拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)練習(xí)題拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)練習(xí)題拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)練習(xí)題資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)練習(xí)題版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁(yè)次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：課時(shí)作業(yè)(十三)eq\a\vs4\al([學(xué)業(yè)水平層次])一、選擇題1．已知點(diǎn)P(6，y)在拋物線y2＝2px(p>0)上，若點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)F的距離等于8，則焦點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離等于()A．2B．1C．4D．8【解析】拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2)，因?yàn)镻(6，y)為拋物線上的點(diǎn)，所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，所以6＋eq\f(p,2)＝8，所以p＝4，即焦點(diǎn)F到拋物線的距離等于4，故選C.【答案】C2．(2014·成都高二檢測(cè))拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△FPM為等邊三角形時(shí)，其面積為()A．2eq\r(3)B．4C．6D．4eq\r(3)【解析】據(jù)題意知，△FPM為等邊三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥拋物線的準(zhǔn)線．設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2,4)，m))，則M(－1，m)，等邊三角形邊長(zhǎng)為1＋eq\f(m2,4)，又由F(1,0)，|PM|＝|FM|，得1＋eq\f(m2,4)＝eq\r(1＋12＋m2)，得m＝2eq\r(3)，∴等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，其面積為4eq\r(3)，故選D.【答案】D3．已知拋物線y2＝2px(p＞0)，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入拋物線方程得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝2px1，①,y\o\al(2,2)＝2px2，②))①－②得，(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)．又∵y1＋y2＝4，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2p,4)＝eq\f(p,2)＝k＝1，∴p＝2.∴所求拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1.【答案】B4．(2014·課標(biāo)Ⅱ)設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝()\f(\r(30),3)B．6C．12D．7eq\r(3)【解析】焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，直線AB的斜率為eq\f(\r(3),3)，所以直線AB的方程為y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，即y＝eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),4)，代入y2＝3x，得eq\f(1,3)x2－eq\f(7,2)x＋eq\f(3,16)＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(21,2)，所以|AB|＝x1＋x2＋eq\f(3,2)＝eq\f(21,2)＋eq\f(3,2)＝12，故選C.【答案】C二、填空題5．拋物線y2＝x上到其準(zhǔn)線和頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為________．【解析】設(shè)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，±eq\r(x))，此點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為x＋eq\f(1,4)，到頂點(diǎn)的距離為eq\r(x2＋\r(x)2)，由題意有x＋eq\f(1,4)＝eq\r(x2＋\r(x)2)，∴x＝eq\f(1,8)，∴y＝±eq\f(\r(2),4)，∴此點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))6．(2014·臨沂高二檢測(cè))直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k＝________.【解析】當(dāng)k＝0時(shí)，直線與拋物線有唯一交點(diǎn)，當(dāng)k≠0時(shí)，聯(lián)立方程消y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由題意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.【答案】0或17．(2014·湖南)平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F(1,0)的距離和到直線x＝－1的距離相等．若機(jī)器人接觸不到過(guò)點(diǎn)P(－1,0)且斜率為k的直線，則k的取值范圍是________．【解析】設(shè)機(jī)器人為A(x，y)，依題意得點(diǎn)A在以F(1,0)為焦點(diǎn)，x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線上，該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x.過(guò)點(diǎn)P(－1,0)，斜率為k的直線為y＝k(x＋1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx＋k，))得ky2－4y＋4k＝0.當(dāng)k＝0時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)k≠0時(shí)，依題意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，化簡(jiǎn)得k2－1>0，解得k>1或k<－1，因此k的取值范圍為(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)三、解答題8．若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，M為準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，且|AM|＝eq\r(17)，|AF|＝3，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解】設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py(p＞0)，設(shè)A(x0，y0)，由題知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))).∵|AF|＝3，∴y0＋eq\f(p,2)＝3，∵|AM|＝eq\r(17)，∴xeq\o\al(2,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(p,2)))2＝17，∴xeq\o\al(2,0)＝8，代入方程xeq\o\al(2,0)＝2py0得，8＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝4.∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y或x2＝8y.9．已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2＝6x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．(1)若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離．【解】(1)因?yàn)橹本€l的傾斜角為60°，所以其斜率k＝tan60°＝eq\r(3).又Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，所以直線l的方程為y＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2))).聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝6x，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，))消去y得x2－5x＋eq\f(9,4)＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3.又準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(3,2)，所以M到準(zhǔn)線的距離為3＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).eq\a\vs4\al([能力提升層次])1．(2014·湖南省長(zhǎng)沙一中期中考試)已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作傾斜角為30°的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若eq\f(|AF|,|BF|)∈(0,1)，則eq\f(|AF|,|BF|)＝()\f(1,5)\f(1,4)\f(1,3)\f(1,2)【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，故過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(p,2)，與拋物線方程聯(lián)立得x2－eq\f(2\r(3),3)px－p2＝0，解方程得xA＝－eq\f(\r(3),3)p，xB＝eq\r(3)p，所以eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(|xA|,|xB|)＝eq\f(1,3)，故選C.【答案】C2．(2013·大綱卷)已知拋物線C：y2＝8x與點(diǎn)M(－2,2)，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若eq\o(MA,\s\up12(→))·eq\o(MB,\s\up12(→))＝0，則k＝()\f(1,2)\f(\r(2),2)\r(2)D．2【解析】由題意可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，則過(guò)焦點(diǎn)且斜率為k的直線的方程為y＝k(x－2)，與拋物線方程聯(lián)立，消去y化簡(jiǎn)得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝4＋eq\f(8,k2)，x1x2＝4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝eq\f(8,k)，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16，因?yàn)閑q\o(MA,\s\up12(→))·eq\o(MB,\s\up12(→))＝0，所以(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0(*)，將上面各個(gè)量代入(*)，化簡(jiǎn)得k2－4k＋4＝0，所以k＝2，故選D.【答案】D3．拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則p＝________.【解析】由于x2＝2py(p>0)的準(zhǔn)線為y＝－eq\f(p,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(p,2)，,x2－y2＝3，))解得準(zhǔn)線與雙曲線x2－y2＝3的交點(diǎn)為eq\a\vs4\al(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3＋\f(1,4)p2)，－\f(p,2))))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3＋\f(1,4)p2)，－\f(p,2)))，所以AB＝2eq\r(3＋\f(1,4)p2).由△ABF為等邊三角形，得eq\f(\r(3),2)AB＝p，解得p＝6.【答案】64．已知拋物線x＝－y2與過(guò)點(diǎn)(－1,0)且斜率為k的直線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△OAB的面積等于eq\r(10)時(shí)，求k的值．【解】過(guò)點(diǎn)(－1,0)且斜率為k的直線方程為y＝k(x＋1)，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－y2，,y＝kx＋1，))消去x，整理得ky2＋y－k＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y