九年級(jí)數(shù)學(xué)方程組與不等式組1中考考點(diǎn)復(fù)習(xí)練習(xí)題及答案九年級(jí)數(shù)學(xué)方程組與不等式組1中考考點(diǎn)復(fù)習(xí)練習(xí)題及答案九年級(jí)數(shù)學(xué)方程組與不等式組1中考考點(diǎn)復(fù)習(xí)練習(xí)題及答案資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月九年級(jí)數(shù)學(xué)方程組與不等式組1中考考點(diǎn)復(fù)習(xí)練習(xí)題及答案版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：方程組與不等式組（一）中考考點(diǎn)復(fù)習(xí)練習(xí)題考點(diǎn)11一元一次方程溫故而知新：1.等式的概念及性質(zhì)等式：表示相等關(guān)系的式子叫做等式.等式的性質(zhì)：（1）等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得的結(jié)果仍相等.（2）等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不為0），所得的結(jié)果仍是等式.2.一元一次方程及相關(guān)概念方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程.方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，一元方程的解也叫它的根.解方程：求方程解的過程叫做解方程.一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫做一元一次方程.一元一次方程的一般形式：ax+b=0(a≠0).3.一元一次方程的解法一般步驟：（1）去分母，（2）去括號(hào)，（3）移項(xiàng)，（4）合并同類項(xiàng)，（5）系數(shù)化1.注意：（1）去分母時(shí)不要漏乘無分母的項(xiàng).（2）去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前是“-”號(hào)，去掉括號(hào)時(shí)括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)都要改變符號(hào).（3）移項(xiàng)時(shí)要變號(hào).探究類型之一等式的基本性質(zhì)例1如圖所示的兩臺(tái)天平保持平衡，已知每塊巧克力的重量相等，且每個(gè)果凍的重量也相等，則每塊巧克力和每個(gè)果凍的重量分別為（）A.10g，40gB.15g，35gC.20g，30gD.30g，20g解析：設(shè)每塊巧克力和每個(gè)果凍的重量分別為xg，yg，則解得答案：C小結(jié)：（1）當(dāng)天平的左右兩盤的質(zhì)量相等時(shí)，天平就處于平衡狀態(tài)，即可找到等量關(guān)系.(2)利用等式性質(zhì)，等式兩邊同乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)時(shí)，一定要注意此數(shù)不為0.舉一反三：1.如圖①所示，在第一個(gè)天平上，砝碼A的質(zhì)量等于砝碼B加上砝碼C的質(zhì)量；如圖②所示，在第二個(gè)天平上，砝碼A加上砝碼B的質(zhì)量等于3個(gè)砝碼C的質(zhì)量．請(qǐng)你判斷：1個(gè)砝碼A與____個(gè)砝碼C的質(zhì)量相等．解析：=====例2依據(jù)下列解方程=的過程，請(qǐng)?jiān)谇懊娴睦ㄌ?hào)內(nèi)填寫變形步驟，在后面的括號(hào)內(nèi)填寫變形依據(jù).解：原方程可變形為=.(________分?jǐn)?shù)的性質(zhì)___________)去分母，得3（3x+5）=2(2x-1).(________等式的性質(zhì)___________)去括號(hào)，得9x+15=4x-2.（__________乘法分配律____________）(_______移項(xiàng)__________),得9x-4x=-15-2.(_______等式的性質(zhì)___________)合并，得5x=-17.(__________合并同類項(xiàng)法則__________)（_______系數(shù)化為1__________）,得x=-.（________等式的性質(zhì)_____________）小結(jié)：解一元一次方程的步驟是去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，未知數(shù)系數(shù)化為1等.在解具體方程時(shí)，要仔細(xì)觀察它的特點(diǎn)，注意解方程的方法與技巧；去分母時(shí)，分子是多項(xiàng)式的要添括號(hào).舉一反三：2.解方程.解析：先去分母，然后再去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，最后再將系數(shù)化為1，在去分母的過程中，注意不含分母的項(xiàng)別忘了也要乘各分母的最小公倍數(shù).考點(diǎn)12二元一次方程組的解法溫故而知新：1.二元一次方程組的有關(guān)概念二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程.二元一次方程的解：適合一個(gè)二元一次方程的每一對(duì)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.二元一次方程組：由幾個(gè)二元一次方程組成并含有兩個(gè)未知數(shù)的方程組叫做二元一次方程組.二元一次方程組的解：使二元一次方程組中兩個(gè)方程的左右兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解.2.二元一次方程組的解法：（1）代入消元法；（2）加減消元法.例1已知是二元一次方程組的解，則a-b的值為（）A.－1B.1C.2D.3解析：把代入到二元一次方程組中得解得a-b=2-3=-1.答案：A小結(jié)：（1）根據(jù)方程組的概念，代入原方程組可以判定給出的一對(duì)未知數(shù)的值是不是二元一次方程組的解．（2）適合二元一次方程的一對(duì)未知數(shù)的值叫二元一次方程的一個(gè)解.舉一反三：1.若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足x+y<2，則a的取值范圍為___________．解析：將兩個(gè)二元一次方程相加得4x+4y=4+a，即x+y=；＜2，解得a＜4.3.已知是關(guān)于x，y的二元一次方程x=y+a的解，求（a+1）（a-1）+7的值.解析：把代入x=y+a得2=+a，解得a=；（a+1）（a-1）+7=a2+6=（）2+6=9.例2解方程組：解析：用加減消元法解此二元一次方程組.答案：解：①×2+②×3得，13x=26，即x=2.把x=2代入②得6+2y=12，解得y=3.所以此二元一次方程組的解為小結(jié)：（1）在二元一次方程組中，若一個(gè)未知數(shù)能很好地表示出另一個(gè)未知數(shù)時(shí)，一般采用代入法.（2）當(dāng)兩個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等時(shí)，或者系數(shù)均不為零時(shí)，一般采用加減消元法把兩個(gè)方程增大適當(dāng)?shù)谋稊?shù)再相加減可消去一個(gè)未知數(shù).舉一反三：2.解方程組：解析：此二元一次方程組適合用代入法解.考點(diǎn)13二元一次方程組的應(yīng)用溫故而知新：1.列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟：審：審清題意，分清題中的已知量、未知量.設(shè)：設(shè)未知數(shù)，設(shè)其中某個(gè)未知量為x，并注意單位.列：根據(jù)題意尋找等量關(guān)系列方程.解：解方程.驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的解是否符合題意.答：寫出答案（包括單位）.2.常見的幾種方程類型及等量關(guān)系（1）行程問題基本量之間的關(guān)系：路程=速度×?xí)r間.相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程.追及問題：若甲為快者，則被追路程=甲走的路程-乙走的路程.流水問題：v順=v靜+v水，v逆=v靜-v水.（2）工程問題基本量之間的關(guān)系：工作效率=.相等關(guān)系：甲、乙合做的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.提醒：工程問題中通常把工作總量看做“1”.（3）利率問題等量關(guān)系：①本息和=本金+利息.②利息=本金×利率×期數(shù).③利息稅總額=利息總額×利息稅率.例1某班將舉行“慶祝建黨90周年知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，班主任安排小明購買獎(jiǎng)品，下面兩圖是小明買回獎(jiǎng)品時(shí)與班長(zhǎng)的對(duì)話情境：請(qǐng)根據(jù)上面的信息，解決問題：（1）試計(jì)算兩種筆記本各買了多少本（2）請(qǐng)你解釋：小明為什么不可能找回68元

解析：（1）根據(jù)相等關(guān)系：兩種筆記本本數(shù)和=40，兩種筆記本錢數(shù)=300-68+13列方程組求解；（2）根據(jù)相等關(guān)系：兩種筆記本本數(shù)和=40，兩種筆記本錢數(shù)=300-68列方程組，解方程組得出解不為正整數(shù)即可說明.答案：解：設(shè)5元的筆記本買了x本，8元的筆記本買了y本.（1）根據(jù)題意得解得故5元的筆記本買了25本，8元的筆記本買了15本.（2）如果是找回68元，則買筆記本共花了232元，可得方程組解得由于買的筆記本的數(shù)量只能是整數(shù)，故與實(shí)際生活不符，也就是說不可能找回68元.小結(jié)：運(yùn)用二元一次方程解應(yīng)用題，關(guān)鍵是弄清題意，找出各種等量關(guān)系，列出方程并解出結(jié)果.對(duì)于用圖表信息的形式表示的等量關(guān)系，要從數(shù)據(jù)出發(fā)，探究?jī)?nèi)在聯(lián)系從而找出等量關(guān)系.舉一反三：1.某班為獎(jiǎng)勵(lì)在校運(yùn)會(huì)上取得較好成績(jī)的運(yùn)動(dòng)員，花了400元錢購買甲、乙兩種獎(jiǎng)品共30件，其中甲種獎(jiǎng)品每件16元，乙種獎(jiǎng)品每件12元，求甲、乙兩種獎(jiǎng)品各買多少件？該問題中，若設(shè)購買甲種獎(jiǎng)品x件，乙種獎(jiǎng)品y件，則方程組正確的是（）A.B.C.D.解析：根據(jù)等量關(guān)系“甲種獎(jiǎng)品件數(shù)+乙種獎(jiǎng)品件數(shù)=30件”及“購買甲種獎(jiǎng)品錢數(shù)+購買乙種獎(jiǎng)品錢數(shù)=400元”列方程組.2.在長(zhǎng)為10m,寬為8m的矩形空地中，沿平行于矩形各邊的方向分割出三個(gè)全等的小矩形花圃，其示意圖如圖所示，求小矩形花圃的長(zhǎng)和寬．解析：設(shè)小矩形花圃的長(zhǎng)為xm，寬為ym，觀察圖形可得3.某城市規(guī)定：出租車起步價(jià)允許行駛的最遠(yuǎn)路程為3千米，超過3千米的部分按每千米另收費(fèi).甲說：“我乘這種出租車走了11千米，付了17元”；乙說：“我乘這種出租車走了23千米，付了35元”.請(qǐng)你算一算這種出租車的起步價(jià)是多少元超過3千米后，每千米的車費(fèi)是多少元

解析：設(shè)這種出租車的起步價(jià)是x元，超過3千米后，每千米的車費(fèi)是y元，根據(jù)題意可得考點(diǎn)14一元二次方程溫故而知新：1.一元二次方程的概念一元二次方程：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)最高次數(shù)是2的整式方程，其一般形式為ax2+bx+c=0(a≠0).易錯(cuò)點(diǎn)：一元二次方程的概念隱含其二次項(xiàng)系數(shù)不等于0，故解有關(guān)字母系數(shù)的一元二次方程不要忘掉其二次項(xiàng)系數(shù)a≠0.2.一元二次方程的解法（1）直接開平方法：它適合于(x+a)2=b(b≥0)或(ax+b)2=(cx+d)2形式的方程.（2）配方法：通過配成完全平方形式解一元二次方程的方法，叫做配方法.（3）公式法：先把方程整理成一般形式ax2+bx+c=0,且b2-4ac≥0，其求根公式為x1,2=.（4）因式分解法：把方程化為mn=0,得m=0或n=0的形式.例1若x=2是關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一個(gè)解，則m的值是（）A.6B.5C.2 D.-6解析：把x=2代入x2-mx+8=0得4-2m+8=0，解得m=6.答案：A小結(jié)：1）由一元二次方程根的定義，可以求出一元二次方程未知系數(shù)的值；（2）通常的方法是代入求解.舉一反三：2.已知x=1是方程x2+bx-2=0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是（）A.1B.2C.-2D.-1解析：方法一：把x=1代入x2+bx-2=0得1+b-2=0，得b=1，所以x2+x-2=0，解得x1=1，x2=-2；方法二：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知x1x2=-2，又x1=1，故x2=-2.例2解方程x2-4x+1=0.解析：用配方法或公式法求解.答案：解：方法一：移項(xiàng)，得x2-4x=-1.配方，得（x-2）2=3.兩邊開平方，得x-2=，故x=2，即x1=2+，x2=2-.方法二：因?yàn)閍=1，b=-4，c=1，所以=b2-4ac=12＞0.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x===2，即x1=2+，x2=2-.小結(jié)：（1）解一元二次方程先要觀察其特點(diǎn)再選定適當(dāng)?shù)姆椒ǎ唬?）對(duì)于不能使用特殊方法的，要選擇求根公式法，但必須注意到根的判別式的值，作出根的情況判斷，再求根.舉一反三：1.一元二次方程x(x-1)=0的解是（）A.x=0 B.x=1C.x=0或x=1 D.x=0或x=-1解析：由x(x-1)=0可得x=0或x-1=0，即x=0或x=1.3.解方程x(x+6)=16.（用三種不同的方法）解析：將方程化為x2+6x=16然后用配方法求解或?qū)⒎匠袒癁閤2+6x-16=0，然后再用公式法或因式分解法求解.考點(diǎn)15一元二次方程根的判別式溫故而知新：一元二次方程根的判別式：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式為b2-4ac,也把它記作Δ=b2-4ac.（1）b2-4ac>0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（2）b2-4ac=0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.（3）b2-4ac<0方程沒有實(shí)數(shù)根.（4）b2-4ac≥0方程有實(shí)數(shù)根.易錯(cuò)點(diǎn)：在使用根的判別式解決問題時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)中含有字母，常漏掉二次項(xiàng)系數(shù)不為零這個(gè)隱含條件.例1已知關(guān)于x的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是（）A.a<2B.a>2C.a<2且a≠1D.a<－2解析：Δ=（-2）2-4×（a-1）×1=8-4a；方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故8-4a＞0，即a＜2；又方程為一元二次方程，故a－1≠0，即a≠1，所以a＜2且a≠1.答案：C小結(jié)：判別一元二次方程有無實(shí)數(shù)根，就是計(jì)算判別式Δ=b2-4ac的值，看它是否大于等于0．因此，在計(jì)算前應(yīng)先將方程化為一般式，在判別方程實(shí)根的情況時(shí)，可遵循在一元二次方程ax2+bx+c=0中，當(dāng)a，c異號(hào)時(shí)，方程必有兩個(gè)不等實(shí)根；只有當(dāng)a，c同號(hào)時(shí)，才用計(jì)算判別式的值的方法判斷，以加快解題速度.例2關(guān)于x的一元二次方程x2-3x-k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍．（2）請(qǐng)選擇一個(gè)k的負(fù)整數(shù)值，并求出方程的根．解析：（1）由題意，令Δ=b2-4ac>0，求k的取值范圍；（2）在k的取值范圍內(nèi)選取負(fù)整數(shù).答案：解：（1）Δ=（-3）2-4×1×（-k）=9+4k.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根則Δ＞0，即9+4k＞0，解得k＞.（2）可選取k=-2，此時(shí)該一元二次方程為x2-3x+2=0，解這個(gè)一元二次方程得x1=1，x2=2.小結(jié)：Δ=b2-4ac>0等價(jià)于一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，選用未知系數(shù)的值一定要注意它的取值，這是此類開放性問題的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).舉一反三：1.證明：不論取何值時(shí)，關(guān)于x的方程（x-1）（x-2）=m2總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.解析：將（x-1）（x-2）=m2化為一般形式，然后證明Δ＞0即可.2.若關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍及k的非負(fù)整數(shù)值.解析：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即Δ≥0，然后解不等式即可得到k的取值范圍，然后找出所有符合條件的非負(fù)整數(shù)值.考點(diǎn)16一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系溫故而知新：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根，那么x1+x2=-，x1·x2=.例1已知一元二次方程x2-6x-5=0的兩根為a，b，則的值是_________．解析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得a+b=6，ab=-5；==.答案：小結(jié)：關(guān)于一元二次方程有實(shí)數(shù)根問題，一般有三種處理方式（何時(shí)選擇哪種方式要根據(jù)具體題目的特點(diǎn)來確定）：①利用求根公式求根；②利用根與系數(shù)的關(guān)系將這兩個(gè)根的和與積表達(dá)出來：x1+x2=-，x1x2=，以便后繼作整體代換；③將根代入方程中進(jìn)行整體處理.舉一反三：1.已知一元二次方程y2-3y+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為y1，y2，則（y1-1）（y2-1）的值為_________.解析：由根與系數(shù)的關(guān)系可得y1+y2=3，y1y2=1；（y1-1）（y2-1）=y1y2-（y1+y2）+1=1-3+1=-1.例2關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的實(shí)數(shù)解是x1和x2.（1）求k的取值范圍；（2）如果x1+x2－x1x2＜－1且k為整數(shù)，求k的值.解析：（1）一元二次方程x2+2x+k+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故Δ≥0；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-2,x1x2=k+1，再根據(jù)x1+x2－x1x2＜－1及（1）的結(jié)論確定出k的范圍，最后結(jié)合k為整數(shù)確定k的值.答案：解：（1）因?yàn)橐辉畏匠蘹2+2x+k+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以Δ=22-4（k+1）=-4k≥0，即k≤0.（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-2,x1x2=k+1，所以-2-（k+1）＜-1，解得k＞-2，結(jié)合（1）知-2＜k≤0.又k為整數(shù)，所以k=-1或0.小結(jié)：（1）用根與系數(shù)的關(guān)系求字母的值時(shí)，要代入Δ檢驗(yàn).（2）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系常用于求有關(guān)根的代數(shù)式的值，體現(xiàn)了整體思想.舉一反三：2.若關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且滿足x1=3x2，試求出方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根及k的值.解析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2=4，結(jié)合x1=3x2可求出x1，x2的值；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2=k-3求出k的值.3.已知關(guān)于x的方程x2－2（k－1）x+k2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2.（1）求k的取值范圍；（2）若|x1+x2|=x1x2-1，求k的值.解析：（1）方程x2－2（k－1）x+k2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，則Δ≥0從而確定出k的取值范圍；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2（k－1），x1x2=k2，代入|x1+x2|=x1x2-1求出k的值，要注意k的取值范圍.考點(diǎn)17一元二次方程的應(yīng)用溫故而知新：1.增長(zhǎng)率問題等量關(guān)系：（1）增長(zhǎng)率=增量÷基礎(chǔ)量.（2）設(shè)a為原來的量，m為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量，則a(1+m)n=b，當(dāng)m為平均下降率時(shí)，則a(1-m)n=b.2.利潤(rùn)率問題等量關(guān)系：（1）毛利潤(rùn)=售出價(jià)-進(jìn)貨價(jià).（2）純利潤(rùn)=售出價(jià)-進(jìn)貨價(jià)-其他費(fèi)用.（3）利潤(rùn)率=.例1廣安市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米6000元的均價(jià)對(duì)外銷售，由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后，購房者持幣觀望，房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn)，對(duì)價(jià)格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定以每平方米4860元的均價(jià)開盤銷售.（1）求平均每次下調(diào)的百分率；（2）某人準(zhǔn)備以開盤價(jià)均價(jià)購買一套100平方米的住房，開發(fā)商給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：①打9.8折銷售；②不打折，一次性送裝修費(fèi)每平方米80元，試問哪種方案更優(yōu)惠？

解析：（1）設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x，第一次下調(diào)后價(jià)格為6000（1-x）元，第二次下調(diào)后價(jià)格為6000（1－x）2元；（2）分別算出兩種優(yōu)惠價(jià)格.答案：解：（1）設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x，則根據(jù)題意可得6000（1－x）2=4860，解這個(gè)方程得x1=0.1=10%，x2=1.9（不合題意，舍去）.所以平均每次下調(diào)的百分率為10%.（2）按方案①購房?jī)?yōu)惠4860×100×0.02=9720（元）；按方案②購房?jī)?yōu)惠80×100=8000（元）.因?yàn)?720＞8000，所以方案①更優(yōu)惠.小結(jié)：理清等量關(guān)系是解決此類問題的基礎(chǔ).舉一反三：1.某商品原售價(jià)289元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為256元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則下面所列方程中正確的是（）A.289（1-x）2=256B.256（1-x）2=289C.289（1-2x）=256D.256（1-2x）=289解析：第一次降價(jià)后的售價(jià)為289（1-x）元，第二次降價(jià)后售價(jià)為289（1-x）（1-x）=289（1-x）2元，故289（1-x）2=256.例2商場(chǎng)某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元.為了盡快減少庫存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)