第13講三角函數(shù)概念和誘導(dǎo)公式[玩前必備]1．角的概念(1)任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；②分類(lèi)：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角．(2)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．(3)象限角：使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．2．弧度制(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.(3)扇形的弧長(zhǎng)公式：l＝|α|·r，扇形的面積公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r2.3．任意角的三角函數(shù)任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)時(shí)，sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．三個(gè)三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號(hào)第二象限符號(hào)第三象限符號(hào)第四象限符號(hào)sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα{α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}＋－＋－4．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.5．下列各角的終邊與角α的終邊的關(guān)系角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－α圖示與角α終邊的關(guān)系相同關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于x軸對(duì)稱角π－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α圖示與角α終邊的關(guān)系關(guān)于y軸對(duì)稱關(guān)于直線y＝x對(duì)稱6.六組誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α口訣函數(shù)名不變符號(hào)看象限函數(shù)名改變符號(hào)看象限[玩轉(zhuǎn)典例]題型一終邊相同的角和區(qū)域角例1(1)終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合是________．(2)如果α是第三象限角，那么角2α的終邊落在________．例2寫(xiě)出終邊落在陰影部分的角的集合．[玩轉(zhuǎn)跟蹤]1.(1)設(shè)集合M＝{x|x＝eq\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝eq\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z}，那么()A．M＝N B．M?NC．N?M D．M∩N＝?(2)已知角α＝45°，在區(qū)間[－720°，0°]內(nèi)與角α有相同終邊的角β＝________.2.已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋90°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°，k∈Z}．求：(1)A∩B；(2)A∪B.題型二弧度制的應(yīng)用例3已知一扇形的圓心角為α(α>0)，所在圓的半徑為R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積；(2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值C(C>0)，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？[玩轉(zhuǎn)跟蹤]1.已知扇形的周長(zhǎng)為4cm，當(dāng)它的半徑為_(kāi)_______和圓心角為_(kāi)_______弧度時(shí)，扇形面積最大，這個(gè)最大面積是________．題型三三角函數(shù)的概念例4(1)(課標(biāo)全國(guó)，7)已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos2θ＝()A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(3,5) C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)(2)(江西，14)已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸．若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，則y＝________．[玩轉(zhuǎn)跟蹤]1．(大綱全國(guó)，2)已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－4，3)，則cosα＝()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5) C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)2.已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),2)題型四同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用例5(福建，6)若sinα＝－eq\f(5,13)，且α為第四象限角，則tanα的值等于()A.eq\f(12,5) B．－eq\f(12,5)C.eq\f(5,12) D．－eq\f(5,12)例6(四川，13)已知sinα＋2cosα＝0，則2sinαcosα－cos2α的值是________．[玩轉(zhuǎn)跟蹤]1．(新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，2)若tanα＞0，則()A．sinα＞0 B．cosα＞0C．sin2α＞0 D．cos2α＞02．(廣東，4)已知sin(eq\f(5π,2)＋α)＝eq\f(1,5)，那么cosα＝()A．－eq\f(2,5) B．－eq\f(1,5) C.eq\f(1,5) D.eq\f(2,5)3.已知tanθ＝2，則sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于()A．－eq\f(4,3)B.eq\f(5,4)C．－eq\f(3,4)D.eq\f(4,5)題型五誘導(dǎo)公式的應(yīng)用例7(1)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(\r(3),3)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))的值；(2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－eq\f(3,5)，求sin(3π＋α)·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(7,2)π))的值．例8已知f(α)＝eq\f(sinπ－αcos－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cosπ＋αsin－α).(1)化簡(jiǎn)f(α)；(2)若角A是△ABC的內(nèi)角，且f(A)＝eq\f(3,5)，求tanA－sinA的值．[玩轉(zhuǎn)跟蹤]1.(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,12)))的值為_(kāi)_______．(2)已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，則eq\f(sin－α－\f(3,2)πcos\f(3,2)π－α,cos\f(π,2)－αsin\f(π,2)＋α)·tan2(π－α)＝__________________________________.[玩轉(zhuǎn)練習(xí)]1．若點(diǎn)(4，a)在y＝xeq\f(1,2)的圖象上，則taneq\f(a,6)π的值為()A．0 B.eq\f(\r(3),3) C．1 D.eq\r(3)2．若點(diǎn)P在－eq\f(10π,3)角的終邊上，且P的坐標(biāo)為(－1，y)，則y等于()A．－eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3) C．－eq\r(3) D.eq\r(3)3．已知α是第四象限角，且sinα＝－eq\f(3,5)，則tanα＝()A.eq\f(3,4) B．－eq\f(3,4) C.eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)4．設(shè)α是第二象限角，P(x，4)為其終邊上的一點(diǎn)，且cosα＝eq\f(1,5)x，則tanα＝()A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,4) C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)5．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－2，3] B．(－2，3)C．[－2，3) D．[－2，3]6．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，－1)，則eq\f(sinα－cosα,sinα＋cosα)＝()A．3 B.eq\f(1,3) C．－eq\f(1,3) D．－37．已知△ABC為銳角三角形，且A為最小角，則點(diǎn)P(sinA－cosB，3cosA－1)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限8．若cosα＝eq\f(1,5)，且α是第四象限角，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝________.9．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.10．化簡(jiǎn)eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15π,2)＋α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α)))＝________.11．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－4,3)，求eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin－π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a