第8講異方第8章1什么是異方差經(jīng)典假定之一：隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)ui

|X

i1,2,...,異方差：ui的方差隨XiVar(u|X)22f(X 2

.E(Y|X)=0+.

Education323230 04異方差的來(lái)1、模型中遺漏了某些解釋變Yi

1Xi

5異方差的來(lái)2、模型函數(shù)形式的設(shè)定導(dǎo)致模型關(guān)系確的誤差。例如，將指數(shù)曲線6指數(shù)模型設(shè)為線性模7異方差的來(lái)3、分組數(shù)據(jù)導(dǎo)致組間異811 x020異方差的來(lái)4、樣本數(shù)據(jù)的測(cè)量誤一方面，樣本數(shù)據(jù)的測(cè)量誤差隨時(shí)間的推移而逐因此，在時(shí)間序列數(shù)據(jù)資料中，由于在不同時(shí)期測(cè)量誤差的大小不同，從而隨機(jī)誤差項(xiàng)就具有異異方差的來(lái)5經(jīng)濟(jì)變量本身會(huì)受到很多因素的影響（政策變動(dòng)、自然、金融等），同時(shí)，社會(huì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題涉及人的思維和行為、也涉及各階層的物質(zhì)利益，人的行為具有很多不確定因素。因此，經(jīng)濟(jì)分析中經(jīng)常會(huì)遇到異方差性的問(wèn)題。如：波動(dòng)、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)預(yù)測(cè)、人口預(yù)測(cè)異方差的來(lái)6、經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，但模型參數(shù)沒(méi)作相應(yīng)調(diào)整7、異常值的出現(xiàn)也會(huì)產(chǎn)生異異方差的來(lái)經(jīng)驗(yàn)表明異方差當(dāng)存在異方差時(shí)它們是對(duì)總體R平方1[Var(u)/Var(Y)]的估計(jì)，其中 無(wú)論Var(u|XVar(Y|X)是否依賴于X，它們都可以一致地估計(jì)總體R平方R2=1-SSR/SST，即SSR/n可以一致地估計(jì)Var(u)，SST/n可以一致地估計(jì)Var(Y)

X1

Y

X1 1 1

X

X11

E1

X 1 1

X1E(ui)21 21

X1?1 1n1n1

1

n1n

X12在分子分母中應(yīng)用大數(shù)定律，則它們分別在2給定VarX10，則

CovX1,u1 VarX 1為何關(guān)心異方差異方差存在時(shí)的方一個(gè)簡(jiǎn)單情況是

Xi

X

，所以對(duì)于給定的X，i i

X

Xu

X22Var2

E i

i i

X2

SSTx其中 XX2x 異方差存在時(shí)的方對(duì)于多元回歸，當(dāng)

?2 )

?是將

j j

量回歸時(shí)第i個(gè)觀察值對(duì)應(yīng)的殘差，SSRj是輔 異方差存在時(shí)的方 由于的標(biāo)準(zhǔn)誤直接基于對(duì)

)所以在出現(xiàn)異方差時(shí)，我們需 法來(lái)估XX211

xSSTx

Xi，

X

2是2

)的一xSSTx合適的估計(jì)量，其中

是

可以證明 X

2?2

2 n

X

EXi

x

ui

Xi

Xip

x1SST 2x

p

1SSTxnx異方差存在時(shí)的方對(duì)于多元回歸，當(dāng)異方差存在時(shí)，Var(?j

?2? )

?是將

j j

量回歸時(shí)第i個(gè)觀察值對(duì)應(yīng)的殘差，SSRj是輔助方 Va?r(?j)的平方根被稱為異方差－穩(wěn)健性標(biāo)準(zhǔn)（heteroskedasticity-robuststandard穩(wěn)健性標(biāo)準(zhǔn)V?r(在開(kāi)平方前乘以n/(n–k–1)。i根據(jù)是，如果OLS殘差的平方?2i

對(duì)所當(dāng)n?

-3.96489+0.5953educ+0.2683exper-0.00461exper2(0.7522)(0.0530) [0.8414]

R2

我們學(xué)到了什么 為何要考慮常規(guī)標(biāo)準(zhǔn)誤服從t分布，但是這并不適用于穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤，因此， OLS估計(jì)后的異方差-穩(wěn)健推記rse為對(duì)異方差穩(wěn)健的標(biāo)準(zhǔn)(1)%C.I.[異方差穩(wěn)健F統(tǒng)計(jì)在異方差下，常規(guī)F統(tǒng)計(jì)量不再服從F分布.reglbwghtparitymalewhitecigsmotheduc6

==ProbF=Std. [95%Conf.Std. [95%Conf.--------.reglbwghtparitymalewhitecigsmotheduclfaminc,Linear Numberofobs F(6,1184) Prob> =R- =Root =Std. [95%Conf.--------.ereturn==6=========對(duì)比F統(tǒng)計(jì)*檢驗(yàn)?zāi)赣H教育水平變量（motheduc）和對(duì)數(shù)家庭收入變量（lfaminc）是否聯(lián)合顯著.testmotheduc(1)motheduc=(2)lfaminc=F(2,1184) Prob>F .testmotheduc(1)motheduc=(2)lfaminc=F(2,1184) Prob>F 異方差檢 異方差的檢檢驗(yàn)思路檢驗(yàn)異方差性，也就是檢驗(yàn)隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差與解釋變量觀測(cè)值之間的相關(guān)性及其相關(guān)的i?2iVar

)E(u2

?2

(Y 幾種異方差的檢驗(yàn)方法（1）用X-Y例： 業(yè)銷售利潤(rùn)與銷售收入散點(diǎn)0 0

例：工資與受教育05 05yearsof(2X~?看是否形成一斜率為零的直 例： 業(yè)銷售利潤(rùn)與銷售收入

?200 00

例：工資與受教育

X? 11 00 0004例：多元情況下的4

??001- 001

23異方差檢驗(yàn)方 ）檢1、Breusch-Pagan（BP）異方差檢 本質(zhì)上，我們想檢驗(yàn)H0:Var(u|x1x2,…xk)=2這等價(jià)于檢驗(yàn)H0:E(u2|x1x2,…xk)=E(u2)=2如果我們假設(shè)u2和xj之間具有線性關(guān)系，則可以通 所以u(píng)201x1…kxkv這意味H0:1=2=…=k=0在原假設(shè)下，通?？梢约俣ㄕ`差v與x1,…, 部解釋變量顯著性的F或LM統(tǒng)計(jì)量就可1、Breusch-Pagan（BP）異方差檢kXki假kXkiYi

2X2i

H0:Var(u

X1,

X2

Xk

2,也即H0

E(u2

X1,

X2

Xk)

E(u2

檢驗(yàn)思想kXku2XXkXk H0:

2

k否存在異方差的判斷（F檢驗(yàn)，LM檢驗(yàn)檢驗(yàn)方法

?

kXk?2XkXk R2/RF ?2

F(k,n

RR

?

)/(n

LM

n~n~

BP檢驗(yàn)的步驟Yi

2X2i

kXki

?

?2

kXk kXk進(jìn)行回歸，得出例：房屋價(jià)格的影響因price

2

3bdrmsOLS回re

21.770.00207lotsize

(29.48) n

R2

R2

方程報(bào)告的標(biāo)準(zhǔn)誤是否可靠 估計(jì)殘差平方，并對(duì)解釋變量進(jìn)行回?2

-5522.7950.2015lotsize

(3259.478) n

R2

R2

計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量，LM統(tǒng)計(jì)說(shuō)明原 報(bào)告的標(biāo)準(zhǔn)誤是不可靠 Stata命令regyx1x2estathettest,rhsiid以原解釋變量為回歸元報(bào)estathettestx1x2x3,estathettest,rhsfstat estathettest,rhsnormal（報(bào)告正態(tài)分布假定estathettest,rhsmtest（報(bào)告正態(tài)分布假定2、 ）檢假設(shè)回歸模型Yi

2X

Xki

H0:Var(u

X1,

X2

Xk

2,也即H0

E(u2

X1,

X2

Xk)

E(u2

如果H0是錯(cuò)誤的，那么給定自變量，u2期望就可能是Xj的某個(gè)函檢驗(yàn)思想2 2

1

2X2X2 1X

8X1X3H0:

2

9White檢驗(yàn)的問(wèn)當(dāng)原方程只有3個(gè)自變量時(shí)，輔助回歸方程有9個(gè)自變量，原方程若有6個(gè)自變量，則所以White檢驗(yàn)的一個(gè)缺陷是：回歸元過(guò)多，對(duì)于自變量個(gè)數(shù)適中的模型，它要使用掉此在節(jié)省自由度的情況下得到自變量所有White檢驗(yàn)步驟Yi

2X2i

kkXki

?及其平方?2

?2

進(jìn)行回歸，得出例：房屋價(jià)格的影響因ln(price)

1ln(lotsize)

ln(sqrft)

3bdrmsOLS回ln(pie)

-1.2970.1680ln(lotsize)0.7002ln(sqrft)0.0370bdrms n

R2

R2采用兩種方式檢驗(yàn)（方式估計(jì)殘差平方和擬合值及平?2

1.70922lnpice0.14513lnpie2 n

R2

R2

計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量，LM統(tǒng)計(jì)結(jié)論：無(wú) 同方差假采用兩種方式檢驗(yàn)（方式regyx1x2estatimtest,white給出LMregyx1x2predictgenestathettestyhatyhat2,對(duì)異方差檢驗(yàn)的最后評(píng)異方差的解決方在這里，會(huì)遇到的情形分為兩種：當(dāng)誤差異方差的解決方當(dāng)當(dāng)

2已知時(shí)，使 最小二乘i2未知時(shí)，使用可行的廣義最ii二乘最小二乘法新模型，這稱為最小二乘法。 和F統(tǒng)計(jì)量具有t和F分布。2在i2

已知的情況下：WLS估Yi

2X2i

kXkikXkiVar(u|X)2f(X 由于方差必須為正，所以

(Xi)問(wèn)題：這種情況下，應(yīng)如何去估計(jì)思路因?yàn)閂ar(u|XE(u2|X2f(X 所

Eu

f(Xi) VarVar(U)00f(X1200f(X200000f(X)nf(X10Var(U)20f(X200 f(X2i000f(X) f(X1Var f(X0010f(X2f(X020100f(X)i22 nf(X)001000f(X)nYi

2X

kXki

fXi)

X

Xki Y*

X*

*

*

*u

kXkX* i min(Y*i

X*

X* min(Y*

X*

X*

X*i

imin (Yi

)2f(Xi

重 乘估計(jì)量（WLS，weightedleastsquares)

|inc)2f(inc)

對(duì)原方程兩邊同時(shí)除 得1stata中WLS命regyx1x2 yticalweight”，為=F(=1ProbF=R-=AdjR-=Root=.reg.regsavStd.t[95%Conf. -1=F(=ProbF=R-=AdjR-=Root=Std.t[95%Conf. --- 上述WLS上述WLS相當(dāng)于以下過(guò)程，但僅變量系數(shù)和t2在i2

未知的情況下：FGLS估很難找到f(Xi，不過(guò)可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)f(Xi)模?(Xi在GLS變換中?(X取代f(Xi)，就得到一個(gè)估計(jì)FGLS方法思假定Var(u

X)

010

2X

kXk

(Xi

1

2X

kXk為什么采取這種形式，而不采用線性函數(shù)在做BP檢驗(yàn)的時(shí)候，通過(guò)回kXk?2XXkXk 就可以獲得對(duì)2的估計(jì)值 FGLS方法思如果

已知，則可以直接應(yīng)用Var(u

X)

1

2X

kXk0將模型設(shè)定為00u20

1

2X

kXkn(u2

0)1

2X2

ln(u2

1

2X2 kXkkXkFGLS方法思kXkln(u2)XkXk 進(jìn)行OLS回歸，從而得到擬合值，記為?則σ2f(X)的估計(jì)值為

?(Xi?(?(Xi

FGLS步驟將Y對(duì)X1，X2，……Xk回歸，并得通過(guò)先將OLS殘差進(jìn)行平方，再取自對(duì)數(shù)得

?2

ln(?2

，X

回歸擬合求出

??(Xi?(Xi以1?(Xi例：香煙的需第一步，OLS估predictpredictptionxbgengen第四步，根據(jù)異方差的形式進(jìn)行WLS估Stata:

.wls0yx1x2x3,wvars(x1llcome注意兩點(diǎn)OLS估計(jì)量和WLS估計(jì)量存在差注意兩點(diǎn) LM統(tǒng)計(jì)在大樣本下，通常的tF統(tǒng)計(jì)量同樣適用，因?yàn)榧词乖跊](méi)有LM統(tǒng)計(jì)量(Lagrangemultiplier,orLMstatistic)，是現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中一種比較流行的檢驗(yàn)方法如何利用LM統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢y=0+1x1+2x2+qxq+k-q+1...+kxk+假定：H0k-q+10,k0；H1:H0不正確(1)在H0y=0+1x1+2x2+qxq+估計(jì)這個(gè)受約束模型y