一、利用圖像和三角函數(shù)求解物理問題【例1】如圖1甲所示，一物體以一定的初速度v0沿足夠長斜面向上運(yùn)動(dòng)，此物體在斜面上的最大位移與斜面傾角的關(guān)系如圖乙所示。設(shè)各種條件下，物體運(yùn)動(dòng)過程中的動(dòng)摩擦因數(shù)均不變，g＝10m/s2。求：圖1(1)物體與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)及物體的初速度大??；(2)θ為多大時(shí)，x值最小并求出x的最小值。答案(1)eq\f(\r(3),3)5m/s(2)eq\f(π,3)1.08m解析(1)當(dāng)θ為eq\f(π,2)時(shí)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)可得veq\o\al(2,0)＝2gh，h＝x1＝eq\f(5,4)m當(dāng)θ＝0時(shí)，x0＝eq\f(5,4)eq\r(3)m，此時(shí)物體運(yùn)動(dòng)中必受摩擦阻力設(shè)動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，此時(shí)摩擦力大小為Ff＝μmg加速度大小為a1＝μg由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得veq\o\al(2,0)＝2a1x0聯(lián)立以上各式解得μ＝eq\f(\r(3),3)，v0＝5m/s。(2)對于任意角度，根據(jù)動(dòng)能定理可得，物體對應(yīng)的最大位移x滿足關(guān)系式mgxsinθ＋μmgxcosθ＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)聯(lián)立解得x＝eq\f(h,\r(1＋μ2)sin（θ＋φ）)x的最小值為xmin＝eq\f(h,\r(1＋μ2))＝eq\f(\r(3),2)h＝1.08mtanφ＝eq\f(\r(3),3)，φ＝eq\f(π,6)對應(yīng)的θ＝eq\f(π,2)－φ＝eq\f(π,2)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)。二、構(gòu)建“板塊運(yùn)動(dòng)模型”分析豎直面相對運(yùn)動(dòng)【例2】(2020·全國卷Ⅱ，25)如圖2，一豎直圓管質(zhì)量為M，下端距水平地面的高度為H，頂端塞有一質(zhì)量為m的小球。圓管由靜止自由下落，與地面發(fā)生多次彈性碰撞，且每次碰撞時(shí)間均極短；在運(yùn)動(dòng)過程中，管始終保持豎直。已知M＝4m，球和管之間的滑動(dòng)摩擦力大小為4mg，g為重力加速度的大小，不計(jì)空氣阻力。圖2(1)求管第一次與地面碰撞后的瞬間，管和球各自的加速度大??；(2)管第一次落地彈起后，在上升過程中球沒有從管中滑出，求管上升的最大高度；(3)管第二次落地彈起的上升過程中，球仍沒有從管中滑出，求圓管長度應(yīng)滿足的條件。答案(1)2g3g(2)eq\f(13,25)H(3)L≥eq\f(152,125)H解析(1)管第一次落地彈起的瞬間，小球仍然向下運(yùn)動(dòng)。設(shè)此時(shí)管的加速度大小為a1，方向向下；球的加速度大小為a2，方向向上；球與管之間的摩擦力大小為f，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律有Ma1＝Mg＋f①ma2＝f－mg②聯(lián)立①②式并代入題給數(shù)據(jù)，得a1＝2g，a2＝3g③(2)管第一次碰地前與球的速度大小相同。由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，碰地前瞬間它們的速度大小均為v0＝eq\r(2gH)④方向均向下。管彈起的瞬間，管的速度反向，球的速度方向依然向下。設(shè)自彈起時(shí)經(jīng)過時(shí)間t1，管與小球的速度剛好相同。取向上為正方向，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式v0－a1t1＝－v0＋a2t1⑤聯(lián)立③④⑤式得t1＝eq\f(2,5)eq\r(\f(2H,g))⑥設(shè)此時(shí)管下端的高度為h1，速度為v。由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得h1＝v0t1－eq\f(1,2)a1teq\o\al(2,1)⑦v＝v0－a1t1⑧由③④⑥⑧式可判斷此時(shí)v＞0。此后，管與小球?qū)⒁约铀俣萭減速上升h2，到達(dá)最高點(diǎn)。由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有h2＝eq\f(v2,2g)⑨設(shè)管第一次落地彈起后上升的最大高度為H1，則H1＝h1＋h2⑩聯(lián)立③④⑥⑦⑧⑨⑩式可得H1＝eq\f(13,25)H?(3)設(shè)第一次彈起過程中球相對管的位移為x1。在管開始下落到上升H1這一過程中，由動(dòng)能定理有Mg(H－H1)＋mg(H－H1＋x1)－4mgx1＝0?聯(lián)立??式并代入題給數(shù)據(jù)得x1＝eq\f(4,5)H?同理可推得，管與球從再次下落到第二次彈起至最高點(diǎn)的過程中，球與管的相對位移x2為x2＝eq