2021-2022學年湖北省十堰市丹江口市高二下學期4月月考數(shù)學試題一、單選題1．在等差數(shù)列中，，，則其公差（

）A． B． C．2 D．4C【分析】應用等差中項的性質(zhì)可得，再根據(jù)等差數(shù)列通項公式求公差.【詳解】由題設，，則，又，可得.故選：C.2．的展開式中，x2的系數(shù)是（

）A．250 B．520 C．205 D．502C【分析】利用的展開式的通項公式可求出結(jié)果.【詳解】因為，的展開式的通項公式為，,所以x2的系數(shù)為.故選：C3．已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是極小值 B．是極小值 C．是極大值 D．是極大值B【分析】根據(jù)導函數(shù)的圖象確定的單調(diào)區(qū)間，進而判斷極值.【詳解】由圖知：在上遞增，上遞減，遞增，∴是極小值，、不是極值，為拐點.故選：B.4．已知數(shù)列的前n項和，若，則數(shù)列的前n項和是（

）A． B． C． D．C【分析】先利用，求出，從而可求出，進而可求出數(shù)列的前n項和【詳解】當時，，當時，，滿足上式，所以，所以，所以數(shù)列的前n項和是故選：C5．來自中國、英國、瑞典的乒乓球裁判各兩名，執(zhí)行奧運會的一號、二號和三號場地的乒乓球裁判工作，每個場地由兩名來自不同國家的裁判組成，則不同的安排方案總數(shù)有A．種 B．種C．種 D．種A【詳解】解：每個場地由兩名來自不同國家的裁判組成，只能分為：中、英；中、瑞；英、瑞．三組中，中國、英國、瑞典的乒乓球裁判各兩名，本國裁判可以互換，然后三組進行全排列，不同的安排方案總數(shù)有=2×2×2×6=48種．故選A6．“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件C【分析】先根據(jù)單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為導函數(shù)大于等于零恒成立，再將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題即可，最后利用充分性和必要性的概念求解.【詳解】，，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即恒成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)的最大值為，，故“”是“”的必要不充分條件.故選：C.7．某校高二年學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型．某學生準備做一個體積為的圓柱形模型，當模型的表面積最小時，其底面半徑為（

）A．1 B．2 C．3 D．4B【分析】設圓柱模型的底面半徑為r，高為h，由已知得，再表示出圓柱模型的表面積為，令，利用導函數(shù)分析出單調(diào)遞增，由此可求得模型的表面積的最小值.【詳解】解：設圓柱模型的底面半徑為r，高為h，則圓柱模型的體積為，即，所以圓柱模型的表面積為，令，則，令，解得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以在取得最小值，即當圓柱模型的底面半徑為2時，模型的表面積最小，故選：B.8．用紅、黃、藍、綠、橙五種不同顏色給如圖所示的5塊區(qū)域、、、、涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，有共公邊的區(qū)域使用不同顏色，則共有涂色方法（

）A．120種 B．720種 C．840種 D．960種D【分析】本題根據(jù)分步乘法計數(shù)原理結(jié)合排列直接求解即可.【詳解】法一：有5種顏色可選，有4種顏色可選，有3種顏色可選，若同色，有4種顏色可選；若同色，有4種顏色可選；若與、都不同色，則有2種顏色可選，此時有4種顏色可選，故共有種．法二：當使用5種顏色時，有種涂色方法；當使用4種顏色時，必有兩塊區(qū)域同色，可以是，，，，，共有種涂色方法；當使用3種顏色時，只能是同色且同色，同色且同色，同色，同色，共有種涂色方法，∴共有種涂色方法.故選：D.本題即可用分步乘法計數(shù)原理完成，也可用分類加法計數(shù)原理來完成，還考查分析推理能力，是中檔題.二、多選題9．現(xiàn)安排高二年級A，B，C三名同學到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，每名同學只能選擇一個工廠，且允許多人選擇同一個工廠，則下列說法正確的是（）A．所有可能的方法有種B．若工廠甲必須有同學去，則不同的安排方法有37種C．若同學A必須去工廠甲，則不同的安排方法有16種D．若三名同學所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種BCD【分析】利用分步乘法計數(shù)原理判斷AC選項的正確性，利用分類加法計數(shù)原理以及組合數(shù)計算判斷B選項的正確性，利用排列數(shù)計算判斷D選項的正確性.【詳解】所有可能的方法有種，A錯誤.對于B，分三種情況：第一種：若有1名同學去工廠甲，則去工廠甲的同學情況為，另外兩名同學的安排方法有種，此種情況共有種，第二種：若有兩名同學去工廠甲，則同學選派情況有，另外一名同學的排法有3種，此種情況共有種，第三種情況，若三名同學都去工甲，此種情況唯一，則共有種安排方法，B正確.對于C，若A必去甲工廠，則B，C兩名同學各有4種安排，共有種安排，C正確.對于D，若三名同學所選工廠各不同，則共有種安排，D正確.故BCD10．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，設第n層有個球，從上往下n層球的總數(shù)為，則（

）A． B．C． D．BCD【分析】先求出，然后利用通項公式可逐一判斷選項的對錯.【詳解】第一層有1個球，第二層有1+2=3個球，第三層有1+2+3=6個球，，第n層有個球，故，A錯誤；，B正確；，C正確；，D正確.故選：BCD.11．記為等差數(shù)列的前n項和．若公差，，則（

）A． B． C．的最小值為 D．AC【分析】利用等差數(shù)列的概念和性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由得，，A正確；，得，的最小值為或，B錯誤，C正確；，，D錯誤.故選：AC.12．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．只有一個極值點 B．設，則與的單調(diào)性相同C．在上單調(diào)遞增 D．有且只有兩個零點ACD【分析】利用的二次求導，得到，，從而存在，使得，結(jié)合函數(shù)極值點的定義即可判斷選項，求出的解析式，然后利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可判斷選項，利用函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論即可判斷選項．利用函數(shù)的極值點即可判斷選項.【詳解】解：由題知，，，所以在上單調(diào)遞增，當時，；當時，，所以存在，使得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有且只有一個極值點，故A正確；因為，所以，所以，所以，故的一個極值點為0，所以與的單調(diào)性不相同，故B錯誤；因為與在上都是單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；因為有且只有一個極值點，，且，所以在和上各有一個零點，所以有且只有兩個零點，故D正確．故選：ACD．三、填空題13．若，則被12整除的余數(shù)為______．0根據(jù)題意，給自變量賦值，取和，兩個式子相減，得到的值，用二項展開式可以看出被12整除的結(jié)果，得到余數(shù)．【詳解】在已知等式中，取得，取得，兩式相減得，即，因為能被12整除，所以則被12整除，余數(shù)是0.故0.本題考查二項式定理的應用和帶余除法，本題解題的關鍵是利用賦值的方法、利用二項式定理得到式子的結(jié)果，屬于中等題．14．已知函數(shù)，則_________．【分析】根據(jù)復合函數(shù)的求導法則求出導函數(shù)即可求解.【詳解】解：因為，所以，故答案為.15．從4名志愿者中選出3名分配到3個不同的北京冬奧場館參加接待工作，每個場館分配一名志愿者的方案種數(shù)為________．【分析】由分步計數(shù)原理即可求解.【詳解】解：從4名志愿者中選出3名有種選法，再分配到3個不同的北京冬奧場館有種方法，由分步計數(shù)原理可得共有種方案.故答案為.16．函數(shù)僅有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是_________．或【分析】將函數(shù)僅有一個零點轉(zhuǎn)化為只有一個交點，設,求導，求出極值即可得答案.【詳解】令，得，則函數(shù)僅有一個零點即為只有一個交點，設，得，令，得，，得或，則在上遞減，上遞增，上遞減，故的極小值為，極大值為，或.故或.四、解答題17．已知函數(shù)(1)求在處的切線方程；(2)求在上的最值．(1)(2)最大值為2，最小值為-25【分析】（1）利用導數(shù)求出切線斜率，再利用點斜式可得切線方程；（2）求導，求出函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性即可得最值.【詳解】（1），，又，在處的切線方程為，即（2），令，得，令，得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，，故在上的最大值為2，最小值為-25.18．相鄰的4個車位中停放了4輛不同的車，現(xiàn)將所有車開出后再重新停入這4個車位中．（1）若要求有3輛車不得停在原來的車位中，有多少種不同的停法？（2）若要求有2輛車不得停在原來的車位中，有多少種不同的停法？（3）若要求所有車都不得停在原來的車位中，有多少種不同的停法？（1）8種；（2）6種；（3）9種.【分析】(1)分兩步，選出停在原車位的一輛車，再停放余下3輛車，用分步乘法計數(shù)原理計算即得；(2)分兩步，選出停在原車位的兩輛車，再停放余下2輛車，用分步乘法計數(shù)原理計算即得；(3)將4輛車分別編號為，，，，將車停在另三輛車的原車位之一，再停車所停車位對應的原車，最后停余下兩輛即可作答.【詳解】（1）可分成兩步完成：第一步，先選出停在原來車位的那輛車，有種情況，第二步，停放剩下的3輛車，有2種停法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種停法；（2）可分成兩步完成：第一步，先選出停在原來車位的那2輛車，有種情況，第二步，停放剩下的2輛車，有1種停法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種停法；（3）將4輛車分別編號為，，，，將4個停車位分別編號為一、二、三、四，不妨設車先選停車位，此時有3種停法，若車選了二號停車位，那么車再選，有3種停法，剩下的車和車都只有1種停法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種停法．19．已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且、、成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式：(2)設，求數(shù)列{}的前項和為．(1)(2)【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，由題意有，求出的值，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可得答案；（2）由，利用裂項相消求和法即可求解.【詳解】（1）解：設等差數(shù)列的公差為，由題意有，解得，所以；（2）解：由（1）知，所以.20．已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）若對，恒成立，求的取值范圍.（1）極小值為，無極大值；（2）.【分析】（1）對函數(shù)進行求導、列表、判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)極值的定義進行求解即可；（2）對進行常變量分離，然后構造新函數(shù)，對新函數(shù)進行求導，判斷其單調(diào)性，進而求出新函數(shù)的最值，最后根據(jù)題意求出的取值范圍即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，當時，.由，得.當變化時，，的變化情況如下表-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值為，無極大值.（2）對，恒成立，即對，恒成立.令，則.由得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，因此.所以的取值范圍是.本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，考查了構造函數(shù)法、常變量分離法，考查了數(shù)學運算能力和分類討論思想.21．已知的展開式中，第4項的系數(shù)與倒數(shù)第4項的系數(shù)之比為.（1）求m的值；（2）求展開式中所有項的系數(shù)和與二項式系數(shù)和；（3）將展開式中所有項重新排列，求有理項不相鄰的概率.（1）7；（2）128；（3）.【分析】（1）根據(jù)二項展開式的通項公式即可獲解；（2）令即可獲解；（3）求出有理項的個數(shù)，再用插空法即可.【詳解】（1）展開式的通項為，∴展開式中第4項的系數(shù)為，倒數(shù)第4項的系數(shù)為，，即.（2）令可得展開式中所有項的系數(shù)和為，展開式中所有項的二項式系數(shù)和為.（3）展開式共有8項，由（1）可得當為整數(shù)，即時為有理項，共4項，∴由插空法可得有理項不相鄰的概率為.22．某企業(yè)為響應“安全生產(chǎn)”號召，將全部生產(chǎn)設備按設備安全系數(shù)分為、兩個等級，其中等級設備安全系數(shù)低于等設備，企業(yè)定時對生產(chǎn)設備進行檢修，并將部分等設備更新成等設備，據(jù)統(tǒng)計，年底該企業(yè)等設備量已占全體設備總量的.從年開始，企業(yè)決定加大更新力度，預計今后每年將的等設備更新成等設備，與此同時，的等設備由于設備老化將降級成等設備.（記該企業(yè)全部生產(chǎn)設備總量為“”，年底開始，經(jīng)過年后等設備量占總設備量的百分比為）.(1)求、；(2)在這種更新制度下，在將來的某一年該企業(yè)的等設備占全體設備的比例能否超過？請說明理由；(3)至少在哪一年底，該企業(yè)的等設備占