高三數(shù)基本不等式與最值問(wèn)題（學(xué)生授課日教師授知識(shí)定本講義主要介紹了基本不等式及應(yīng)用與最值問(wèn)題，大出現(xiàn)的題型多為選擇題和填空題不等式是證明不等式和求函數(shù)最值的常用工具,尤其是高考內(nèi)容中不要求利用導(dǎo)數(shù)求最值,axbx

知識(shí)梳理與典型例

ab2(a2b2①a2b22ab；②ab2(a2b22

；④aba22 a222

2aba，b RaR C.A.B.C. B. C.【題目】當(dāng)x,y,z為正實(shí)數(shù)時(shí)，滿 【題目】當(dāng)時(shí)，求yx(82x)的最大值積的形式，但其和不是定值。注意到2x82x8yx(82x湊上一個(gè)系數(shù)即可。當(dāng)，即x＝2時(shí)取等號(hào)當(dāng)x＝2時(shí)，yx(82x)的最大值為8【題目】某企業(yè)要建造一個(gè)容積為18 分別為200元和150元，如何才能使得總造價(jià)最低？最低總造價(jià)為多少？)yx225x)(0x)5

【解析】0x225x05yx2(25x)45x5x(2 252 4 x x25x 2 255

3 2x25xx15ymax2【試題】已知函數(shù)f(x)x 的定義域 .設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作2xy=x和yM、 0（1）證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，則有yx2 0x x0，故有，即為定值，這個(gè)值為∵由（1）知∴當(dāng)且僅當(dāng)，點(diǎn)在 2)時(shí)，有最小值x0AxAf(xf(x0f(x0yf(x的最大值，記為ymaxf(x0；x0AxAf(xf(x0)f(x0yf(x的最小值，記為yminf(x0；Δ=b2（）－4（yc（y≥0數(shù)的最值，檢驗(yàn)這個(gè)最值在定義域內(nèi)有相應(yīng)的x值.

x2x2- １-x ,x(2- １-【答案】無(wú)最大值，最小值為tx2t(0,6xt2(t2)2(t2) 代入得y =t y3．函數(shù)的值域?yàn)閇3,)

f(x2xa(aR的定義域?yàn)?,2yf(xx并求出函數(shù)取最值時(shí)x的值【解析】①當(dāng)a0,f(xxf(xx2,maxf(2)4a2②當(dāng)a0f(xx2,

f(2)4a2a2③當(dāng)a0 2即0a8時(shí),所以x a,min22a，無(wú)最大a22a2④當(dāng)a0 2即a8時(shí)，所以x2,min4a，無(wú)最大值a22f(xx22x3f(xx[m,1]1，求實(shí)數(shù)m3【答案】m3ｍ１【解析】由題意得，f(x)x22x3x1)24，ｍ１f(xx[m,1]上單調(diào)遞增，f

f(m)m22m3解得m13．m1,m1 3【題目】已知函數(shù)y＝1－x＋x＋3的最大值為M，最小值為 32232C.

y2＝4＋2(1x)(x(1x)(xy＝a－cx＋cx＋b＋b)2(acx)(cxb

【講評(píng)】解決這類問(wèn)題的重要的一步就是判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性．這一點(diǎn)處理好了，以下的問(wèn)在[m，n]上單調(diào)遞增，則f(x)min＝f(m)，f(x)max＝f(n)；若函數(shù)f(x)在[m，n]上單調(diào)遞減，則f(x)min＝f(n)，f(x)max習(xí)題演練 ，求的最小值及此時(shí)x與y的值關(guān)于x的不等式，討論x的解a2b2c2【試題】已知a,b,cR，求證a2b2c2a2b22ab2(a2b2)(ab)2a2b21(ab)22a2a2

|ab222

2(ab)2b2b2

2(bc)c2c2

2(ca)2a2b2c2a2b2c2f(x【答案】

x27x10,xx2x5【題目】求函數(shù)y ，1x2x5 22【答案】2【試題】設(shè)函數(shù)g(x)3xh(x)

g(x1)，若f(x) 是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且g(x)f(h(x1)f(2kg(x0x恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍【答案】kf(x

g(x1)ag(x)b

是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，所以a3,bf(x) f(x在實(shí)數(shù)集上單調(diào)遞增3xf(h(x1f(2kg(x0f(h(x1f(2kg(xf(x是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，所以，f(h(x)1)f(kg(x)2，f(x在實(shí)數(shù)集上單調(diào)遞增，所以h(x)1kg(x)即32x1k3x2xRk3x

當(dāng)a<0時(shí)，ymin＝f(a)＝a2－2.【講評(píng)】利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，要特別注意自變量的取值范圍，同時(shí)還要注意對(duì)稱軸與區(qū)間的相f(xD上的最大值與最小值分別為maxf(x|xD與minf(x|xD．f(x x(b,

3，

h(amaxg(x|x[1,3]ming(x|x[1,3]，記d(bminh(a|a若函數(shù)g(x)在[1,3]上單調(diào)遞減，求a當(dāng)ab1時(shí)，求h(a關(guān)于a2試寫出h(a)的表達(dá)式，并求maxd(b)|baxb,x(b,

a1,由題意a

a（2）當(dāng)b2a10a1g(x)(a1)x4a2,x[12a1]ax2a x(2a1,顯然g(x)在[12a1]上單調(diào)遞減，在[2a1,3上單調(diào)遞增g(1)g(3)5a1，故maxg(x|x[1,3]g(1)g(3)5aming(x|x[1,3]g(2a12a23a （3）g(x)ax 1）當(dāng)a0maxg(x|x[1,3]=g(1)=a+2b-

ming(x)|x當(dāng)a1maxg(x|xb

當(dāng)0a 2b當(dāng)2

a1maxg(x|x[1,3]=g(3)=3a+bming(x|x[1,3]

a

bh(a3aa