，它可以是個(gè)無窮集。這時(shí)從集合X到X的雙射，稱之為一一變換或變換。因而，可證<TX,o>構(gòu)成群，在代數(shù)中稱為變換群，顯然，置換群是變換群的特例。請注意(zhùyì)，由TX中的一些變換與運(yùn)算o構(gòu)成的群，都稱為變換群，而<TX,o>只不過是個(gè)特殊情形而已。第七十八頁，共106頁。第6章幾個(gè)典型的代數(shù)(dàishù)系統(tǒng)6.1半群與群6.2子群6.3循環(huán)群和置換群6.4陪集與拉格朗日定理(dìnglǐ)6.5正規(guī)子群、商群和同態(tài)基本定理(dìnglǐ)6.6環(huán)與域第七十九頁，共106頁。定義6.4.1設(shè)<G,*>為群，A,BG,，且A,B非空，AB={a*b|a∈A,b∈B},稱為A,B的乘積(chéngjī)。性質(zhì)（AB)C=A(BC)eA=Ae=A第八十頁，共106頁。定義設(shè)<H,*>為<G,*>的子群，那么(nàme)對任一g∈G,稱gH為H的左陪集，稱Hg為H的右陪集，這里gH={g*h|h∈H}Hg={h*g|h∈H}第八十一頁，共106頁。<Z6,,⊙>中有2⊙3＝0,但2和3都不是0.通過運(yùn)算表判斷哪些代數(shù)系統(tǒng)(xìtǒng)不是群<Z+,+>是半群。則稱為半群V1到V2的同態(tài)．半群中運(yùn)算(yùnsuàn)的冪則稱為獨(dú)異點(diǎn)V1到V2的同態(tài)?例1：在<I,*>群中取1∈I,由于0＝10,n=1n,-定義設(shè)<F,+,·>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，若滿足(mǎnzú)n!種排列的方法,所以,S上有n!個(gè)置換.不一定(yīdìng)是無零因子環(huán).在Klein四元(sìyuán)群中,第十五頁，共106頁。而其他的元素都有aa.(4)S＝{x｜x＝a+b,a,b∈Q}.證明(zhèngmíng):定理設(shè)<H,*>為<G,*>的子群，那么(nàme)（1）對任意g∈G,|gH|=|H|（|Hg|=|H|）（2）當(dāng)g∈H時(shí)，gH＝Ｈ（Hg＝Ｈ）第八十二頁，共106頁。（1）證明：令f：HaH即f(h)=a*h,其中hH則f是雙射。滿射是顯然的，下面再證它是單射。若a*h1=a*h2，h1,h2H，則根據(jù)(gēnjù)群的可約律知h1=h2，即f(h1)=f(h2)導(dǎo)出h1=h2。所以|gH|=|H|(2)含義，若<H,*>為群<G，*>的子群，則H為<G,*>中的左陪集。因?yàn)槿鬳是<G,*>的幺元，則e*H={e*h|hH|=H。第八十三頁，共106頁。定理(dìnglǐ)6.4.２設(shè)<H,*>為<G,*>的子群，有（1）ａ∈ａH（2）若ｂ∈ａH，則ｂH＝ａＨ證明:(1)因?yàn)閑H，故a=a*eaH。(2)若ｂ∈ａH,b=ah,bH=(ah)H=a(hH)=aH第八十四頁，共106頁。定理(dìnglǐ)6.36.若<H，*>是群<G，*>的子群，則或者aH∩bH=或者aH=bH。定理(dìnglǐ)若<H,*>是群<G,*>的子群，對任意a,b∈G,則a,b屬于H的同一左陪集b-1*a∈H即aH=bHb-1*a∈H第八十五頁，共106頁。推論左陪集aH中的任何元素(yuánsù)a1均可決定該陪集，或者說，陪集中的每個(gè)元素(yuánsù)都可作為陪集的代表。因?yàn)槿鬭1aH，則存在h1H，使得a1=a*h1，于是a-1*a1=h1H。再根據(jù)定理6.4.4知，a1H=aH。第八十六頁，共106頁。由于G中每個(gè)元素a必在H的左陪集aH中，從定理(dìnglǐ)又知道，G中每個(gè)元素恰好能屬于H的某個(gè)左陪集中。因此H的左陪集簇構(gòu)成G的劃分，而且劃分中每個(gè)塊與H具有相同的元素個(gè)數(shù)。因此可得下面結(jié)論。若<H,*>是群<G,*>的子群，則<G，*>中的H的左陪集簇構(gòu)成G的一種劃分。并且稱它為G的對于H的左陪集劃分。第八十七頁，共106頁。假若群<G，*>為有限群，其子群是<H，*>，且|G|=n，|H|=m，則G的對于H的左陪集劃分(huàfēn)可表為G=a1H∪a2H∪···∪akH，其中k為不同的左陪集個(gè)數(shù)，稱為H在G中的指標(biāo)，由于每個(gè)左陪集皆有m個(gè)元素，故G具有km個(gè)元素，即n=mk，這便得到著名拉格朗日(J.L.Lagrange)定理：第八十八頁，共106頁。定理若<H，*>是有限(yǒuxiàn)群<G，*>的子群，那么|H|||G|(H的階整除G的階）。即：任何有限(yǒuxiàn)群的階均可被其子群的階所整除。。第八十九頁，共106頁。推論1:有限群<G，*>中任何元素的階均為G的階因子(yīnzǐ)。推論2:質(zhì)數(shù)階的群沒有非平凡子群。推論3：4階群同構(gòu)于4階循環(huán)群或Klein四元群第九十頁，共106頁。定理(dìnglǐ)若<H,*>是群<G,*>的子群，則R={<a,b>|a,b∈H，a-1*b∈H}是G上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，且[a]R=aR,稱R為群G上H的左陪集等價(jià)關(guān)系。第九十一頁，共106頁。6.6環(huán)與域定義6.6.1環(huán)設(shè)<R,+,·>是代數(shù)系統(tǒng),R為集合,+,·為二元運(yùn)算(yùnsuàn),如果(1)<R,+>為阿貝爾群（加群）,(2)<R,·>為半群,(3)乘法·對加法+適合分配律,則稱<R,+,·>是環(huán)約定：定義中的+,·表示一般(yībān)二元運(yùn)算，稱為環(huán)中的加法和乘法運(yùn)算，不一定是數(shù)乘和數(shù)加第九十二頁，共106頁。例如<Z,+,·>,<Q,+,·>和<R,+,·>都是環(huán),+和·表示普通加法和乘法.<Mn(R),+,·>是環(huán),其中Mn(R)是n階實(shí)矩陣(jǔzhèn)的集合,+,·分別是矩陣(jǔzhèn)加法和乘法.<Zn,,⊙>是模n的整數(shù)環(huán),其中Zn＝{0,1,…,n－1},和⊙分別表示模n的加法和乘法.<Mn×n,+,×>是環(huán)，其中Mn×n是n×n階實(shí)矩陣(jǔzhèn)的全體，＋與×是矩陣(jǔzhèn)的加法和乘法.第九十三頁，共106頁。定理(dìnglǐ)設(shè)<R,+,·>是環(huán),0為加法幺元,-a為a的逆元，那么對(1)a∈R,a·0＝0·a＝0.(2)a,b∈R,(-a)b＝a(-b)＝-(ab).(3)a,b∈R,(-a)(-b)＝ab.(4)a,b,c∈R,a(b-c)=ab—ac,(b-c)a＝ba－ca.第九十四頁，共106頁。(1)a∈R,a·0＝0·a＝0.證明a·0＝a·(0+0)＝a·0+a·0,由加法消去律得0＝a·0.同理可證0·a＝0.(2)a,b∈R,(-a)b＝a(-b)＝-(ab).證明(-a)b+ab=(-a+a)b＝0.b＝0類似(lèisì)地有ab+(-a)b＝0,所以(-a)b是ab的加法逆元,即-(ab).同理可證a(