第2章數(shù)學模型

為了從理論上對控制系統(tǒng)進行性能分析，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。系統(tǒng)的數(shù)學模型，是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內部各變量之間關系的數(shù)學表達式，它揭示了系統(tǒng)結構及其參數(shù)與其性能之間的內在關系。系統(tǒng)數(shù)學模型有多種形式，這取決于變量和坐標系統(tǒng)的選擇。在時間域，通常采用微分方程或一階微分方程組的形式；在復數(shù)域則采用傳遞函數(shù)形式；而在頻率域采用頻率特性形式。必須指出，建立合理的數(shù)學模型，對于系統(tǒng)的分析和研究極為重要。由于不可能將系統(tǒng)實際的錯綜復雜的物理現(xiàn)象完全表達出來，因而要對模型的簡潔性與精確性進行折衷的考慮。一般是根據(jù)系統(tǒng)的實際結構參數(shù)和系統(tǒng)分析所要求的精度，忽略一些次要因素，建立既能反映系統(tǒng)內在本質特性，又能簡化分析計算工作的模型。

第2章數(shù)學模型為了從理論上對控制系1

學習目的1.了解建立系統(tǒng)數(shù)學模型的一般步驟2.掌握拉氏變換和反變換方法3.掌握建立系統(tǒng)數(shù)學模型的各種方法（包括時域、復數(shù)域；解析式、圖示式）4.了解非線性數(shù)學模型線性化的方法

5.熟悉各種不同物理屬性控制系統(tǒng)數(shù)學模型的建立過程內容提要本章主要闡述控制系統(tǒng)數(shù)學模型的基本概念、時域模型——運動微分方程和復數(shù)域模型——傳遞函數(shù)的建立、數(shù)學模型的圖示法——方框圖和信號流圖的建立步驟與方法，介紹拉氏變換與拉氏反變換重

點傳遞函數(shù)概念的建立、典型環(huán)節(jié)和控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導

難

點實際物理系統(tǒng)，特別是機械系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導

學習目的1.了解建立系統(tǒng)數(shù)學模型的一般步驟內容2建立系統(tǒng)數(shù)學模型，一般采用解析法或實驗法。所謂解析法建模，即依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理學定律，理論推導出變量間的數(shù)學關系式，從而建立數(shù)學模型。本章僅討論解析建模方法，關于實驗法建模將在后面的章節(jié)進行介紹。2.1控制系統(tǒng)的運動微分方程

2.1.1建立數(shù)學模型的一般步驟

用解析法列寫系統(tǒng)或元件微分方程的一般步驟是：(1)分析系統(tǒng)的工作原理和信號傳遞變換的過程，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量。(2)從系統(tǒng)的輸入端開始，按照信號傳遞變換過程，依據(jù)各變量所遵循的物理學定律，依次列寫出各元件、部件動態(tài)微分方程。(3)消去中間變量，得到一個描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關系的微分方程。(4)寫成標準化形式。將與輸入有關的項放在等式右側，與輸出有關的項放在等式的左側，且各階導數(shù)項按降冪排列。

建立系統(tǒng)數(shù)學模型，一般采用解析法或實驗法。所謂32.1.2控制系統(tǒng)微分方程的列寫

1．機械系統(tǒng)

任何機械系統(tǒng)的數(shù)學模型都可以應用牛頓定律來建立。機械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可以使用質量、彈性和阻尼三個要素來描述。(1)機械平移系統(tǒng)圖2.1所示為常見的質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，圖中的、、分別表示質量、彈簧剛度和粘性阻尼系數(shù)。以系統(tǒng)在靜止平衡時的那一點為零點，即平衡工作點，這樣的零位選擇消除了重力的影響。設系統(tǒng)的輸入量為外作用力，輸出量為質量塊的位移?，F(xiàn)研究外力與位移之間的關系。在輸入力的作用下，質量塊將有加速度，從而產生速度和位移。質量塊的速度和位移使阻尼器和彈簧產生粘性阻尼力和彈性力。這兩個力反饋作用于質量塊上，影響輸入的作用效果，從而使質量塊的速度和位移隨時間發(fā)2.1.2控制系統(tǒng)微分方程的列寫1．機械4

圖2.1機械平移系統(tǒng)力學模型圖2.1機械平移系統(tǒng)力學模型5生變化，產生動態(tài)過程。根據(jù)牛頓第二定律，有

點擊觀看公式推導

由阻尼器、彈簧的特性，可寫出由以上三個式子，消去和，并寫成標準形式，得一般、、均為常數(shù)，故式（2.1）為二階常系數(shù)線性微分方程。它描述了輸入和輸出之間的動態(tài)關系。方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結構參數(shù)；而方程的階次等于系統(tǒng)中獨

（2.1）

生變化，產生動態(tài)過程。

（2.1）6立的儲能元件（慣性質量、彈簧）的數(shù)量。當質量很小可忽略不計時，系統(tǒng)由并聯(lián)的彈簧和阻尼器組成，如圖2.2所示。此時，系統(tǒng)的運動方程為一階常系數(shù)微分方程

這說明，同一系統(tǒng)由于簡化程度的不同，可以有不同的數(shù)學模型。

圖2.2

彈簧-阻尼系統(tǒng)力學模型

立的儲能元件（慣性質量、圖2.2

彈簧-阻尼系統(tǒng)力學模型7(2)機械旋轉系統(tǒng)包含定軸旋轉的機械系統(tǒng)用途極其廣泛。其建模方法與平移系統(tǒng)非常相似。只是這里將質量、彈簧、阻尼分別變成轉動慣量、扭轉彈簧、旋轉阻尼。圖2.3所示為一機械旋轉系統(tǒng)，旋轉體通過柔性軸（用扭轉彈簧表示）與齒輪連接。旋轉體在粘性介質中旋轉，因而承受與旋轉速度成正比的阻尼力矩。設齒輪轉角為系統(tǒng)輸入量，旋轉體轉角為系統(tǒng)輸出量，據(jù)此建立系統(tǒng)的運動微分方程（忽略軸承上的摩擦）。扭轉彈簧左、右端的轉角分別為、，設它加給旋轉體的扭矩為（當時，彈簧的扭矩為零），則

旋轉體上除了受彈簧的扭矩外，也受阻尼扭矩作用，因而有扭矩平衡方程

(2)機械旋轉系統(tǒng)8和旋轉阻尼特性方程

由以上三式整理可得機械旋轉系統(tǒng)運動微分方程

圖2.3

機械旋轉系統(tǒng)力學模型

（2.2）

圖2.3

機械旋轉系統(tǒng)力學模型

（2.2）92．電氣系統(tǒng)

電阻、電感和電容器是電路中的三個基本元件。通常利用基爾霍夫定律來建立電氣系統(tǒng)的數(shù)學模型。電氣系統(tǒng)數(shù)學模型

無源電路網絡如圖2.4所示，設輸入端電壓為系統(tǒng)輸入量。電容器兩端電壓為系統(tǒng)輸出量。現(xiàn)研究輸入電壓和輸出電壓之間的關系。電路中的電流為中間變量。圖2.4無源電路網絡

2．電氣系統(tǒng)圖2.410根據(jù)基爾霍夫定律，有

點擊觀看公式推導

消去中間變量，稍加整理，即得

一般假定、、都是常數(shù)，則上式為二階常系數(shù)線性微分方程。若，系統(tǒng)也可簡化為一階常微分方程

有源電路網絡如圖2.5所示，設電壓為系統(tǒng)輸入量，電壓為系統(tǒng)輸出量?，F(xiàn)建立與之間的關系式。

（2.3）

（2.4）根據(jù)基爾霍夫定律，有

點擊觀看公式推導11

圖2.5

有源電路網絡圖2.5

有源電路網絡12圖中點為運算放大器的反相輸入端，為運算放大器的開環(huán)放大倍數(shù)。因為

且一般值很大，所以點電位

運算放大器的輸入阻抗一般都很高，故而可認為

因此，可以得到即

（2.5）圖中點為運算放大器的反相輸入端133．流體系統(tǒng)

流體系統(tǒng)比較復雜，但經過適當簡化也可以用微分方程加以描述。圖2.6所示為一簡單的液位控制系統(tǒng)。在此系統(tǒng)中，箱體通過輸出端的節(jié)流閥對外供液。設流入箱體的流量為系統(tǒng)輸入量，液面高度為輸出量，下面列寫液位波動的運動微分方程。圖2.6液位控制系統(tǒng)3．流體系統(tǒng)圖2.6液位控制系統(tǒng)14根據(jù)流體連續(xù)方程，可得

式中

——箱體的截面積。設液體是不可壓縮的，通過節(jié)流閥的液流是紊流，則其流量公式為

式中

——由節(jié)流閥通流面積和通流口結構形式決定的系數(shù)，通流面積不變時為常數(shù)。消去中間變量得液位波動方程為

顯然，式（2.8）是一個非線性微分方程。4．模型分析

將上述系統(tǒng)模型進行比較，可清楚地看到，物理本質不同的（2.6）

（2.7）

（2.8）根據(jù)流體連續(xù)方程，可得（2.6）

（215系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學模型。反之，同一數(shù)學模型可以描述物理性質完全不同的系統(tǒng)。因此，從控制理論來說，可拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進行普遍意義的分析研究，這就是信息方法，從信息在系統(tǒng)中傳遞、轉換的方面來研究系統(tǒng)的功能。而從動態(tài)性能來看，在相同形式的輸入作用下，數(shù)學模型相同而物理本質不同的系統(tǒng)其輸出響應相似，若方程系數(shù)等值則響應完全一樣，這樣就有可能利用電系統(tǒng)來模擬其它系統(tǒng)，進行實驗研究。這就是控制理論中的功能模擬方法的基礎。分析上述系統(tǒng)模型還可以看出，描述系統(tǒng)運動的微分方程的系數(shù)都是系統(tǒng)的結構參數(shù)及其組合，這就說明系統(tǒng)的動態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，取決于系統(tǒng)結構及其參數(shù)。用線性微分方程描述的系統(tǒng)，稱為線性系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則稱為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)不是常數(shù)，而是時間的函數(shù)，則稱為線性時變系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的特點是具有線性性質，即服從疊加原理。這個原理是說，多個輸入同時作用系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學模型。反之，同一數(shù)學模型可以描述物16于線性系統(tǒng)的總響應，等于各輸入單獨作用時產生的響應之和。用非線性微分方程描述的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)，如前述的液位控制系統(tǒng)。在工程實踐中，可實現(xiàn)的線性定常系統(tǒng)，均能用階常系數(shù)線性微分方程來描述其運動特性。設系統(tǒng)的輸入量為，系統(tǒng)的輸出量為，則單輸入、單輸出階系統(tǒng)常系數(shù)線性微分方程有如下的一般形式

（2.9）

式中，，…，和，，…，——由系統(tǒng)結構參數(shù)決定的實常數(shù)。

由于實際系統(tǒng)中總含有慣性元件以及受到能源能量的限制，所以總是

于線性系統(tǒng)的總響應，等于各輸入單獨作用時產生的響應之和。

172.2拉氏變換與反變換

機電控制工程所涉及的數(shù)學問題較多，經常要解算一些線性微分方程。按照一般方法解算比較麻煩，如果用拉普拉斯變換求解線性微分方程，可將經典數(shù)學中的微積分運算轉化為代數(shù)運算，又能夠單獨地表明初始條件的影響，并有變換表可查找，因而是一種較為簡便的工程數(shù)學方法。2.2.1拉普拉斯變換的定義如果有一個以時間為自變量的實變函數(shù)，它的定義域是，那么的拉普拉斯變換定義為

式中，是復變數(shù)，（σ、ω均為實數(shù)），稱為拉普拉斯積分；是函數(shù)的拉普拉斯變換，它是一個復變函數(shù)，通常也稱為的象函數(shù)，而稱為的原函數(shù)；L是表示進行拉普拉斯變換的符號。

(2.10)

2.2拉氏變換與反變換機電控制工程所涉及的18式（2.10）表明：拉氏變換是這樣一種變換，即在一定條件下，它能把一實數(shù)域中的實變函數(shù)變換為一個在復數(shù)域內與之等價的復變函數(shù)。2.2.2幾種典型函數(shù)的拉氏變換

1.單位階躍函數(shù)的拉氏變換

單位階躍函數(shù)是機電控制中最常用的典型輸入信號之一，常以它作為評價系統(tǒng)性能的標準輸入，這一函數(shù)定義為

單位階躍函數(shù)如圖2.7所示，它表示在時刻突然作用于系統(tǒng)一個幅值為1的不變量。

單位階躍函數(shù)的拉氏變換式為

當，則。

式（2.10）表明：拉氏變換是這樣一種變換，即19所以

2.指數(shù)函數(shù)的拉氏變換

指數(shù)函數(shù)也是控制理論中經常用到的函數(shù)，其中是常數(shù)。令則與求單位階躍函數(shù)同理，就可求得

（2.11）

（2.12）圖2.7單位階躍函數(shù)所以（2.11）

（2.12）圖2.7單位階躍203.正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的拉氏變換設，，則由歐拉公式，有所以

(2.13)3.正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的拉氏變換

21同理

4.單位脈沖函數(shù)δ(t)的拉氏變換

單位脈沖函數(shù)是在持續(xù)時間期間幅值為

的矩形波。其幅值和作用時間的乘積等于1，即。如圖2.8所示。

單位脈沖函數(shù)的數(shù)學表達式為

(2.14）圖2.8

單位脈沖函數(shù)同理

(2.14）圖2.8

單位脈沖函數(shù)22其拉氏變換式為此處因為時，，故積分限變?yōu)?/p>

(2.15)

其拉氏變換式為

(2.15)23

5.單位速度函數(shù)的拉氏變換

單位速度函數(shù)，又稱單位斜坡函數(shù)，其數(shù)學表達式為見圖2.9所示。

單位速度函數(shù)的拉氏變換式為

圖2.9單位速度函數(shù)5.單位速度函數(shù)的拉氏變換圖2.9單位速度函24利用分部積分法

令

則

所以當時，,則

（2.16）

利用分部積分法（2.16）256.單位加速度函數(shù)的拉氏變換

單位加速度函數(shù)的數(shù)學表達式為

如圖2.10所示。其拉氏變換式為

通常并不根據(jù)定義來求解象函數(shù)和原函數(shù)，而可從拉氏變換表（見附錄A）中直接查出。圖2.10單位加速度函數(shù)（2.17）6.單位加速度函數(shù)的拉氏變換圖2.10單262.2.3拉氏變換的主要定理根據(jù)拉氏變換定義或查表能對一些標準的函數(shù)進行拉氏變換和反變換，但利用以下的定理，則對一般的函數(shù)可使運算簡化。1.疊加定理

拉氏變換也服從線性函數(shù)的齊次性和疊加性。1）齊次性設，則

式中——常數(shù)。（2）疊加性設，，則

兩者結合起來，就有這說明拉氏變換是線性變換。

（2.18）（2.19）2.2.3拉氏變換的主要定理（2.18）（2.19）272.微分定理

設

則

式中——函數(shù)在時刻的值，即初始值。同樣，可得的各階導數(shù)的拉氏變換是

（2.20）2.微分定理

設（2.20）28式中，，…——原函數(shù)各階導數(shù)在時刻的值。如果函數(shù)及其各階導數(shù)的初始值均為零（稱為零初始條件），則

各階導數(shù)的拉氏變換為

3.復微分定理若

可以進行拉氏變換，則除了在

的極點以外，式中，。同樣有（2.21）

（2.22）式中，，…——原函數(shù)各階29一般地，有4.積分定理設

，則

式中

——積分

在時刻的值。當初始條件為零時，對多重積分是

（2.23）（2.24）

（2.25）（2.26）（2.23）（2.24）（2.25）（2.2630

當初始條件為零時，則

5.延遲定理設

，且時，，則

函數(shù)

為原函數(shù)

沿時間軸延遲了

，如圖2.11所示。

（2.27）（2.28）圖2.11函數(shù)當初始條件為零時，則（2.27）（2316.位移定理

在控制理論中，經常遇到一類的函數(shù)，它的象函數(shù)只需把用代替即可，這相當于在復數(shù)坐標中，有一位移。設，則

例如的象函數(shù)，則的象函數(shù)為7.初值定理它表明原函數(shù)在時的數(shù)值。

即原函數(shù)的初值等于乘以象函數(shù)的終值。（2.29）（2.30）6.位移定理（2.29）（2.30）328.終值定理設，并且存在，則

即原函數(shù)的終值等于乘以象函數(shù)的初值。這一定理對于求瞬態(tài)響應的穩(wěn)態(tài)值是很有用的。9.卷積定理設，，則有即兩個原函數(shù)的卷積分的拉氏變換等于它們象函數(shù)的乘積。式（2.32）中，為卷積分的數(shù)學表示，定義為

10.時間比例尺的改變

（2.31）

（2.32）8.終值定理

（2.31）

（2.33

式中

——比例系數(shù)例如，的象函數(shù)，則的象函數(shù)為

11.拉氏變換的積分下限在某些情況下，在處有一個脈沖函數(shù)。這時必須明確拉普拉斯積分的下限是還是，因為對于這兩種下限，的拉氏變換是不同的。為此，可采用如下符號予以區(qū)分：

（2.33）

（2.33）34若在處包含一個脈沖函數(shù)，則

因為在這種情況下顯然，如果在處沒有脈沖函數(shù)，則有2.2.4拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換的公式為

式中

——表示拉普拉斯反變換的符號通常用部分分式展開法將復雜函數(shù)展開成有理分式函數(shù)之和，然后由拉氏變換表一一查出對應的反變換函數(shù)，即得所求的原函數(shù)。（2.36）

若在處351.部分分式展開法

在控制理論中，常遇到的象函數(shù)是的有理分式

為了將寫成部分分式，首先將的分母因式分解，則有

式中，，，…，是的根的負值，稱為的極點，按照這些根的性質，可分為以下幾種情況來研究。2.的極點為各不相同的實數(shù)時的拉氏反變換

，，…，

（2.37）1.部分分式展開法

在控制理論中36式中，是待定系數(shù)，它是處的留數(shù)，其求法如下再根據(jù)拉氏變換的迭加定理，求原函數(shù)

[例2.1]

求的原函數(shù)。解:

首先將的分母因式分解，則有

（2.38）式中，是待定系數(shù)，它是處的37即得

3.含有共軛復數(shù)極點時的拉氏反變換

如果有一對共軛復數(shù)極點，，其余極點均為各不相同的實數(shù)極點。將展成

38式中，和可按下式求解即

因為（或）是復數(shù)，故式（2.39）兩邊都應是復數(shù)，令等號兩邊的實部、虛部分別相等，得兩個方程式，聯(lián)立求解，即得、兩個常數(shù)。[例2.2]

已知，試求其部分分式。

解:

因為

（2.39）、（2.40）式中，和可按下式求解

（239含有一對共軛復數(shù)極點，和一個極點，故可將式（2.40）因式分解成以下求系數(shù)、和。由式（2.40）和式（2.41）相等，有用

乘以上式兩邊，并令，得到

（2.41）（2.42）

含有一對共軛復數(shù)極點40上式可進一步寫成由上式兩邊實部和虛部分別相等，可得聯(lián)立以上兩式，可求得為了求出系數(shù)，用乘方程（2.42）兩邊，并令，將代入，得將所求得的、、值代入（2.41），并整理后得的部分分式

上式可進一步寫成

41查拉氏變換表便得，結果見式（3.16）。[例2.3]

已知求。解:

將的分母因式分解，得

42利用方程兩邊實部、虛部分別相等得

解得，

所以

，

，43這種形式再作適當變換：查拉氏變換表得

這種形式再作適當變換：

444.中含有重極點的拉氏反變換

設有個重根，則

將上式展開成部分分式

式中，，，…，的求法與單實數(shù)極點情況下相同。，，…，的求法如下：

（2.43）

4.中含有重極點的拉氏反變45[例2.4]

設，試求的部分分式。解:

已知

含有2個重極點，可將式（2.45）的分母因式分解得

以下求系數(shù)、和。

(2.44）

（2.45）

（2.46）、……

(2.44）（2.45）（2.46）、……46將所求得的、

、值代入式（2.46），即得的部分分式

查拉氏變換表可得。[例2.5]

求的拉氏反變換。

解:

將展開為部分分式二階系統(tǒng)的時間響應課件47上式中各項系數(shù)為

于是查拉氏變換表，得

48應當指出，對于在分母中包含有較高階次多項式的復雜函數(shù)，用人工算法進行部分分式展開則相當費時費力。這種情況下，采用MATLAB工具就方便多了。5.用MATLAB展開部分分式(1)概述

MATLAB是美國MathWorks公司的軟件產品，是一個高級的數(shù)值分析、處理與計算的軟件，其強大的矩陣運算能力和完美的圖形可視化功能，使得它成為國際控制界應用最廣的首選計算機工具。

SIMULINK是基于模型化圖形的動態(tài)系統(tǒng)仿真軟件，是MATLAB的一個工具箱，它使系統(tǒng)分析進入一個嶄新的階段，它不需要過多地了解數(shù)值問題，而是側重于系統(tǒng)的建模、分析與設計。其良好的人機界面及周到的幫助功能使得它廣為科技界和工程界所采用。(2)用MATLAB進行部分分式展開應當指出，對于在分母中包含有較高階次多項式49

MATLAB有一個命令用于求B(s)/A(s)的部分分式展開式。設s的有理分式為式中（i=）和（j=）的某些值可能為零。在MATLAB的行向量中，num和den分別表示F(s)分子和分母的系數(shù)，即num=[

]den=[1

]命令

MATLAB將按下式給出F(s)部分分式展開式中的留數(shù)、極點和余項：

[r,p,k]=residue(num,den)MATLAB有一個命令用于求B(s)/A(50上式與式（2.37）比較，顯然有p(1)=-，p(2)=-，…，p(n)=-；r(1)=,r(2)=，…，r(n)=；k（s）是余項。[例2.6]

試求下列函數(shù)的部分分式展開式

解：對此函數(shù)有

num=[1

11

39

52

26]den=[1

10

35

50

24]命令于是得到下列結果[r,p,k]=residue(num,den)

r=1.00002.5000

-3.0000[r,p,k]=residue(num,den)上式與式（2.37）比較，顯然有p(1)=-，p(510.5000

p=

-4.0000

-3.0000

-2.0000

-1.0000

k=1則得如果F(s)中含重極點，則部分分式展開式將包括下列諸項式中，p(j)為一個q重極點。[例2.7]

試將下列函數(shù)展開成部分分式0.500052解：對于該函數(shù)有

num=[0

1

4

6]

den=[1

3

3

1]

命令

[r,p,k]=residue(num,den)

將得到如下結果：

[r,p,k]=residue(num,den)r=

1.0000

2.0000

3.0000

p=

-1.0000

-1.0000

-1.0000

k=

[

]解：對于該函數(shù)有53所以可得

注意，本例的余項k為零。2.2.5應用拉氏變換解線性微分方程應用拉氏變換解線性微分方程時，采用下列步驟：

(1)對線性微分方程中每一項進行拉氏變換，使微分方程變?yōu)榈拇鷶?shù)方程；

(2)解代數(shù)方程，得到有關變量的拉氏變換表達式；

(3)用拉氏反變換得到微分方程的時域解。

整個求解過程如圖2.12所示。圖2.12

應用拉氏變換法求解線性微分方程的過程所以可得圖2.12

應用拉氏變換法求解線性微分方程的過程54設系統(tǒng)微分方程為若，初始條件分別為、，試求。

解:

對微分方程左邊進行拉氏變換利用迭加定理將上式逐項相加，即得方程左邊的拉氏變換

對方程右邊進行拉氏變換

[例2.8]設系統(tǒng)微分方程為[例2.8]55得

寫成一般形式

應該強調指出是微分方程的特征方程，也是該系統(tǒng)的特征方程。利用部分分式將展開為

二階系統(tǒng)的時間響應課件56求待定系數(shù)、、、、:

代入原式得

求待定系數(shù)、、、、57查拉氏變換表得當初始條件為零時，得

2.3

傳遞函數(shù)

在控制工程中，直接求解系統(tǒng)微分方程是研究分析系統(tǒng)的基本方法。系統(tǒng)方程的解就是系統(tǒng)的輸出響應，通過方程的表達式，可以分析系統(tǒng)的動態(tài)特性，可以繪出輸出響應曲線，直觀地反映系統(tǒng)的動態(tài)過程。但是，由于求解過程較為繁瑣，計算復雜費時，而且難以直接從微分方程本身研究和判斷系統(tǒng)的動態(tài)性能，因此，這種方法有很大的局限性。顯然，僅用微分方程這一數(shù)學模型來進行系統(tǒng)分析設計，顯得十分不便。

查拉氏變換表得

58對于線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)是常用的一種數(shù)學模型，它是在拉氏變換的基礎上建立的。用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)可以免去求解微分方程的麻煩，間接地分析系統(tǒng)結構及參數(shù)與系統(tǒng)性能的關系，并且可以根據(jù)傳遞函數(shù)在復平面上的形狀直接判斷系統(tǒng)的動態(tài)性能，找出改善系統(tǒng)品質的方法。因此，傳遞函數(shù)是經典控制理論的基礎，是一個極其重要的基本概念。2.3.1傳遞函數(shù)的概念和定義對于線性定常系統(tǒng)，在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。圖2.1所示質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，由二階微分方程式（2.1）來描述它的動態(tài)特性，即在所有初始條件均為零的情況下，對上式進行拉氏變換，得

對于線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)是常用的一種數(shù)學模型59按定義，傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為同樣，在零初始條件下，對式（2.3）進行拉氏變換，可得圖2.4所示

無源電路網絡的傳遞函數(shù)為

式（2.47）和式（2.49）表明，傳遞函數(shù)是復數(shù)域中的系統(tǒng)數(shù)學模型，它僅取決于系統(tǒng)本身的結構及參數(shù)，而與輸入、輸出的形式無關。由式（2.48）可知，如果給定，則輸出的特性完全由傳遞函數(shù)決定，因此，傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)（2.47）

（2.48）

（2.49）

按定義，傳遞函數(shù)為（2.47）（2.48）60本身的動態(tài)本質。這是容易理解的，因為是由微分方程式經過拉氏變換得來的，而拉氏變換是一種線性變換，只是將變量從時間域變換到復數(shù)域，將微分方程變換為域中的代數(shù)方程來處理，所以不會改變所描述的系統(tǒng)的動態(tài)本質。必須強調指出，根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，傳遞函數(shù)是通過系統(tǒng)的輸入量與輸出量之間的關系來描述系統(tǒng)固有特性的，即以系統(tǒng)的外部特性來揭示系統(tǒng)的內部特性，這就是傳遞函數(shù)的基本思想。之所以能夠用系統(tǒng)外部的輸入-輸出特性來描述系統(tǒng)內部特性，是因為傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)結構參數(shù)使線性定常系統(tǒng)的輸出和輸入建立了聯(lián)系。傳遞函數(shù)的概念和基本思想在控制理論中具有特別重要的意義，當一個系統(tǒng)內部結構不清楚，或者根本無法弄清楚它的內部結構時，借助從系統(tǒng)的輸入來看系統(tǒng)的輸出，也可以研究系統(tǒng)的功能和固有特性?，F(xiàn)在，對系統(tǒng)輸入輸出動態(tài)觀測的方法，已發(fā)展成為控制理論研究方法的一個重要的分支，這就是系統(tǒng)辨識，即通過外部觀測所獲得的數(shù)據(jù)，辨識系統(tǒng)的結構及本身的動態(tài)本質。這是容易理解的，因為是由61參數(shù)，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。設線性定常系統(tǒng)的微分方程的一般形式為

式中

——系統(tǒng)輸出量；

——系統(tǒng)輸入量；

，，…，及，，…，——均為系統(tǒng)結構參數(shù)所決定的實常數(shù)。設初始條件為零，對式（2.50）進行拉氏變換，可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式

（2.50）（2.51）

參數(shù)，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。（2.50）（2.51）62令式（2.51）可表示為

稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為系統(tǒng)特征根。特征方程決定著系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

傳遞函數(shù)的指導思想是通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關系描述系統(tǒng)固有特性。2.3.2特征方程、零點和極點根據(jù)多項式定理，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式即式（2.51），也可寫成

（2.52）

（2.53）令（2.52）（2.53）63式中，的根，稱為傳遞函數(shù)的零點；的根稱為傳遞函數(shù)的極點。顯然，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點就是系統(tǒng)的特征根。零點和極點的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)諸參數(shù)，，…，和，，…，，即取決于系統(tǒng)的結構參數(shù)。一般地，零點和極點可為實數(shù)（包括零）或復數(shù)。若為復數(shù)，必共軛成對出現(xiàn)，這是因為系統(tǒng)結構參數(shù)均為正實數(shù)的緣故。把傳遞函數(shù)的零、極點表示在復平面上的圖形，稱為傳遞函數(shù)的零、極點分布圖，如圖2.13所示。圖中零點用“〇”表示，極點用“×”表示。

式中，

的根

的根

，

，…，

和

，

，…，

圖2.13的零、極點分布圖式中，的根642.3.3關于傳遞函數(shù)的幾點說明

(1)傳遞函數(shù)是經拉氏變換導出的，而拉氏變換是一種線性積分運算，因此傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)。(2)傳遞函數(shù)中各項系數(shù)值和相應微分方程中各項系數(shù)對應相等，完全決定于系統(tǒng)的結構參數(shù)。如前所述，傳遞函數(shù)是系統(tǒng)在復數(shù)域中的動態(tài)數(shù)學模型。傳遞函數(shù)本身是的復變函數(shù)。

(3)傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時刻之前，系統(tǒng)對所給定的平衡工作點是處于相對靜止狀態(tài)的。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)律。(4)一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個輸出的關系，所以只適合于單輸入—單輸出系統(tǒng)的描述，而且系統(tǒng)內部的中間變量的變化情況，傳遞函數(shù)也無法反映。

(5)當電器元件串聯(lián)時，若兩者之間存在負載效應，必須將它們歸并在一起求傳遞函數(shù)；如果能夠做到它們彼此之間沒有負載效應(如加入隔離放大器)，則可分別求傳遞函數(shù)，然后相乘。2.3.3關于傳遞函數(shù)的幾點說明(1)652.3.4典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

機電控制系統(tǒng)一般由若干元件以一定形式連接而成，這些元件的物理結構和工作原理可以是多種多樣的，但從控制理論來看，物理本質和工作原理不同的元件，可以有完全相同的數(shù)學模型，亦即具有相同的動態(tài)性能。在控制工程中，常常將具有某種確定信息傳遞關系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個環(huán)節(jié)，經常遇到的環(huán)節(jié)則稱為典型環(huán)節(jié)。這樣，任何復雜的系統(tǒng)總可歸結為由一些典型環(huán)節(jié)組成，從而給建立數(shù)學模型、研究系統(tǒng)特性帶來方便，使問題簡化。1.環(huán)節(jié)的分類如前所述，線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可用式（2.53）所示的零—極點形式表示，即假設系統(tǒng)有個實數(shù)零點，對復數(shù)零點，個實數(shù)極點，2.3.4典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)機電控制系統(tǒng)66對復數(shù)極點和個零極點，則

把對應于實數(shù)零點和實數(shù)極點的因式變換成如下形式式中同時，把對應于共軛復數(shù)零點、極點的因式變換成如下形式式中

對復數(shù)極點和個零極點，則67而式中于是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式可以寫成式中

——系統(tǒng)放大系數(shù)，即

,，（2.54）

,，（2.54）68由于傳遞函數(shù)這種表達式含有六種不同的因子，因此，一般說來，任何系統(tǒng)都可以看作是由這六種因子表示的環(huán)節(jié)的串聯(lián)組合，這六種因子就是前面提到的典型環(huán)節(jié)。與分子三種因子相對應的環(huán)節(jié)分別稱為

比例環(huán)節(jié)

一階微分環(huán)節(jié)

二階微分環(huán)節(jié)

與分母三種因子相對應的環(huán)節(jié)分別稱為

積分環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)實際上，在各類系統(tǒng)特別是機械、液壓或氣動系統(tǒng)中均會遇到純時間延遲現(xiàn)象，這種現(xiàn)象可用延遲函數(shù)描述，其由于傳遞函數(shù)這種表達式含有六種不同的因子，因此69時間起點在時刻，因而有所以典型環(huán)節(jié)還應增加一個延遲環(huán)節(jié)。

2．典型環(huán)節(jié)示例

為了方便地研究系統(tǒng)，熟悉和掌握典型環(huán)節(jié)的數(shù)學模型是十分必要的。下面對各種環(huán)節(jié)分別進行研究。(1)比例環(huán)節(jié)

輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，且成比例關系的環(huán)節(jié)。比例環(huán)節(jié)又稱無慣性環(huán)節(jié)，其運動方程式為式中

、——分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量；

——環(huán)節(jié)的比例系數(shù)，等于輸出量與輸入量之比。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為（2.55）

、（2.56）

時間起點在時刻，因而有（2.55）、（2.56）70圖2.14所示的齒輪傳動副，若忽略齒側間隙的影響，則

式中

——輸入軸轉速；

——輸出軸轉速；

、——齒輪齒數(shù)。上式經拉氏變換后得

則

圖2.15所示數(shù)字運算放大器。圖中為輸入電壓；為輸出電壓；，為電阻。已知、

（2.57）圖2.14

齒輪傳動副圖2.14所示的齒輪傳動副，若忽略齒側間隙71將上式經拉氏變換后得故

圖2.15

運算放大器

（2.58)圖2.15

運算放大器

（2.58)72求如圖所示運算放大器的傳遞函數(shù)。圖中Rf是反饋電阻，if是反饋電流，Ri是輸入電阻，ur和ir是輸入電壓和電流，uc是輸出電壓,i0是進入放大器的電流。urucRfRiRuεi0irif-+求如圖所示運算放大器的傳遞函數(shù)。urucRfRiRuεi0i73

運算放大器有同相(+)和反相(-)兩個輸入端。帶負號的輸入端為反相輸入，此輸入所產生的輸出與輸入極性相反。帶正號的輸入為同相輸入，它所產生的輸出極性不變。兩個輸入有差分作用，即輸出電壓與兩個輸入端的電壓差成正比。運算放大器常用的是反相輸入端，它利用負反饋原理，把一部分與輸入信號反相的輸出信號送回輸入端，同相輸入端與ur和uc共地。運算放大器有同相(+)和反相(-)兩個輸入端。74運算放大器具有高增益k=105~109,而通常uc小于10伏，因為uε=-uc/k,所以運算放大器的輸入電壓uε近似等于0，這種反相輸入端電位為0的現(xiàn)象，是運算放大器的共同特點，叫做“虛地”，又因為運算放大器的輸入阻抗很高，所以流入放大器的電流i0也近似等于0。這個現(xiàn)象叫做“虛斷”，ir=if,由此導出：，即，所以運算放大器的傳遞函數(shù)為運算放大器具有高增益k=105~109,而通常uc小75

這個結論可以推廣為：運算放大器的傳遞函數(shù)等于反饋復阻抗與輸入復阻抗之比。這個結論可以推廣為：運算放大器的傳遞函數(shù)等于反饋復76(2)慣性環(huán)節(jié)

凡運動方程為一階微分方程形式的方程顯然，其傳遞函數(shù)為式中

——環(huán)節(jié)增益（放大系數(shù)）；——時間常數(shù)，表征了環(huán)節(jié)的慣性，它和環(huán)節(jié)結構參數(shù)有關。由于慣性環(huán)節(jié)中含有一個儲能元件，所以當輸入量突然變化時，輸出量不能跟著突變，而是按指數(shù)規(guī)律逐漸變化，慣性環(huán)節(jié)的名稱就由此而來。

圖2.16為彈簧和阻尼器組成的一個環(huán)節(jié)，其方程為(2.59)（2.60）(2)慣性環(huán)節(jié)(2.59)（2.77傳遞函數(shù)為式中

——為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，。

圖2.16

彈簧-阻尼器組成的環(huán)節(jié)圖2.16

彈簧-阻尼器組成的環(huán)節(jié)78圖2.17所示的液壓缸驅動剛度系數(shù)為的彈性負載和阻尼系數(shù)為的阻尼負載。設流入油缸的油液壓力為輸入量，活塞的位移為輸出量。液壓缸的作用力為該力用于克服阻尼和彈性負載，即合并以上兩式，得其運動方程式

傳遞函數(shù)

式中

——慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，。

圖2.17

液壓缸與彈簧和阻尼器組成的環(huán)節(jié)圖2.17所示的液壓缸驅動剛度系數(shù)為79(3)微分環(huán)節(jié)

凡輸出量正比于輸入量的微分的環(huán)節(jié)

其運動方程式為傳遞函數(shù)為式中

——微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。在工程中，測量轉速的測速發(fā)電機實質上是一臺直流發(fā)電機，如圖2.18所示。當以發(fā)電機轉角為輸入量，電樞電壓為輸出量時，則有式中

——發(fā)電機常數(shù)（2.61）（2.62）

(3)微分環(huán)節(jié)（2.61）（2.62）80傳遞函數(shù)為

微分環(huán)節(jié)的輸出是輸入的微分，當輸入為單位階躍函數(shù)時，輸出就是脈沖函數(shù)，這在實際中是不可能的。因此，理想的微分環(huán)節(jié)難以實現(xiàn)，它總是與其它環(huán)節(jié)同時出現(xiàn)。圖2.19所示為機械-液壓阻尼器的原理圖。圖中為活塞面積，為彈簧剛度，為節(jié)流閥液阻，、分別為液壓缸左、右腔油液的工作壓力，為活塞位移，是輸入量，為液壓缸位移，是輸出量。當活塞作位移時，液壓缸瞬時位移力圖與相等，但圖2.18

測速發(fā)電機傳遞函數(shù)為圖2.18

測速發(fā)電機81由于彈簧被壓縮，彈簧恢復力加大，液壓缸右腔油壓增大，迫使油液以流量通過節(jié)流閥反流到液壓缸左腔，從而使液壓缸左移，直到液壓缸受力平衡時為止。液壓缸的力平衡方程為通過節(jié)流閥的流量為由上兩式得其傳遞函數(shù)為式中

——時間常數(shù)，。圖2.19

機械-液壓阻尼器由于彈簧被壓縮，彈簧恢復力加大，液壓缸右腔油壓增82由此可知，此阻尼器為包括有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，此系統(tǒng)也稱為慣性微分環(huán)節(jié)。僅當時，，才近似成為微分環(huán)節(jié)。圖2.20所示為無源微分網絡。設電壓為輸入量，電阻兩端電壓為輸出量。現(xiàn)研究輸入電壓和輸出電壓之間的關系。電路中的電流為中間變量。根據(jù)電壓方程，可寫出（2.63）

圖2.20

無源微分網絡C——電容

R——電阻由此可知，此阻尼器為包括有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)的83將式（2.63）進行拉氏變換，消去，整理后得式中

——時間常數(shù)，。顯然，它也是一個慣性微分環(huán)節(jié)。但當，即C很小時，可得。故工程技術中經常將CR串聯(lián)電路作微分器用。此外，還有一種微分環(huán)節(jié)，稱為一階微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為式中

——時間常數(shù)。

微分環(huán)節(jié)的輸出是輸入的導數(shù)，即輸出反映了輸入信號的變化趨勢，所以也等于給系統(tǒng)以有關輸入變化趨勢的預告。因而，微分環(huán)節(jié)常用來改善控制系統(tǒng)的動態(tài)性能。

（2.64）

將式（2.63）進行拉氏變換，消去，整理84(4)積分環(huán)節(jié)

輸出量與輸入量對積分時間成正比的環(huán)節(jié)。即其傳遞函數(shù)為式中

——積分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)

積分環(huán)節(jié)的一個顯著特點是輸出量取決于輸入量對時間的積累過程。輸入量作用一段時間后，即使輸入量變?yōu)榱?，輸出量仍將保持在已達到的數(shù)值，故有記憶功能；另一個特點是有明顯的滯后作用，從圖2.21可以看出，輸入量為常值A時，由于是一斜線，輸出量需經過時間的滯后，才能達到輸入量在時的數(shù)值。因此，積分環(huán)節(jié)常被用來改善控（2.65）（2.66）(4)積分環(huán)節(jié)（2.65）（2.66）85制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。

圖2.22a所示為電樞控制式小功率電動機。略去電樞繞組中的電阻和電感的影響，在無負載條件下，近似有式中

——電動機軸轉角；

——電動機增益；

——作用在電樞兩端的電壓。圖2.21

積分環(huán)節(jié)的性質制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性圖2.21

積分環(huán)節(jié)的性質86上式說明，若輸一電壓，則電動機軸將以角速度一直轉動下去?，F(xiàn)以電動機軸轉角為輸出，則有其傳遞函數(shù)為對于圖2.22b所示液壓缸，為活塞面積，以流量為輸入，活塞位移為輸出，則有

其傳遞函數(shù)為式（2.67）和式（2.69）表明，圖2.22所示元件都可看作積分環(huán)節(jié)。

（2.67）（2.68）（2.69）

（2.70）

上式說明，若輸一電壓，則電動機軸87

a)電樞控制小功率電動機b)液壓缸圖2.22

積分環(huán)節(jié)舉例a)電樞控制小功率電動機b)液壓缸圖2.2288(5)振蕩環(huán)節(jié)

含有兩個獨立的儲能元件，且所存儲的能量能相互轉換，從而導致輸出帶有振蕩的性質。這種環(huán)節(jié)的微分方程式為其傳遞函數(shù)為式中

——振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)；

——阻尼比；

——比例系數(shù)。振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的另一常用標準形式為

（2.71）（2.72）（2.73）(5)振蕩環(huán)節(jié)（2.71）（2.72）（289式中

——無阻尼固有頻率。2.1中討論過的質量—彈簧—阻尼系統(tǒng)（見圖2.1），其運動微分方程為

故得傳遞函數(shù)為式中當時，它是一個振蕩環(huán)節(jié)。在2.1中，圖2.3和圖2.4所示系統(tǒng)，都可看作為振蕩環(huán)節(jié)。但必須指出，當時，二階特征方程才有共軛復根。這時二階系統(tǒng)才能稱為振蕩環(huán)節(jié)。當時，二階系統(tǒng)有兩個實數(shù)根，而為兩個慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。

式中

——無阻尼固有頻率。90(6)二階微分環(huán)節(jié)

輸出量不僅取決于輸入量本身，而且還決定于輸入量的一階和二階導數(shù)。這種環(huán)節(jié)的微分方程式為式中

——比例系數(shù)；

——二階微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)；

——阻尼比。其傳遞函數(shù)為

同樣必須指出，只有當式（2.75）中，具有一對共軛復根時，才能稱為二階微分環(huán)節(jié)。如果上式具有二個實根，則可以認為這個環(huán)節(jié)是由兩個一階微分環(huán)節(jié)串聯(lián)而成。（2.74）（2.75）(6)二階微分環(huán)節(jié)（2.74）（2.75）91(7)延遲環(huán)節(jié)

輸入量加上以后，輸出量要等待一段時間后，才能不失真地復現(xiàn)輸入的環(huán)節(jié)。延遲環(huán)節(jié)不單獨存在，一般與其它環(huán)節(jié)同時出現(xiàn)。延遲環(huán)節(jié)的輸入量與輸出量之間有如下關系：式中，為純延遲時間。是的延遲函數(shù)，或稱平移函數(shù)。延遲環(huán)節(jié)是線性環(huán)節(jié)，故而其傳遞函數(shù)為延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別在于：慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近于所要求的輸出值；延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0到的區(qū)間內，并無輸出，但之后，輸出就完全等于輸入，如圖2.23所示。

（2.76）（2.77）(7)延遲環(huán)節(jié)（2.76）（2.77）92延遲環(huán)節(jié)常見于液壓、氣動系統(tǒng)中，施加輸入后，往往由于管道長度而延遲了信號傳遞的時間。圖2.24是純時間延遲例子。圖2.24a所示為軋制鋼板的厚度控制裝置，帶鋼在點軋出時，厚度為，但是這一厚度在到達點時才為測厚儀所檢測到。測厚儀檢測到的厚度即為輸出量，點處厚度為輸入量。若測厚儀距點的距離為，帶鋼速度為，則延遲時間。輸出量與輸入量之間有如下關系圖2.23

延遲環(huán)節(jié)輸入-輸出關系延遲環(huán)節(jié)常見于圖2.23

延遲環(huán)節(jié)輸入-輸出93此式表示，在時，，即測厚儀不反映的值；時，測厚儀在延時后，立即反映

在時的值及其以后的值。因而有如圖2.24b所示是把兩種不同液體按一定比例進行混合的一種設備。為了保證能測到均勻的溶液，監(jiān)測點應離開混合點一定距離。因此，混合點與測量濃度變化點之間就存在著傳輸延遲，延遲時間為。如果假定混合點的濃度為，而且在時間之后，溶液在監(jiān)測點時，濃度沒有變化，則被測量為因此，、之間的傳遞函數(shù)為此式表示，在時，94以上是線性定常系統(tǒng)中，按數(shù)學模型區(qū)分的幾個最基本的典型環(huán)節(jié)。在實際系統(tǒng)中，極難見到二階微分環(huán)節(jié)，它只是一種數(shù)學抽象。綜上所述，環(huán)節(jié)是根據(jù)運動微分方程劃分的，一個環(huán)節(jié)不一定代表一個元件，也許是幾個元件之間的運動特性才組成一個環(huán)節(jié)。此外，同一元件在不同系統(tǒng)中的作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。

a)

軋制鋼板的厚度測量b)

液體混合裝置圖2.24延遲環(huán)節(jié)舉例以上是線性定常系統(tǒng)中，a)

軋制鋼板的厚度測952.4

系統(tǒng)方框圖和信號流圖

2.4.1系統(tǒng)方框圖

控制系統(tǒng)一般是由許多元件組成的，為了表明元件在系統(tǒng)中的功能，形象直觀地描述系統(tǒng)中信號傳遞、變換的過程，以及便于進行系統(tǒng)分析和研究，經常要用到系統(tǒng)方框圖。系統(tǒng)方框圖是系統(tǒng)數(shù)學模型的圖解形式，在控制工程中得到了廣泛的應用。此外，采用方框圖更容易求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。1.方框圖的結構要素

圖2.25為一控制系統(tǒng)的方框圖。從圖中可以看出，方框圖是由一些符號組成的，有表示信號輸入和輸出的通圖2.25

方框圖舉例2.4

系統(tǒng)方框圖和信號流圖2.4.1系統(tǒng)方框圖圖296路及箭頭，有表示信號進行加減的求和點，還有一些表示環(huán)節(jié)的方框和將信號引出的引出線。一般認為系統(tǒng)方框圖由三種要素組成：函數(shù)方框、求和點和引出線。

(1)函數(shù)方框

函數(shù)方框是傳遞函數(shù)的圖解表示。如圖2.26所示，方框兩側為輸入量和輸出量，方框內寫入該輸入輸出之間的傳遞函數(shù)。函數(shù)方框具有運算功能，即

應當指出，輸出信號的量綱等于輸入信號的量綱與傳遞函數(shù)量綱的乘積。

(2)求和

點求和點是信號之間代數(shù)加減運算的圖解，用符號及相應的信號箭頭表示，每一個箭頭前方的號或號表示加上此信號或減去此信號。幾個相鄰的求和點可以圖2.26

函數(shù)方框路及箭頭，有表示信號進行加減的求和點，還有一些表示環(huán)節(jié)的圖297互換、合并、分解，即滿足代數(shù)加減運算的交換律、結合律、分配律，如圖2.27所示，它們都是等效的。顯然，只有性質和因次相同的信號才能進行比較、疊加。

圖2.27

求和點互換、合并、分解，即滿足代數(shù)加減運算的交換律、結合律、分圖298注意，求和點可以有多個輸入，但輸出是唯一的，即使繪有若干個輸出信號線，其實這些輸出信號的性質和大小均相同，如圖中虛線所示輸出信號仍是信號。

(3)信號引出線

同一個信號需要輸送到不同地方去時，可用