專題：與圓有關(guān)的最值問題專題：與圓有關(guān)的最值問題專題：與圓有關(guān)的最值問題專題：與圓有關(guān)的最值問題編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:與圓有關(guān)的最值（取值范圍）問題引例1：在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)B為y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AC=2．設(shè)tan∠BOC=m，則m的取值范圍是_________．引例2：如圖，在邊長為1的等邊△OAB中，以邊AB為直徑作⊙D，以O(shè)為圓心OA長為半徑作⊙O，C為半圓弧上的一個動點(diǎn)（不與A、B兩點(diǎn)重合），射線AC交⊙O于點(diǎn)E，BC=，AC=，求的最大值.引例3：如圖，∠BAC=60°，半徑長為1的圓O與∠BAC的兩邊相切，P為圓O上一動點(diǎn)，以P為圓心，PA長為半徑的圓P交射線AB、AC于D、E兩點(diǎn)，連接DE，則線段DE長度的最大值為().A．3B．6C．D．一、題目分析：此題是一個圓中的動點(diǎn)問題，也是圓中的最值問題，主要考察了圓內(nèi)的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思維方法，注重了初、高中知識的銜接1．引例1：通過隱藏圓（高中軌跡的定義），尋找動點(diǎn)C與兩個定點(diǎn)O、A構(gòu)成夾角的變化規(guī)律，轉(zhuǎn)化為特殊位置（相切）進(jìn)行線段、角度有關(guān)計(jì)算，同時(shí)對三角函數(shù)值的變化（增減性）進(jìn)行了延伸考查，其實(shí)質(zhì)是高中“直線斜率”的直接運(yùn)用；2．引例2：通過圓的基本性質(zhì)，尋找動點(diǎn)C與兩個定點(diǎn)A、B構(gòu)成三角形的不變條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其實(shí)質(zhì)是高中“柯西不等式”的直接運(yùn)用；3．引例3：本例動點(diǎn)的個數(shù)由引例1、引例2中的一個動點(diǎn)，增加為三個動點(diǎn)，從性質(zhì)運(yùn)用、構(gòu)圖形式、動點(diǎn)關(guān)聯(lián)上增加了題目的難度，解答中還是注意動點(diǎn)D、E與一個定點(diǎn)A構(gòu)成三角形的不變條件（∠DAE=60°），構(gòu)造弦DE、直徑所在的直角三角形，從而轉(zhuǎn)化為弦DE與半徑AP之間的數(shù)量關(guān)系，其實(shí)質(zhì)是高中“正弦定理”的直接運(yùn)用；綜合比較、回顧這三個問題，知識本身的難度并不大，但其難點(diǎn)在于學(xué)生不知道轉(zhuǎn)化的套路，只能憑直觀感覺去尋找、猜想關(guān)鍵位置來求解，但對其真正的幾何原理卻無法通透.二、解題策略1．直觀感覺，畫出圖形；2．特殊位置，比較結(jié)果；3．理性分析動點(diǎn)過程中所維系的不變條件，通過幾何構(gòu)建，尋找動量與定量（常量）之間的關(guān)系，建立等式，進(jìn)行轉(zhuǎn)化.三、中考展望與題型訓(xùn)練例一、斜率運(yùn)用如圖，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，1），以A為圓心的⊙A切x軸于點(diǎn)B，P為⊙A上的一個動點(diǎn)，請分別探索：①的最大值；②的最小值；③的最大值；④的最大值；【拓展延伸】：①的范圍；②的范圍；例二、圓外一點(diǎn)與圓的最近點(diǎn)、最遠(yuǎn)點(diǎn)1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)D是平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，且AD=2，M為BD的中點(diǎn)，在D點(diǎn)運(yùn)動過程中，線段CM長度的取值范圍是.2．如圖，⊙O的直徑為4，C為⊙O上一個定點(diǎn)，∠ABC=30°，動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿半圓弧向B點(diǎn)運(yùn)動（點(diǎn)P與點(diǎn)C在直徑AB的異側(cè))，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)運(yùn)動停止，在運(yùn)動過程中，過點(diǎn)C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點(diǎn)．（1）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，線段CD長度的取值范圍為；（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，線段AD長度的最大值為.例三、正弦定理1．如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是線段BC上的一個動點(diǎn)，以AD為直徑作⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為．2.如圖，定長弦CD在以AB為直徑的⊙O上滑動（點(diǎn)C、D與點(diǎn)A、B不重合），M是CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P，若CD=3，AB=8，則PM長度的最大值是．例四、柯西不等式、配方法1．如圖，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點(diǎn)D，連接PA、PB，設(shè)PC的長為x（2＜x＜4），則當(dāng)x=時(shí)，PD?CD的值最大，且最大值是為.2．如圖，線段AB=4，C為線段AB上的一個動點(diǎn)，以AC、BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE，⊙O外接于△CDE，則⊙O半徑的最小值為(). B.C. D.23．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫⊙O，P是⊙O上一動點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)P作⊙O的切線與軸相交于點(diǎn)A，與軸相交于點(diǎn)B，線段AB長度的最小值是.例四、相切的應(yīng)用（有公共點(diǎn)、最大或最小夾角）1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作CD的垂線交直線BC于點(diǎn)E，則線段CE長度的最小值是.2．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC上的一點(diǎn)O為圓心OA為半徑作⊙O，若⊙O與邊BC始終有交點(diǎn)（包括B、C兩點(diǎn)），則線段AO的取值范圍是.3．如圖，射線PQ∥射線MN，PM⊥MN，A為PM的中點(diǎn)，O為射線PQ上的一個動點(diǎn)，AC⊥AB交MN于點(diǎn)C，當(dāng)以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑的圓與線段PM有公共點(diǎn)時(shí)（包括P、M兩點(diǎn)），則線段OP長度的最小值為.例五、其他幾何知識的運(yùn)用如圖所示，AC⊥AB，AB=6，AC=4，點(diǎn)D是以AB為直徑的半圓O上一動點(diǎn)，DE⊥CD交直線AB于點(diǎn)E，設(shè)∠DAB=，（0°＜＜90°）．若要使點(diǎn)E在線段OA上（包括O、A兩點(diǎn)），則的取值范圍為.【題型訓(xùn)練】1．如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，OA=5，OA與⊙O相交于點(diǎn)P，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BP的延長線交直線l于點(diǎn)C，若在⊙O上存在點(diǎn)Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，則⊙O的半徑r的取值范圍為.2．已知：如圖，RtΔABC中，∠B=90o，∠A=30o，BC=6cm，點(diǎn)O從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB以每秒cm的速度向B點(diǎn)方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動了t秒(t＞0)時(shí)，以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓與邊AC相切于點(diǎn)D，與邊AB相交于E、F兩點(diǎn)，過E作EG⊥DE交射線BC于G.（1）若點(diǎn)G在線段BC上，則t的取值范圍是；（2）若點(diǎn)G在線段BC的延長線上，則t的取值范圍是.3．如圖，⊙M，⊙N的半徑分別為2cm，4cm，圓心距MN=10cm．P為⊙M上的任意一點(diǎn)，Q為⊙N上的任意一點(diǎn)，直線PQ與連心線所夾的銳角度數(shù)為，當(dāng)P、Q在兩圓上任意運(yùn)動時(shí)，的最大值為().(A)(B)(C)(D)4．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O為矩形ABCD的中心，以D為圓心1為半徑作⊙D，P為⊙D上的一個動點(diǎn)，連接AP、OP，則△AOP面積的最大值為().(A)4(B)(C)(D)5．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切的動圓與CA、CB分別相交于點(diǎn)P、Q，則線段PQ長度的最小值是().A． B． C．5 D．6．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上運(yùn)動（點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合），過A、D、E三點(diǎn)作⊙O，⊙O交AC于另一點(diǎn)F，在此運(yùn)動變化的過程中，線段EF長度的最小值為．7．如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2，0)、(0，2)，⊙C的圓心的坐標(biāo)為(-1，0)，半徑為1，若D是⊙C上的一個動點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最小值是().A．2B．1C.D.8．如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2，0)、(0，1)，⊙C的圓心坐標(biāo)為(0，-1)，半徑為1，D是⊙C上的一個動點(diǎn)，射線AD與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最大值是().A．3B．C．D．49．如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半徑為1，點(diǎn)P在斜邊AB上，PQ切⊙O于點(diǎn)Q，則切線長PQ長度的最小值為().A.B.C.310．如圖∠BAC＝60°，半徑長1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動點(diǎn)，以P為圓心，PA長為半徑的⊙P交射線AB、AC于D、E兩點(diǎn)，連接DE，則線段DE長度的范圍為.11．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P（）是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AB=2，則的范圍為.12．在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B是y軸右側(cè)一點(diǎn)，且AB=2，點(diǎn)C上直線y=x+1上一動