正切函數(shù)的性質(zhì)和圖像教學(xué)設(shè)計(jì)課程名稱正切函數(shù)的性質(zhì)和圖像課時(shí)1課時(shí)學(xué)段學(xué)科高一數(shù)學(xué)教材版本人教A作者沙麗雅學(xué)校哈十一中學(xué)一、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：正切函數(shù)的基本性質(zhì),以及能用單位圓中的正切線畫出正切函數(shù)的圖像.2、過程與方法：培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)新性，分析和解決問題的能力。3、情感態(tài)度價(jià)值觀：增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。二、教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：正切函數(shù)的主要性質(zhì)及其圖象形狀教學(xué)難點(diǎn)：利用正切線畫出函數(shù)的圖象,對(duì)直線是的漸近線的理解，以及正切函數(shù)的單調(diào)性理解和證明．三、學(xué)情分析培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)新性四、教學(xué)方法講練結(jié)合五、教學(xué)過程同學(xué)們，在前幾節(jié)課中,我們學(xué)習(xí)了任意角的正、余弦函數(shù),并借助于它們的圖像研究了它們的性質(zhì).今天我們將類比正弦、余弦函數(shù)的學(xué)習(xí)方法,在直角坐標(biāo)系內(nèi)學(xué)習(xí)另外一種三角函數(shù),就是任意角的正切函數(shù).請(qǐng)同學(xué)們先自己閱讀教材42-43頁(yè)的內(nèi)容，并思考以下問題:問題一:正切函數(shù)如何定義的？正切函數(shù)的定義域是什么？怎樣作正切線?問題二：作函數(shù)圖像的常用的方法有哪些？問題三：你能否根據(jù)正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的關(guān)系,以同樣的方法研究正切函數(shù)的性質(zhì)和圖像呢?【設(shè)計(jì)意圖】開篇點(diǎn)題讓學(xué)生明確本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容,同時(shí)學(xué)生帶著老師的問題閱讀教材目標(biāo)性更強(qiáng).三、【探究新知】在已學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上,我們可以從一個(gè)新的角度來研究正切函數(shù).周期性:由周期函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式我們很容易得出成立,所以正切函數(shù)是周期函數(shù),并且最小正周期為.奇偶性:由奇偶性的定義和誘導(dǎo)公式我們很容易得出成立,所以,正切函數(shù)是奇函數(shù).【設(shè)計(jì)意圖】借助定義和公式來推導(dǎo)這兩個(gè)性質(zhì)方法簡(jiǎn)單,學(xué)生很容易接受.注:以上兩個(gè)性質(zhì)除此方法外,也可以利用單位圓中的正切線來討論.思考:對(duì)于正切函數(shù)的單調(diào)性、最值、值域等其它性質(zhì)我們?cè)趺辞蠼飧?jiǎn)單呢?結(jié)合上兩節(jié)課研究正余弦函數(shù)的方法,我們可以進(jìn)一步借助于它的圖像來研究它的性質(zhì)是不是更直觀呢?【設(shè)計(jì)意圖】此思考可以把同學(xué)引導(dǎo)常規(guī)的方法上來.正切函數(shù)的圖象:探究:結(jié)合借助正弦線畫正弦函數(shù)的方法我們是不是可以借助正切線畫正切函數(shù)的圖象呢?(1)把單位圓右半圓分成8等份(2)作出這8個(gè)角的正切線(3)把正切線平移到相應(yīng)位置(4)用光滑的曲線連接由此,得到在上的圖象:如下圖xyOxyO(圖一)思考:在作正余弦函數(shù)簡(jiǎn)圖時(shí)我們借助于“五點(diǎn)作圖法”,那么作正切函數(shù)簡(jiǎn)圖我們能否有類似的方法呢?教師引導(dǎo)學(xué)生從圖像上分析,在掌握正切圖象的走向后,觀察直線和點(diǎn)的作用,由此類比歸納總結(jié)作正切函數(shù)簡(jiǎn)圖的方法“三點(diǎn)兩線法”.注:這一方法對(duì)于以后作正切函數(shù)簡(jiǎn)圖非常實(shí)用.由恰好為的一個(gè)周期,根據(jù)正切函數(shù)的周期性,只要把上述圖象向左、右擴(kuò)展,就可以得到正切函數(shù)的圖象,我們把它叫做正切曲線.如下圖:OOyx(圖二)由上圖可以看出,正切曲線是被相互平行的直線所隔開的無窮多支曲線組成的.正切曲線與直線無限接近但不相交,這里稱直線為正切曲線的漸近線【設(shè)計(jì)意圖】在作出正切曲線的圖象之后我們就可以更直觀的研究正切函數(shù)的其它性質(zhì).單調(diào)性由(圖一)我們可以清楚的得到正切函數(shù)在為整函數(shù),又由(圖二)和正切函數(shù)的周期性可得,正切函數(shù)在每個(gè)開區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù).值域由(圖一)很明顯的看出,當(dāng)大于且無限接近時(shí),正切曲線向無限接近但不相交;同時(shí)當(dāng)小于且無限接近時(shí),正切曲線向無限接近但不相交.因此在內(nèi)可以取任意實(shí)數(shù),但沒有最大值、最小值.因此正切函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集R四、【理解新知】1.正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是不是增函數(shù)?(從圖像上看正切函數(shù)圖象是由被隔開的無窮多支形狀完全相同的曲線組成的．)2.正切函數(shù)會(huì)不會(huì)在某一區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)?(從圖像上看正切函數(shù)圖象在每一個(gè)開區(qū)間內(nèi)都是單調(diào)遞增的．)3.在作正弦曲線時(shí)用“五點(diǎn)作圖法”,在作正切曲線時(shí)用“三點(diǎn)兩線法”.（以上方法對(duì)于作函數(shù)簡(jiǎn)圖很實(shí)用）五、【運(yùn)用新知】例1:求函數(shù)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間.分析：,由復(fù)合而成,求解可把看成一個(gè)整體,運(yùn)用整體思想可解決定義域和單調(diào)區(qū)間問題;對(duì)于周期性的分析,教科書解答是有技巧的,上升到一般,就是.教師板書例題的求解過程:解：函數(shù)的自變量應(yīng)滿足即.所以,函數(shù)的定義域是由于,因此函數(shù)的周期為2.由解得因此,函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是.【設(shè)計(jì)意圖】本例一是體現(xiàn)換元法的重要性;二是讓學(xué)生進(jìn)一步理解和運(yùn)用正切函數(shù)的性質(zhì).變式訓(xùn)練1:求函數(shù)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間.分析：此題和例1的區(qū)別就是變量的系數(shù)為負(fù)值,而在研究正切函數(shù)的性質(zhì)時(shí)正切函數(shù)的變量的系數(shù)為正值,所以在求解之前應(yīng)先變號(hào).其余做法和例1相同.教師板書變式訓(xùn)練1的求解過程:解：由函數(shù)的自變量應(yīng)滿足即.所以,函數(shù)的定義域是由于,因此函數(shù)的周期為.由解得因此,函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是.【設(shè)計(jì)意圖】明確變量系數(shù)為負(fù)值時(shí)的解決方法,并進(jìn)一步鞏固正切函數(shù)的性質(zhì).思考:如果第一步不把思考:如果第一步不把的系數(shù)轉(zhuǎn)換成正值,計(jì)算的結(jié)果又如何呢?例2:借助正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)解答下列各題:(1)求使不等式成立的的集合.(2)比較與的大小分析：對(duì)于(1)先進(jìn)行變形為,結(jié)合圖象及單調(diào)性和定義域很明顯求出結(jié)果;對(duì)于(2)先利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行變形,把角化到正切函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后借助于單調(diào)性很容易得到兩者的大小關(guān)系.解答過程如下:原式可化為,由(圖三)可得在內(nèi)正切值小于等于的取值集合為再利用正切函數(shù)的周期性可得在定義域內(nèi)滿足條件的取值集合為yOyOx(圖三)(2)由,并且,所以可得<,因此,>【設(shè)計(jì)意圖】通過本例(1)學(xué)生能進(jìn)一步認(rèn)識(shí)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)的關(guān)系,充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要性,對(duì)于(2)進(jìn)一步體現(xiàn)誘導(dǎo)公式和性質(zhì)的綜合應(yīng)用.變式訓(xùn)練2:借助正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)解答下列各題:(1)求函數(shù)的定義域.(2)比較與的大小解答過程：由題意可得即.在上,滿足上述不等式的的取值范圍是,由于周期為,所以該函數(shù)的定義域?yàn)?學(xué)習(xí)心得:在求解有關(guān)正切函數(shù)的定義域時(shí),要首先考慮正切函數(shù)本身的定義域,然后根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)確定出滿足條件的三角不等式或不等式組.另外,解不等式是充分利用三角函數(shù)