學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE15-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.2排列學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1。理解排列的意義,并能用樹形圖正確寫出一些簡單排列問題的所有排列．(重點(diǎn))2．掌握排列數(shù)公式及其推導(dǎo)方法，并能運(yùn)用排列數(shù)公式進(jìn)行運(yùn)算或證明．(重點(diǎn)、難點(diǎn)）1。借助排列數(shù)公式的推導(dǎo)、發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)．2．借助排列數(shù)公式進(jìn)行運(yùn)算、證明、發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。1．排列的概念一般地，從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．2．排列數(shù)與排列數(shù)公式排列數(shù)定義及表示從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Aeq\o\al（m,n）表示全排列的概念n個不同元素全部取出的一個排列階乘的概念把n·（n－1)·…·2·1記作n！，讀作：n的階乘排列數(shù)公式Aeq\o\al（m，n)＝n（n－1)(n－2）…（n－m＋1）(n，m∈N＊，m≤n）階乘式Aeq\o\al（m,n)＝eq\f（n！，n－m!）（n，m∈N＊，m≤n）特殊情況Aeq\o\al（n，n）＝n!,Aeq\o\al(0,n)＝1，0!＝1思考1：北京-上海，上?！本┑能嚻笔峭粋€排列嗎？[提示]由于北京—上海，上?！本┑能嚻倍寂c順序有關(guān)，所以不是同一個排列．思考2:你認(rèn)為“排列”和“排列數(shù)"是同一個概念嗎？它們有什么區(qū)別?［提示］“排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概念，排列是指“從n個不同元素中取出m(m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列”，它不是一個數(shù)，而是具體的一件事．“排列數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有不同排列的個數(shù)”，它是一個數(shù)．1．下列問題屬于排列問題的是（）①從10名學(xué)生中抽2名學(xué)生開會；②從班上30名學(xué)生中選出6人，分別擔(dān)任6科課代表；③從數(shù)字5，6,7,8中任取兩個不同的數(shù)做冪運(yùn)算．A．① B．②C．③ D．②③D［①中無順序；②中6人擔(dān)任課代表有順序；③中冪分底數(shù)和指數(shù)，存在順序．]2．9×10×11×…×20可表示為（）A．Aeq\o\al（10,20） B．Aeq\o\al(11,20)C．Aeq\o\al(12，20） D．Aeq\o\al(13,20)C[Aeq\o\al（12，20）＝20×19×18×…×(20－12＋1)＝20×19×18×…×9.］3．eq\f(A\o\al(3,4），5?。絖_______.eq\f(1,5)［eq\f(A\o\al（3,4)，5！)＝eq\f（4×3×2，5×4×3×2×1）＝eq\f（1,5）.]4．由1，2，3這三個數(shù)字組成的三位數(shù)分別是________．123,132，213，231,312,321［用樹形圖表示為由“樹形圖”可知組成的三位數(shù)為123，132,213，231,312，321，共6個．］排列的概念【例1】判斷下列問題是否為排列問題．(1）北京、上海、天津三個民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價格（假設(shè)來回的票價相同)；(2)選2個小組分別去植樹和種菜；(3）選2個小組去種菜；(4)選10人組成一個學(xué)習(xí)小組;(5)選3個人分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員；(6）某班40名學(xué)生在假期相互通信．[思路探究］判斷是否為排列問題關(guān)鍵是選出的元素在被安排時，是否與順序有關(guān)．若與順序有關(guān),就是排列問題，否則就不是排列問題．[解](1)中票價只有三種，雖然機(jī)票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題．（2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．（3)(4）不存在順序問題，不屬于排列問題．（5）中每個人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．（6）A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題．所以在上述各題中(2）（5）(6）屬于排列問題．1．解決本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn):一是“取出元素不重復(fù)",二是“與順序有關(guān)”．2．判斷一個具體問題是否為排列問題，就看取出元素后排列是有序的還是無序的，而檢驗(yàn)它是否有序的依據(jù)就是變換元素的“位置”(這里的“位置”應(yīng)視具體問題的性質(zhì)和條件來決定)，看其結(jié)果是否有變化，有變化就是排列問題，無變化就不是排列問題．1．判斷下列問題是否是排列問題．(1）從1到10十個自然數(shù)中任取兩個數(shù)組成直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)，可得多少個不同的點(diǎn)的坐標(biāo)？(2）從10名同學(xué)中任抽兩名同學(xué)去學(xué)校開座談會,有多少種不同的抽取方法？(3）某商場有四個大門，若從一個門進(jìn)去，購買物品后再從另一個門出來，不同的出入方式共有多少種？［解](1）由于取出的兩數(shù)組成點(diǎn)的坐標(biāo)與哪一個數(shù)作橫坐標(biāo),哪一個數(shù)作縱坐標(biāo)的順序有關(guān)，所以這是一個排列問題．(2)因?yàn)閺?0名同學(xué)中抽取兩名去學(xué)校開座談會的方式不用考慮兩人的順序，所以這不是排列問題．(3）因?yàn)閺囊婚T進(jìn),從另一門出是有順序的，所以是排列問題．綜上，（1）、(3)是排列問題，(2）不是排列問題．簡單的排列問題【例2】寫出下列問題的所有排列．(1）從1,2，3,4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個不同的兩位數(shù)？（2）寫出從4個元素a，b，c，d中任取3個元素的所有排列．[思路探究］(1）直接列舉數(shù)字．（2)先畫樹形圖，再結(jié)合樹形圖寫出．[解]（1）所有兩位數(shù)是12，21,13,31，14,41,23,32,24,42,34，43，共有12個不同的兩位數(shù)．(2)由題意作樹形圖，如圖．故所有的排列為：abc，abd，acb,acd，adb，adc,bac，bad,bca，bcd,bda,bdc，cab，cad,cba，cbd,cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24個．在排列個數(shù)不多的情況下，樹形圖是一種比較有效的表示方式．在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類,在每一類中再按余下的元素在前面元素不變的情況下確定第二個元素，再按此元素分類，依次進(jìn)行，直到完成一個排列，這樣能不重不漏，然后按樹形圖寫出排列．2．（1）北京、廣州、南京、天津4個城市相互通航，應(yīng)該有________種機(jī)票．(2）A,B，C，D四名同學(xué)排成一排照相，要求自左向右,A不排第一,B不排第四，共有________種不同的排列方法？(1)12(2）14[(1)列出每一個起點(diǎn)和終點(diǎn)情況，如圖所示．故符合題意的機(jī)票種類有：北京→廣州，北京→南京,北京→天津，廣州→南京，廣州→天津，廣州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→廣州，天津→北京，天津→廣州,天津→南京，共12種．（2)因?yàn)锳不排第一，排第一位的情況有3類（可從B，C，D中任選一人排),而此時兼顧分析B的排法，列樹形圖如圖．所以符合題意的所有排列是：BADC，BACD，BCAD，BCDA,BDAC,BDCA,CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14種．］排列數(shù)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用[探究問題]1．兩個同學(xué)從寫有數(shù)字1，2,3,4的卡片中選取卡片進(jìn)行組數(shù)字游戲．從這4個數(shù)字中選出2個或3個分別能構(gòu)成多少個無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)或三位數(shù)？[提示］從這4個數(shù)字中選出2個能構(gòu)成Aeq\o\al(2，4)＝4×3＝12個無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)；若選出3個能構(gòu)成Aeq\o\al(3，4）＝4×3×2＝24個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．2．由探究1知Aeq\o\al(2,4）＝4×3＝12,Aeq\o\al（3,4）＝4×3×2＝24，你能否得出Aeq\o\al(2,n)的意義和Aeq\o\al（2,n)的值？[提示］Aeq\o\al（2，n）的意義:假定有排好順序的2個空位，從n個元素a1，a2，…，an中任取2個元素去填空，一個空位填一個元素,每一種填法就得到一個排列；反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)Aeq\o\al（2，n）。由分步計(jì)數(shù)原理知完成上述填空共有n(n－1）種填法，所以Aeq\o\al(2，n）＝n（n－1)．3．你能寫出Aeq\o\al（m，n）的值嗎？有什么特征？若m＝n呢?[提示]Aeq\o\al（m，n）＝n（n－1)(n－2）…（n－m＋1)(m，n∈N＊，m≤n)．（1）公式特征：第一個因數(shù)是n，后面每一個因數(shù)比它前面一個少1，最后一個因數(shù)是n－m＋1，共有m個因數(shù);(2）全排列：當(dāng)m＝n時，即n個不同元素全部取出的一個排列．全排列數(shù)：Aeq\o\al（n，n)＝n(n－1）（n－2）·…2·1＝n！(叫做n的階乘)．另外,我們規(guī)定0?。?。所以Aeq\o\al(m，n）＝n（n－1）（n－2)…（n－m＋1）＝eq\f(n！，n－m！）＝eq\f（A\o\al（n，n)，A\o\al(n－m,n－m)）.【例3】(1）計(jì)算:eq\f（A\o\al(5,9)＋A\o\al（4,9)，A\o\al（6,10）－A\o\al(5，10))；(2)證明：Aeq\o\al（m，n＋1)－Aeq\o\al（m,n)＝mAeq\o\al（m－1，n）.[思路探究］第（1)題可直接運(yùn)用排列數(shù)公式，也可采用階乘式；第(2）題首先分析各項(xiàng)的關(guān)系，利用Aeq\o\al（m,n)＝eq\f（n！，n－m!)進(jìn)行變形推導(dǎo)．[解](1）法一：eq\f（A\o\al(5，9)＋A\o\al（4,9),A\o\al（6,10）－A\o\al（5，10)）＝eq\f(5A\o\al（4,9）＋A\o\al(4，9),50A\o\al(4，9)－10A\o\al（4，9））＝eq\f（5＋1，50－10）＝eq\f(3，20）。法二：eq\f(A\o\al（5，9)＋A\o\al(4,9）,A\o\al(6，10）－A\o\al(5,10)）＝eq\f（\f（9！，4！)＋\f（9！,5!），\f（10！,4?。璡f（10!，5!))＝eq\f（5×9！＋9！,5×10?。?0！)＝eq\f（6×9！，4×10?。絜q\f（3,20）.（2）[證明］∵Aeq\o\al(m，n＋1)－Aeq\o\al(m，n)＝eq\f(n＋1!,n＋1－m！)－eq\f（n！，n－m！)＝eq\f（n!,n－m?。q\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（n＋1,n＋1－m）－1)）＝eq\f(n!,n－m！)·eq\f(m，n＋1－m)＝m·eq\f（n！，n＋1－m?。絤Aeq\o\al（m－1，n)，∴Aeq\o\al(m，n＋1）－Aeq\o\al(m，n）＝mAeq\o\al(m－1，n).排列數(shù)的計(jì)算方法(1)排列數(shù)的計(jì)算主要是利用排列數(shù)的乘積公式進(jìn)行，應(yīng)用時注意：連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個排列數(shù)，其中最大的是排列元素的總個數(shù),而正整數(shù)(因式）的個數(shù)是選取元素的個數(shù)，這是排列數(shù)公式的逆用．（2）應(yīng)用排列數(shù)公式的階乘形式時，一般寫出它們的式子后，再提取公因式，然后計(jì)算，這樣往往會減少運(yùn)算量．3．求3Aeq\o\al（x,8）＝4Aeq\o\al（x－1,9)中的x。［解］原方程3Aeq\o\al（x,8)＝4Aeq\o\al（x－1,9)可化為eq\f（3×8！，8－x?。絜q\f(4×9！，10－x!)，即eq\f(3×8！，8－x！)＝eq\f(4×9×8！，10－x9－x8－x！）,化簡,得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.由題意知eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x≤8，,x－1≤9,)）解得x≤8。所以原方程的解為x＝6.1．本節(jié)課的重點(diǎn)是排列的概念、排列數(shù)公式及其簡單應(yīng)用．難點(diǎn)是排列數(shù)公式的計(jì)算與證明問題．2．本節(jié)課的易錯點(diǎn)是利用排列數(shù)公式Aeq\o\al（m，n)解決問題時，易忽視條件m≤n，且m∈N＊，n∈N＊.3．在畫樹狀圖時，先以安排哪個元素在首位為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，在每類中，再按余下元素在前面元素不變的情況下確定第二位并按序分類,依次進(jìn)行直到完成一個排列,最后把所有的排列列舉出來．1．判斷（正確的打“√”，錯誤的打“×")（1）兩個排列的元素相同,則這兩個排列是相同的排列．(）(2)從六名學(xué)生中選三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，共有多少種選法屬于排列問題．（)(3）有十二名學(xué)生參加植樹活動，要求三人一組,共有多少種分組方案屬于排列問題．（）(4）從3,5，7，9中任取兩個數(shù)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算，可以得到多少個冪屬于排列問題．()(5)從1,2,3，4中任取兩個數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，可以得到多少個點(diǎn)屬于排列問題．(）［解析]（1）×因?yàn)橄嗤膬蓚€排列不僅元素相同，而且元素的排列順序相同．(2）√因?yàn)槿麑W(xué)生