題目：討論平面靜電場中的

復變函數(shù)方法報告人：xxx

指導老師：xxxxx1感謝你的欣賞2019-8-14

題目：討論平面靜電場中的

復變函數(shù)方法1感謝你的欣賞201一、引言（1）在電磁學中，我們對電場的問題總是在一個三維的空間進行討論，而電場中諸多的對稱性讓我們想到在一個剖切面進行考慮問題(2)復變函數(shù)有時在平面解決問題的一個很好的工具。本文正是把電場中的問題變換成復變函數(shù)模型，進而進行分析。2感謝你的欣賞2019-8-14一、引言（1）在電磁學中，我們對電場的問題總是在一個三維的空

二、把靜電場中的一些問題化為復變函數(shù)模型3感謝你的欣賞2019-8-14

二、把靜電場中的一些問題化為復變函數(shù)模型3感謝你的對于一般的平面靜電場，我們選取一個有代表性的平面作為z平面，設D是電場中的一大單連通區(qū)域，如果D內每一點電場強度

的散度：(1)以C表示一光滑曲線，Ω是D所圍的有界區(qū)域，且

，由格林公式：

上式表示沿閉曲線C的電通量，確定單值函數(shù)：

(2)稱為電場的力函數(shù)，等值線=a（常數(shù)）叫電力線。4感謝你的欣賞2019-8-14對于一般的平面靜電場，我們選取一個有代表性的平面作為z4電場的旋度：(3)

類似有：

上式表示沿閉曲線C所作的功，確定單值函數(shù)：

(4)

稱為電場的勢函數(shù)，其等值線=b（常數(shù)）叫電勢線。5感謝你的欣賞2019-8-145感謝你的欣賞2019-8-14由(1)(3)得(5)

滿足C-R方程，故是D內的全純函數(shù)同理，復勢是D內的全純函數(shù)且知與E滿足如下關系:

(6)

6感謝你的欣賞2019-8-14由(1)(3)得應當指出:在多連同區(qū)域內,復勢可能是一個多值函數(shù),對于

此區(qū)域內任意一條光滑曲線C,有(7)其中ГQ分別是平面靜電場沿C的所做的功與電通量.7感謝你的欣賞2019-8-14應當指出:在多連同區(qū)域內,復勢可能是一個多值函數(shù),對于7感謝

三、簡單初等函數(shù)表示平面靜電場的幾個例子8感謝你的欣賞2019-8-14

三、簡單初等函數(shù)表示平面靜電場的幾個例子8感謝你的（一）考慮一足夠長(可以看成無限長)的均勻帶電直線所產生的電場,以λ表電荷的線密度,任取垂直于的一個平面為平面,且原點在平面上,現(xiàn)來求此平面靜電場的電場強度和復勢.9感謝你的欣賞2019-8-14（一）考慮一足夠長(可以看成無限長)的均勻帶電直線所產生的電分析如下:庫倫定理知，點電荷q在相距其r處產生的電場:

則本題中

其中λ是點電荷的線密度，dh是直線上的長度微元，是真空介電常數(shù)所以，|dE|在z平面的投影為10感謝你的欣賞2019-8-14分析如下:10感謝你的欣賞2019-8-14推出由于E的方向與z相同，其單位向量為所以電場強度E的初等復變函數(shù)的表示為:---------(8)

11感謝你的欣賞2019-8-14推出11感謝你的欣賞2019-8-14

而根據(6)復勢為：

(9)

為了方便,上式中取常數(shù)c=0.這不影響電場強度E所以

為力函數(shù).（常數(shù)）表示電力線(虛線).為勢函數(shù).表示等勢線（實線）.（如右圖所示）12感謝你的欣賞2019-8-14而根據(6)復勢為：12感謝你的欣賞2019-8-14以C表示一原點為中心的一個圓周,則由(7)式得

令，則

即易知:因此,該點電荷C的環(huán)量為0,沿C的電通量為這與電場的環(huán)路定理和高斯定理相吻合.13感謝你的欣賞2019-8-14以C表示一原點為中心的一個圓周,則由(7)式得13感謝你的欣(二)在Z平面的點..…處分別有電量為……的點電荷.求這些點電荷所形成的電場的電場強度和復勢.分析如下:由上計算知根據電路的疊加原理,上述電荷所組成的電場的電場強度為:

復勢為：

14感謝你的欣賞2019-8-14(二)在Z平面的點..…處分別有電量為特別地,當，

（即電偶極子），且在的點電荷的電量為，則由這兩異性的點電荷所形成的復勢為：

而力函數(shù)，當(為常數(shù))，電力線是經過的圓周又勢函數(shù)，當（b為常數(shù)），等勢線是以為對稱的圓周.（見下圖）15感謝你的欣賞2019-8-14特別地,當16感謝你的欣賞2019-8-1416感謝你的欣賞2019-8-14

四.用復變的方法處理靜電場的具體問題---平行板電容器所形成的電場.17感謝你的欣賞2019-8-14

四.用復變的方法處理靜電場的具體問題---平行板考慮在平行板電容器內部,而不是兩端附近的靜電場,那么可以近似的把電場看成是均勻的.在兩端附近是不均勻的.但我們考慮一端附近的靜電場,可以忽略另一端的影響,那么可以把平行板電容器表示成兩個半平面的形狀,下圖就是垂直與一平行板的剖面圖.以表示平行板間的距離2h,又設它們的電勢分別為18感謝你的欣賞2019-8-14考慮在平行板電容器內部,而不是兩端附近的靜電場,那么可以近似因此,要求出此平面靜電場的復勢,只有解如下邊值問題.即上圖中所示區(qū)域內的解析函數(shù),使它滿足邊界條件：

且使

實際上,這只要找出區(qū)域D到W平面上寬為2b的帶形區(qū)域G的共形映射（見下圖）19感謝你的欣賞2019-8-14因此,要求出此平面靜電場的復勢,只???

施瓦茲---科利斯多費爾定理20感謝你的欣賞2019-8-14???施瓦茲---科利斯多費爾定理20感謝你的欣賞這樣我們就找到了從映射G到D的單葉解析函數(shù)：將上式分成實部和虛部得：分別在上式中取常數(shù)，與常數(shù)，便得電力線和等勢線的參數(shù)方程21感謝你的欣賞2019-8-14這樣我們就找到了從映射G到D的單葉解析函數(shù)：21感謝你的欣賞由上式及(6)還求的電場強度：在此平行板電容器的內部,即z接近A點，又w接近，故電場強度也就是接近勻強電場.當z在平行板電容器一端附近,即接近B或E，，此時,E趨于。上式的E值反映了電容器所形成的電場強度的大小情況.22感謝你的欣賞2019-8-14由上式及(6)還求的電場強度：22感謝你的欣賞2019-8-五.總結本文先把平面靜電場的一些問題化為復變函數(shù)的問題,然后用共形映射與邊值問題的方法處理這些問題.通過著篇論文我學到了很多知識，對電場問題有了更多地了解，也更深刻地了解到變函數(shù)這個工具的強大力量23感謝你的欣賞2019-8-14五.總結本文先把平面靜電場的一些問題化為復變函數(shù)的問題,然后參考資料:張玉民,戚伯云,電磁學.科學出版社—中國科學技術大學出版社2000鄭建華,復變函數(shù).清華大學出版社.2005.1聞國椿,殷慰萍,復變函數(shù)的應用.首都師范大學出版社.1999.724感謝你的欣賞2019-8-14參考資料:張玉民,戚伯云,電磁學.科學出版社—中國科學技術大謝謝25感謝你的欣賞2019-8-14謝謝25感謝你的欣賞2019-8-1426感謝你的欣賞2019-8-1426感謝你的欣賞2019-8-1427感謝你的欣賞2019-8-1427感謝你的欣賞2019-8-14

題目：討論平面靜電場中的

復變函數(shù)方法報告人：xxx

指導老師：xxxxx28感謝你的欣賞2019-8-14

題目：討論平面靜電場中的

復變函數(shù)方法1感謝你的欣賞201一、引言（1）在電磁學中，我們對電場的問題總是在一個三維的空間進行討論，而電場中諸多的對稱性讓我們想到在一個剖切面進行考慮問題(2)復變函數(shù)有時在平面解決問題的一個很好的工具。本文正是把電場中的問題變換成復變函數(shù)模型，進而進行分析。29感謝你的欣賞2019-8-14一、引言（1）在電磁學中，我們對電場的問題總是在一個三維的空

二、把靜電場中的一些問題化為復變函數(shù)模型30感謝你的欣賞2019-8-14

二、把靜電場中的一些問題化為復變函數(shù)模型3感謝你的對于一般的平面靜電場，我們選取一個有代表性的平面作為z平面，設D是電場中的一大單連通區(qū)域，如果D內每一點電場強度

的散度：(1)以C表示一光滑曲線，Ω是D所圍的有界區(qū)域，且

，由格林公式：

上式表示沿閉曲線C的電通量，確定單值函數(shù)：

(2)稱為電場的力函數(shù)，等值線=a（常數(shù)）叫電力線。31感謝你的欣賞2019-8-14對于一般的平面靜電場，我們選取一個有代表性的平面作為z4電場的旋度：(3)

類似有：

上式表示沿閉曲線C所作的功，確定單值函數(shù)：

(4)

稱為電場的勢函數(shù)，其等值線=b（常數(shù)）叫電勢線。32感謝你的欣賞2019-8-145感謝你的欣賞2019-8-14由(1)(3)得(5)

滿足C-R方程，故是D內的全純函數(shù)同理，復勢是D內的全純函數(shù)且知與E滿足如下關系:

(6)

33感謝你的欣賞2019-8-14由(1)(3)得應當指出:在多連同區(qū)域內,復勢可能是一個多值函數(shù),對于

此區(qū)域內任意一條光滑曲線C,有(7)其中ГQ分別是平面靜電場沿C的所做的功與電通量.34感謝你的欣賞2019-8-14應當指出:在多連同區(qū)域內,復勢可能是一個多值函數(shù),對于7感謝

三、簡單初等函數(shù)表示平面靜電場的幾個例子35感謝你的欣賞2019-8-14

三、簡單初等函數(shù)表示平面靜電場的幾個例子8感謝你的（一）考慮一足夠長(可以看成無限長)的均勻帶電直線所產生的電場,以λ表電荷的線密度,任取垂直于的一個平面為平面,且原點在平面上,現(xiàn)來求此平面靜電場的電場強度和復勢.36感謝你的欣賞2019-8-14（一）考慮一足夠長(可以看成無限長)的均勻帶電直線所產生的電分析如下:庫倫定理知，點電荷q在相距其r處產生的電場:

則本題中

其中λ是點電荷的線密度，dh是直線上的長度微元，是真空介電常數(shù)所以，|dE|在z平面的投影為37感謝你的欣賞2019-8-14分析如下:10感謝你的欣賞2019-8-14推出由于E的方向與z相同，其單位向量為所以電場強度E的初等復變函數(shù)的表示為:---------(8)

38感謝你的欣賞2019-8-14推出11感謝你的欣賞2019-8-14

而根據(6)復勢為：

(9)

為了方便,上式中取常數(shù)c=0.這不影響電場強度E所以

為力函數(shù).（常數(shù)）表示電力線(虛線).為勢函數(shù).表示等勢線（實線）.（如右圖所示）39感謝你的欣賞2019-8-14而根據(6)復勢為：12感謝你的欣賞2019-8-14以C表示一原點為中心的一個圓周,則由(7)式得

令，則

即易知:因此,該點電荷C的環(huán)量為0,沿C的電通量為這與電場的環(huán)路定理和高斯定理相吻合.40感謝你的欣賞2019-8-14以C表示一原點為中心的一個圓周,則由(7)式得13感謝你的欣(二)在Z平面的點..…處分別有電量為……的點電荷.求這些點電荷所形成的電場的電場強度和復勢.分析如下:由上計算知根據電路的疊加原理,上述電荷所組成的電場的電場強度為:

復勢為：

41感謝你的欣賞2019-8-14(二)在Z平面的點..…處分別有電量為特別地,當，

（即電偶極子），且在的點電荷的電量為，則由這兩異性的點電荷所形成的復勢為：

而力函數(shù)，當(為常數(shù))，電力線是經過的圓周又勢函數(shù)，當（b為常數(shù)），等勢線是以為對稱的圓周.（見下圖）42感謝你的欣賞2019-8-14特別地,當43感謝你的欣賞2019-8-1416感謝你的欣賞2019-8-14

四.用復變的方法處理靜電場的具體問題---平行板電容器所形成的電場.44感謝你的欣賞2019-8-14

四.用復變的方法處理靜電場的具體問題---平行板考慮在平行板電容器內部,而不是兩端附近的靜電場,那么可以近似的把電場看成是均勻的.在兩端附近是不均勻的.但我們考慮一端附近的靜電場,可以忽略另一端的影響,那么可以把平行板電容器表示成兩個半平面的形狀