第24頁(yè)/共24頁(yè)2023屆湖北省二十一所重點(diǎn)中學(xué)高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合.則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到或，再求即可.【詳解】因?yàn)椋曰?，所?故選：B2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為（）A.直線 B.圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義求解【詳解】設(shè)，由題意得，則，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為兩條直線，故選：A3.若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】由同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡(jiǎn)求解【詳解】由題意得，故選：C4.已知代表不同的平面，代表不同的直線，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】利用空間線面的關(guān)系，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：若，則與平面可能平行，也可能垂直，也可能斜交.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則可能平行，也可能相交，也可能異面.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，則可能平行，也可能異面.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則.又，所以.故D正確.故選：D5.設(shè)拋物線C1:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F(1,0)，點(diǎn)P(2,2).已知以點(diǎn)F,P為焦點(diǎn)的橢圓C2與拋物線C1有公共點(diǎn)，則該橢圓的離心率的最大值為（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值，利用離心率定義可得解.【詳解】由題意，拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為，橢圓焦距，由拋物線的定義可得拋物線上的點(diǎn)到的距離和的最小值為點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離，即橢圓長(zhǎng)軸的最小值為，所以橢圓的離心率的最大值為.故選：C.6.圖1是一個(gè)不倒翁模型，它是一種古老的中國(guó)兒童玩具，最早記載出現(xiàn)于唐代，一經(jīng)觸動(dòng)就搖擺然后恢復(fù)直立狀態(tài).如圖2，將圖1的模型抽象成一個(gè)正圓錐和半球的組合體.已知半球的密度是圓錐的2倍，已知要讓半球質(zhì)量不小于圓錐質(zhì)量，才能使它在一定角度范圍內(nèi)“不倒”，則圓錐的高和底面半徑之比至多為（）A. B.1 C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】由圓錐和球的體積公式列不等式求解【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，由題意得，即，則，故選：D7.將曲線的圖像畫在坐標(biāo)軸上，再把坐標(biāo)軸擦去（軸水平向右，軸豎直向上），得到的圖像最有可能為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】當(dāng)趨于無(wú)窮時(shí)，曲線無(wú)限趨于，結(jié)合斜率關(guān)系和的正負(fù)，用排除法得到答案.【詳解】直線把平面劃分為四個(gè)區(qū)域，如圖，區(qū)域（1）滿足，區(qū)域（3）滿足，均有(x＋y)(x－2y＋1)＞0，不滿足(x＋y)(x－2y＋1)＋1＝0；排除，，區(qū)域（2）滿足；區(qū)域（4）滿足；所以曲線的圖像只可能在區(qū)域（2）（4）內(nèi)，當(dāng)趨于無(wú)窮時(shí)，曲線無(wú)限趨于，直線的斜率分別是，由直線的斜率與傾斜角的關(guān)系可知：直線的傾斜角為135°，直線傾斜角為銳角且小于30°，從而排除，故選：B．8.若實(shí)數(shù)滿足：對(duì)每個(gè)滿足的不為常數(shù)的數(shù)列，存在，使得，則的最大值為（）A B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)選項(xiàng)，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系，對(duì)其賦予恰當(dāng)?shù)闹担缓筮M(jìn)行邏輯推理論證即可.【詳解】令，則.故.下證：當(dāng)時(shí)滿足條件.①存在，已經(jīng)成立；②存在，則，成立；③存在，則，成立.假設(shè)存在，使得對(duì)每個(gè)，設(shè).則.令，則，矛盾.故總存在，滿足①，②，③其中之一.故選：C【點(diǎn)睛】值的得到可以從二階不動(dòng)點(diǎn)的角度考慮，也可以從選項(xiàng)出發(fā)考慮.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得分.9.已知，則的值可能為（）A B. C.24 D.【答案】BC【解析】【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解【詳解】由題意得，，則時(shí)，，同理時(shí)，故選：BC10.已知，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】A.先構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性確定的大致范圍，再構(gòu)造，通過函數(shù)的單調(diào)性確定與的大小關(guān)系，進(jìn)而得到A選項(xiàng).B.先構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性確定的大致范圍，再構(gòu)造，通過函數(shù)的單調(diào)性確定與的大小關(guān)系，進(jìn)而可知B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C.通過，得到，進(jìn)而可得與的大小關(guān)系,進(jìn)而可知C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D.與C選項(xiàng)同樣的方法即可判斷.【詳解】A.令則，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故.令則，所以在上單調(diào)遞減，且即故選項(xiàng)A正確B.令則，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，故.令所以在上單調(diào)遞減，且即故選項(xiàng)B錯(cuò)誤C.又在單調(diào)遞增故選項(xiàng)C錯(cuò)誤D.由C可知，又在單調(diào)遞減故選項(xiàng)D正確故選：AD11.已知，則（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】對(duì)于A，利用賦值法求解，對(duì)于B，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解，對(duì)于C，利用賦值法求解，對(duì)于D，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】對(duì)于A，令，則，令，則，所以，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，所以，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，令，則，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，所以，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)槎?xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，所以，，，，，所以，，所以，所以D正確，故選：CD12.已知.設(shè)命題：過點(diǎn)恰可作一條關(guān)于的切線.以下為命題的充分條件的有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】首先對(duì)求導(dǎo)，然后寫出切線方程，代入化簡(jiǎn)得，轉(zhuǎn)化為方程有一個(gè)根，再轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)問題.【詳解】，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為：，因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn)，將點(diǎn)代入得，化簡(jiǎn)得，方程有一個(gè)根，令，，轉(zhuǎn)化為直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，，，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，則有或即，，同理當(dāng)時(shí)，，，，，故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，可得或，，綜上，要想過恰可作一條關(guān)于的切線，則或；或.A選項(xiàng)，，若，則，無(wú)法推出，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，若，則，若，則，可以推出，故B正確；C選項(xiàng)，，無(wú)法推出，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，若，則，若，則，可以推出，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】對(duì)三次函數(shù)切線個(gè)數(shù)問題是導(dǎo)數(shù)中的重難點(diǎn)，也是曾經(jīng)高考考查過的內(nèi)容，方法是轉(zhuǎn)化成方程根的個(gè)數(shù)問題.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.圓的直徑為___________.【答案】5【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即得解【詳解】由題意，故圓的半徑為，直徑為5故答案為：514.請(qǐng)寫出一個(gè)滿足以下條件的函數(shù)的解析式___________.①為偶函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)寫出一個(gè)符合題意的函數(shù)即可.【詳解】記，則.所以當(dāng)時(shí)，有，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，有，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即.所以恒成立.所以當(dāng)時(shí)，可取滿足.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以可以找到一個(gè)符合題意的函數(shù)：故答案為：（答案不唯一）.15.數(shù)學(xué)家高斯在各個(gè)領(lǐng)域中都取得了重大的成就.在研究一類二次型數(shù)論問題時(shí)，他在他的著作《算術(shù)研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理論在噪音工程學(xué)?密碼學(xué)以及大數(shù)分解等各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.已知對(duì)于正整數(shù)，若存在一個(gè)整數(shù)，使得整除，則稱是的一個(gè)二次剩余，否則為二次非剩余.從1到20這20個(gè)整數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)整數(shù)，記事件與12互質(zhì)”，是12的二次非剩余”，則___________；___________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意，計(jì)算出1-20內(nèi)與12互質(zhì)的數(shù)，再在這些互質(zhì)數(shù)內(nèi)，計(jì)算出12的二次非剩余數(shù)即可.【詳解】在1-20內(nèi)與12互質(zhì)的數(shù)有1，5，7，11，13，17，19，所以；根據(jù)定義，對(duì)于整數(shù)的x不存在，則a是12的二次非剩余數(shù)，顯然，當(dāng)a=1時(shí)，x=11，當(dāng)a=5，7，11，13，17，19時(shí)，x不存在；；故答案為：.16.已知為平面單位向量，平面向量滿足，則的最小值為___________，最大值為___________.【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)，利用余弦定理將轉(zhuǎn)換成，再利用換元的思路轉(zhuǎn)換成，分類討論的范圍求最值即可.【詳解】設(shè)，則①.如圖由余弦定理，.將表達(dá)式齊次化，原式.當(dāng)時(shí)，原式，當(dāng)時(shí)，由圖可知，，再結(jié)合①解得，記，令，原式.當(dāng)，則原式；當(dāng)，原式；當(dāng)，原式.綜上，的最小值為，最大值為.故答案為：；.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且數(shù)列為等差數(shù)列.（1）證明：數(shù)列為常數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，平方后求出，再利用可表示出，從而可得數(shù)列的公差為，從而可表示出，然后可求出為常數(shù)，（2）由（1），，則，化簡(jiǎn)后利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.【小問1詳解】證明：設(shè)數(shù)列的公差為，則，，所以所以.所以所以的公差為，因?yàn)樗裕?，所以，所以為常?shù)，所以數(shù)列常數(shù)列；【小問2詳解】由（1），，對(duì)也成立，因?yàn)?，，所?所以.18.設(shè)的內(nèi)心為點(diǎn)與的外接圓的另一交點(diǎn)為點(diǎn).（1）證明：；（2）若，且的三邊成等差數(shù)列，求.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明角度相等即可；（2）利用內(nèi)心的性質(zhì)及三角函數(shù)定義，三角形面積公式得到，最后根據(jù)余弦定理求出的值.【小問1詳解】由，.【小問2詳解】設(shè)角所對(duì)邊分別為內(nèi)切圓半徑為.則，由條件，，故.又面積，，得.若，代入上式得.由余弦定理，，符合題意；若，則由與對(duì)稱，與上面相同；若，則，則，不符合題意.綜上，的值為.19.隨機(jī)變量的概念是俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫在十九世紀(jì)中葉建立和提倡使用的.切比雪夫在數(shù)論?概率論?函數(shù)逼近論?積分學(xué)等方面均有所建樹，他證明了如下以他名字命名的離散型切比雪夫不等式：設(shè)為離散型隨機(jī)變量，則，其中為任意大于0的實(shí)數(shù).切比雪夫不等式可以使人們?cè)陔S機(jī)變量的分布未知的情況下，對(duì)事件的概率作出估計(jì).（1）證明離散型切比雪夫不等式；（2）應(yīng)用以上結(jié)論，回答下面問題：已知正整數(shù).在一次抽獎(jiǎng)游戲中，有個(gè)不透明的箱子依次編號(hào)為，編號(hào)為的箱子中裝有編號(hào)為的個(gè)大小?質(zhì)地均相同的小球.主持人邀請(qǐng)位嘉賓從每個(gè)箱子中隨機(jī)抽取一個(gè)球，記從編號(hào)為的箱子中抽取的小球號(hào)碼為，并記.對(duì)任意的，是否總能保證（假設(shè)嘉賓和箱子數(shù)能任意多）？并證明你的結(jié)論.附：可能用到的公式（數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)）：對(duì)于離散型隨機(jī)變量滿足，則有.【答案】（1）證明見解析（2）不能保證，證明見解析【解析】【分析】通過方差的計(jì)算公式，結(jié)合變形即可證明.結(jié)合所給公式，再變形式子來(lái)解出，再利用第（1）證明的離散型切比雪夫不等式即可得到矛盾.【小問1詳解】設(shè)的所有可能取值為取的概率為.則，【小問2詳解】（2）由參考公式，.，用到而，故.當(dāng)時(shí)，，因此，不能保證.20.如圖，在幾何體中，底面為以為斜邊等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.（1）證明：平面；（2）若，設(shè)為棱的中點(diǎn)，求當(dāng)幾何體的體積取最大值時(shí)與所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）6【解析】【分析】（1）先做一條輔助線，再通過面面垂直的性質(zhì)得到平面，再根據(jù)平面，可得，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明.（2）過點(diǎn)作交與點(diǎn),連接,通過題目條件和小問1結(jié)論證明四邊形為平行四邊形，然后把多面體分為兩個(gè)三棱錐求體積，令，把求體積的最大值轉(zhuǎn)化為求關(guān)于的函數(shù)的最大值.構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而得到的最大值，求出此時(shí)的值.然后以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，通過向量法求與所成角的正切值.【小問1詳解】過點(diǎn)作交與點(diǎn)，平面平面，且兩平面的交線為平面又平面又且平面【小問2詳解】過點(diǎn)作交與點(diǎn),連接平面平面，且兩平面的交線為平面又平面到平面的距離相等且，平面又，令則，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)與所成角為，則，則，即當(dāng)幾何體體積最大時(shí)，與所成角的正切值為6.21.平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn).點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，的角平分線為直線，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，交于另一點(diǎn)，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線定義得到點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，求出，得到軌跡方程；（2）設(shè)出，，，根據(jù)角平分線的條件，結(jié)合向量投影模長(zhǎng)相等得到，從而求出，點(diǎn)坐標(biāo)，確定直線的方程，由點(diǎn)到直線距離公式求出，再求出直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求出，結(jié)合基本不等式求出，最后求出的最大值.【小問1詳解】由題意得：，，所以點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，即，所以的方程為；【小問2詳解】由對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限，設(shè)，則，設(shè)直線