§9.2三、隨機時間序列模型的識五、隨機時間序列模型經(jīng)典計量經(jīng)濟學模型與時間序列模隨機時間序列模型（timeseriesmodeling）過去值及隨機擾動建立起來的模型，其一般形式Xt=F(Xt-1,Xt-2,…,建立具體的時間序列模型，需解決如下三個問題(2)時序變量的滯后(3)隨機擾動的結(jié)例如，取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨機擾動=t），模型將是一個1階自回歸過程Xt=Xt-1+t特指一白噪聲一般的p階自回歸過程AR(p)Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+ 如果隨機擾動是一個白噪聲(t=t)，則稱(*)式為一純AR(p)過程（pureAR(p)process），記為Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p如果t不是一個白噪聲，通常認為它是一個階的移動平均（movingaverage）過程t=t-1t-1-2t-2--qt-該式給出了一個純MA(q)過程（pure 將純AR(p)與純MA(q)結(jié)合，得到一個一般的自回歸移平均（autoregressivemovingaverage）過程ARMA（p,q）：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-pt1t-12t-2qt-q程生成，即該序列可以由其自身的過去或滯后值以及機擾動來解釋如果該序列是平穩(wěn)的的推移而變化，那么我們就可以通過該序列過去的行為來預測未來。2、時間序列分析模型的適用經(jīng)典回歸模型的問題 迄今為止，對一個時間序列Xt的變動進行解釋或預測，是通過某個單方程回歸模型或聯(lián)立方程回歸模型進行的，由于它們以因果關(guān)系為基礎(chǔ)，且具有一定的模型結(jié)構(gòu)，因此也常稱為結(jié)構(gòu)式模型（structuralmodel）。 素，如氣候、消費者偏好的變化等，則利用結(jié)構(gòu)式模型來解釋Xt的變動就比較或不可能，因為要取得相應的量 但由于對某些解釋變量未來值的預測本身就非常，甚至比預測被解釋變量的未來值更，這時因果關(guān)系的回例如，時間序列過去是否有明顯的增長趨勢，如果增長的這種行為來外推它的未來？隨機時間序列分析模型，就是要通過序列過去的變化特征來預測未來的變化趨勢。使用時間序列分析模型的另一個原因在于構(gòu)可以寫成類似于ARMA(p,q)式的時間序列分析模型的例如，對于如下最簡單的宏觀經(jīng)濟模

2Ct

t CtItCt與Yt作為內(nèi)生變量，它們的運動是由作為外生變量的投資It的運動及隨機擾動t的變化決定Ct

1

Ct

1

1 t11t

t11tYt

1

Yt

1

t1t

1

It

t1t兩個方程等式右邊除去第一外的剩余部分如果It是一個白噪聲，則消費序列Ct就成為一個1階自回歸過程AR(1)，而收入序列Yt就成為一二、隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條1、AR(p)模型的平穩(wěn)性條自回歸移動平均模型（ARMA）是隨機時間序列分析模型的普遍形式，自回歸模型（AR）和移動平均模型（MA）關(guān)于這幾類模型的研究，是時間序列分析的重點內(nèi)容：主要包括模型的平穩(wěn)性分析模型的識別和模型的估計。隨機時間序列模型的平穩(wěn)性，可通過它所生成的序列的平穩(wěn)性來判斷如果一個p階自回歸模型AR(p)生成的時間序列是平穩(wěn)的，否則，就說該AR(p)模型是非平穩(wěn)的Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p 引入滯后算子（lagoperatorLXt=Xt-1,L2Xt=Xt-2,…,LpXt=Xt-(*)(1-1L-2L2-…-記(L)=(1-1L-2L2-…-pLp),則稱多式方程(z)=(1-1z-2z2-…-為AR(p)的特征方程(characteristicequation)?？梢宰C明，如果該特征方程的所有根在（根的模大于1），則AR(p)模型是平穩(wěn)的例9.2.1AR(1)X Xt1)tE(X)t

2E(

)t)

E(2)

2E(

t由于Xt僅與t相關(guān)，因此，E(Xt-1t)=0。如果該模型穩(wěn)t202

1而AR(1)的特征方(z)

1z的根 AR(1)||1，意味著特征根大于1Xt1Xt

2Xt

1

2

E(Xtttt

E(

tt

E(

t1

)

E(

t2t)

E(2) 2 112221

1

22

1

2

2 (1)(1)(12 這就是AR(2)的平穩(wěn)性條件，或稱為平穩(wěn)域。它是一頂(-2,-(2,-圖 AR(2)模型的平穩(wěn)

Xt1Xt

2Xt

對應的特征方程1-1z-2z2=0的兩個根z1、z2z1z2=-1/2,z1+z2=-解出

z1z2zzzz zzzz 由AR(2)的平穩(wěn)性，|2|=1/|z1||z2|<1的模大于1，不妨設(shè)|z1|>112

z1z2z1z2

z1

1)z2

1)z2于是|z2|>121<1AR(p)模型穩(wěn)定的必要條件是2、MA(q)模型的平穩(wěn)對于移動平均模型Xt=t-1t-1-2t-2--qt-

EEt

E

(1var

01

3、ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)由于ARMAp,q)模型是AR(p)模型與MA(q)模型的組合：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-pt1t-12t-2qt-q而MA(q)模型總是平穩(wěn)的，因此ARMA(p,q)模型的穩(wěn)性取決于AR(p)部分的平當p部分平穩(wěn)時，則該p,q)模型是平穩(wěn)的，否則，不是平穩(wěn)的。最機過程或模型；一個非平穩(wěn)的隨機時間序列通?？梢酝ㄟ^差分的方應的平穩(wěn)隨機過程或模型。因此，如果一個非平穩(wěn)時間序列通過d次差分，將動平均（autoregressiveintegratedmovingaverage）時例如，一個ARIMA(2,1,2)時間序列在它成為平穩(wěn)序列之前先得差分一次，然后用一個ARMA(2,2)模型作為它的生成模型的。當然，一個ARIMA(p,0,0)過程表示了一個純AR(p程；一個ARIMA(0,0,q)表示一個純MA(q三、隨機時間序列模型的識所謂隨機時間序列模型的識別，就是對于一個平穩(wěn)的隨機時間序列，找出生成它的合適的隨機過程或模型，即判斷該時間序列是遵循一純所使用的工具主要是時間序列的自相關(guān)函數(shù)（autocorrelationfunction，ACF）及偏自相關(guān)函數(shù)（partialautocorrelationfunctionPACF）。1階自回歸模型Xt=Xt-1+的k階滯后自協(xié)方差為k

E(Xtk(Xt

t

k

k

0因此，AR(1)模型的自相關(guān)函數(shù)0k

0由AR(1)的穩(wěn)定性知||<1，因此，k0衰減，直到零。這種現(xiàn)象稱為拖尾或稱AR(1)有無（infinitememory）注意<0２階自回歸模型Xt=1Xt-1+2Xt-2+該模型的方差0以及滯后1期與2期的自協(xié)方差1,2

11

2

21

2類似地,可寫出一般的k期滯后自協(xié)方差k

E(Xtk(1Xt

2Xt

t))1k

2rk

于是,AR(2)的k階自相關(guān)函數(shù) 1k

2k

:1=1/(1-2),一般地，p階自回歸模型Xt=1Xt-1+2Xt-2+…pXt-p+kk

E(XtK(1Xt

2Xt

pXt

t1k

2k

pk從而有 1k

2k

pk可見，無論kk的計算均與其１到ppkk 1kpk

2k

pk

k

Ci i1z其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根，z因此，當1/zi均為實數(shù)根時，k呈幾何型衰 自相關(guān)函數(shù)ACF(k)給出了Xt與Xt-1相關(guān)性可能掩蓋了變量間完全不同的隱含關(guān)系tt21 221

E(

Xt

)E(

t1

t21，…，Xt-k+1帶來的間接相關(guān)后的直接相關(guān)性，它是在已知序列值Xt-1，…，Xt-k+1的條件下，Xt與Xt-k 與Xt-2無關(guān)，因此我們說Xt與Xt-2的偏自相關(guān)系數(shù)為零，記2 Corr(, )2 t2同樣地，在AR(p)過程中，對所有的k>p，Xt與Xt-k間偏自相關(guān)系數(shù)為零AR(p)的一個主要特征是:k>p時，k*=Corr(Xt,Xt-即k*在p以后是截尾的若Xt的偏自相關(guān)函數(shù)在p以后截尾，即k>p時，k*=0， 的是

kk體偏自相關(guān)函數(shù)*kkkkkkrk式中nkkk|r* knXttt可容易地寫出它的自協(xié)方差系數(shù)0

(12)1

2

于是，MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)為 23

可見，當k>1時，k>0，即Xt與Xt-k不相關(guān)MA(1)過程可以等價地寫成t關(guān)于無窮序列Xt，Xt-的線性組合的形式tXt

Xt

X

Xt

因此，我們把||<1稱為MA(1)的可逆性條（invertibilitycondition）一般地，q階移動平均過程X

1t

qtq其自協(xié)方差系數(shù) 2(1222

當k rkE(XtXtk) k2k

k

qkq

當1k 相應的自相關(guān)函數(shù)

當k 當kkrkk

k

2

當1kk k

當k可見，當k>q時，Xt與Xt-k不相關(guān)，即存在截尾現(xiàn)象，因此，當k>qk=0是MA(q)的一個特征于是：可以根據(jù)自相關(guān)系數(shù)是否從某一點開始一直為尾，即自q以后，k=0（k>q）；而它的偏自相關(guān)函數(shù)是同樣需要注意的是：在實際識別時，由于樣本自相n因此，如果計算的rkn

|

|我們就有95.5%的把握判斷原時間序列在q之后截尾3、ARMA(pqARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù)，可以看作MA(q)的自相關(guān)函當p=0時，它具有截尾性質(zhì)當q=0時，它具有ARMA(p，q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）可能在p滯后前有幾明顯的尖柱（es），但從p階滯后開始漸趨向于零而它的自相關(guān)函數(shù)（）則是在q階滯后前有幾明顯的尖柱，從q階滯后開始逐漸趨向于零。表 ARMA(p,q)模型的ACF與PACF理論模式模型白噪聲k*k衰減趨于零（幾何型或振蕩型P階后截尾*0kq階后截尾k0衰減趨于零（幾何型或振蕩型）q階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型p階后衰減趨于（幾何型或振蕩型圖 ARMA(p,q)模型的ACF與PACF理論模 模型

Xt0.7Xt

模型

Xt0.7Xt1

----

---

-

模型

Xt

0.7t - -- -- -- --

-

模型4X

0.7Xt10.49Xt

- --

-

模型5X

0.7Xt1

0.7 - -- -- --

-

四、隨機時間序列模型的估 AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估計方法較多，大最小二乘估計矩估計AR(p)模型的YuleWalker 1k

2k

pk利用k=-k11

2

pp21

pp2p1p

2p

ppk此方程組被稱為YuleWalker方程組。該方程組建立了AR(p)模型的模型參數(shù)1,2,,p1,2,,p利用實際時間序列提供的信息，首先求得自相關(guān)估計

然后利用YuleWalker方程組，求解模型參數(shù)的估

1

2

p2

2

p

p2 0

p由于

X

1Xt

pXt pt Et

iji,j1

jp從而可得2

i,j

j

j在具體計算時

可用樣本自相關(guān)函數(shù)rk⒉MA(q)模型的矩估 2(1?2?2?2

當k ?

1k

qkq

1k0 當k0首先求得自協(xié)方差函數(shù)的估計值，(*)是一個包21?21

q的非線性方程組，可以用直接法或迭代法求解q常用的迭代方法有線性迭代法和Newton-迭代法 1 1

?2

2

1121

1

1?1

對于q>1的MA(q)由（*）

1

qq

11 ? ? ?k

1k

2k

qkq第一步，給

2

2

1?1

2k?(0)?(0)2kkk2

?(1)

2(2)

?(2)

k

qk ⒊ARMA(p,q)模型的矩估在ARMA(p,q)有(p+q+1)個待估參數(shù)1,2,,p1,2,,q以及2q第一步，估計q

1

2

qp

q2

p

qp

qp

qp 數(shù)rk第二步，改寫模型，求1,2,,q以及2的估計值Xt1Xt

2Xt

pXt

1t

2t

qtqXt1Xt

2Xt

pXt

1t

2t

q

~ X

X

t

Xt

Xt~Xtt

1t12t

qt以得到1,2,,q以及2AR(p

pXt

22

tt

(Xttp1

ntn

Xt

Xtp

S即n(Xttp1

pXtp)Xtj

為了與AR(p)模型的YuleWalkernnn

Xt1

n1tn1

nnn

Xt

Xt

nnn

Xt

Xtjn

Xt

ttp

tp

tp

tp1?k1

nk

XtkXtp

prj

rj

1r

r1 2 1

p2

2 p

rpr

rp

rprYuleWalker

1

p

2

p2

2

p

p 0

pt比較發(fā)現(xiàn)，當n足夠大時，二者是相似的。2t

2 n nn

ptp

n需要說明的是，論中，ARMA(p,q)模型中均未包含如果包含常數(shù)該常數(shù)并不影響模型的原有性，因為通過適當?shù)淖冃?，可將包含常?shù)的模型轉(zhuǎn)換為不含常對含有常數(shù)的模型Xt

1Xt

pXt

1t

qt方程兩邊同減/(1-1--p)1pxt1xt1p

x

其中

Xi

it,t1,,t五、模型的檢動是一白噪聲的基礎(chǔ)上進行的，因此，如果估計的模在實際檢驗時，主要檢驗殘差序列是否存在自相關(guān)顯然，增加p與q的階數(shù)，可增加擬合優(yōu)度，但卻同時降了度因此，對可能的適當?shù)男偷臄M合優(yōu)度的權(quán)衡選擇問題常用的模型選擇的判別標準有：赤池信息法informationcriterion，簡記為AIC）與（SchwartzBayesiancriterion，簡記為

Tln(RSS)nln(T其中，n為待估參數(shù)個數(shù)（p+q+可能存在的常 T為可使用的觀測值，RSS為殘差平方和（Residualsum在選擇可能的模型時，AIC與SBC顯然，如果添加的滯后沒有解釋能力，則對RSS值的減小沒有多大幫助，卻增加待估參數(shù)的個數(shù)，因此使例9.2.3中國支出法GDP的ARMA(p,q)模型估計由第一節(jié)知：中國支出法GDP是非平穩(wěn)的，但它的一階可以對經(jīng)過一階差分后的GDP建立適當?shù)腁RMA(p,q)模記GDP經(jīng)一階差分后的新序列為GDPD1-

-

自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)的函數(shù)值k|k

|

22可認為：偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的。再次驗證了一階差分后rrrkkk表 中國GDP一階差分序列的樣本自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函rrrkkk

17----2-8--3-9--4----5----6-----

1GDPD1t

2GDPD1t