2022-2023學(xué)年遼寧省朝陽(yáng)市凌源市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則直線l的傾斜角為（

）A． B． C． D．A【分析】求出直線的斜率，即可求出傾斜角；【詳解】解：設(shè)直線l的傾斜角為，則，所以.故選：A.2．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得出關(guān)于的等式與不等式，即可求得的值.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，解得.故選：A.3．以點(diǎn)為圓心，且與直線相切的圓的方程是（

）A． B．C． D．C【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求得圓的半徑，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離是，所以圓的半徑為，所以圓的方程為.故選：C.4．已知，是兩個(gè)不同的平面，直線m滿(mǎn)足，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A【分析】根據(jù)充分必要條件定義判斷．【詳解】充分性：根據(jù)面面平行的定義知充分性成立；必要性：設(shè)，當(dāng)，且，，此時(shí)，但是與相交，故必要性不成立．故選：A．5．若冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則（

）A．或2 B．2 C． D．C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義以及其在上單調(diào)遞減，列出方程以及不等式，即可求得答案.【詳解】由題意可得,解得,故:C.6．若圓錐的軸截面為等邊三角形，且面積為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，利用等邊三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式、圓錐的體積公式求解.【詳解】設(shè)底面半徑為r，由圓錐的軸截面是等邊三角形且面積為，，解得，所以圓錐的高，所以圓錐的體積為．故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C．7．已知函數(shù)的圖象的相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，，則（

）A． B．C． D．D【分析】根據(jù)相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離等于最小正周期以及特殊函數(shù)值即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（）的圖象的相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，所以的圖象的最小正周期為，所以.因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所?故選:D.8．如圖，是等邊三角形，D在線段BC上，且，E為線段AD上一點(diǎn)，若與的面積相等，則（

）A． B． C． D．D【分析】根據(jù)題意，可得E為AD中點(diǎn)，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，即可得答案.【詳解】∵D在線段BC上，且，∴，又E為線段AD上一點(diǎn)，若與的面積相等，∴，則E為AD的中點(diǎn)，又，，所以，故選：D二、多選題9．已知直線l過(guò)點(diǎn)，傾斜角為，若，則直線l的方程可能是（

）A． B．C． D．AC【分析】由求出，得到直線l的斜率，可求出直線l的方程【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以直線l的斜率.當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，即；當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，即.故選：AC.10．已知不共面的三個(gè)向量，，都是單位向量，且?jiàn)A角都是，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是空間的一組基底B．不是空間的一組基底C．向量的模是2D．向量和的夾角為ABD【分析】利用反證法可判斷A的正誤，根據(jù)向量的運(yùn)算可判斷B的正誤，根據(jù)將平方后可求其模，故可判斷C的正誤，利用夾角公式可判斷D的正誤.【詳解】若共面，則存在實(shí)數(shù)，使得：，故，因?yàn)椋?，不共面，故，此方程組無(wú)解，故不共面，故A正確.因?yàn)?，故為共面向量，故不是空間的一組基底，故B正確.而，故，故C錯(cuò)誤.，故，而，故，故D正確，故選：ABD.11．2022年4月23日至25日，以“閱讀新時(shí)代，查進(jìn)新征程”為主題的首屆全民閱讀大會(huì)勝利召開(kāi)，目的是為了弘揚(yáng)全民閱讀風(fēng)尚，共建共享書(shū)香中國(guó)．某學(xué)校共有學(xué)生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，學(xué)校為了了解學(xué)生在暑假期間每天的讀書(shū)時(shí)間，按照分層隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取100人，其中高一學(xué)生、高二學(xué)生，高三學(xué)生每天讀書(shū)時(shí)間的平均數(shù)分別為，，，每天讀書(shū)時(shí)間的方差分別為，，，則下列正確的是（

）A．從高一學(xué)生中抽取40人B．抽取的高二學(xué)生的總閱讀時(shí)間是1860小時(shí)C．被抽取的學(xué)生每天的讀書(shū)時(shí)間的平均數(shù)為3小時(shí)D．估計(jì)全體學(xué)生每天的讀書(shū)時(shí)間的方差為ACD【分析】對(duì)A，由分層抽樣可求解；對(duì)B，由平均數(shù)的意義可求解；對(duì)C，由平均數(shù)的估計(jì)可求解；對(duì)D，由方差的估計(jì)可去處得解.【詳解】對(duì)A，根據(jù)分層抽樣，分別從高一學(xué)生、高二學(xué)生，高三學(xué)生中抽取40人，30人，30人，故A正確；對(duì)B，抽取的高二學(xué)生的總閱讀時(shí)間是，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，被抽取的學(xué)生每天的讀書(shū)時(shí)間的平均數(shù)為（小時(shí)），故C正確；對(duì)D，被抽取的學(xué)生每天的讀書(shū)時(shí)間的方差為，所以估計(jì)全體學(xué)生每天的讀書(shū)時(shí)間的方差為，故D正確．故選：ACD．12．已知空間中不共面的四點(diǎn)，，，，則（

）A．直線與所成角的余弦值是 B．二面角的正弦值是C．點(diǎn)D到平面的距離是 D．四面體的體積是ACD【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量求出線線角、面面角、點(diǎn)到平面的距離判斷A，B，C，再求出四面體的體積判斷D作答.【詳解】依題意，，，，所以直線與所成角的余弦值是，A正確；，令是平面的一個(gè)法向量，則，令，得，令是平面的一個(gè)法向量，則，令，得，則，二面角的正弦值是，B錯(cuò)誤；由選項(xiàng)B知，點(diǎn)D到平面的距離，C正確；，則，于是得的面積，所以四面體的體積，D正確.故選：ACD三、填空題13．若直線：與直線：平行，則______.【分析】?jī)芍本€平行，則斜率相等，排除重合的情況.【詳解】已知直線：與直線：平行，則且，解得.故14．已知函數(shù)，則______．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義及指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以故答案?15．已知，是兩個(gè)平面向量，，若，則______．【分析】由垂直關(guān)系的向量表示及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以．故答案?16．在平面直角坐標(biāo)系中，，，若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則的最大值是______.【分析】動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓時(shí)，與定點(diǎn)距離的最大值為過(guò)圓心的線段，長(zhǎng)度為圓心到定點(diǎn)的距離與半徑之和.【詳解】設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，由，得，整理得，所以點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑的圓，所以.故四、解答題17．已知.(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.(1)；(2)或.【分析】（1）根據(jù)空間平行向量的性質(zhì)，結(jié)合空間向量線性運(yùn)算坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)空間向量互相垂直的性質(zhì)，結(jié)合空間向量線性運(yùn)算坐標(biāo)表示公式、數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可；【詳解】（1），若，則，即，解得；（2），若，則，即，化簡(jiǎn)可得，解得或.18．在中，，，.(1)求的中線所在直線的方程；(2)求的面積.(1)(2)【分析】(1)由中點(diǎn)坐標(biāo)公示求得的中點(diǎn)，寫(xiě)出的斜率，用點(diǎn)斜式得到方程.(2)求出所在直線的方程，由點(diǎn)到直線的距離求出三角形的高，求出的距離，代入面積公示得到答案.【詳解】（1）由，，得的中點(diǎn)為，又，所以，所以中線所在直線的方程為，即.（2）由，，得，直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離為，又，所以的面積為.19．在中，角的對(duì)邊分別為，且．(1)求角；(2)若，，求的周長(zhǎng)．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角可整理求得，由此可得；（2）利用余弦定理可構(gòu)造方程求得，由此可得三角形周長(zhǎng).【詳解】（1）由正弦定理得：，，，，則，又，.（2）由余弦定理得：，即，解得：（舍）或，的周長(zhǎng)為.20．某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和．(1)求在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率；(2)求系統(tǒng)B在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率．(1)(2)【分析】（1）利用對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得；（2）依題意即求次檢測(cè)中有次發(fā)生故障或次發(fā)生故障，利用相互獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式計(jì)算可得；【詳解】（1）解：設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么．（2）解：設(shè)“系統(tǒng)在次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)”為事件，則次檢測(cè)中有次發(fā)生故障或次發(fā)生故障，所求概率．21．已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接、，即可證明四邊形是平行四邊形，從而得到，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)為，連接、，因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，所以且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：因?yàn)椋酌?，所以?xún)蓛苫ハ啻怪保詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.22．已知的方程是，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)若直線l與相切，求直線l的方程；(2)若直線l與相交于A，B兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)M，求證：為定值.(1)或(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)直線斜率不存在和存在兩種情況，結(jié)合圓心到直線的距離等于半徑列式求解即可；（2）設(shè)直線l的方程為，設(shè)線段的中點(diǎn)為N，則，再根據(jù)，聯(lián)立直線與圓的方程，再結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】（1）的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是，圓心