習(xí)題4- 試導(dǎo)出位移分階段量的坐標(biāo)變換uru

u

u

vrrxAyvS

v

u 設(shè)有內(nèi)徑為a而外徑為b的圓筒受內(nèi)壓力q，試求內(nèi)半徑解：軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的徑向位移公式（平面應(yīng)變u1

2(12)Br

r1)(1

2(12)Cr對(duì)于圓筒軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，有ur不隨變化，IK又由位移單值條件

Bu1

2(12)Cr 常數(shù)A、B由應(yīng)力邊界條件確定應(yīng)力分量

rr

A

A

a2b2q q邊界條件

rr

a2b2A2Cb2

2C

bb2ab2rrbA

a2b2 b2

u1

2(12)Cr2C

a2 urE(burE(b2a2)r(11b2

a2 urra

q(b2

a2

1

urrb

a2urr

r

E

b qb q 1剛 設(shè)有剛體，具有半徑為b的圓柱形孔道，孔道內(nèi)放置一外半徑為b而內(nèi)半徑為a的圓筒，受內(nèi)壓力q，試求圓筒壁剛解：邊界條件

rrurr

rarr

r

ru1

2(12)Cr

Aa2

代入邊界條件

b

2(12)Cba2b2(12A(12)b2a2

將常數(shù)A、C代入，2C

a22)b2

a2剛a2b2(12剛A(12)b2a2將常數(shù)A、C代入

2C

a22)b2

a2rr

r

rr

a2b22)b2

q(b2

12r

a2b22)b2

q(b2

12rr

r

a2b22)b2

q(b2

12a2

a2b22)b2

q(b2

12a2習(xí)題44 矩形薄板受純剪，剪力集度為q，如圖所示。如果離板邊較遠(yuǎn)處有一小圓孔，試求孔邊的最大和最小正應(yīng)力。解 qrxq由圖（a）qrxqq邊應(yīng)力結(jié)果qq

r得

qqqqqqqq

max

思考題

有一薄壁圓筒的平R，壁t，兩端受相等M作用?，F(xiàn)在圓筒上a的小圓孔，如圖所示，則孔邊的最思考題

有一薄壁壓力容器，其平均半徑為R，壁厚為t?，F(xiàn)在容器壁上發(fā)現(xiàn)一半徑為a的小圓孔，如圖所示，則孔邊的最大應(yīng)力如何？最大應(yīng)力pp習(xí)題4- 楔形體在兩側(cè)受有均布剪應(yīng)力q，如圖所示。試求其應(yīng)力分量（1）由因次分析法，可

(r,

r

代入相容方程

1

22 r

r

r22得到

d24

1dfr2 d1dfr

d d4

d24

dAcos

dBsin

Cr2f(r2(Acos

r2

r2(Acos

D) r

2Acos22Bn

r

2Asin

2Bcos2 由對(duì)稱(chēng)性，r,

應(yīng)為的偶函數(shù)；

應(yīng)為的奇函數(shù)，因而B(niǎo)Cr

2Acos2

代入，有

1

2Acos

r

2A

2A

2Ar

邊界條件

2D

2

代入應(yīng)力分量式2A 2D

代入應(yīng)力分量式r

2Acos2 2

2Acos2 cos2cotr sinrsin

2A 習(xí)題4- 三角形懸臂梁在自由端受集中荷載P，如圖所示。試用公（4-21）求任一鉛直截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，并xy解：由密切爾（J.H.Michell）解答， r

2P

0,r 由應(yīng)力分量的坐標(biāo)x

2

2

cos

rsiny

2

2

r

(sin

sin

P(sin

——密切爾（J.H.Michell）解 r——密切爾（J.H.Michell）解

（4-22y22

rrcos

P(sin

P(sin

rsin

P(sin

sin由坐標(biāo)變換式：r

x2y2

xrcos,

2P

x2

2P

x2

(x2

y2)2

x

(x2

y2)2 2P

y3

cos

)rxy2

2 2P

(xy

rsin

材料力學(xué)結(jié)截面彎

x x2截面慣性

I

23

tan3

h

截面正應(yīng)

x

2x2

tan32 2P

x2x兩者結(jié)果相差較大

(x2

y2)2POPabxry習(xí)題47 曲梁在兩端受相反的兩個(gè)力P作用，如圖所POPabxry（1）應(yīng)分析：任取一截截面MPyPrsin

f1(r)

1(r)

將其代入相容方程2110 110r r r22df (r)df

d3

(r)

d2

(r)

df(r)

f(r)sin

r

r3 r d4

(r)

d3

(r)

d2

(r)

df(r)

r

r3

f(r) rd4f(r)

d3f(r)

d2f(r)

df(r)

f(r)

r

r3 r上 方程的解f(r)代入應(yīng)力函

Ar3

Br

CrDrln

（2）應(yīng)r

1r r

(2Ar2Br3

r

(6Ar

2Br3

Ar Ar CrDrlnrsin31r

rrr

(2Ar2Br3

D)r邊界條件

r

ra

x

rb D D2B代入應(yīng)力分2B2Aa a3 32Ab2BD3b端部條件（左端 b

ybaba

0dr

0dr

rdrabaaba

自然代入量得Ar2

r2B

rD

2

)

A2

) 3 Dln

ra2b2rr 聯(lián)立求

)

(2

3

)r

rr rrAP2N

B

Pa2b22N

,D

N

(a2

b2其中

N

b2)

b2)lnaPOPabxry代入應(yīng)POPabxryrr(ra22rar322 P(3ra2b2a2b2)sinNrr3P(ra2b2a2b2)Nrr3習(xí)題48 設(shè)有無(wú)限大的薄板，在板內(nèi)的小孔中受有集中力P，如圖所示。試用如下應(yīng)力函數(shù)求其應(yīng)力分量。提示：須要考慮位移單值條件 （1）r

1r

r

(Ar

A r

rrr

r取一半徑為r的圓板 體，其上受力如圖。由圓板的平衡，F(xiàn)x

2r0r

P代入應(yīng)力分量代入應(yīng)力分量2A

cos2

P

sin22Bcos2

P

2BP

BP Fy

20

rcosrdr22Ar0

cosd

(A2B)MO

恒等

Asinr Asind由位移單值條件確定常數(shù)應(yīng)力分量

r

(A2B) r

r

其中

由物理方程與幾何rrur1(Er積分

1(A2BA)ur

(A2B

f

E

E 代入

ur

1

)

AA2B) r

r

r

ur

(AA2B)

r

2

E

(AA2B)

r(A

f

g(r)1r1r 21rE

21E

r

E

(2A

rdg(r)

g(r)要使上式對(duì)r、成立r

g(r)

其中：L

E

(2A

求解式（a），將式（b）

g(r)

d2

(2A

BB)cos

ddEd2

(2A

BB)cos

d 求解式（b）f()I

2ABBE