b二重積分的計(jì)b曲頂柱體曲頂柱體體積1 1

(x,2(x

x)dx

(

)f(

DD

(

＝b[2(x

f(

y)dy]dx

b 2(x

1(x

1(x1

f(

z

f(x,y)2 1(x)2

(x)同樣可以表示成

f(

y)dxdy

ddy2(y

f(

1(yDX─型區(qū)由曲線y1x),所圍成區(qū)

2x)(1x)2x))及

a,x特點(diǎn):用平行于y軸且穿過(guò)D 的直線與D的邊界相交y2(x)y

y2y

(x)y1(x)

y1(x) D 1(x)

y2(

ax

(

y)dxdy＝bdx2(x

f(

1(xDY─型區(qū)

1(y),

2y)(1y)2y))及

c,y特點(diǎn)：平行于x軸且穿過(guò)D 的直線與D的yx1(c

x2(

x1(

x2(y) D 1(y)

x2(

cyDc1(Dc1(

(

ddy2(y)

(

y)dxX型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直若區(qū)域如圖，則

例 求D解

y2,y

x圍成y0xy0xxx

1

yxx

2(2,yxy y

例 求D

y2,y

x圍成

2dyyxydx D y2

(2,2)x

y 例 求D

y2,y

x圍成

2dyyxydx D

2dx

xydy D

y

(2,2)1dx[2xy

x

y 2(2x1

1x3)2

[x2

1x4]2

2 1x21x2y2D

D由

1,

yx圍成1x21x2y2

dxdy

1dyy dx

1x2y21x2y2

11x2y2 yy

y

x

y

x

y

D

xydxdy,其中區(qū)域D由

0,x2

y2所圍成的上半1x2解：01x2

,1

x1x21x2xydxdyD

1

1

x(1

)dx 求D

ex

x

yx圍成 x1Dx1

ex2

1e 1e yyxyyx0yxyyx0yx

0dx

ex2 求D

D:x

y2

yx

4dx

xy xDx1dxx

xydy

4dx

xyy(4,2)xy(4,2)xy20yxx

21 2 y21

xydx

xyyxy2yx x例求x2xxy2yx

y)dxdy，其D是由拋物線xy2yxyx2和xxy2yx yxx

2y22

,(x2D

x(x2

x 1[x2(x

x2)

1(x2

x4

3310 改變積10

1

f(

y)dy的次序y1y10100原式100

1

f(

y)dx例22xx2

20dx f(

y)dy1dx

f(

y)dy的次序y2y2y 2xx 10

2yy2

f(

例計(jì)算積分Iyyyx2

12dy

1exdx12

2

exdx解exdx不能1y1原式

2exdy221 x(e12

ex

3e e. 例求由下列曲面所圍成 體積zx

y，z

xy，x

y1，

0，

解曲面圍成 如圖 在xoy面上的投影 0x

y

x

y

(xD

y (

y 1 1

2

7思考題：計(jì)算二重積分求D

ex2

D:x2

y2

a2

x

y計(jì)算x2D

y2dxdyD3x23

y2

2y，x2

y2

4y及直線x

yy 3x

所圍成的平面閉區(qū)域二、極坐標(biāo)系例 求(x2D

y2

D:

y21y2 (1y2

y2)dxdy

111y2

(x2

y2)dxD 1dy[1x3

1y21y1y21y2 1

y2

x2y2極坐標(biāo)下重積分的計(jì)極坐平面上給定點(diǎn)M(x, r,θ)—點(diǎn)M的極坐標(biāo)

●γθx極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)例如ra圓θc射圓：x2+y2－2y=r2cos2θ+r2sin2θ－2rsinθ=r2=該圓的極坐標(biāo)方r

xyy

r·θ=r·θ=a·o

～r=～r=D

(

D(r,

r1()

r2(), 以圓r=ri及射線θ=θi（i1，2，…，n）分 1(rr)2

1r

2 ir

irr1(r)2

r

D所以d

(

f

cos,rsin 二重積分在極坐標(biāo)的計(jì)算 2(11D

(

y)dxdy

d

f(rcos,rsin

r o

rA 2(11D

(

y)dxdy

d

f(r 特殊情D

(

(0(

f(r

D

(

0d

f(r

rroAroA 例求x2D

y2D:x2y2 (x2D

y2)

r2r 0

y0Dx2y0Dx

(rcos

(rsin)2 r2

r例求D

x2

y2

D:x2

xx2x2y2y0Dy0Dx1

22 2

0 3 求D解

(x2

y2

D:x2

y22yx2yx2y2D0x

d

r0

r2

0

1r8

0

2 sin80

28

5

1 求y0y0Dx

ex2D:x2

y2

a2

x

y D

ex2a

2

er2rdr2 2

er

x2y2r

a2a(1

ea2 計(jì)算(x2D

y2dxdyD為由圓x2

y2

y，x2

y2

4y及直線x

y3y 3x 所圍成的平面閉區(qū)域3 y

3x

02x2

y2

4y

3x y3

1x2y22

r(x2D

y2)dxdy

36

22sin2

15(2

二重積分的變量變換定理

設(shè)fx,y在閉

D上連D變換

T:xx(u,v

y y(u,vy

(u,v)

x(u,v)

y(uvD上一階偏導(dǎo)數(shù)

D

雅可比行列 J(u,v)

(x,

0;(u,v)變

T:D

D是一一對(duì)應(yīng)的 D

f(x,

y)dxd D

f(x(u,v

y(u,v

J(u,v

dud證根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換T可逆 在uov坐標(biāo)面上

vv

M

MDD直線分割區(qū)域D,形,其頂點(diǎn)為

MTMMMTMMMM1M1(u,v)

M

h,v),M

h,v

k)

M

(u,v

k 通過(guò)變換Txoy形其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為

i(xi

yi

(i1,2,3,4)h2k令 ,h2kx2

x(u

h,v)

x(u,v)u

(u,v)

o(x4

x(u,v

k)

x(u,v)v

(u,v)

o(

y2

y1

u(u,v)

o(y4

y1v

(u,v)

o(M1M當(dāng)hk充分小時(shí),M1M2M3M4近似于平行四邊形M1M

x2x4

y2y4hk hku uhk hkv v

u v u v

hk

J(u,v)hk因此面積元素的關(guān)系為d

J(u,

dudD

(x,

y)dxdD

f(x(u,v

y(u,v

J(u,

dud例如直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí)

rcos

y

sinJ(x,y)

cos

rsin (r,

sin

rcosD

f(x,

y)dxdD

f(r

cos,

sin

)rdrd

xary y

sina bsinJar br

例

xexD

其中D是x= y=yx+y=1所圍區(qū)域 令u

x

vxy,x2

(u

v),1

y121

vJ(u,v) 1

1xexy

ev

12

2

dvv

1vev1v11211

1(ve1

)1v )1

v(e-

)dv

e-e14 求拋物線y2=mx,y2=nx和直

y

yD的面積

(0m

n,

y2 u v

y

xx yD

xyxyy2

v2vy2 J(u,v)

21v21vv3 1v21v v4dxdy

v2ududvv4

1

m2 mv4

6 利用積分域和被積函數(shù)的對(duì)稱性計(jì)算二設(shè)f

y

D上連續(xù)

如果D關(guān)于

y軸對(duì)稱那么(i)

對(duì)任意點(diǎn)

y)D當(dāng)f(

y)

f(

y時(shí),

0(ii)

對(duì)任意點(diǎn)

y)D當(dāng)f(

y)

f(

y時(shí),

f(

y)d

{(

y)D

x0}(2)

如果D關(guān)于

x軸對(duì)稱那么(i)

對(duì)任意點(diǎn)

y)D當(dāng)fx,y

f(

y時(shí),

0(ii)

對(duì)任意點(diǎn)(

y)D當(dāng)fx,y

f(

y時(shí),

f(

y)d其中

y)D

y0}(3)

如果

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,那么(i)

對(duì)任意點(diǎn)

y)D當(dāng)f(x,y

f(

y時(shí),

0(ii)

對(duì)任意點(diǎn)(

y)D當(dāng)f(x,y

f(

y)時(shí)I

f(

f(

y)d例解分 曲線x

y1在四個(gè)象限的圖形，易知它是的閉區(qū)域，該區(qū)域分別對(duì)稱于x軸和y軸，而被積函數(shù)f(x,y)

x2

y2對(duì)y或x都是偶函數(shù)，即

(x,y)

f(x

y),f(x,y

B故z

f(x,y)

x2

y2的圖形對(duì)稱于xz

A平面和yz平面(事實(shí)上，z

x2y

的圖形是旋轉(zhuǎn)拋物面)，故所求積

D分是被積函數(shù)在區(qū)域D1上積分的 1- (x2y2)dxdy4( 1-

y2)dxdy

40dx (

y2)dy 41

x2y

y3

1

dx

12x

x

4x3

10

0

3 3注意：若積分函