．直接證明綜合法定義：從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止，這種證明方法常稱為綜合法．框圖表示：已條件??…?結(jié)思維過(guò)程：由因?qū)Ч治龇ǘx：從問(wèn)題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實(shí)吻合為止．這種證明方法常稱為分析法．框圖表示：結(jié)?……已知件思維過(guò)程：執(zhí)果索因．．間接證明反證法：假設(shè)原命題不成即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立的證明方法．反證法的步驟：反設(shè)—假設(shè)命題的結(jié)論不成立即假定原結(jié)論的反面為真；歸謬—從反設(shè)和已知條件出發(fā)經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果；存真—由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)真，從而肯定原結(jié)論成立．【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正(在括號(hào)中打“√”或“×22222222224422222222222222222222222442222222222222綜合法是直接證明，分析法是間接證明(×

)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件(×)用反證法證明結(jié)論b時(shí)，應(yīng)假設(shè)“a<b．(×

)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定，推出矛盾(×)在解決問(wèn)題時(shí)，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問(wèn)題的過(guò)程．(√

)證明不等式2＋3＋6合適的方法是分析法(√)．知點(diǎn)，a)為函數(shù)y＝x＋圖象上的點(diǎn)，，b)為函數(shù)y＝圖上的點(diǎn)，其中n∈

*

，設(shè)c＝－，與c的小關(guān)系為_(kāi)．nnnn答案c<cnn解析由件得＝a－＝nn

＋－＝

，＋＋n則隨n的大而減小，∴<n＋．用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程＋＋＝(a有有理數(shù)根，那么a，，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)．用反證法證明時(shí)，下列假設(shè)正確的________．假設(shè)，b，c都偶數(shù)；假設(shè)，b，c都是偶數(shù)；假設(shè)，b，c至有一個(gè)偶數(shù)；假設(shè)，b，c至有兩個(gè)偶數(shù)．答案②解析“少有一個(gè)”的否定為都不”，故正確．．要證

＋b

－1－a

≤只證_______(正確的序號(hào)．①2ab－－a≤；＋b②＋b－1≤；③

－1－ab≤0；④(a－b－≥答案④解析＋b－1－b≤(－1)(b－≥0.．果a＋b＋ba，則、應(yīng)足的條件．22222222222222222222答案≥0b≥且a解析∵ab(b＋ba＝(－b＋bb)＝a)(－b＝a(a＋b)．∴當(dāng)a0，b≥≠b時(shí)(a－)(＋∴＋b>a＋ba成立的條件是a≥0≥0且a≠b．(教材改在ABC中，三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，b，且A，，C成差數(shù)列，a，，c等比數(shù)列，則△的形狀________角形．答案等解析由意＝＋Cπ又＋＋C＝，B，b＝ac，由余弦定理得＝＋2accosB＝a＋c－ac，∴＋－ac，即－c＝，a，π∴＝，∴A＝B＝＝，∴△等邊三角形題一

綜法應(yīng)例對(duì)定域的數(shù)()，如果同時(shí)滿足：對(duì)任意的x∈，有f()≥；(1)＝1若x≥，x≥0，x＋≤1都有fx＋)≥f(x＋f(x)成立，則稱函數(shù)f)為理想函數(shù)．111若函數(shù)f()為理想函數(shù)，證明：f(0)；試判斷函數(shù)f)＝x)，(x)＝x∈)，fx)＝x∈)是不是理想函數(shù)．證明?。剑?，則x＋＝0≤11∴＋≥f＋(0)，∴(0)22222222222222222222222222222222222222又對(duì)任意的x∈，有f(x≥，∴(0)≥于是(0)＝0.解對(duì)f(x)＝x，x∈，(1)＝2滿足新定義中的條件②，∴()＝2x，∈)不理想函數(shù)．對(duì)于fx)x，x∈顯然f)≥0且f(1)任意的x，∈，＋≤1，122f＋－f－fx)1212＝(x＋)12

－x－＝2xx≥，11即fx＋(x≤fx＋)．1∴()＝x∈)是想函數(shù)．對(duì)于fx)x，x∈，然滿足條件②對(duì)任意的x，∈，＋≤1，112有f(x＋－f＋(x]＝(x＋－(x＋＋x)＝－≤，121212即f(x＋≤f＋(x]12∴(x＋≤(x＋(x)不滿足條③.121∴()＝x(∈)不是理想函數(shù)．綜上，(x＝∈)是想函數(shù)f)＝2x∈)與fx＝x∈不是理想函數(shù)．思維升華

(1)綜合法是“因?qū)Ч钡拿鞣?，它是一種從已知到未知從題設(shè)到結(jié))邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判命題)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列中間推理，最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式演繹推理．設(shè)a、、c均正數(shù)，且＋b＋c＝1，明：aab＋＋ac；(2)＋＋≥a證明

(1)由＋≥，＋≥bc，＋a≥2ac

2

＋b

2

＋c≥abbc＋由題設(shè)知＋b)＝，2222222222[fx＋fx]>1121x＋x22222222222[fx＋fx]>1121x＋x2coscos12122cosxcosx12即a

2

＋b

＋c

＋2ab＋bc＋2ca＝1.所以＋＋)≤，即＋＋≤.b因?yàn)椋?a＋≥，＋a≥2，b故＋＋＋a＋c≥2(a＋＋c，ababc即＋＋≥a＋b＋c所以＋＋≥ab題二

分法應(yīng)例

ππ已知函數(shù)fx)＝，x∈0，若x，∈，，≠，求證：11

[fx＋1fx]f

x＋x2

x證明要

，x＋即證明(tan＋tanx，2只需證明＋，2xsin只需證明>.1＋cosx1π由于x，x∈，，x＋∈，π．112所以coscos>0，＋)>0,1＋x，11212故只需證明＋＋)>2cosxcosx，121即證＋coscos－sinxx>2cosxcosx，122即證cos(x－12π由，x∈，，≠知上式顯然成立，1212因此

[(x＋f]>f

x＋12

引申探究12121222222222222222222222221212122222222222222222222222f＋若本例中f)變?yōu)閒(x)＝3x，試證：對(duì)于任意x，∈R均有≥122f證明要明≥，即證明

(3

x

x(3

x

)2

≥

2

x＋－，因此只要證明

32

－＋x)1

2

－(x＋)，12即證明

32

≥

2

，因此只要證明

3

x2

≥

，由于x，x∈時(shí)1

x0,3

，由基本不等式知

3

xx2

≥

顯然成立，故原結(jié)論成立．思維升華(1)向思考是用分析法證題的主要思想，通過(guò)反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件．正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問(wèn)題順利獲解的關(guān)鍵證明較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過(guò)分析法找出某個(gè)與結(jié)論等(或充分)的中間結(jié)論，然后通過(guò)綜合證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證．已知，求證

＋－2a－a證明要只需要證

＋－2＋－，＋＋≥＋＋2.因?yàn)?，故只需要證(

＋＋2)≥(a＋2)，a即a＋＋4從而只需要證

＋＋≥a＋2＋2(＋＋21＋≥＋)只需要證a＋≥＋2＋)，2n－*qprrrp**222n－*qprrrp**22即a

2

＋≥，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立．題三

反法應(yīng)命題點(diǎn)證明否定性命題例已數(shù)列{}前n項(xiàng)為，滿足a＋＝2.nnn求數(shù)列{}通項(xiàng)公式；n求證：數(shù){}不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列．n解當(dāng)＝1時(shí)＋＝a＝2，a＝1.11又a＋＝，所以a＋＝2，nn＋1＋1兩式相減得＝a，n12所以{}首為1公比為的等比數(shù)列，n2所以a＝.n證明反證法設(shè)存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列為aa(<<r且p＋1＋r，∈)，1則＝＋，所以22

－＝2

－＋1.(*)又因?yàn)閜<qr，p，r∈，所以rq，r－p∈所以(*)左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立．所以假設(shè)不成立，原命題得證．命題點(diǎn)證明存在性問(wèn)題例若f(x的定義域?yàn)?，，值域[a，](a<)則稱函數(shù)fx)是，上的“四維光軍”函數(shù)．設(shè)gx)＝－x是1，]上“四維光軍”函數(shù)，求常數(shù)值；是否存在常數(shù)，b>－2)，使函數(shù)h()＝是區(qū)間ab]上“四維光軍”函數(shù)？若存x＋2在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解

(1)由題設(shè)得()＝(－1)＋1，其圖象的對(duì)稱軸為x＝，區(qū)間1b在稱軸的右邊，所以函數(shù)在區(qū)間1b]上調(diào)遞增．“四維光軍”函數(shù)的定義可知，(1)，g(b)＝b，22即b－＋＝，解得b＝或＝3.2因?yàn)?，所以b＝假設(shè)函數(shù)h)＝在間a，](－2)是四光”函數(shù)，x＋2因?yàn)閔(x＝在間(－，∞)上調(diào)遞減，x＋2所以有

＝，a即＝，b解得＝b這與已知矛盾．故不存在．命題點(diǎn)證明唯一性命題例已M是由滿足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：對(duì)任意fx)∈(方程fx)＝0有實(shí)數(shù)根；ⅱ)函數(shù)f()的導(dǎo)數(shù)f′)滿足0<f(xxx判斷函數(shù)f)＝＋是是集合M中元素，并說(shuō)明理由；4集合中元素f)具有下面的性質(zhì)：若f)的定義域?yàn)镈則對(duì)于任n]D，都存在x∈m)使得等式f(n－f)＝(n－m)f(x)成立試這一性質(zhì)證明方fx)－x＝000有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．解當(dāng)x＝時(shí)，f(0)0所以方程f(x)＝0有數(shù)根為013②′()＝＋x，所以f(x)∈，，足條件0<′xxsinx由①②可得，函數(shù)fx)＝＋是合M中元素．4證明假設(shè)方程f()－x＝0存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根α，(≠)，則α－α＝0，(－＝0.不妨設(shè)α<，據(jù)題意存在∈(，)滿足fβ)－(α)＝(－)f′c)．因?yàn)閒α)＝，fβ)＝，α≠，所以f′(c＝與已知′(矛盾．n*1n*222*22n*1n*222*22又fx)＝0有數(shù)根，所以方程f)－x＝有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．思維升華應(yīng)反證法證明數(shù)學(xué)題，一般有以下幾個(gè)步驟：第一步：分清命題“?q”的條件和結(jié)論；第二步：作出與命題結(jié)論q反的假設(shè)綈；第三步：由綈出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開(kāi)始所作的假設(shè)綈q不，于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題p為．所說(shuō)的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理、已知定義、已知定理或已知矛盾，與臨時(shí)假設(shè)矛盾以及自相矛盾等都是矛盾結(jié)果．等差數(shù)列{}前項(xiàng)和為，＝12，S＝＋2.nn3求數(shù)列{}通項(xiàng)與n項(xiàng)S；nnnS設(shè)b＝n∈)求證：數(shù)列{}任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．n＋1解由知＋32

∴d，故a＝－1＋，＝n＋2)nS證明由(得b＝＝＋2.n假設(shè)數(shù)列{}存在三項(xiàng)，，b，，r∈，且互不相等成等比數(shù)列，則＝b，nrqr即(q＋2)

＝(p＋r2)∴(q－)＋2(2－p－r∵pq，r∈，∴＋r∴)＝，即p－)＝0.pr，與≠r矛盾．∴假設(shè)不成立，即數(shù)列{}任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列n222222m2212＋k222222m2212＋k1km22．證法在證明題中的應(yīng)用典例

x分)直線y＝＋(m0)橢圓：＋y＝交于A、兩O是標(biāo)原點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)B的標(biāo)(0,1)，且四邊形OABC為形時(shí)，求的；當(dāng)點(diǎn)B在上不是W頂點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形OABC不能為菱形．思維點(diǎn)撥(1)據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直平分及點(diǎn)B的標(biāo)設(shè)出點(diǎn)A的標(biāo)橢圓方程求得點(diǎn)A的標(biāo)，后求AC的；將直線方程代入橢圓方程求出AC的點(diǎn)標(biāo)(即的中坐)，判斷直線AC與是否垂直．規(guī)范解答解因四邊形為形，則與OB相互垂直平分．由于O(0,0)t1所以設(shè)點(diǎn)A，，入橢圓方程得＋＝，4則t＝3故＝3.分證明假設(shè)四邊形為形，因?yàn)辄c(diǎn)不頂點(diǎn)，且⊥，所以k≠0.由

＝，消并理(＋4k＋8kmx＋4m－＝分設(shè)(x，，(x，)，則122x＋12

y＋＋x＝－，＝＋＝2km所以AC的點(diǎn)為，分1＋4k因?yàn)镸為AC和OB的點(diǎn)，且≠，k≠，所以直線斜率為－，因?yàn)?/p>

1－＝－≠－，所以與OB垂直．所以O(shè)ABC不菱形，與假設(shè)矛盾．所以當(dāng)點(diǎn)B不的點(diǎn)時(shí)，四邊形不能是菱形分溫馨提醒(1)握反證法的證明思路及證題步驟，正確作出假設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，應(yīng)用假設(shè)是反證法的基本手段，得到矛盾是反證法的目的．當(dāng)證明的結(jié)論和條件聯(lián)系不明顯、直接證明不清晰或正面證明分類較多、而反面情況只有一種或較少時(shí)，常采用反證法．利用反證法證明時(shí)，一定要回到結(jié)論上去．[方與技]．析法的特點(diǎn)：從未知看需知，逐步靠攏已知．．綜合法的特點(diǎn)：從已知看可知，逐步推出未知．．分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn)．分析法思考起來(lái)比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行述繁合從條件推出結(jié)論簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題不便于思考際證題時(shí)常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來(lái)．[失與防]分法證明時(shí)注意書寫格的規(guī)范性“要(欲證……”即證…”“只需證……”等，逐步分析，直至個(gè)明顯成立的結(jié)論．利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤用假設(shè)的命題進(jìn)行推理如果沒(méi)有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的．A組

專基訓(xùn)(時(shí)間：45分)．a(chǎn)b∈，下面四個(gè)式子中恒成立的________(填號(hào))．222222222222222222222222222222222222222222222222①lg(1a

2

②a

2

＋b≥2(－－1)③＋ab>2

a＋1④b＋1答案②解析在中∵＋－－b－＝－＋＋＋2＋1)＝－＋(b＋≥，∴＋b≥2(a－－恒成立．．已知

3

＋q

3

＝2，求證p＋q2用反證法證明時(shí)，可假設(shè)p＋≥2②已知a∈，＋b，證方程＋＋b的根的絕對(duì)值小于1用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x的對(duì)值大或等于，即假x≥以下正確的________(填母)．1．①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤．①與②的假設(shè)都正確．①的假設(shè)正確；②的假設(shè)錯(cuò)誤．①的假設(shè)錯(cuò)誤；②的假設(shè)正確答案解析反法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論于結(jié)論的反面是＋>2所以①不正確對(duì)于，其假設(shè)正確．分法又稱執(zhí)果因法用分析法證明“設(shè)a>且ab＋c＝0求－ac”的因應(yīng)______________．①ab>0③(a－)(a－c答案③解析由意知

②a>0④(a－)(a－ac<3ab－ac<3a?(a＋c)－ac

2?＋ac＋c－－<0?－2＋＋c<0?a－ac－>0?(a－c)(2a＋?(－a)>0.．＝aa＋，Q＝＋＋a＋4(a≥0)，則P，Q的小關(guān)系_．答案PQ解析∵P＝＋7a

a22222222＝2＋7＋2

＋7，Q

2

＝a7＋2

＋3·a＝2＋7＋2

2

＋7a＋，∴P<，<Q．a(chǎn)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：①ab；②a＋b＝；③a＋>2④a；其中能推出：“，b中少有一個(gè)大于”的條件是____________________________答案③解析若a，＝，＋b>1，但a<1，，故①推不出；若a＝b1，則＋b＝2，故②推不出；若a－，b＝－，則＋b，故④推不出；若a－，b＝－，則ab，⑤不；對(duì)于③即a＋b>2則a，b中少有一個(gè)大于，反證法：假設(shè)a≤1≤1則a＋b與＋b>2盾，因此假設(shè)不成立，a中少有一個(gè)大于．反證法證明命題a∈ab以被5整，那么ab至少有一個(gè)能被5整”，那么假設(shè)的內(nèi)容是．答案，沒(méi)有一個(gè)能被5整解析“少有個(gè)的定“多有－個(gè)”應(yīng)假設(shè)ab中有一個(gè)能被除．a(chǎn)．列條件：①，③a>0，b>0，，b<0其中能使≥成的件b的序號(hào)是_．答案①④bb解析要＋≥2需且>0成立不為且號(hào)即可①③④使＋≥2babab成立．2222323322223233322222222．二次函數(shù)f)＝4x－－－－＋1在區(qū)[－內(nèi)少存在一點(diǎn)，使f(c)>0，則實(shí)數(shù)取值范圍___________．答案－3，，解析令0解得≤－p≥，故滿足條件的的范圍為－，．知≥b，求證：2－≥－a證明要明a－≥ab－b成，只需證：2－－ab＋≥，即2(a－b)(a－b)0即(a＋)(a－b)(2a＋b≥∵ab，∴a－b≥，a＋>0,2＋從而(a＋b)(－b)(2＋)≥0成立，∴2

3

－b

3

≥2ab

－a

.．知四棱錐S中底面是邊長(zhǎng)為的正方形，又＝2，SA＝求證：SA⊥平面ABCD在棱上否存在異于，的F，得BF平面？存在，確定F點(diǎn)位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．證明由已知得SA＋AD＝，SA⊥.同理⊥又AB∩AD，∴⊥平面ABCD解假在棱上在異于，C的點(diǎn)F，使得BF∥面SAD∵∥ADBC平.∴∥面SAD而BC∩＝，＋＋π－，sin＝＋＋π－，sin＝C＝∴平面FBC∥平面這與平面和面有共點(diǎn)矛，∴假設(shè)不成立．∴不存在這樣的點(diǎn)F，使得BF∥平面.B

專能提(時(shí)間：30分)a＋b211已知函數(shù)f(x)()，a，是實(shí)＝()，＝()，C＝()，則A、、2＋b的大小關(guān)系_．答案A≤B≤ab解析∵≥ab，fx)()在R上減函數(shù)．＋∴()≤(≤)即A≤≤.＋．果eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)B的個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則下列說(shuō)法11正確的是_．①eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)C和eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)C都是銳角三角形；112②eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)C和eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)C都是鈍角三角形；112③eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)C是鈍角三角形AC是銳角三角形；112④eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)C是銳角三角形AC是鈍角三角形．112答案④解析由件知BC的個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0eq\o\ac(△,則)AB是銳角三角形，假設(shè)11111△ABC是銳角三角形．22＝cos1sin121由＝cosB＝sin211π12nnnπ2π12nnnπ2A1，2得，πC＝－.221π那么，A＋B＋＝，22這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾．所以假設(shè)不成立，又顯eq\o\ac(△,然)B不是直角三角形．22所以eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)C是鈍角三角形．22數(shù)性質(zhì)定理函數(shù)f()在區(qū)間D上凸函數(shù)于區(qū)間D內(nèi)任意12f＋＋xx，≤)已知函數(shù)＝在間0)上是凸函數(shù)，n則在△中，A＋B＋sinC最大值_______答案

解析∵x)＝sinx區(qū)間(，)上是凸函，且AB、C∈，)．∴

B＋≤(＝(，π3即sin＋sinB≤3sin＝，所以＋＋的大值為二次函數(shù)f(x＝ax＋＋(>0)的圖象與軸兩個(gè)不同的交點(diǎn)f(c＝0<xc時(shí)，f)>0.證明：是f(x＝的一個(gè)根；試比較與的大小