張洪偉有限元分析及應(yīng)用第1章緒論*張洪偉有限元分析及應(yīng)用*1課程目標(biāo)了解什么是有限單元法、有限單元法的基本思想。了解有限元軟件的基本結(jié)構(gòu)和有限元法當(dāng)前的進(jìn)展情況。學(xué)習(xí)有限單元法的原理，主要結(jié)合彈性力學(xué)問題來介紹有限單元法的基本方法，包括單元分析、整體分析、載荷與約束處理等概念。能從較高層次(數(shù)力原理)上理解有限元方法的實(shí)質(zhì)，掌握有限元分析的工具，并具備初步處理工程問題的能力。能夠?qū)τ邢拊治鼋Y(jié)果的有效性和準(zhǔn)確性進(jìn)行評估。*課程目標(biāo)了解什么是有限單元法、有限單元法的基本思想。了解有限2內(nèi)容安排第1章緒論第2章有限元法基本理論第3章彈性力學(xué)平面問題有限元法第4章軸對稱問題與空間問題有限元法第5章等參數(shù)單元和數(shù)值積分第6章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法第7章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)有限元法第8章非線性問題的有限元法

理論學(xué)習(xí)軟件應(yīng)用*內(nèi)容安排第1章緒論理論學(xué)習(xí)*3主要參考書籍胡于進(jìn),王璋奇編著.有限元分析及應(yīng)用.北京：北京：清華大學(xué)出版社,2009曾攀.有限元分析及應(yīng)用.北京：清華大學(xué)出版社,2004王勖成,邵敏編著.有限單元法基本原理和數(shù)值方法.北京:清華大學(xué)出版社,1997朱伯芳著.有限單元法原理與應(yīng)用（第2版）.北京:中國水利水電出版社,1998TedBelytschko著,莊茁（譯）.連續(xù)體和結(jié)構(gòu)的非線性有限元.北京:清華大學(xué)出版社,2002*主要參考書籍胡于進(jìn),王璋奇編著.有限元分析及應(yīng)用.北京：北4預(yù)備知識線性代數(shù)數(shù)值分析材料力學(xué)彈性力學(xué)彈塑性力學(xué)*預(yù)備知識線性代數(shù)*5物理問題的數(shù)學(xué)描述有限元方法的產(chǎn)生12內(nèi)容提要3有限元法的特點(diǎn)4有限元法的應(yīng)用*物理問題的數(shù)學(xué)描述有限元方法的產(chǎn)生12內(nèi)容提要3有限元法的特關(guān)于CAE技術(shù)CAE（計(jì)算機(jī)輔助工程分析）有限差分法有限元法有限體積法無網(wǎng)格法*關(guān)于CAE技術(shù)CAE（計(jì)算機(jī)輔助工程分析）*7有限差分方法有限差分方法(FDM)

將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域。最早的數(shù)值分析方法，使用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，不需要域積分，建模、計(jì)算簡單。適于分析幾何形狀簡單的問題，商業(yè)軟件很少。在流體力學(xué)領(lǐng)域，至今仍處于支配地位。*有限差分方法有限差分方法(FDM)將求解域劃分為差分網(wǎng)格，8

有限元法：CAE的最主要方法，求解問題包羅萬象，幾乎涵蓋各個(gè)學(xué)科及各個(gè)工程領(lǐng)域。技術(shù)最成熟，商業(yè)軟件十分豐富。有限單元法*有限元法：CAE的最主要方法，求解問題包羅萬象，幾乎涵蓋各9有限體積法有限體積法（FVM）又稱為控制體積法：將計(jì)算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制體積，并使每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)周圍有一個(gè)控制體積；將待解的微分方程對每一個(gè)控制體積積分，便得出一組離散方程。就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。*有限體積法有限體積法（FVM）又稱為控制體積法：將計(jì)算區(qū)域劃10無網(wǎng)格數(shù)值方法無網(wǎng)格方法：一種新的數(shù)值方法。到目前為止已出現(xiàn)了多種無網(wǎng)格數(shù)值方法，其中光滑質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)法（SPH）是提出最早發(fā)展較突出的一種方法。由于SPH法不用網(wǎng)格，沒有網(wǎng)格畸變問題，所以能在拉格朗日格式下處理大變形問題。

*無網(wǎng)格數(shù)值方法無網(wǎng)格方法：一種新的數(shù)值方法。到目前為止已出現(xiàn)11Taylor桿沖擊子彈侵徹分析*Taylor桿沖擊子彈侵徹分析*12兩類典型的工程問題

第一類問題，可以歸結(jié)為有限個(gè)已知單元體的組合。例如，材料力學(xué)中的連續(xù)梁、建筑結(jié)構(gòu)框架和桁架結(jié)構(gòu)。

平面桁架結(jié)構(gòu)，由6個(gè)承受軸向力的“桿單元”組成。1889年建成的Effiel鐵塔，由18036個(gè)部件組成*兩類典型的工程問題 第一類問題，可以歸結(jié)為有限個(gè)已知單元體的13

第二類問題，通?？梢越⑺鼈儜?yīng)遵循的基本方程，即微分方程和相應(yīng)的邊界條件。例如彈性力學(xué)問題，熱傳導(dǎo)問題，電磁場問題等。熱傳導(dǎo)問題的控制方程與換熱邊界條件如下：物理問題的數(shù)學(xué)描述* 第二類問題，通常可以建立它們應(yīng)遵循的基本方程，即微分方程和14兩類問題的對比第一類問題的研究對象稱為離散系統(tǒng)。離散系統(tǒng)是可解的，但是求解復(fù)雜的離散系統(tǒng)，要依靠計(jì)算機(jī)技術(shù)。第二類問題的研究對象稱為連續(xù)系統(tǒng)?？梢越⒚枋鲞B續(xù)系統(tǒng)的基本方程和邊界條件，通常只能得到少數(shù)簡單邊界條件問題的解析解。對于大多數(shù)實(shí)際的工程問題，需要用近似算法來求解。*兩類問題的對比第一類問題的研究對象稱為離散系統(tǒng)。離散系統(tǒng)是可15物理問題的數(shù)學(xué)描述科學(xué)和工程問題的微分方程表示：（在域V內(nèi)）*物理問題的數(shù)學(xué)描述科學(xué)和工程問題的微分方程表示：（在域V內(nèi)）16未知場函數(shù)u在域V的邊界S上應(yīng)滿足邊界條件：（在邊界S上）未知函數(shù)u可以是標(biāo)量場或向量場。A、B是表示對于獨(dú)立變量（如空間坐標(biāo)、時(shí)間坐標(biāo)）的微分算子。微分方程數(shù)應(yīng)和未知場函數(shù)的數(shù)目相等。以微分方程形式提出問題的方法叫做定解問題的微分方程提法*未知場函數(shù)u在域V的邊界S上應(yīng)滿足邊界條件：（在邊界S上）17由于上兩式分別在域V內(nèi)和邊界S上的每一點(diǎn)都必須為零，所以對于任意的函數(shù)向量V和，恒有：微分方程的等效積分形式

*由于上兩式分別在域V內(nèi)和邊界S上的每一點(diǎn)都必須為零，所以對于18積分形式對于所有的V和都成立等效于滿足微分方程和邊界條件，稱為

微分方程的等效積分形式。

*積分形式對于所有的V和都成立等效于滿足微分方程和邊界條件19有限元法形成的背景

基本方程的數(shù)學(xué)求解，工程師和數(shù)學(xué)家開始尋找一種近似的求解方法，在這個(gè)過程中，他們從兩個(gè)不同的路線得到了相同的結(jié)果，即有限單元法（FiniteElementMethod)。

結(jié)構(gòu)分析的有限元方法是由一批工業(yè)界和學(xué)術(shù)界的研究者在二十世紀(jì)五十年代到二十世紀(jì)六十年代創(chuàng)立的。

*有限元法形成的背景 基本方程的數(shù)學(xué)求解，工程師和數(shù)學(xué)家開始尋20

有限單元法的形成可以回顧到二十世紀(jì)50年代，它的形成直接得益于飛機(jī)結(jié)構(gòu)分析中的矩陣位移法。注：

20世紀(jì)40年代，由于航空事業(yè)的飛速發(fā)展，對飛機(jī)結(jié)構(gòu)提出了愈來愈高的要求，即重量輕、強(qiáng)度高、剛度好，人們不得不進(jìn)行精確的設(shè)計(jì)和計(jì)算，在這一背景下，逐漸在工程中產(chǎn)生了矩陣分析法。*有限單元法的形成可以回顧到二十世紀(jì)50年代，它的形成直接21**22工程師方面思路來源于固體力學(xué)結(jié)構(gòu)分析矩陣位移法的發(fā)展和工程師對結(jié)構(gòu)相似性的直覺判斷。對于不同結(jié)構(gòu)的桿系、不同的載荷，求解時(shí)都能得到統(tǒng)一的矩陣公式。從固體力學(xué)的角度看，桁架結(jié)構(gòu)等標(biāo)準(zhǔn)離散系統(tǒng)與人為地分割成有限個(gè)分區(qū)的連續(xù)系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上存在相似性，可以把結(jié)構(gòu)分析的矩陣法推廣到非桿系結(jié)構(gòu)的求解。*工程師方面思路來源于固體力學(xué)結(jié)構(gòu)分析矩陣位移法的發(fā)展和工程師23TurnerMJ,CloughRW,MartinHCandToppLJ,Stiffnessanddeflectionanalysisofcomplexstructures,JournalofAeronauticalSciences,1956,23:805-824.文中系統(tǒng)研究了離散桿、梁、三角形的單元?jiǎng)偠缺磉_(dá)法，把這種解法稱為剛性法(Stiffness)，一般認(rèn)為這是工程學(xué)界上有限元法的開端。M.J.Turner*TurnerMJ,CloughRW,Martin24Clough,R.W.,“TheFiniteElementMethodinPlaneStressAnalysis,”Proc.2ndASCEConferenceonElectronicComputation,Pittsburgh,PA,Sept.8-9,1960.處理平面彈性問題時(shí)，有限元法(FiniteElementMethod)的名稱也第一次被正式提出。RayW.Clough*Clough,R.W.,“TheFiniteElem25數(shù)學(xué)家們則發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原理和加權(quán)余量法。數(shù)學(xué)家方面*數(shù)學(xué)家們則發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原26CourantR,Variationalmethodsforthesolutionofproblemsofequilibriumandvibrations,BulletinofAmericanMathematicalSociety,1943,49,1-23在應(yīng)用數(shù)學(xué)界第一篇有限元論文，使用三角形區(qū)域的多項(xiàng)式函數(shù)來求解扭轉(zhuǎn)問題的近似解，由于當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)尚未出現(xiàn)，這篇論文并沒有引起應(yīng)有的注意。RichardCourant*CourantR,Variationalmethods27Argyris,J.H.,EnergyTheoremsandStructuralAnalysis,AircraftEngineering,vol.26,Oct-Nov.1954,pp.347-356Argyris,J.H.,andS.Kelsey,EnergyTheoremsandStructuralAnalysis,Butterworth,London,UK,1960.JohnH.Argyris1954-1955年，德國斯圖加特大學(xué)的Argyris在航空工程雜志上發(fā)表了一組能量原理和結(jié)構(gòu)分析論文，為有限元研究奠定了重要的基礎(chǔ)。*Argyris,J.H.,EnergyTheorems28GilbertStrangGeorgeFix1964年貝賽林(Besseling，J.F.)等人證明有限元法實(shí)際上是基于變分原理的瑞利—里茲法的另一種形式，從而在理論上為有限元法奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。1973年麻省理工大學(xué)的兩位應(yīng)用數(shù)學(xué)家確立了有限元法，給有限元法提供了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格地證明了隨著網(wǎng)格密度的加大，預(yù)測的有限元分析結(jié)果確實(shí)收斂。*GilbertStrangGeorgeFix1964年29O.C.ZienkiewiczYauKaiCheung張佑啟ZienkiewiczOCandCheungYK,TheFiniteElementMethodinStructuralandContinuumMechanics,London:McGraw-Hill1967.

第一本有關(guān)有限元分析的專著*O.C.ZienkiewiczYauKaiCheung301969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加權(quán)余量法特別是Galerkin法，導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)的有限元過程來求解非結(jié)構(gòu)問題。1970年以后，有限元方法開始應(yīng)用于處理非線性和大變形問題，Oden于1972年出版了第一本關(guān)于處理非線性連續(xù)體的專著。這一時(shí)期的理論研究是比較超前的。*1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加31中國科學(xué)家也獨(dú)立地作出了重要的貢獻(xiàn)陳伯屏（結(jié)構(gòu)矩陣方法）錢令希（余能原理）錢偉長、胡海昌（廣義變分原理）馮康（有限元理論）馮康錢令希錢偉長胡海昌我國力學(xué)工作者的貢獻(xiàn)*中國科學(xué)家也獨(dú)立地作出了重要的貢獻(xiàn)馮康錢令希錢偉長胡海昌我國32變分原理和里茲法設(shè)u是未知函數(shù)，F(xiàn)和E是u及其偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，V是求解域，S是V的邊界，則如下積分形式∏稱為未知函數(shù)u的泛函，∏隨函數(shù)u的變化而變化，即它是未知函數(shù)的函數(shù)。*變分原理和里茲法設(shè)u是未知函數(shù)，F(xiàn)和E是u及其偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，33變分法所研究的是如何求得使泛函∏取駐值的函數(shù)u，以及駐值點(diǎn)的性質(zhì)（極大值、極小值或駐值）。泛函∏取駐值的條件是，對于函數(shù)u的微小變化δu，泛函的變分（即變化量）δ∏等于零，即許多物理問題可以表達(dá)為泛函的極值問題，采用變分法求解，這種求解方法稱為變分原理。*變分法所研究的是如何求得使泛函∏取駐值的函數(shù)u，以及駐值點(diǎn)的34Ritz法

設(shè)未知函數(shù)的近似解由一族帶有待定參數(shù)的試探函數(shù)表示其中a是待定參數(shù)，N是已知函數(shù)。將上式代入泛函∏的表達(dá)式，得到用試探函數(shù)和待定參數(shù)表示的泛函。泛函的變分為零相當(dāng)于將泛函對所包含的待定參數(shù)進(jìn)行全微分，并令所得的方程等于零，即*Ritz法設(shè)未知函數(shù)的近似解由一族帶有待定參數(shù)的試探函數(shù)表35這是與待定參數(shù)a的個(gè)數(shù)相等的線性方程組，用以求解a。這種求泛函近似解的直接方法叫做Ritz法。*這是與待定參數(shù)a的個(gè)數(shù)相等的線性方程組，用以求解a。這種求泛36試探函數(shù)的選擇條件：

一般選擇多項(xiàng)式形式，定義于整個(gè)求解域上；應(yīng)滿足未知函數(shù)本身需滿足的強(qiáng)制邊界條件（例如位移邊界條件）；應(yīng)滿足完全性和連續(xù)性要求。*試探函數(shù)的選擇條件：*37加權(quán)殘值（余量）法

微分方程和邊界條件所表達(dá)的物理問題的精確解往往難以求得，可用近似函數(shù)來表示未知的場函數(shù)：待定參數(shù)試探函數(shù)（基函數(shù)、形函數(shù)）其中*加權(quán)殘值（余量）法微分方程和邊界條件所表達(dá)的物理問題的精確38通常在近似函數(shù)取有限項(xiàng)的情況下，近似解不能精確滿足微分方程和全部邊界條件，而會(huì)產(chǎn)生余量（殘差）：*通常在近似函數(shù)取有限項(xiàng)的情況下，近似解不能精確滿足微分方程和39用n個(gè)給定的函數(shù)向量Wj和來代替等效積分式中的V和，可得

上式的意義是：通過選擇待定系數(shù)ai，強(qiáng)迫余量在某種平均意義上等于零。式中Wj和稱為權(quán)函數(shù)。令上式等于零可得到一組求解方程，用以確定待定系數(shù)ai，從而得到原問題的近似解。采用使余量的加權(quán)積分為零來求得微分方程近似解的方法稱為加權(quán)余量法。

*用n個(gè)給定的函數(shù)向量Wj和來代替等效積分式中的V和40任何獨(dú)立的完全函數(shù)集都可以用來作為權(quán)函數(shù)，對于Galerkin法來說，取近似解的試探函數(shù)作為權(quán)函數(shù)，即則近似積分式成為在很多情況下，采用Galerkin法得到的求解方程的系數(shù)矩陣是對稱的，因此用加權(quán)余量法建立有限元格式時(shí)都采用此法。*任何獨(dú)立的完全函數(shù)集都可以用來作為權(quán)函數(shù)，對于Galerki411.2有限元分析的基本原理和思路有限元方法是求解數(shù)學(xué)物理問題的一種數(shù)值計(jì)算方法，起源于固體力學(xué)，然后迅速擴(kuò)展到流體力學(xué)、傳熱學(xué)、電磁學(xué)等其他物理領(lǐng)域。有限元分析是利用數(shù)學(xué)近似的方法對真實(shí)物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進(jìn)行模擬。利用簡單而又相互作用的元素，即單元，用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實(shí)系統(tǒng)。有限元模型是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。*1.2有限元分析的基本原理和思路有限元方法是求解數(shù)學(xué)物理問42真實(shí)系統(tǒng)有限元模型有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定載荷。節(jié)點(diǎn)具有一定的自由度。齒輪有限元模型*真實(shí)系統(tǒng)有限元模型有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之43自由度(DOFs)

用于描述一個(gè)物理場的響應(yīng)特性。結(jié)構(gòu)DOFs

結(jié)構(gòu) 位移熱

溫度電 電位流體壓力磁 磁位

分析對象 自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ*自由度(DOFs)用于描述一個(gè)物理場的響應(yīng)特性。結(jié)構(gòu)DO44基本思路：分割-組合將連續(xù)系統(tǒng)分割成有限個(gè)分區(qū)或單元（離散化）用標(biāo)準(zhǔn)方法對每個(gè)單元提出一個(gè)近似解（單元分析）將所有單元按標(biāo)準(zhǔn)方法組合成一個(gè)與原有系統(tǒng)近似的系統(tǒng)（整體分析）

這種分割-組合思想古而有之，如求圓面積。*基本思路：分割-組合將連續(xù)系統(tǒng)分割成有限個(gè)分區(qū)或單元（離散化45圓面積*圓面積*46有限元方法的基本思想和原理是“簡單”而“樸素”的，在發(fā)展初期，許多學(xué)術(shù)權(quán)威對該方法的學(xué)術(shù)價(jià)值有所鄙視，國際著名刊物JournalofAppliedMechanics許多年來拒絕刊登有關(guān)有限元方法的文章，其理由是沒有新的科學(xué)實(shí)質(zhì)?，F(xiàn)在完全不同了，由于有限元方法在科學(xué)研究和工程分析中的地位，有關(guān)有限元方法的研究已經(jīng)成為數(shù)值計(jì)算的主流。涉及有限元方法的雜志有幾十種之多。*有限元方法的基本思想和原理是“簡單”而“樸素”的，在發(fā)展初期47有限元方法的主要研究內(nèi)容：計(jì)算方法：大型線性方程組的解法，非線性問題的解法，動(dòng)力問題計(jì)算方法。高精度單元復(fù)雜材料模型多物理場耦合目標(biāo)：提高計(jì)算效率和計(jì)算精度*有限元方法的主要研究內(nèi)容：*481.3有限元分析主要應(yīng)用領(lǐng)域結(jié)構(gòu)分析熱分析電磁分析流體分析

耦合場分析-多物理場*1.3有限元分析主要應(yīng)用領(lǐng)域結(jié)構(gòu)分析*49結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)分析是有限元分析方法最常用的一個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域。結(jié)構(gòu)這個(gè)術(shù)語是一個(gè)廣義的概念，它包括土木工程結(jié)構(gòu)，如橋梁和建筑物；汽車結(jié)構(gòu)，如車身骨架；海洋結(jié)構(gòu)，如船舶結(jié)構(gòu)；航空結(jié)構(gòu)，如飛機(jī)機(jī)身等；同時(shí)還包括機(jī)械零部件，如活塞，傳動(dòng)軸等等。結(jié)構(gòu)分析中計(jì)算得出的基本未知量（節(jié)點(diǎn)自由度）是位移，其他的一些未知量，如應(yīng)變，應(yīng)力，和反力可通過節(jié)點(diǎn)位移導(dǎo)出。*結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)分析是有限元分析方法最常用的一個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域。結(jié)構(gòu)這50結(jié)構(gòu)分析-分類靜力分析-用于靜態(tài)載荷.可以考慮結(jié)構(gòu)的線性及非線性行為，例如:大變形、大應(yīng)變、應(yīng)力剛化、接觸、塑性、超彈及蠕變等.

動(dòng)力分析

-動(dòng)力學(xué)分析是用來確定慣性（質(zhì)量效應(yīng)）和阻尼起著重要作用時(shí)結(jié)構(gòu)或構(gòu)件動(dòng)力學(xué)特性的技術(shù)?！皠?dòng)力學(xué)特性”可能指的是下面的一種或幾種類型:振動(dòng)特性-（結(jié)構(gòu)振動(dòng)方式和振動(dòng)頻率）周期（振動(dòng)）載荷的效應(yīng)隨時(shí)間變化載荷的效應(yīng)屈曲分析

-用于計(jì)算屈曲載荷和確定屈曲模態(tài)。包括線性（特征值）和非線性屈曲分析。*結(jié)構(gòu)分析-分類靜力分析-用于靜態(tài)載荷.可以考慮結(jié)構(gòu)的線51靜力分析轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)支架的強(qiáng)度分析（MSC/Nastran）*靜力分析轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)支架的強(qiáng)度分析（MSC/Nastran）*52動(dòng)力分析（五種類型）模態(tài)分析-

計(jì)算線性結(jié)構(gòu)的自振頻率及振形.譜分析

是模態(tài)分析的擴(kuò)展，用于計(jì)算由于隨機(jī)振動(dòng)引起的結(jié)構(gòu)應(yīng)力和應(yīng)變(也叫作

響應(yīng)譜或

PSD).整機(jī)模態(tài)分析*動(dòng)力分析（五種類型）模態(tài)分析-計(jì)算線性結(jié)構(gòu)的自振頻率及振53關(guān)于模態(tài)分析模態(tài)分析是用來確定結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性的一種技術(shù)：自然頻率振型振型參與系數(shù)（即在特定方向上某個(gè)振型在多大程度上參與了振動(dòng)）模態(tài)分析是所有動(dòng)力學(xué)分析類型的最基礎(chǔ)的內(nèi)容。模態(tài)分析的作用：使結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)避免共振或以特定頻率進(jìn)行振動(dòng)（例如揚(yáng)聲器）；

汽車尾氣排氣管裝配體的固有頻率與發(fā)動(dòng)機(jī)的固有頻率相同時(shí)，就可能會(huì)被震散。有助于在其它動(dòng)力分析中估算求解控制參數(shù)（如時(shí)間步長）。*關(guān)于模態(tài)分析模態(tài)分析是用來確定結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性的一種技術(shù)：*54諧響應(yīng)分析-確定線性結(jié)構(gòu)對隨時(shí)間按正弦曲線變化的載荷的響應(yīng).旋轉(zhuǎn)設(shè)備（如壓縮機(jī)、發(fā)動(dòng)機(jī)、泵、渦輪機(jī)械等）的支座、固定裝置和部件；受渦流（流體的漩渦運(yùn)動(dòng)）影響的結(jié)構(gòu)，例如渦輪葉片、飛機(jī)機(jī)翼、橋和塔等。瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析-確定結(jié)構(gòu)對隨時(shí)間任意變化的載荷的響應(yīng).可以考慮與靜力分析相同的結(jié)構(gòu)非線性行為.顯式動(dòng)力分析-計(jì)算高度非線性動(dòng)力學(xué)和復(fù)雜的接觸問題。用于模擬非常大的變形，慣性力占支配地位，并考慮所有的非線性行為.顯式求解沖擊、碰撞、復(fù)雜金屬成形等問題，是目前求解這類問題最有效的方法.*諧響應(yīng)分析-確定線性結(jié)構(gòu)對隨時(shí)間按正弦曲線變化的載荷的響應(yīng).55車輛安全性*車輛安全性*56熱分析熱分析在許多工程應(yīng)用中扮演重要角色，如內(nèi)燃機(jī)、渦輪機(jī)、換熱器、管路系統(tǒng)、電子元件等。熱分析之后往往進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析,計(jì)算由于熱膨脹或收縮不均勻引起的應(yīng)力.熱相關(guān)問題相變(熔化及凝固),內(nèi)熱源(例如電阻發(fā)熱等)三種熱傳遞方式(熱傳導(dǎo)、熱對流、熱輻射)穩(wěn)態(tài)傳熱：系統(tǒng)的溫度場不隨時(shí)間變化瞬態(tài)傳熱：系統(tǒng)的溫度場隨時(shí)間明顯變化熱分析計(jì)算物體的穩(wěn)態(tài)或瞬態(tài)溫度分布，以及熱量的獲取或損失、熱梯度、熱通量等.*熱分析熱分析在許多工程應(yīng)用中扮演重要角色，如內(nèi)燃機(jī)、渦輪機(jī)、57工件淬火3.06min時(shí)的溫度、組織分布(NSHT3D)*工件淬火3.06min時(shí)的溫度、組織分布(NSHT3D58潛水艇內(nèi)外壁面溫度及溫度分布(Ansys)*潛水艇內(nèi)外壁面溫度及溫度分布(Ansys)*59發(fā)動(dòng)機(jī)瞬態(tài)熱仿真電熨斗瞬態(tài)熱仿真鑄造成型：溫度變化和氣泡金屬反擠壓成型：溫度分布和變化*發(fā)動(dòng)機(jī)瞬態(tài)熱仿真電熨斗瞬態(tài)熱仿真鑄造成型：溫度變化和氣泡金屬60電磁分析磁場分析中考慮的物理量是磁通量密度、磁場密度、磁力、磁力矩、阻抗、電感、渦流、能耗及磁通量泄漏等.磁場可由電流、永磁體、外加磁場等產(chǎn)生.磁場分析

用于計(jì)算磁場.*電磁分析磁場分析中考慮的物理量是磁通量密度、磁場密度、磁力、61磁場分析的類型:靜磁場分析

-計(jì)算直流電（DC)或永磁體產(chǎn)生的磁場.交變磁場分析-計(jì)算由于交流電(AC)產(chǎn)生的磁場.瞬態(tài)磁場分析-計(jì)算隨時(shí)間隨機(jī)變化的電流或外界引起的磁場.電磁接觸：磁懸浮列車仿真*磁場分析的類型:電磁接觸：磁懸浮列車仿真*62電場分析

用于計(jì)算電阻或電容系統(tǒng)的電場.典型的物理量有電流密度、電荷密度、電場及電阻熱等.高頻電磁場分析用于微波及RF無源組件，波導(dǎo)、雷達(dá)系統(tǒng)、同軸連接器等分析.*電場分析用于計(jì)算電阻或電容系統(tǒng)的電場.典型的物理量有63流體分析

流體分析

用于確定流體的流動(dòng)及熱行為.可以處理不可壓縮或可壓縮流體、層流及湍流，以及多組份流等.作用于氣動(dòng)翼(葉)型上的升力和阻力超音速噴管中的流場彎管中流體的復(fù)雜的三維流動(dòng)導(dǎo)流管分析壓力速度*流體分析流體分析用于確定流體的流動(dòng)及熱行為.可以處理64超音速飛行壓力分布汽車氣動(dòng)分析高速導(dǎo)彈氣動(dòng)*超音速飛行壓力分布汽車氣動(dòng)分析高速導(dǎo)彈氣動(dòng)*65耦合場分析耦合場分析

考慮兩個(gè)或多個(gè)物理場之間的相互作用。如果兩個(gè)物理場之間相互影響，單獨(dú)求解一個(gè)物理場是不可能得到正確結(jié)果的，因此你需要一個(gè)能夠?qū)蓚€(gè)物理場組合到一起求解的分析軟件。例如：

在壓電力分析中，需要同時(shí)求解電壓分布（電場分析）和應(yīng)變（結(jié)構(gòu)分析）.其他需要耦合場分析的典型情況有：熱—應(yīng)力分析流體—結(jié)構(gòu)相互作用感應(yīng)加熱（電磁—熱）,感應(yīng)振蕩兩根熱膨脹系數(shù)不同的棒焊接在一起，加熱后的變形情況*耦合場分析耦合場分析考慮兩個(gè)或多個(gè)物理場之間的相互作用。如661.4常用有限元分析軟件介紹有限元法得以飛速發(fā)展的一個(gè)重要原因就是在工程實(shí)際中提出了一大批重要問題需要進(jìn)行分析：航空、機(jī)械制造、土木工程、冶金、核能、地震、氣象…從二十世紀(jì)60年代中期以來，進(jìn)行了大量的理論研究，不但拓展了有限單元法的應(yīng)用領(lǐng)域，還開發(fā)了許多通用或?qū)Ｓ玫挠邢拊治鲕浖?1.4常用有限元分析軟件介紹有限元法得以飛速發(fā)展的一個(gè)重要67常用大型通用有限元軟件

ADINA、ABAQUS、ANSYS、MSC/Marc、MSC/Nastran一些專用有限元軟件LS_DYNA、PAM-CRASH、MSC/Dytran(碰撞）Autoform、DYNAFORM、、PAM-STAMP（沖壓）、

DEFORM(體積成形)、SysWeld（焊接）MOLDFLOW(注塑)、ProCast(鑄造)*常用大型通用有限元軟件*68ADINAAutomaticdynamicincrementalnonlinearanalysis1975年K.J.Bathe(Wilson的學(xué)生)在美國MIT創(chuàng)辦ADINA公司大型通用非線性分析軟件

(注：20世紀(jì)60年代美國加州大學(xué)Wilson教授主持開發(fā)了第一個(gè)大型通用結(jié)構(gòu)分析程序SAP)*ADINAAutomaticdynamicincreme69ADINA

/*ADINA

/*70ABAQUS1978年，三位著名學(xué)者Hibbitt,Karlsson和Sorensen成立HKS公司，推出有限元產(chǎn)品為ABAQUS?？偛课挥诿绹牧_德島州（RhodeIsland）。國際上最先進(jìn)的大型通用有限元分析軟件之一。特別是它的非線性力學(xué)分析功能具有世界領(lǐng)先水平。兩個(gè)主要分析模塊：ABAQUS/Standard和ABAQUS/Explicit國內(nèi)清華大學(xué)工程力學(xué)系提供技術(shù)支持和服務(wù)。(公司)*ABAQUS1978年，三位著名學(xué)者Hibbitt,Kar71ABAQUS

/*ABAQUS

/72ANSYS,Inc.ANSYS系列產(chǎn)品的開發(fā)商總部在美國匹茲堡*ANSYS,Inc.*ANSYS——

1970年，JohnA.Swanson博士成立了Swanson分析系統(tǒng)有限公司——ANSYS通用有限元軟件的開發(fā)商。他曾工作于威斯丁豪斯電子有限公司。后來Swanson將大部分SASI的所有權(quán)出售給了TAAssociates公司，之后公司改名為ANSYS并面向公眾。

在近些年里，ANSYS改進(jìn)了有限元軟件，把范圍進(jìn)一步地?cái)U(kuò)大到了CFD模擬領(lǐng)域，連續(xù)收購了三家最主要的CFD軟件開發(fā)商：ICEMCFD，CFD軟件的前后處理器，由ICEMCFD工程部（伯克利的首都航空公司）開發(fā)；英國的CFX公司（最初是AEA科技公司的一部分，英國的Harwell，加拿大的沃特盧、安大略）；FLUENT公司（黎巴嫩，NH）——CFD市場的領(lǐng)導(dǎo)者。*ANSYS——*74MSC/Nastran1963年，R.MacNeal博士和R.Schwendler創(chuàng)辦MSC公司1964年，MSC承擔(dān)美國航空航天局（NASA）項(xiàng)目，主持NASTRAN的開發(fā)

1971年，MSC推出專利版MSC/NASTRAN1989年,發(fā)布經(jīng)重大改進(jìn)的MSC/NASTRAN66*MSC/Nastran1963年，R.MacNeal博士和751994年，MSC公司發(fā)布了經(jīng)重大改進(jìn)的MSC/NASRANV68版1994年，MSC與PDAE合并,形成了以MSC/NASTRAN為核心的MSC產(chǎn)品系列如：MSC.PATRAN、MSC.THERMAL、MSC.FATIGUE等1997年,MSC/NASTRANV70版

2001年,MSC/NASTRAN2001版航空航天領(lǐng)域的標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)構(gòu)分析軟件*1994年，MSC公司發(fā)布了經(jīng)重大改進(jìn)的MSC/NASR76MSC/Marc1967年美國布朗大學(xué)力學(xué)系的PedroMarcal教授創(chuàng)立Marc公司大型通用非線性分析軟件后因經(jīng)營上的問題，被MSC公司并購*MSC/Marc1967年美國布朗大學(xué)力學(xué)系的PedroM77MSC中國

/*MSC中國

http://www.mscsoftware.78DYNA3D1976年由LawrenceLivermore國家實(shí)驗(yàn)室的JohnHallguist博士發(fā)布顯式有限元理論和程序的鼻祖，其獨(dú)特的算法非常適合求解碰撞、爆炸、金屬成形等高度非線性問題。目前狀況被法國ESI公司商品化為PAMCRASH1989Hallguist推出商業(yè)化版本LS-DYNA(3D)Dynaform-PC,Ansys/LS-DYNA*DYNA3D1976年由LawrenceLivermore79崇尚實(shí)踐知行并重*崇尚實(shí)踐知行并重*張洪偉有限元分析及應(yīng)用第1章緒論*張洪偉有限元分析及應(yīng)用*81課程目標(biāo)了解什么是有限單元法、有限單元法的基本思想。了解有限元軟件的基本結(jié)構(gòu)和有限元法當(dāng)前的進(jìn)展情況。學(xué)習(xí)有限單元法的原理，主要結(jié)合彈性力學(xué)問題來介紹有限單元法的基本方法，包括單元分析、整體分析、載荷與約束處理等概念。能從較高層次(數(shù)力原理)上理解有限元方法的實(shí)質(zhì)，掌握有限元分析的工具，并具備初步處理工程問題的能力。能夠?qū)τ邢拊治鼋Y(jié)果的有效性和準(zhǔn)確性進(jìn)行評估。*課程目標(biāo)了解什么是有限單元法、有限單元法的基本思想。了解有限82內(nèi)容安排第1章緒論第2章有限元法基本理論第3章彈性力學(xué)平面問題有限元法第4章軸對稱問題與空間問題有限元法第5章等參數(shù)單元和數(shù)值積分第6章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法第7章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)有限元法第8章非線性問題的有限元法

理論學(xué)習(xí)軟件應(yīng)用*內(nèi)容安排第1章緒論理論學(xué)習(xí)*83主要參考書籍胡于進(jìn),王璋奇編著.有限元分析及應(yīng)用.北京：北京：清華大學(xué)出版社,2009曾攀.有限元分析及應(yīng)用.北京：清華大學(xué)出版社,2004王勖成,邵敏編著.有限單元法基本原理和數(shù)值方法.北京:清華大學(xué)出版社,1997朱伯芳著.有限單元法原理與應(yīng)用（第2版）.北京:中國水利水電出版社,1998TedBelytschko著,莊茁（譯）.連續(xù)體和結(jié)構(gòu)的非線性有限元.北京:清華大學(xué)出版社,2002*主要參考書籍胡于進(jìn),王璋奇編著.有限元分析及應(yīng)用.北京：北84預(yù)備知識線性代數(shù)數(shù)值分析材料力學(xué)彈性力學(xué)彈塑性力學(xué)*預(yù)備知識線性代數(shù)*85物理問題的數(shù)學(xué)描述有限元方法的產(chǎn)生12內(nèi)容提要3有限元法的特點(diǎn)4有限元法的應(yīng)用*物理問題的數(shù)學(xué)描述有限元方法的產(chǎn)生12內(nèi)容提要3有限元法的特關(guān)于CAE技術(shù)CAE（計(jì)算機(jī)輔助工程分析）有限差分法有限元法有限體積法無網(wǎng)格法*關(guān)于CAE技術(shù)CAE（計(jì)算機(jī)輔助工程分析）*87有限差分方法有限差分方法(FDM)

將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域。最早的數(shù)值分析方法，使用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，不需要域積分，建模、計(jì)算簡單。適于分析幾何形狀簡單的問題，商業(yè)軟件很少。在流體力學(xué)領(lǐng)域，至今仍處于支配地位。*有限差分方法有限差分方法(FDM)將求解域劃分為差分網(wǎng)格，88

有限元法：CAE的最主要方法，求解問題包羅萬象，幾乎涵蓋各個(gè)學(xué)科及各個(gè)工程領(lǐng)域。技術(shù)最成熟，商業(yè)軟件十分豐富。有限單元法*有限元法：CAE的最主要方法，求解問題包羅萬象，幾乎涵蓋各89有限體積法有限體積法（FVM）又稱為控制體積法：將計(jì)算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制體積，并使每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)周圍有一個(gè)控制體積；將待解的微分方程對每一個(gè)控制體積積分，便得出一組離散方程。就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。*有限體積法有限體積法（FVM）又稱為控制體積法：將計(jì)算區(qū)域劃90無網(wǎng)格數(shù)值方法無網(wǎng)格方法：一種新的數(shù)值方法。到目前為止已出現(xiàn)了多種無網(wǎng)格數(shù)值方法，其中光滑質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)法（SPH）是提出最早發(fā)展較突出的一種方法。由于SPH法不用網(wǎng)格，沒有網(wǎng)格畸變問題，所以能在拉格朗日格式下處理大變形問題。

*無網(wǎng)格數(shù)值方法無網(wǎng)格方法：一種新的數(shù)值方法。到目前為止已出現(xiàn)91Taylor桿沖擊子彈侵徹分析*Taylor桿沖擊子彈侵徹分析*92兩類典型的工程問題

第一類問題，可以歸結(jié)為有限個(gè)已知單元體的組合。例如，材料力學(xué)中的連續(xù)梁、建筑結(jié)構(gòu)框架和桁架結(jié)構(gòu)。

平面桁架結(jié)構(gòu)，由6個(gè)承受軸向力的“桿單元”組成。1889年建成的Effiel鐵塔，由18036個(gè)部件組成*兩類典型的工程問題 第一類問題，可以歸結(jié)為有限個(gè)已知單元體的93

第二類問題，通?？梢越⑺鼈儜?yīng)遵循的基本方程，即微分方程和相應(yīng)的邊界條件。例如彈性力學(xué)問題，熱傳導(dǎo)問題，電磁場問題等。熱傳導(dǎo)問題的控制方程與換熱邊界條件如下：物理問題的數(shù)學(xué)描述* 第二類問題，通?？梢越⑺鼈儜?yīng)遵循的基本方程，即微分方程和94兩類問題的對比第一類問題的研究對象稱為離散系統(tǒng)。離散系統(tǒng)是可解的，但是求解復(fù)雜的離散系統(tǒng)，要依靠計(jì)算機(jī)技術(shù)。第二類問題的研究對象稱為連續(xù)系統(tǒng)?？梢越⒚枋鲞B續(xù)系統(tǒng)的基本方程和邊界條件，通常只能得到少數(shù)簡單邊界條件問題的解析解。對于大多數(shù)實(shí)際的工程問題，需要用近似算法來求解。*兩類問題的對比第一類問題的研究對象稱為離散系統(tǒng)。離散系統(tǒng)是可95物理問題的數(shù)學(xué)描述科學(xué)和工程問題的微分方程表示：（在域V內(nèi)）*物理問題的數(shù)學(xué)描述科學(xué)和工程問題的微分方程表示：（在域V內(nèi)）96未知場函數(shù)u在域V的邊界S上應(yīng)滿足邊界條件：（在邊界S上）未知函數(shù)u可以是標(biāo)量場或向量場。A、B是表示對于獨(dú)立變量（如空間坐標(biāo)、時(shí)間坐標(biāo)）的微分算子。微分方程數(shù)應(yīng)和未知場函數(shù)的數(shù)目相等。以微分方程形式提出問題的方法叫做定解問題的微分方程提法*未知場函數(shù)u在域V的邊界S上應(yīng)滿足邊界條件：（在邊界S上）97由于上兩式分別在域V內(nèi)和邊界S上的每一點(diǎn)都必須為零，所以對于任意的函數(shù)向量V和，恒有：微分方程的等效積分形式

*由于上兩式分別在域V內(nèi)和邊界S上的每一點(diǎn)都必須為零，所以對于98積分形式對于所有的V和都成立等效于滿足微分方程和邊界條件，稱為

微分方程的等效積分形式。

*積分形式對于所有的V和都成立等效于滿足微分方程和邊界條件99有限元法形成的背景

基本方程的數(shù)學(xué)求解，工程師和數(shù)學(xué)家開始尋找一種近似的求解方法，在這個(gè)過程中，他們從兩個(gè)不同的路線得到了相同的結(jié)果，即有限單元法（FiniteElementMethod)。

結(jié)構(gòu)分析的有限元方法是由一批工業(yè)界和學(xué)術(shù)界的研究者在二十世紀(jì)五十年代到二十世紀(jì)六十年代創(chuàng)立的。

*有限元法形成的背景 基本方程的數(shù)學(xué)求解，工程師和數(shù)學(xué)家開始尋100

有限單元法的形成可以回顧到二十世紀(jì)50年代，它的形成直接得益于飛機(jī)結(jié)構(gòu)分析中的矩陣位移法。注：

20世紀(jì)40年代，由于航空事業(yè)的飛速發(fā)展，對飛機(jī)結(jié)構(gòu)提出了愈來愈高的要求，即重量輕、強(qiáng)度高、剛度好，人們不得不進(jìn)行精確的設(shè)計(jì)和計(jì)算，在這一背景下，逐漸在工程中產(chǎn)生了矩陣分析法。*有限單元法的形成可以回顧到二十世紀(jì)50年代，它的形成直接101**102工程師方面思路來源于固體力學(xué)結(jié)構(gòu)分析矩陣位移法的發(fā)展和工程師對結(jié)構(gòu)相似性的直覺判斷。對于不同結(jié)構(gòu)的桿系、不同的載荷，求解時(shí)都能得到統(tǒng)一的矩陣公式。從固體力學(xué)的角度看，桁架結(jié)構(gòu)等標(biāo)準(zhǔn)離散系統(tǒng)與人為地分割成有限個(gè)分區(qū)的連續(xù)系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上存在相似性，可以把結(jié)構(gòu)分析的矩陣法推廣到非桿系結(jié)構(gòu)的求解。*工程師方面思路來源于固體力學(xué)結(jié)構(gòu)分析矩陣位移法的發(fā)展和工程師103TurnerMJ,CloughRW,MartinHCandToppLJ,Stiffnessanddeflectionanalysisofcomplexstructures,JournalofAeronauticalSciences,1956,23:805-824.文中系統(tǒng)研究了離散桿、梁、三角形的單元?jiǎng)偠缺磉_(dá)法，把這種解法稱為剛性法(Stiffness)，一般認(rèn)為這是工程學(xué)界上有限元法的開端。M.J.Turner*TurnerMJ,CloughRW,Martin104Clough,R.W.,“TheFiniteElementMethodinPlaneStressAnalysis,”Proc.2ndASCEConferenceonElectronicComputation,Pittsburgh,PA,Sept.8-9,1960.處理平面彈性問題時(shí)，有限元法(FiniteElementMethod)的名稱也第一次被正式提出。RayW.Clough*Clough,R.W.,“TheFiniteElem105數(shù)學(xué)家們則發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原理和加權(quán)余量法。數(shù)學(xué)家方面*數(shù)學(xué)家們則發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原106CourantR,Variationalmethodsforthesolutionofproblemsofequilibriumandvibrations,BulletinofAmericanMathematicalSociety,1943,49,1-23在應(yīng)用數(shù)學(xué)界第一篇有限元論文，使用三角形區(qū)域的多項(xiàng)式函數(shù)來求解扭轉(zhuǎn)問題的近似解，由于當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)尚未出現(xiàn)，這篇論文并沒有引起應(yīng)有的注意。RichardCourant*CourantR,Variationalmethods107Argyris,J.H.,EnergyTheoremsandStructuralAnalysis,AircraftEngineering,vol.26,Oct-Nov.1954,pp.347-356Argyris,J.H.,andS.Kelsey,EnergyTheoremsandStructuralAnalysis,Butterworth,London,UK,1960.JohnH.Argyris1954-1955年，德國斯圖加特大學(xué)的Argyris在航空工程雜志上發(fā)表了一組能量原理和結(jié)構(gòu)分析論文，為有限元研究奠定了重要的基礎(chǔ)。*Argyris,J.H.,EnergyTheorems108GilbertStrangGeorgeFix1964年貝賽林(Besseling，J.F.)等人證明有限元法實(shí)際上是基于變分原理的瑞利—里茲法的另一種形式，從而在理論上為有限元法奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。1973年麻省理工大學(xué)的兩位應(yīng)用數(shù)學(xué)家確立了有限元法，給有限元法提供了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格地證明了隨著網(wǎng)格密度的加大，預(yù)測的有限元分析結(jié)果確實(shí)收斂。*GilbertStrangGeorgeFix1964年109O.C.ZienkiewiczYauKaiCheung張佑啟ZienkiewiczOCandCheungYK,TheFiniteElementMethodinStructuralandContinuumMechanics,London:McGraw-Hill1967.

第一本有關(guān)有限元分析的專著*O.C.ZienkiewiczYauKaiCheung1101969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加權(quán)余量法特別是Galerkin法，導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)的有限元過程來求解非結(jié)構(gòu)問題。1970年以后，有限元方法開始應(yīng)用于處理非線性和大變形問題，Oden于1972年出版了第一本關(guān)于處理非線性連續(xù)體的專著。這一時(shí)期的理論研究是比較超前的。*1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加111中國科學(xué)家也獨(dú)立地作出了重要的貢獻(xiàn)陳伯屏（結(jié)構(gòu)矩陣方法）錢令希（余能原理）錢偉長、胡海昌（廣義變分原理）馮康（有限元理論）馮康錢令希錢偉長胡海昌我國力學(xué)工作者的貢獻(xiàn)*中國科學(xué)家也獨(dú)立地作出了重要的貢獻(xiàn)馮康錢令希錢偉長胡海昌我國112變分原理和里茲法設(shè)u是未知函數(shù)，F(xiàn)和E是u及其偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，V是求解域，S是V的邊界，則如下積分形式∏稱為未知函數(shù)u的泛函，∏隨函數(shù)u的變化而變化，即它是未知函數(shù)的函數(shù)。*變分原理和里茲法設(shè)u是未知函數(shù)，F(xiàn)和E是u及其偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，113變分法所研究的是如何求得使泛函∏取駐值的函數(shù)u，以及駐值點(diǎn)的性質(zhì)（極大值、極小值或駐值）。泛函∏取駐值的條件是，對于函數(shù)u的微小變化δu，泛函的變分（即變化量）δ∏等于零，即許多物理問題可以表達(dá)為泛函的極值問題，采用變分法求解，這種求解方法稱為變分原理。*變分法所研究的是如何求得使泛函∏取駐值的函數(shù)u，以及駐值點(diǎn)的114Ritz法

設(shè)未知函數(shù)的近似解由一族帶有待定參數(shù)的試探函數(shù)表示其中a是待定參數(shù)，N是已知函數(shù)。將上式代入泛函∏的表達(dá)式，得到用試探函數(shù)和待定參數(shù)表示的泛函。泛函的變分為零相當(dāng)于將泛函對所包含的待定參數(shù)進(jìn)行全微分，并令所得的方程等于零，即*Ritz法設(shè)未知函數(shù)的近似解由一族帶有待定參數(shù)的試探函數(shù)表115這是與待定參數(shù)a的個(gè)數(shù)相等的線性方程組，用以求解a。這種求泛函近似解的直接方法叫做Ritz法。*這是與待定參數(shù)a的個(gè)數(shù)相等的線性方程組，用以求解a。這種求泛116試探函數(shù)的選擇條件：

一般選擇多項(xiàng)式形式，定義于整個(gè)求解域上；應(yīng)滿足未知函數(shù)本身需滿足的強(qiáng)制邊界條件（例如位移邊界條件）；應(yīng)滿足完全性和連續(xù)性要求。*試探函數(shù)的選擇條件：*117加權(quán)殘值（余量）法

微分方程和邊界條件所表達(dá)的物理問題的精確解往往難以求得，可用近似函數(shù)來表示未知的場函數(shù)：待定參數(shù)試探函數(shù)（基函數(shù)、形函數(shù)）其中*加權(quán)殘值（余量）法微分方程和邊界條件所表達(dá)的物理問題的精確118通常在近似函數(shù)取有限項(xiàng)的情況下，近似解不能精確滿足微分方程和全部邊界條件，而會(huì)產(chǎn)生余量（殘差）：*通常在近似函數(shù)取有限項(xiàng)的情況下，近似解不能精確滿足微分方程和119用n個(gè)給定的函數(shù)向量Wj和來代替等效積分式中的V和，可得

上式的意義是：通過選擇待定系數(shù)ai，強(qiáng)迫余量在某種平均意義上等于零。式中Wj和稱為權(quán)函數(shù)。令上式等于零可得到一組求解方程，用以確定待定系數(shù)ai，從而得到原問題的近似解。采用使余量的加權(quán)積分為零來求得微分方程近似解的方法稱為加權(quán)余量法。

*用n個(gè)給定的函數(shù)向量Wj和來代替等效積分式中的V和120任何獨(dú)立的完全函數(shù)集都可以用來作為權(quán)函數(shù)，對于Galerkin法來說，取近似解的試探函數(shù)作為權(quán)函數(shù)，即則近似積分式成為在很多情況下，采用Galerkin法得到的求解方程的系數(shù)矩陣是對稱的，因此用加權(quán)余量法建立有限元格式時(shí)都采用此法。*任何獨(dú)立的完全函數(shù)集都可以用來作為權(quán)函數(shù)，對于Galerki1211.2有限元分析的基本原理和思路有限元方法是求解數(shù)學(xué)物理問題的一種數(shù)值計(jì)算方法，起源于固體力學(xué)，然后迅速擴(kuò)展到流體力學(xué)、傳熱學(xué)、電磁學(xué)等其他物理領(lǐng)域。有限元分析是利用數(shù)學(xué)近似的方法對真實(shí)物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進(jìn)行模擬。利用簡單而又相互作用的元素，即單元，用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實(shí)系統(tǒng)。有限元模型是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。*1.2有限元分析的基本原理和思路有限元方法是求解數(shù)學(xué)物理問122真實(shí)系統(tǒng)有限元模型有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定載荷。節(jié)點(diǎn)具有一定的自由度。齒輪有限元模型*真實(shí)系統(tǒng)有限元模型有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之123自由度(DOFs)

用于描述一個(gè)物理場的響應(yīng)特性。結(jié)構(gòu)DOFs

結(jié)構(gòu) 位移熱

溫度電 電位流體壓力磁 磁位

分析對象 自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ*自由度(DOFs)用于描述一個(gè)物理場的響應(yīng)特性。結(jié)構(gòu)DO124基本思路：分割-組合將連續(xù)系統(tǒng)分割成有限個(gè)分區(qū)或單元（離散化）用標(biāo)準(zhǔn)方法對每個(gè)單元提出一個(gè)近似解（單元分析）將所有單元按標(biāo)準(zhǔn)方法組合成一個(gè)與原有系統(tǒng)近似的系統(tǒng)（整體分析）

這種分割-組合思想古而有之，如求圓面積。*基本思路：分割-組合將連續(xù)系統(tǒng)分割成有限個(gè)分區(qū)或單元（離散化125圓面積*圓面積*126有限元方法的基本思想和原理是“簡單”而“樸素”的，在發(fā)展初期，許多學(xué)術(shù)權(quán)威對該方法的學(xué)術(shù)價(jià)值有所鄙視，國際著名刊物JournalofAppliedMechanics許多年來拒絕刊登有關(guān)有限元方法的文章，其理由是沒有新的科學(xué)實(shí)質(zhì)?，F(xiàn)在完全不同了，由于有限元方法在科學(xué)研究和工程分析中的地位，有關(guān)有限元方法的研究已經(jīng)成為數(shù)值計(jì)算的主流。涉及有限元方法的雜志有幾十種之多。*有限元方法的基本思想和原理是“簡單”而“樸素”的，在發(fā)展初期127有限元方法的主要研究內(nèi)容：計(jì)算方法：大型線性方程組的解法，非線性問題的解法，動(dòng)力問題計(jì)算方法。高精度單元復(fù)雜材料模型多物理場耦合目標(biāo)：提高計(jì)算效率和計(jì)算精度*有限元方法的主要研究內(nèi)容：*1281.3有限元分析主要應(yīng)用領(lǐng)域結(jié)構(gòu)分析熱分析電磁分析流體分析

耦合場分析-多物理場*1.3有限元分析主要應(yīng)用領(lǐng)域結(jié)構(gòu)分析*129結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)分析是有限元分析方法最常用的一個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域。結(jié)構(gòu)這個(gè)術(shù)語是一個(gè)廣義的概念，它包括土木工程結(jié)構(gòu)，如橋梁和建筑物；汽車結(jié)構(gòu)，如車身骨架；海洋結(jié)構(gòu)，如船舶結(jié)構(gòu)；航空結(jié)構(gòu)，如飛機(jī)機(jī)身等；同時(shí)還包括機(jī)械零部件，如活塞，傳動(dòng)軸等等。結(jié)構(gòu)分析中計(jì)算得出的基本未知量（節(jié)點(diǎn)自由度）是位移，其他的一些未知量，如應(yīng)變，應(yīng)力，和反力可通過節(jié)點(diǎn)位移導(dǎo)出。*結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)分析是有限元分析方法最常用的一個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域。結(jié)構(gòu)這130結(jié)構(gòu)分析-分類靜力分析-用于靜態(tài)載荷.可以考慮結(jié)構(gòu)的線性及非線性行為，例如:大變形、大應(yīng)變、應(yīng)力剛化、接觸、塑性、超彈及蠕變等.

動(dòng)力分析

-動(dòng)力學(xué)分析是用來確定慣性（質(zhì)量效應(yīng)）和阻尼起著重要作用時(shí)結(jié)構(gòu)或構(gòu)件動(dòng)力學(xué)特性的技術(shù)?！皠?dòng)力學(xué)特性”可能指的是下面的一種或幾種類型:振動(dòng)特性-（結(jié)構(gòu)振動(dòng)方式和振動(dòng)頻率）周期（振動(dòng)）載荷的效應(yīng)隨時(shí)間變化載荷的效應(yīng)屈曲分析

-用于計(jì)算屈曲載荷和確定屈曲模態(tài)。包括線性（特征值）和非線性屈曲分析。*結(jié)構(gòu)分析-分類靜力分析-用于靜態(tài)載荷.可以考慮結(jié)構(gòu)的線131靜力分析轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)支架的強(qiáng)度分析（MSC/Nastran）*靜力分析轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)支架的強(qiáng)度分析（MSC/Nastran）*132動(dòng)力分析（五種類型）模態(tài)分析-

計(jì)算線性結(jié)構(gòu)的自振頻率及振形.譜分析

是模態(tài)分析的擴(kuò)展，用于計(jì)算由于隨機(jī)振動(dòng)引起的結(jié)構(gòu)應(yīng)力和應(yīng)變(也叫作

響應(yīng)譜或

PSD).整機(jī)模態(tài)分析*動(dòng)力分析（五種類型）模態(tài)分析-計(jì)算線性結(jié)構(gòu)的自振頻率及振133關(guān)于模態(tài)分析模態(tài)分析是用來確定結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性的一種技術(shù)：自然頻率振型振型參與系數(shù)（即在特定方向上某個(gè)振型在多大程度上參與了振動(dòng)）模態(tài)分析是所有動(dòng)力學(xué)分析類型的最基礎(chǔ)的內(nèi)容。模態(tài)分析的作用：使結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)避免共振或以特定頻率進(jìn)行振動(dòng)（例如揚(yáng)聲器）；

汽車尾氣排氣管裝配體的固有頻率與發(fā)動(dòng)機(jī)的固有頻率相同時(shí)，就可能會(huì)被震散。有助于在其它動(dòng)力分析中估算求解控制參數(shù)（如時(shí)間步長）。*關(guān)于模態(tài)分析模態(tài)分析是用來確定結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性的一種技術(shù)：*134諧響應(yīng)分析-確定線性結(jié)構(gòu)對隨時(shí)間按正弦曲線變化的載荷的響應(yīng).旋轉(zhuǎn)設(shè)備（如壓縮機(jī)、發(fā)動(dòng)機(jī)、泵、渦輪機(jī)械等）的支座、固定裝置和部件；受渦流（流體的漩渦運(yùn)動(dòng)）影響的結(jié)構(gòu)，例如渦輪葉片、飛機(jī)機(jī)翼、橋和塔等。瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析-確定結(jié)構(gòu)對隨時(shí)間任意變化的載荷的響應(yīng).可以考慮與靜力分析相同的結(jié)構(gòu)非線性行為.顯式動(dòng)力分析-計(jì)算高度非線性動(dòng)力學(xué)和復(fù)雜的接觸問題。用于模擬非常大的變形，慣性力占支配地位，并考慮所有的非線性行為.顯式求解沖擊、碰撞、復(fù)雜金屬成形等問題，是目前求解這類問題最有效的方法.*諧響應(yīng)分析-確定線性結(jié)構(gòu)對隨時(shí)間按正弦曲線變化的載荷的響應(yīng).135車輛安全性*車輛安全性*136熱分析熱分析在許多工程應(yīng)用中扮演重要角色，如內(nèi)燃機(jī)、渦輪機(jī)、換熱器、管路系統(tǒng)、電子元件等。熱分析之后往往進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析,計(jì)算由于熱膨脹或收縮不均勻引起的應(yīng)力.熱相關(guān)問題相變(熔化及凝固),內(nèi)熱源(例如電阻發(fā)熱等)三種熱傳遞方式(熱傳導(dǎo)、熱對流、熱輻射)穩(wěn)態(tài)傳熱：系統(tǒng)的溫度場不隨時(shí)間變化瞬態(tài)傳熱：系統(tǒng)的溫度場隨時(shí)間明顯變化熱分析計(jì)算物體的穩(wěn)態(tài)或瞬態(tài)溫度分布，以及熱量的獲取或損失、熱梯度、熱通量等.*熱分析熱分析在許多工程應(yīng)用中扮演重要角色，如內(nèi)燃機(jī)、渦輪機(jī)、137工件淬火3.06min時(shí)的溫度、組織分布(NSHT3D)*工件淬火3.06min時(shí)的溫度、組織分布(NSHT3D138潛水艇內(nèi)外壁面溫度及溫度分布(Ansys)*潛水艇內(nèi)外壁面溫度及溫度分布(Ansys)*139發(fā)動(dòng)機(jī)瞬態(tài)熱仿真電熨斗瞬態(tài)熱仿真鑄造成型：溫度變化和氣泡金屬反擠壓成型：溫度分布和變化*發(fā)動(dòng)機(jī)瞬態(tài)熱仿真電熨斗瞬態(tài)熱仿真鑄造成型：溫度變化和氣泡金屬140電磁分析磁場分析中考慮的物理量是磁通量密度、磁場密度、磁力、磁力矩、阻抗、電感、渦流、能耗及磁通量泄漏等.磁場可由電流、永磁體、外加磁場等產(chǎn)生.磁場分析

用于計(jì)算磁場.*電磁分析磁場分析中考慮的物理量是磁通量密度、磁場密度、磁力、141磁場分析的類型:靜磁場分析

-計(jì)算直流電（DC)或永磁體產(chǎn)生的磁場.交變磁場分析-計(jì)算由于交流電(AC)產(chǎn)生的磁場.瞬態(tài)磁場分析-計(jì)算隨時(shí)間隨機(jī)變化的電流或外界引起的磁場.電磁接觸：磁懸浮列車仿真*磁場分析的類型:電磁接觸：磁懸浮列車仿真*142電場分析

用于計(jì)算電阻或電容系統(tǒng)的電場.典型的物理量有電流密度、電荷密度、電場及電阻熱等.高頻電磁場分析用于微波及RF無源組件，波導(dǎo)、雷達(dá)系統(tǒng)、同軸連接器等分析.*電場分析用于計(jì)算電阻或電容系統(tǒng)的電場.典型的物理量有143流體分析

流體分析

用于確定流體的流動(dòng)及熱行為.可以處理不可壓縮或可壓縮流體、層流及湍流，以及多組份流等.作用于氣動(dòng)翼(葉)型上的升力和阻力超音速噴管中的流場彎管中流體的復(fù)雜的三維流動(dòng)導(dǎo)流管分析壓力速度*流體分析流體分析用于確定流體的流動(dòng)及熱行為.可以處理144超音速飛行壓力分布汽車氣動(dòng)分析高速導(dǎo)彈氣動(dòng)*超音速飛行壓力分布汽車氣動(dòng)分析高速導(dǎo)彈氣動(dòng)*145耦合場分析耦合場分析

考慮兩個(gè)或多個(gè)物理場之間的相互作用。如果兩個(gè)物理場之間相互影響，單獨(dú)求解一個(gè)物理場是不可能得到正確結(jié)果的，因此你需要一個(gè)能夠?qū)蓚€(gè)物理場組合到一起求解的分析軟件。