學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE8-學必求其心得，業(yè)必貴于專精習題課（一）推理與證明1．正弦函數是奇函數，f(x)＝sin（x2＋1）是正弦函數,因此f（x)＝sin(x2＋1）是奇函數，以上推理()A．結論正確 B．大前提不正確C．小前提不正確 D．全不正確解析：選C因為f（x）＝sin（x2＋1）不是正弦函數，所以小前提不正確.2．數列｛an｝中，已知a1＝1,當n≥2時，an＝an－1＋2n－1，依次計算a2，a3，a4后,猜想an的表達式是(）A．an＝3n－2 B．an＝n2C．an＝3n－1 D．an＝4n－3解析：選B求得a2＝4，a3＝9,a4＝16，猜想an＝n2。3．在平面直角坐標系內,方程eq\f(x,a)＋eq\f(y，b)＝1表示在x,y軸上的截距分別為a，b的直線，拓展到空間直角坐標系內,在x,y，z軸上的截距分別為a，b，c(abc≠0)的平面方程為(）A.eq\f（x，a）＋eq\f(y,b)＋eq\f（z,c）＝1 B.eq\f（x，ab)＋eq\f（y,bc）＋eq\f(z，ca)＝1C。eq\f（xy，ab）＋eq\f（yz,bc)＋eq\f(zx,ca)＝1 D．ax＋by＋cz＝1解析：選A類比到空間應選A.另外也可將點(a,0，0）代入驗證．4．用反證法證明命題“設a，b為實數,則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時,要做的假設是（)A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根解析：選A至少有一個實根的否定是沒有實根，故要做的假設是“方程x3＋ax＋b＝0沒有實根"．5．來自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，剛好碰在一起．他們除懂本國語言外,每人還會說其他三國語言中的一種．有一種語言是三個人會說的，但沒有一種語言四人都懂，現知道：①甲是日本人，丁不會說日語，但他倆能自由交談;②四人中沒有一個人既能用日語交談,又能用法語交談；③乙、丙、丁交談時,不能只用一種語言；④乙不會說英語，當甲與丙交談時，他能做翻譯．針對他們懂的語言，正確的推理是（)A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：選A分析題目和選項，由①知，丁不會說日語，排除B選項；由②知,沒有人既會日語又會法語，排除D選項；由③知乙、丙、丁不會同一種語言,排除C選項，故選A。6．已知結論：“在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點,G是三角形ABC的重心，則eq\f（AG，GD)＝2”．若把該結論推廣到空間，則有結論:“在棱長都相等的四面體ABCD中，若△BCD的中心為M，四面體內部一點O到四面體各面的距離都相等”，則eq\f（AO，OM)＝（）A．1 B．2C．3 D．4解析:選C如圖，設正四面體的棱長為1，則易知其高AM＝eq\f(\r（6),3），此時易知點O即為正四面體內切球的球心,設其半徑為r,利用等積法有4×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3)，4)r＝eq\f（1,3)×eq\f(\r（3）,4)×eq\f（\r(6),3）?r＝eq\f（\r（6）,12)，故AO＝AM－MO＝eq\f(\r(6)，3)－eq\f(\r（6），12）＝eq\f(\r(6）,4），故AO∶OM＝eq\f(\r（6）,4)∶eq\f(\r（6），12)＝3。7．圖1是一個水平擺放的小正方體木塊,圖2,圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的,按照這樣的規(guī)律放下去,至第七個疊放的圖形中，小正方體木塊總數就是。解析：分別觀察正方體的個數為：1，1＋5,1＋5＋9，…歸納可知，第n個疊放圖形中共有n層,構成了以1為首項,以4為公差的等差數列，所以Sn＝n＋[n(n－1)×4]÷2＝2n2－n，所以S7＝2×72－7＝91。答案：918．用數學歸納法證明：(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(n＋n）＝eq\f（n3n＋1，2)（n∈N＋）的第二步中，當n＝k＋1時等式左邊與n＝k時的等式左邊的差等于________．解析：當n＝k＋1時，左邊＝(k＋2)＋(k＋3)＋…＋(2k＋2）;當n＝k時，左邊＝（k＋1）＋（k＋2）＋…＋2k，其差為(2k＋1）＋(2k＋2）－(k＋1)＝3k＋2.答案：3k＋29．有三張卡片，分別寫有1和2，1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數字不是1”,丙說：“我的卡片上的數字之和不是5”,則甲的卡片上的數字是________．解析：法一:由題意得丙的卡片上的數字不是2和3。若丙的卡片上的數字是1和2,則由乙的說法知乙的卡片上的數字是2和3，則甲的卡片上的數字是1和3，滿足題意；若丙的卡片上的數字是1和3,則由乙的說法知乙的卡片上的數字是2和3，則甲的卡片上的數字是1和2，不滿足甲的說法．故甲的卡片上的數字是1和3。法二：因為甲與乙的卡片上相同的數字不是2，所以丙的卡片上必有數字2。又丙的卡片上的數字之和不是5，所以丙的卡片上的數字是1和2.因為乙與丙的卡片上相同的數字不是1，所以乙的卡片上的數字是2和3，所以甲的卡片上的數字是1和3.答案：1和310．已知|x|≤1，｜y|≤1,用分析法證明：｜x＋y|≤｜1＋xy｜.證明：要證｜x＋y｜≤｜1＋xy|，即證（x＋y)2≤(1＋xy)2，即證x2＋y2≤1＋x2y2，即證（x2－1)(1－y2)≤0，因為｜x|≤1，｜y|≤1，所以x2－1≤0，1－y2≥0，所以(x2－1）(1－y2)≤0，不等式得證．11．設函數f(x)＝exlnx＋eq\f(2ex－1，x),證明:f(x)〉1.證明：由題意知f(x)〉1等價于xlnx〉xe－x－eq\f（2，e)。設函數g（x)＝xlnx，則g′（x)＝1＋lnx。所以當x∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)）)時,g′(x)<0；當x∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,e），＋∞)）時,g′（x)〉0.故g（x）在eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f（1,e)））上單調遞減,在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，e),＋∞)）上單調遞增，從而g（x）在（0，＋∞)上的最小值為geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，e）))＝－eq\f（1，e).設函數h(x)＝xe－x－eq\f(2,e），則h′（x)＝e－x(1－x)．所以當x∈（0,1)時，h′(x）〉0；當x∈（1，＋∞）時，h′（x)〈0。故h（x）在（0,1）上單調遞增，在(1，＋∞）上單調遞減，從而h（x）在(0,＋∞）上的最大值為h（1)＝－eq\f（1,e）.綜上，當x>0時，g（x)>h(x）,即f(x）>1.12．各項都為正數的數列｛an｝滿足a1＝1,aeq\o\al(2，n＋1)－aeq\o\al（2，n）＝2.(1)求數列｛an｝的通項公式；（2)求證：eq\f（1,a1)＋eq\f（1，a2)＋…＋eq\f（1，an）≤eq\r(2n－1)對一切n∈N＋恒成立．解：（1)∵aeq\o\al（2,n＋1）－aeq\o\al（2，n)＝2，∴數列{aeq\o\al（2,n)｝為首項為1，公差為2的等差數列，∴aeq\o\al(2,n)＝1＋（n－1）·2＝2n－1，又an>0，則an＝eq\r(2n－1)。(2)證明：由（1）知，即證1＋eq\f（1，\r（3）)＋…＋eq\f(1,\r（2n－1）)≤eq\r(2n－1）.①當n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，所以不等式成立．當n＝2時，左邊〈右邊,所以不等式成立．②假設當n＝k(k≥2,k∈N＋)時不等式成立，即1＋eq\f（1，\r（3））＋…＋eq\f（1,\r（2k－1))≤eq\r（2k－1），當n＝k＋1時,左邊＝1＋eq\f(1,\r(3））＋…＋eq\f(1，\r(2k－1))＋eq\