高中數(shù)學(xué)線性回歸方程第一頁，共25頁。1．與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種 的關(guān)系．2．能用直線方程(fāngchéng)＝be＋a近似表示的相關(guān)關(guān)系叫做線性相關(guān)關(guān)系，該方程(fāngchéng)叫，給出一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，線性回歸方程(fāngchéng)中的系數(shù)a，b滿足有關(guān)系(guānxì)，但不是確定性線性回歸方程自學(xué)(zìxué)導(dǎo)引第二頁，共25頁。想一想：1.相關(guān)關(guān)系是不是(bùshi)都為線性關(guān)系？提示不是(bùshi)．有些變量間的相關(guān)關(guān)系是非線性相關(guān)的．2．散點(diǎn)圖只描述具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量所對應(yīng)點(diǎn)的圖形嗎？提示不是(bùshi)．兩個變量統(tǒng)計數(shù)據(jù)所對應(yīng)的點(diǎn)的圖形都是散點(diǎn)圖．第三頁，共25頁。名師點(diǎn)睛1．相關(guān)關(guān)系(guānxì)與函數(shù)關(guān)系(guānxì)的異同點(diǎn)關(guān)系異同點(diǎn)函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系相同點(diǎn)兩者均是指兩個變量之間的關(guān)系不同點(diǎn)是一種確定性關(guān)系是一種非確定的關(guān)系是兩個變量之間的關(guān)系①一個為變量，另一個為隨機(jī)變量；②兩個都是隨機(jī)變量是一種因果關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系是一種理想關(guān)系模型是更為一般的情況第四頁，共25頁。2.回歸直線方程(1)回歸直線方程的思想方法①回歸直線：觀察散點(diǎn)圖的特征(tèzhēng)，發(fā)現(xiàn)各點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)的關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．可見，根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)可畫出不同的直線來近似表示這種線性關(guān)系．比如，可以連接最左側(cè)點(diǎn)和最右側(cè)點(diǎn)得到一條直線；也可以讓畫出的直線上方的點(diǎn)和下方的點(diǎn)數(shù)目相等，……這些辦法，能保證各點(diǎn)與此直線在整體上是最接近的嗎？它們雖然都有一定的道理，但總讓人感到可靠性不強(qiáng)．②最小二乘法：實際上，求回歸直線方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看各點(diǎn)與此直線的距離最小”，即最貼近已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)，最能代表變量x與y之間的關(guān)系．第五頁，共25頁。第六頁，共25頁。題型一相關(guān)關(guān)系的判斷【例1】下列兩個變量之間的關(guān)系中，①角度和它的余弦值；②正方形的邊長和面積；③正n邊形的邊數(shù)和其內(nèi)角度數(shù)之和；④人的年齡和身高．不是函數(shù)關(guān)系的是________．(填序號)[思路探索(tànsuǒ)]函數(shù)關(guān)系是一種變量之間確定性的關(guān)系．而相關(guān)關(guān)系是非確定性關(guān)系．解析選項①②③都是函數(shù)關(guān)系，可以寫出它們的函數(shù)表達(dá)式：f(θ)＝cosθ，g(a)＝a2，h(n)＝nπ－2π，④不是函數(shù)關(guān)系，對于相同年齡的人群中，仍可以有不同身高的人．答案④第七頁，共25頁。規(guī)律方法(1)兩變量間主要有兩種關(guān)系：一是確定的函數(shù)關(guān)系，另一是不確定的相關(guān)關(guān)系．同時要注意，兩變量間也可能無相關(guān)關(guān)系，數(shù)學(xué)中只有統(tǒng)計(tǒngjì)部分研究不確定的相關(guān)關(guān)系．(2)函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系的區(qū)別的關(guān)鍵是“確定性”還是“隨機(jī)性”．第八頁，共25頁?！咀兪?】下列(xiàliè)兩個變量中具有相關(guān)關(guān)系的是________(填寫相應(yīng)的序號)．①正方體的棱長和體積；②角的弧度數(shù)和它的正弦值；③單產(chǎn)為常數(shù)時，土地面積和總產(chǎn)量；④日照時間與水稻的畝產(chǎn)量．解析正方體的棱長x和體積V存在著函數(shù)關(guān)系V＝x3；角的弧度數(shù)α和它的正弦值y存在著函數(shù)關(guān)系y＝sinα；單產(chǎn)為常數(shù)a公斤/畝土地面積x(畝)和總產(chǎn)量y(公斤)之間也存在著函數(shù)關(guān)系y＝ax.日照時間長，則水稻的畝產(chǎn)量高，這只是相關(guān)關(guān)系，應(yīng)選④.答案④第九頁，共25頁。題型二線性回歸方程的求法【例2】假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下統(tǒng)計資料：若由資料知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程＝bx＋a.[思路(sīlù)探索]本題已知x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，故無需畫散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷，可直接用公式求解．使用年限x(年)23456維修費(fèi)用y(萬元)2.23.85.56.57.0第十頁，共25頁。②角的弧度數(shù)和它的正弦值；③正n邊形的邊數(shù)和其內(nèi)角度數(shù)之和；規(guī)律方法(1)兩變量間主要有兩種關(guān)系：一是確定的函數(shù)關(guān)系，另一是不確定的相關(guān)關(guān)系．同時要注意，兩變量間也可能無相關(guān)關(guān)系，數(shù)學(xué)中只有統(tǒng)計(tǒngjì)部分研究不確定的相關(guān)關(guān)系．若由資料知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程＝bx＋a.誤區(qū)警示(jǐnɡshì)最小二乘法的原理不清而出錯2．散點(diǎn)圖只描述具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量所對應(yīng)點(diǎn)的圖形嗎？③單產(chǎn)為常數(shù)時，土地面積和總產(chǎn)量；2．散點(diǎn)圖只描述具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量所對應(yīng)點(diǎn)的圖形嗎？(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；第二十三頁，共25頁。④人的年齡和身高．不是函數(shù)關(guān)系的是________．(填序號)解制表(zhìbiǎo)．i12345合計xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3xi24916253690第十一頁，共25頁。第十二頁，共25頁。【變式2】某商店統(tǒng)計了近6個月某商品的進(jìn)價x與售價y(單位：元)，對應(yīng)數(shù)據(jù)如下：求y對x的回歸(huíguī)直線方程．x3528912y46391214第十三頁，共25頁。解析選項①②③都是函數(shù)關(guān)系，可以寫出它們的函數(shù)表達(dá)式：f(θ)＝cosθ，g(a)＝a2，h(n)＝nπ－2π，④不是函數(shù)關(guān)系，對于相同年齡的人群中，仍可以有不同身高的人．②角的弧度數(shù)和它的正弦值；自學(xué)(zìxué)導(dǎo)引有關(guān)系(guānxì)，但不是解析正方體的棱長x和體積V存在著函數(shù)關(guān)系V＝x3；[思路探索(tànsuǒ)]函數(shù)關(guān)系是一種變量之間確定性的關(guān)系．而相關(guān)關(guān)系是非確定性關(guān)系．①一個為變量，另一個為隨機(jī)變量；若由資料知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程＝bx＋a.日照時間長，則水稻的畝產(chǎn)量高，這只是相關(guān)關(guān)系，應(yīng)選④.第二十三頁，共25頁。④人的年齡和身高．不是函數(shù)關(guān)系的是________．(填序號)第二十三頁，共25頁。解制表(zhìbiǎo)．第二十二頁，共25頁。(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小平方法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；2．散點(diǎn)圖只描述具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量所對應(yīng)點(diǎn)的圖形嗎？第十四頁，共25頁。題型三利用回歸直線對總體進(jìn)行估計【例3】(14分)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)(shēngchǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)(shēngchǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù).(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小平方法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)(shēngchǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程預(yù)測生產(chǎn)(shēngchǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)(shēngchǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？(參考數(shù)值：＋4×3＋5×4＋＝66.5)x3456y2.5344.5第十五頁，共25頁。第十六頁，共25頁。第十七頁，共25頁。第十八頁，共25頁。【題后反思】解決此類問題首先根據(jù)所給數(shù)據(jù)(shùjù)畫出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，如果兩個變量之間不具有相關(guān)關(guān)系，或者說，它們之間的關(guān)系不顯著，即使求得了線性回歸方程也是毫無意義的，而且用其估計和預(yù)測的結(jié)果也是不可信的．第十九頁，共25頁?！咀兪?】以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和新房屋的面積x的數(shù)據(jù)(shùjù)：(1)畫出數(shù)據(jù)(shùjù)對應(yīng)的散點(diǎn)圖；(2)求線性回歸方程，并在散點(diǎn)圖中加上回歸直線；(3)據(jù)(2)的結(jié)果估計當(dāng)新房屋面積為150m2時的銷售價格．新房屋面積(m2)11511080135105銷售價格(萬元)24.821.618.429.222第二十頁，共25頁。第二十一頁，共25頁。誤區(qū)警示(jǐnɡsh