第八章應力狀態(tài)分析和強度理論AnalysisofStressandStrain第八章應力狀態(tài)分析和強度理論11.一點的應力狀態(tài)

桿件中不同橫截面上的內力一般不相同，同一橫截面上不同點的應力一般不相同，同一點不同方位的截面上的應力一般不相同這種應力情況即為點的應力狀態(tài)。

2.用單元體表示點的應力狀態(tài)１應力狀態(tài)概述1.一點的應力狀態(tài)2.用單元體表示點的應力狀態(tài)１應力狀態(tài)概23.基本變形中點的應力狀態(tài)初步分析(1)軸向拉伸和壓縮：

(2)扭轉：

3.基本變形中點的應力狀態(tài)初步分析(1)軸向拉伸和壓縮：3(3)彎曲：

4.主平面和主應力

剪應力為零的平面為主平面；主平面上的正應力稱主應力，按代數(shù)值大小順序排列分別是σ1、σ2和σ3

s1s2

s3(3)彎曲：4.主平面和主應力剪應力為零的平面為主平面45.應力狀態(tài)的分類單向應力狀態(tài)：只有一個主應力不為零；

二向應力狀態(tài)：只有二個主應力不為零；

三向應力狀態(tài)：三個主應力均不為零；

1.應力分量及其符號的規(guī)定正應力規(guī)定與截面外法線方向一致為正，反之為負；剪應力規(guī)定對單元體內任一點的矩順時針為正，反之為負；

2二向應力狀態(tài)分析5.應力狀態(tài)的分類單向應力狀態(tài)：只有一個主應力不為零；52.斜截面上的應力列出平衡方程：由剪應力互等定理2.斜截面上的應力列出平衡方程：由剪應力互等定理6整理得：

由上面兩式可得：這是關于σα和τα的圓方程；圓心坐標是半徑是

整理得：由上面兩式可得：這是關于σα和τα的圓方程；圓心坐73.應力圓以橫坐標表示正應力，縱坐標表示剪應力，畫出二向應力狀態(tài)的應力圓4.應力圓與單元體之間的對應關系

(1)應力圓上的每一點對應單元體上互成1800的二個面上的應力狀態(tài)；

(2)應力圓上的點按某一方向轉動2α角度，單元體上的面按相同方向轉動α角度；(3)應力圓與α軸的交點代表主平面上的應力；

(4)應力圓上代表主平面的點轉動900得到剪應力極值點；單元體上主平面轉動450得到剪應力極值平面；3.應力圓以橫坐標表示正應力，縱坐標表示剪應力，畫出二向應力8主應力的值：主應力所在截面方位：主應力的值：主應力所在截面方位：9剪應力的極值剪應力極值平面與主平面的夾角為450；兩個剪應力極值平面之間的夾角是900

剪應力的極值所在截面方位剪應力的極值剪應力極值平面與主平面的夾角為450；兩個剪應力104.基本變形應力狀態(tài)的應力圓(1)軸向拉伸和壓縮：

(2)扭轉：

(3)彎曲：

4.基本變形應力狀態(tài)的應力圓(1)軸向拉伸和壓縮：(2)扭11例1.在圖示各單元體中，試用解析法和應力圓求斜面ab上的應力。應力單位為MPa。解：（a）

（1）應力分量

（2）用解析法求斜截面上的應力

例1.在圖示各單元體中，試用解析法和應力圓求斜面ab上的應力12（3）應力圓

στ（70、0）（-70、0）600(35,36.5)（3）應力圓στ（70、0）（-70、0）600(35,313（d）

（1）應力分量

（2）用解析法求斜截面上的應力

（3）應力圓

（d）（1）應力分量（2）用解析法求斜截面上的應力（314例2已知圖示的單元體上的應力為σx=80MPa,σy=-40MPa,τxy=-60MPa；求主應力、主平面、剪應力極值和極值平面，并在單元體上表示出來。解：(1)求主平面：(2)求主應力：

例2解：(2)求主應力：15按代數(shù)值大小排列：

(3)求剪應力的極值和位置

α1=α0+45o=67.5o，對應τmax按代數(shù)值大小排列：(3)求剪應力的極值和位置α1=α0+4161.三向應力圓

σ1σ3σ2應力圓上及陰影內的點與三向應力狀態(tài)單元體中某一截面相對應從此可知：3三向應力狀態(tài)簡介1.三向應力圓σ1σ3σ2應力圓上及陰影內的點與三向應力狀17例3.已知應力狀態(tài)如圖所示，圖中的應力單位為MPa。試求：（1）主應力大小，主平面位置；（2）在單元體上給出主平面位置及主應力方向；（3）最大剪應力。解：

（1）應力分量

應力圓（2）求主平面位置和主應力大小

例3.已知應力狀態(tài)如圖所示，圖中的應力單位為MPa。試求：解18例3.已知應力狀態(tài)如圖所示，圖中的應力單位為MPa。試求：（1）主應力大小，主平面位置；（2）在單元體上給出主平面位置及主應力方向；（3）最大剪應力。解：

（2）求主平面位置和主應力大小

（3）最大剪應力

例3.已知應力狀態(tài)如圖所示，圖中的應力單位為MPa。試求：解19例4.薄壁圓筒的扭轉-拉伸示意圖如圖所示。若P=20kN，T=600NN·m，且d=50mm，=2mm。試求：（1）A點在指定斜截面上的應力。（2）A點主應力的大小及方向，并用單元體表示。解：（1）A點的應力狀態(tài)

屬二向應力狀態(tài)，應力分量是

例4.薄壁圓筒的扭轉-拉伸示意圖如圖所示。若P=20kN，T20例4.薄壁圓筒的扭轉-拉伸示意圖如圖所示。若P=20kN，T=600NN·m，且d=50mm，=2mm。試求：（1）A點在指定斜截面上的應力。（2）A點主應力的大小及方向，并用單元體表示。（2）斜截面的應力：

例4.薄壁圓筒的扭轉-拉伸示意圖如圖所示。若P=20kN，T21例4.薄壁圓筒的扭轉-拉伸示意圖如圖所示。若P=20kN，T=600NN·m，且d=50mm，=2mm。試求：（1）A點在指定斜截面上的應力。（2）A點主應力的大小及方向，并用單元體表示。（3）主方向

（4）主應力

（5）主單元體

例4.薄壁圓筒的扭轉-拉伸示意圖如圖所示。若P=20kN，T221.應變疊加原理各向同性材料在小變形的情況下，當應力不超過比例極限，則線應變只與正應力有關，剪應變只與剪應力有關，且由正應力引起的某一方向上的應變可以疊加；2.主方向上的廣義胡克定律由σ1引起三個主方向的線應變?yōu)椋?/p>

由σ2引起三個主方向的線應變?yōu)椋?/p>

由σ3引起三個主方向的線應變?yōu)椋?/p>

4廣義胡克定律

1.應變疊加原理各向同性材料在小變形的情況下，當應力不超過23疊加后得：

此即為廣義胡克定律在三個主方向上的表達式

疊加后得：此即為廣義胡克定律在三個主方向上的表達式243.一般形式的廣義胡克定律3.一般形式的廣義胡克定律25例5圖示鋼軸上作用一個力偶M=2500Nm，已知D=60mm，E=210GPa，μ=0.28；圓軸表面上任一點與母線成α=300方向上的正應變。解：(1)取A點的單元體，應力狀態(tài)為：τxy(2)求斜截面上的正應力

σατα(3)計算斜截面上的應變例5解：τxy(2)求斜截面上的正應力σατα(3)計算斜26例5.列車通過鋼橋時用變形儀量得鋼橋橫梁A點的應變?yōu)閤=0.0004，y=-0.00012。試求A點在x-x和y-y方向的正應力。設E=200GPa，μ=0.3。

解：根據(jù)廣義虎克定義：

解得

例5.列車通過鋼橋時用變形儀量得鋼橋橫梁A點的應變?yōu)閤=27例6.在一體積較大的鋼塊上開一個貫通的槽，其寬度和深度皆為10mm。在槽內緊密無隙地嵌入一鋁質立方塊，尺寸為10mm×10mm×10mm。當鋁塊受到壓力P=6kN的作用時，假設鋼塊不變形，鋁的彈性模量E=70GP,=0.33。試求鋁塊的三個主應力及相應的變形。解：（1）z方向的應力

（2）x面是自由面，x方向的正應力為零，即

（3）y方向的線應變?yōu)榱?/p>

（4）x、y、z三個方向是主方向，主應力是

（5）三個方向的線應變和變形

例6.在一體積較大的鋼塊上開一個貫通的槽，其寬度和深度皆為128第八章應力狀態(tài)分析和強度理論材料力學課件291.材料因強度不足發(fā)生破壞的基本類型

屈服破壞；

斷裂破壞；

2.強度理論的提出

材料發(fā)生強度破壞是由于應力、應變、應變能等某一因素引起的，與應力狀態(tài)是簡單還是復雜沒有關系；這些假設稱為強度理論；運用強度理論，可以由簡單應力狀態(tài)下的實驗結果，建立復雜應力狀態(tài)的強度條件；

3.四種常用的強度理論(1)最大拉應力理論(第一強度理論)：

發(fā)生斷裂破壞的主要因素是最大拉應力；通過簡單應力狀態(tài)的實驗得到斷裂破壞的極限應力σb，由此得到許用應力：它也可用于發(fā)生這種破壞形式的復雜應力狀態(tài)，強度條件是：

5強度理論概述

1.材料因強度不足發(fā)生破壞的基本類型

屈服破壞；

302)最大伸長線應變理論(第二強度理論)：發(fā)生斷裂破壞的主要因素是最大伸長線應變；在簡單應力狀態(tài)下，最大伸長線應變的極限值是：它是通過簡單應力狀態(tài)的實驗得到，將它應用于一般應力狀態(tài)，即強度條件為：

2)最大伸長線應變理論(第二強度理論)：發(fā)生斷裂破壞的主要31(3)最大剪應力理論(第三強度理論)：

發(fā)生屈服破壞的主要因素是最大剪應力；簡單應力狀態(tài)下，最大剪應力的極限值是：

它是通過簡單應力狀態(tài)的實驗得到，將它應用于一般應力狀態(tài)，即強度條件為：(3)最大剪應力理論(第三強度理論)：發(fā)生屈服破壞的主要因32(4)最大形狀改變比能理論(第四強度理論)：

發(fā)生屈服破壞的主要因素是最大形狀改變比能；

強度條件是：4.四個強度理論的統(tǒng)一式：σr稱相當應力；

(4)最大形狀改變比能理論(第四強度理論)：發(fā)生屈服破壞的33例7薄壁鍋爐的內徑D=1060mm，壁厚t=25mm，蒸氣壓力p=2.5MPa，材料許用應力[σ]=40MPa；按最大剪應力理論校核鍋爐的強度。解：(1)由橫截面分離體的平衡條件(2)由縱截面分離體的平衡條件(3)確定主應力例7薄壁鍋爐的內徑D=1060mm，壁厚t=25mm，34例8.鑄鐵薄管如圖所示。若管的外徑為200mm，厚度

t=15mm，內壓力p=4MPa，P=200kN。鑄鐵的抗拉許用壓力[t]=30MPa，=0.25。試用第二強度理論和第一強度理論校核薄管的強度。解：（1）應力狀態(tài)

（2）計算應力

（3）用第一強度理論校核

（4）用第二強度理論校核

（5）結論：強度足夠。

例8.鑄鐵薄管如圖所示。若管的外徑為200mm，厚度

t=135解：拉扭組合,危險點應力狀態(tài)如圖例9直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖,T=7kNm,P=50kN,

[]=100MPa,試按第三強度理論校核此桿的強度。故，安全。AAPPTT解：拉扭組合,危險點應力狀態(tài)如圖例9直徑為d=0.1m的圓36第八章應力狀態(tài)分析和強度理論AnalysisofStressandStrain第八章應力狀態(tài)分析和強度理論371.一點的應力狀態(tài)

桿件中不同橫截面上的內力一般不相同，同一橫截面上不同點的應力一般不相同，同一點不同方位的截面上的應力一般不相同這種應力情況即為點的應力狀態(tài)。

2.用單元體表示點的應力狀態(tài)１應力狀態(tài)概述1.一點的應力狀態(tài)2.用單元體表示點的應力狀態(tài)１應力狀態(tài)概383.基本變形中點的應力狀態(tài)初步分析(1)軸向拉伸和壓縮：

(2)扭轉：

3.基本變形中點的應力狀態(tài)初步分析(1)軸向拉伸和壓縮：39(3)彎曲：

4.主平面和主應力

剪應力為零的平面為主平面；主平面上的正應力稱主應力，按代數(shù)值大小順序排列分別是σ1、σ2和σ3

s1s2

s3(3)彎曲：4.主平面和主應力剪應力為零的平面為主平面405.應力狀態(tài)的分類單向應力狀態(tài)：只有一個主應力不為零；

二向應力狀態(tài)：只有二個主應力不為零；

三向應力狀態(tài)：三個主應力均不為零；

1.應力分量及其符號的規(guī)定正應力規(guī)定與截面外法線方向一致為正，反之為負；剪應力規(guī)定對單元體內任一點的矩順時針為正，反之為負；

2二向應力狀態(tài)分析5.應力狀態(tài)的分類單向應力狀態(tài)：只有一個主應力不為零；412.斜截面上的應力列出平衡方程：由剪應力互等定理2.斜截面上的應力列出平衡方程：由剪應力互等定理42整理得：

由上面兩式可得：這是關于σα和τα的圓方程；圓心坐標是半徑是

整理得：由上面兩式可得：這是關于σα和τα的圓方程；圓心坐433.應力圓以橫坐標表示正應力，縱坐標表示剪應力，畫出二向應力狀態(tài)的應力圓4.應力圓與單元體之間的對應關系

(1)應力圓上的每一點對應單元體上互成1800的二個面上的應力狀態(tài)；

(2)應力圓上的點按某一方向轉動2α角度，單元體上的面按相同方向轉動α角度；(3)應力圓與α軸的交點代表主平面上的應力；

(4)應力圓上代表主平面的點轉動900得到剪應力極值點；單元體上主平面轉動450得到剪應力極值平面；3.應力圓以橫坐標表示正應力，縱坐標表示剪應力，畫出二向應力44主應力的值：主應力所在截面方位：主應力的值：主應力所在截面方位：45剪應力的極值剪應力極值平面與主平面的夾角為450；兩個剪應力極值平面之間的夾角是900

剪應力的極值所在截面方位剪應力的極值剪應力極值平面與主平面的夾角為450；兩個剪應力464.基本變形應力狀態(tài)的應力圓(1)軸向拉伸和壓縮：

(2)扭轉：

(3)彎曲：

4.基本變形應力狀態(tài)的應力圓(1)軸向拉伸和壓縮：(2)扭47例1.在圖示各單元體中，試用解析法和應力圓求斜面ab上的應力。應力單位為MPa。解：（a）

（1）應力分量

（2）用解析法求斜截面上的應力

例1.在圖示各單元體中，試用解析法和應力圓求斜面ab上的應力48（3）應力圓

στ（70、0）（-70、0）600(35,36.5)（3）應力圓στ（70、0）（-70、0）600(35,349（d）

（1）應力分量

（2）用解析法求斜截面上的應力

（3）應力圓

（d）（1）應力分量（2）用解析法求斜截面上的應力（350例2已知圖示的單元體上的應力為σx=80MPa,σy=-40MPa,τxy=-60MPa；求主應力、主平面、剪應力極值和極值平面，并在單元體上表示出來。解：(1)求主平面：(2)求主應力：

例2解：(2)求主應力：51按代數(shù)值大小排列：

(3)求剪應力的極值和位置

α1=α0+45o=67.5o，對應τmax按代數(shù)值大小排列：(3)求剪應力的極值和位置α1=α0+4521.三向應力圓

σ1σ3σ2應力圓上及陰影內的點與三向應力狀態(tài)單元體中某一截面相對應從此可知：3三向應力狀態(tài)簡介1.三向應力圓σ1σ3σ2應力圓上及陰影內的點與三向應力狀53例3.已知應力狀態(tài)如圖所示，圖中的應力單位為MPa。試求：（1）主應力大小，主平面位置；（2）在單元體上給出主平面位置及主應力方向；（3）最大剪應力。解：

（1）應力分量

應力圓（2）求主平面位置和主應力大小

例3.已知應力狀態(tài)如圖所示，圖中的應力單位為MPa。試求：解54例3.已知應力狀態(tài)如圖所示，圖中的應力單位為MPa。試求：（1）主應力大小，主平面位置；（2）在單元體上給出主平面位置及主應力方向；（3）最大剪應力。解：

（2）求主平面位置和主應力大小

（3）最大剪應力

例3.已知應力狀態(tài)如圖所示，圖中的應力單位為MPa。試求：解55例4.薄壁圓筒的扭轉-拉伸示意圖如圖所示。若P=20kN，T=600NN·m，且d=50mm，=2mm。試求：（1）A點在指定斜截面上的應力。（2）A點主應力的大小及方向，并用單元體表示。解：（1）A點的應力狀態(tài)

屬二向應力狀態(tài)，應力分量是

例4.薄壁圓筒的扭轉-拉伸示意圖如圖所示。若P=20kN，T56例4.薄壁圓筒的扭轉-拉伸示意圖如圖所示。若P=20kN，T=600NN·m，且d=50mm，=2mm。試求：（1）A點在指定斜截面上的應力。（2）A點主應力的大小及方向，并用單元體表示。（2）斜截面的應力：

例4.薄壁圓筒的扭轉-拉伸示意圖如圖所示。若P=20kN，T57例4.薄壁圓筒的扭轉-拉伸示意圖如圖所示。若P=20kN，T=600NN·m，且d=50mm，=2mm。試求：（1）A點在指定斜截面上的應力。（2）A點主應力的大小及方向，并用單元體表示。（3）主方向

（4）主應力

（5）主單元體

例4.薄壁圓筒的扭轉-拉伸示意圖如圖所示。若P=20kN，T581.應變疊加原理各向同性材料在小變形的情況下，當應力不超過比例極限，則線應變只與正應力有關，剪應變只與剪應力有關，且由正應力引起的某一方向上的應變可以疊加；2.主方向上的廣義胡克定律由σ1引起三個主方向的線應變?yōu)椋?/p>

由σ2引起三個主方向的線應變?yōu)椋?/p>

由σ3引起三個主方向的線應變?yōu)椋?/p>

4廣義胡克定律

1.應變疊加原理各向同性材料在小變形的情況下，當應力不超過59疊加后得：

此即為廣義胡克定律在三個主方向上的表達式

疊加后得：此即為廣義胡克定律在三個主方向上的表達式603.一般形式的廣義胡克定律3.一般形式的廣義胡克定律61例5圖示鋼軸上作用一個力偶M=2500Nm，已知D=60mm，E=210GPa，μ=0.28；圓軸表面上任一點與母線成α=300方向上的正應變。解：(1)取A點的單元體，應力狀態(tài)為：τxy(2)求斜截面上的正應力

σατα(3)計算斜截面上的應變例5解：τxy(2)求斜截面上的正應力σατα(3)計算斜62例5.列車通過鋼橋時用變形儀量得鋼橋橫梁A點的應變?yōu)閤=0.0004，y=-0.00012。試求A點在x-x和y-y方向的正應力。設E=200GPa，μ=0.3。

解：根據(jù)廣義虎克定義：

解得

例5.列車通過鋼橋時用變形儀量得鋼橋橫梁A點的應變?yōu)閤=63例6.在一體積較大的鋼塊上開一個貫通的槽，其寬度和深度皆為10mm。在槽內緊密無隙地嵌入一鋁質立方塊，尺寸為10mm×10mm×10mm。當鋁塊受到壓力P=6kN的作用時，假設鋼塊不變形，鋁的彈性模量E=70GP,=0.33。試求鋁塊的三個主應力及相應的變形。解：（1）z方向的應力

（2）x面是自由面，x方向的正應力為零，即

（3）y方向的線應變?yōu)榱?/p>

（4）x、y、z三個方向是主方向，主應力是

（5）三個方向的線應變和變形

例6.在一體積較大的鋼塊上開一個貫通的槽，其寬度和深度皆為164第八章應力狀態(tài)分析和強度理論材料力學課件651.材料因強度不足發(fā)生破壞的基本類型

屈服破壞；

斷裂破壞；

2.強度理論的提出

材料發(fā)生強度破壞是由于應力、應變、應變能等某一因素引起的，與應力狀態(tài)是簡單還是復雜沒有關系；這些假設稱為強度理論；運用強度理論，可以由簡單應力狀態(tài)下的實驗結果，建立復雜應力狀態(tài)的強度條件；

3.四種常用的強度理論(1)最大拉應力理論(第一強度理論)：