數(shù)值計算方法期末考優(yōu)秀試題數(shù)值計算方法期末考優(yōu)秀試題12/12數(shù)值計算方法期末考優(yōu)秀試題標(biāo)準(zhǔn)文檔1y21.已知函數(shù)1x的一組數(shù)據(jù)：求分段線性插值函數(shù)，并計算的近似值.計算題1.答案%x1x01.解x0,1Lx011，10%x2x1x1,2Lx2，121所以分段線性插值函數(shù)為%x0,1Lxx1,2%L1101dx4.寫出梯形公式和辛卜生公式，并用來分別計算積分x.計算題4.答案bbafafbfxdx4解梯形公式a2111[1101dx20應(yīng)用梯形公式得x111bfxdxba[fa4f(ab)fb]辛卜生公式為a6211101001dx6[f04f()f1]應(yīng)用辛卜生公式得x2合用文案標(biāo)準(zhǔn)文檔1[1411]256101111362四、證明題（本題10分）確定以下求積公式中的待定系數(shù)，并證明確定后的求積公式擁有3次代數(shù)精確度hfxdxA1fhA0f0A1fhh證明題答案證明：求積公式中含有三個待定系數(shù)，即A1,A0,A1，將fx1,x,x2分別代入求積公式，并令其左右相等，得A1A0A12hh(A1A1)0h2(A1A)2h313A1A11hA04h得3，3。所求公式最少有兩次代數(shù)精確度。又由于hhh3hh3x3dxh33x4dxhh4h4hh33hhhfh4f0hfhfxdx故h333擁有三次代數(shù)精確度。合用文案標(biāo)準(zhǔn)文檔31,x9f(x)x2,x01,x1．設(shè)4124fx1,9x使?jié)M足（1）試求在44上的三次Hermite插值多項式H(xj)f(xj),j0,1,2,...H'(x1)f'(x1)以升冪形式給出。（2）寫出余項R(x)f(x)H(x)的表達(dá)式計算題1.答案x14x3263x2233x11、（1）225450450251951)(x1)2(x9),(x)(1,9)Rx2(x（2）4!1644443．試確定常數(shù)A，B，C和a，使得數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它可否為Gauss型的？計算題3.答案A101612C,B,a3、995，該數(shù)值求積公式擁有5次代數(shù)精確度，它是Gauss型的y'f(x,y)4．推導(dǎo)常微分方程的初值問題y(x0)y0的數(shù)值解公式：yn1yn1h(yn'14yn'yn'1)3（提示：利用Simpson求積公式。）計算題4.答案合用文案標(biāo)準(zhǔn)文檔’xn1,xn1上積分，4、數(shù)值積分方法構(gòu)造該數(shù)值解公式：對方程yf(x)在區(qū)間xn1y(xn1)y(xn1)xn1f(x,y(x))dx得，記步長為h,xn1f(x,y(x))dx對積分xn1用Simpson求積公式得xn12hh’’’f(x,y(x))dxf(xn1)4f(xn)f(xn1)(yn14ynyn1)xn163yn1yn1h(yn’14yn’yn’1)所以得數(shù)值解公式：3(1).（15分）用二次拉格朗日插值多項式L2(x)計算的值。插值節(jié)點和相應(yīng)的函數(shù)值是（0，0），（，），（，）。計算題1.答案L2(x)(xx1)(xx2)f0(xx0)(xx2)f1(xx0)(xx1)f2(xx)(xx)(xx)(x1x2)(x2x)(x2x)010210011）4).（15分）求系數(shù)A1,A2和A3,使求積公式1f(x)dx1計算題4.答案A1A2A14）

A1f(1)A21)A31對于次數(shù)的所有多項式都精確成立f(f( )233。11112A32A13A23A30A19A29A331A20A3322合用文案標(biāo)準(zhǔn)文檔三、計算題（70分）（10分）已知f(0)＝1，f(3)＝，f(4)＝，求過這三點的二次插值基函數(shù)l1(x)=()，f[0,3,4]=(),插值多項式P(x)=(),用三點式求得f(4)().2計算題1.答案由插值公式可求得它們分別為：1x(x4),7,17x7x(x3),和2031．312151261Af(0.5)Bf(x1)Cf(0.5)3.（15分）確定求積公式f(x)dx1的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并確定其代數(shù)精度.計算題3.答案假設(shè)公式對f(x)1,x,x2,x3精確成立則有ABC20.5ABx10Bx12233Bx01解此方程組得AC423,B3求積公式為11f(x)dx[4f(0.5)2f(0)4f(0.5)],當(dāng)f(x)x4時,13左邊2右邊1左邊右邊代數(shù)精度為3。56y3x2y0x1y(0)14.（15分）設(shè)初值問題.寫出用Euler方法、步長h=0.1解上述初值問題數(shù)值解的公式；寫出用改進(jìn)的Euler法（梯形法）、步長h=0.2解上述初值問題數(shù)值解的公式，并求解y1,y2，保留兩位小數(shù)。計算題4.答案4.(1)yn1yn0.1(3xn2yn)0.3xn1.2yn合用文案標(biāo)準(zhǔn)文檔(2)yn1yn(3xn2yn)3(xn0.2)2yn12=yn0.1(6xn2yn2yn10.6)yn13yn3xn32440迭達(dá)得y133363332401.575,y24042405.（15分）取節(jié)點x00,x10.5,x21，求函數(shù)yex在區(qū)間[0,1]上的二次插值多項式P2(x)，并估計誤差。計算題5.答案ee1ee1p2(x)e01(x0)10(x0)(x0.5)0105．=1+2(e1)x2(e12e1)x(x0.5)y''ex,M3maxy''1,exp2(x)f( )x(x0.5)(x1)x0,13!exp2(x)1x(x0.5)(x1)0x1時，3!合用文案標(biāo)準(zhǔn)文檔二、計算題1、已知函數(shù)yf(x)的相關(guān)數(shù)據(jù)P3(x)3P(1)由牛頓插值公式求三次插值多項式，并計算2的近似值。計算題1.答案解：差商表由牛頓插值公式：p3(x)N3(x)4x32x28x1,333p3(1)4(1)32(1)28(1)122322322、（10分）利用尤拉公式求解初值問題，其中步長，yyx1,x(0,0.6)y(0)1.。計算題2.答案f(x,y)yx1,y01,h0.1,yn1yn0.1(xn1yn),(n0,1,2,3,)y01,yk1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;解：1.056100;1.090490;1.131441.3、（15分）確定求積公式合用文案標(biāo)準(zhǔn)文檔hhf(x)dxA0f(h)A1f(0)A2f(h)。中待定參數(shù)Ai的值(i0,1,2)，使求積公式的代數(shù)精度盡量高；并指出此時求積公式的代數(shù)精度。計算題3.答案解：分別將f(x)1,x,x2A0A21h,A14h，代入求積公式，可得33。令f(x)x3時求積公式成立，而f(x)x4時公式不成立，從而精度為3。4、（15分）已知一組試驗數(shù)據(jù)以下：求它的擬合曲線（直線）。計算題4.答案5a15b31解：設(shè)yabx則可得于是a2.45,b1.25，即1.25x。合用文案標(biāo)準(zhǔn)文檔1、（10分）已知數(shù)據(jù)以下：y

1求形如abx擬合函數(shù)。計算題1.答案1abx,令z1,則zabxyy55255xi9,x17.8,zi16.971,zixiii1i1i1i1解此方程組得59a9b擬合曲線為aby1解：2、（15分）用二次拉格朗日插值多項式L2(x)計算。插值節(jié)點和相應(yīng)的函數(shù)值如下表。計算題2.答案解：過點(x0,f0),(x1,f1),(x2,f2)的二次拉格朗日插值多項式為(xx1)(xx2)(xx0)(xx2)(xx0)(xx1)L2(x)x1)(x0x2)f0f1(x2f2(x0(x1x0)(x1x2)x0)(x2x1)代值并計算得L2。合用文案標(biāo)準(zhǔn)文檔3、（15分）利用改進(jìn)的尤拉方法求解初值問題，其中步長hyyx,x(0,0.8)y(0)1.。計算題3.答案解：yn1ynh(ynxn),(n0,1,2,3,L)yk1.000000;1.240000;1.576800;2.031696;hyn1yn2[(ynxn)(yn1xn1)],y01,2.630669;3.405416.x01,x11,x23,4、（15分）已知424(1)推導(dǎo)以這三點為求積節(jié)點在[0,1]上的插值型求積公式11130f(x)dxA0f( )A1f( )A2f( )424；1x2dx(2)指明求積公式所擁有的代數(shù)精度；(3)用所求公式計算0。計算題4.（1）答案計算題4.（2）&（3）答案（2）所求的求積公式是插值型，故最少擁有2次代數(shù)精度，再將f(x)x3,x4代入上述公式，可得13dx11[2(1)3(1)32(3)3],x04342414dx11[2(1)4(1)42(3)4],x053424故代數(shù)精度是3次。x2dx1[2(1)2(1)22(3)2]11（3）由（2）可得：034243。合用文案標(biāo)準(zhǔn)文檔所求插值型的求積公式形如：1f(x)dxA0f(11A2f(30)A1f( ))42413A01l0(x)dx1(xx1)(xx2)dx1(x2)(x4)dx2;00(x0x1)(x0x2)011133(2)()44413A11l1(x)dx1(xx0)(xx2)dx1(x4)(x4)dx1;00(x1x0)(x1x2)011133(4)()22411A1l(x)dx1(xx0)(xx1)dx1(x4)(x2)dx2;2020(x2x0)(x2x1)031313(4)()442故f(x)dx1[2f(1)f(1)2f(3)]103424。二、計算題31,x11,x29f(x)x2,x01).（15分）設(shè)4419]（1）試求f(x)[,在44上的三次Hermite插值多項式H(x)使?jié)M足H(xj)f(xj),j0,1,2,...H'(x)f'(x)H(x)以升冪形式給出。,（2）寫出余項R(x)f(x)H(x)的表達(dá)式H(x)14x3263x2233x1（1）255450450251951)(x1)2(x9),(x)(1,9)R(x)2(x（2）4