微分幾何期末1微分幾何期末1微分幾何期末1微分幾何期末1編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話(huà)：傳真:郵編:1、等距變換一定是保角變換（×）2、空間曲線(xiàn)的形狀由曲率與撓率唯一確定.（√）3、二階微分方程總表示曲面上兩族曲線(xiàn).（×）4、連接曲面上兩點(diǎn)的所有曲線(xiàn)段中，測(cè)地線(xiàn)一定是最短的（×）5、坐標(biāo)曲線(xiàn)網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是，這里是第一基本量（√）6、在空間曲線(xiàn)的非逗留點(diǎn)處，密切平面存在且唯一。(√)7、空間曲線(xiàn)的曲率與撓率完全確定了空間曲線(xiàn)的形狀與位置。(×)8、在曲面的非臍點(diǎn)處，最多有二個(gè)漸近方向。(√)9、LN-M2不是內(nèi)蘊(yùn)量。(×)10、高斯曲率恒為零的曲面一定是可展的。(√)11、曲線(xiàn)=(s)為一般螺線(xiàn)的充要條件為(,,)=0（√）12、主法向量正向總是指向曲線(xiàn)凹入的方向。（√）13、不存在兩條不同曲線(xiàn),使得一條曲線(xiàn)的主法線(xiàn)都是另一曲線(xiàn)的主法線(xiàn)。（×）14、曲面上平點(diǎn)對(duì)應(yīng)的杜邦指標(biāo)線(xiàn)是一條直線(xiàn)。（×）15、每一個(gè)可展曲面或是柱面,或是錐面,或是一條曲線(xiàn)的切線(xiàn)曲面。（√）16、橢圓的曲率和撓率特征為k=1,τ=0。(×)17、若曲線(xiàn)的所有切線(xiàn)都經(jīng)過(guò)定點(diǎn),則該曲線(xiàn)一定是直線(xiàn).(√)

18、球面曲線(xiàn)的主法線(xiàn)必過(guò)球心（×）19、曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件為L(zhǎng)=N=0.(×)

20、曲面上的漸進(jìn)網(wǎng)一定存在.（×）21、在光滑曲線(xiàn)的正常點(diǎn)處，切線(xiàn)存在而且唯一。(√)22、圓的曲率、撓率特征是：k=常數(shù)，τ=0。(×)23、在曲面的非臍點(diǎn)處，有且僅有二個(gè)主方向。(√)24、高斯曲率與第二基本形式有關(guān)，不是內(nèi)蘊(yùn)量。(×)25、曲面上連接兩點(diǎn)的最短線(xiàn)一定是測(cè)地線(xiàn)。(×)26、在空間曲線(xiàn)的非逗留點(diǎn)處，密切平面存在且唯一。(√)27、在曲面的非臍點(diǎn)處，有且僅有二個(gè)主方向。(√)28、存在第一類(lèi)基本量E=1，F(xiàn)=3，G=3的曲面。(╳)29、LN-M2是內(nèi)蘊(yùn)量。（√）30、曲面上一定存在著曲率線(xiàn)網(wǎng)和漸近線(xiàn)網(wǎng)(╳)31、保角變換一定是等距變換（）32、空間曲線(xiàn)的位置和形狀由曲率與撓率唯一確定.（）33、高斯曲率恒為零的曲面必是可展曲面.（）34、測(cè)地曲率是內(nèi)蘊(yùn)量（）35、曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件為L(zhǎng)=N=0.(×)

36、曲面上曲率線(xiàn)網(wǎng)一定存在.(√)

37、存在第一類(lèi)基本量E=1，F(xiàn)=-3，G=3的曲面(×)

38、高斯曲率與第二基本形式有關(guān)，不是內(nèi)蘊(yùn)量。(×)

39、曲面上的直線(xiàn)一定是測(cè)地線(xiàn)。(√)1、半徑為的圓的曲率為.2、曲面的坐標(biāo)曲線(xiàn)網(wǎng)正交的充要條件是F=0,3、坐標(biāo)曲線(xiàn)網(wǎng)成為曲率線(xiàn)網(wǎng)的充要條件是.4、在臍點(diǎn)處曲面的第一,第二類(lèi)基本量滿(mǎn)足_,5、使法曲率達(dá)到最大值和最小值的方向是主方向方向.6、向量函數(shù)r=r(t)具有固定長(zhǎng)的充要條件是。

7、曲線(xiàn)r=r(t)的撓率是。

8、曲面上曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件L=N=0。

9、直紋曲面的高斯曲率值滿(mǎn)足。

10、球面上的測(cè)地線(xiàn)是大圓。11、曲線(xiàn)r=r(s)的曲率定義是。12、空間曲線(xiàn)為一般螺線(xiàn)的充要條件是它的副法向量_與一固定方向成定角__。13、曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件是M=0。14、坐標(biāo)網(wǎng)是漸近線(xiàn)網(wǎng)的充要條件是L=N=0。15、平面上的測(cè)地線(xiàn)一定是__直線(xiàn)__。16、當(dāng)曲線(xiàn)參數(shù)是自然參數(shù)時(shí)，它的一階導(dǎo)向量的長(zhǎng)度是_1_。17、螺旋線(xiàn)在點(diǎn)（1,0,0）處的單位切向量是____，法平面方程是____。18、設(shè)為曲面上曲線(xiàn)，點(diǎn)P在上，在P點(diǎn)的測(cè)地曲率為1，又在P點(diǎn)沿切方向的法曲率為2，則在P點(diǎn)的曲率為。19、曲面的第一、二、三基本形式的關(guān)系是。20、向量函數(shù)平行于固定平面的充要條件是

21、曲率是空間曲線(xiàn)的切向量對(duì)于弧長(zhǎng)的旋轉(zhuǎn)速度.

22、以杜邦(Dupin)指標(biāo)線(xiàn)為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn),曲面上的點(diǎn)分為橢圓點(diǎn),雙曲點(diǎn),拋物點(diǎn),平點(diǎn).

23、曲面上一點(diǎn)的主曲率是曲面在這點(diǎn)所有方向的法曲率的最大值和最小值.

24、曲面的第三基本形式是它的球面表示的第一基本形式.25、若曲面和曲面等距，則的高斯曲率K=0。26、柱面的第一基本形式為。27、設(shè)若曲面上的曲線(xiàn)，若既是漸近線(xiàn)又是測(cè)地線(xiàn)，則是直線(xiàn)。又若曲面上的曲線(xiàn)既是漸近線(xiàn)又是曲率線(xiàn)，則是平面曲線(xiàn)。28、曲面在點(diǎn)A（1，3，4）的切平面方程是。29、曲面上曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)是____等距___不變量。30、球極投影給出（除北極外）到平面的一個(gè)變換是___保角____變換。31、圓的曲率和撓率特征為k=大于零的常數(shù)__，τ=0_。32、曲率恒等于0的曲線(xiàn)是____直線(xiàn)_____。33、在曲面上的任意點(diǎn)，主方向的數(shù)目總為_(kāi)_2___。34、已知，，則，，，35、已知曲面，，，則它的第一基本形式為，第二基本形式為，高斯曲率，平均曲率，點(diǎn)處沿方向的法曲率，點(diǎn)處的兩個(gè)主曲率分別為1、已知空間正則參數(shù)曲線(xiàn)①求基本向量.②求的曲率和撓率.答：2、求曲面z=axy上坐標(biāo)曲線(xiàn)x=x,y=的交角.解；曲面的向量表示為={x,y,axy},坐標(biāo)曲線(xiàn)x=x的向量表示為={x,y,axy}，其切向量={0，1，ax}；坐標(biāo)曲線(xiàn)y=的向量表示為={x,,ax}，其切向量={1，0，a}，設(shè)兩曲線(xiàn)x=x與y=的夾角為，則有cos

=3.求拋物面在原點(diǎn)處的主曲率、高斯曲率和平均曲率，并判斷原點(diǎn)是否為臍點(diǎn).解；曲面方程即，，，，

。在（0，0）點(diǎn),E=1,F=0,G=1,L=2a,M=0,N=2a.，所以-4a+4=0，兩主曲率分別為

=2a,=2a，所以，高斯曲率平均曲率H=(1/2)*(k1+k2)=2a4、求曲線(xiàn)的曲率和撓率：解：因?yàn)?，，，，，，，，所以?.確定螺旋面上的曲率線(xiàn)。解

對(duì)于正螺面，

曲率線(xiàn)的方程為，

化簡(jiǎn)得

，即

。

積分得。所求曲率線(xiàn)為，。

6.已知曲面的第一基本形式為，，求坐標(biāo)曲線(xiàn)的測(cè)地曲率. 解，，，

u-線(xiàn)的測(cè)地曲率

v-線(xiàn)的測(cè)地曲率

7、求曲面的漸近曲線(xiàn).又8、求曲線(xiàn)={t,t,t}在原點(diǎn)的密切平面、法平面、從切面、切線(xiàn)、主法線(xiàn)、副法線(xiàn)。解；原點(diǎn)對(duì)應(yīng)t=0,(0)={+t,-t,+t={0,1,1}，{2+t,-t,2+t

={2,0,2}，所以切線(xiàn)方程是

，法面方程是y+z=0；密切平面方程是=0，即x+y-z=0，主法線(xiàn)的方程是

即

；從切面方程是2x-y+z=0,副法線(xiàn)方程式9、求曲面的漸近線(xiàn).解：曲面的向量表示為,,.漸近線(xiàn)的微分方程為,即一族為dy=0,即,為常數(shù).另一族為2ydx=-xdy,即.10、求曲面上的曲率線(xiàn)的方程.

解

M=,N=0.代入曲率線(xiàn)的微分方程得所求曲率線(xiàn)的方程是::

.11、將圓柱螺線(xiàn)={acost，asint，bt}化為自然參數(shù)表示。解={-a,asintcost,b}，s=，所以，代入原方程得={a,a,}12、求雙曲面z=axy上的曲率線(xiàn).解：，N=0.

由=0得,積分得兩族曲率線(xiàn)為.13、求第一基本形式為的曲面高斯曲率。

證：因?yàn)?/p>

，所以=-=4c14、求曲線(xiàn)x=1+3t+2,y=2-2t+5,z=1-的撓率，并求出它所在的平面方程。證={3+4t,-２+10t,-2t}，={4，10，-２}，

＝｛０，0，0｝曲線(xiàn)的撓率是，所以曲線(xiàn)為平面曲線(xiàn)。曲線(xiàn)所在平面是曲線(xiàn)在任一點(diǎn)的密切平面。對(duì)于ｔ=0,有

=｛１,２,１｝，={3,-２,0}，={4，10，-２}，

＝｛０，0，0｝。所以曲線(xiàn)的密切平面，即曲線(xiàn)所在平面是即2x+3y+19z–27＝0．15、求三次曲線(xiàn)在點(diǎn)的切線(xiàn)和法平面。解

，切線(xiàn)為，法平面為

。16、計(jì)算拋物面在原點(diǎn)的第一基本形式,第二基本形式.解曲面的向量表示為,,,,

,,E=1,F=0,G=1,L=5,M=2,N=2,

I=,

II=17、求出拋物面在(0,0)點(diǎn)沿方向(dx:dy)的法曲率.,,,，,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率18、求正交網(wǎng)的坐標(biāo)曲線(xiàn)的測(cè)地曲率。解：因?yàn)樽鴺?biāo)網(wǎng)是正交的，所以F=0，故，而對(duì)u-曲線(xiàn)來(lái)說(shuō)，=0，故，對(duì)v-曲線(xiàn)來(lái)說(shuō)，=

，所以19、在xoz平面上去圓周y=0,,并令其繞軸旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)面,參數(shù)方程為={(b+acos)cos,(b+acos)sin,asin},求圓環(huán)面上的橢圓點(diǎn)、雙曲點(diǎn)、拋物點(diǎn)。解：E=,F=0,G=,L=a,M=0,N=cos(b+acos),

LN-=acos(b+acos),由于b>a>0,b+acos

>0,所以L(fǎng)N-

的符號(hào)與cos的符號(hào)一致,當(dāng)0≤<和<<2時(shí),LN->0,曲面上的點(diǎn)為橢圓點(diǎn)，即圓環(huán)面外側(cè)的點(diǎn)為橢圓點(diǎn)；當(dāng)-<<，曲面上的點(diǎn)為雙曲點(diǎn),即圓環(huán)面內(nèi)側(cè)的點(diǎn)為雙曲點(diǎn)；當(dāng)=或時(shí)，LN-=0，為拋物點(diǎn)，即圓環(huán)面上、下兩緯圓上的點(diǎn)為拋物點(diǎn)。20、求球面=上任意點(diǎn)的切平面和法線(xiàn)方程。解：

，=任意點(diǎn)的切平面方程為即xcoscos

+ycossin

+zsin

-a=0；法線(xiàn)方程為

21、設(shè)曲面的第一基本形式為I=，求它上面兩條曲線(xiàn)u+v=0,u–v=0的交角。解由曲面的第一基本形式知曲面的第一類(lèi)基本量，，，曲線(xiàn)u+v=0與u–v=0的交點(diǎn)為u=0,v=0,交點(diǎn)處的第一類(lèi)基本量為，，。曲線(xiàn)u+v=0的方向?yàn)閐u=-dv,u–v=0的方向?yàn)棣膗=δv,設(shè)兩曲線(xiàn)的夾角為，則有cos=

。22、求曲線(xiàn)在平面與y=9a之間的弧長(zhǎng)。解：曲線(xiàn)的向量表示為＝，曲面與兩平面與y=9a的交點(diǎn)分別為x=a與x=3a,＝，｜｜＝＝，所求弧長(zhǎng)為23、求正螺面={ucosv,usinv,av}上的測(cè)地線(xiàn)。解：易計(jì)算出E=1，F(xiàn)=0，G=，所以測(cè)地線(xiàn)的微分方程化為，對(duì)第一式積分得（常數(shù)）。于是，將此式代入第二式并積分，則得所求測(cè)地線(xiàn)為

24、在曲線(xiàn)x=coscost,y=cossint,z=tsin的副法線(xiàn)的正向取單位長(zhǎng)，求其端點(diǎn)組成的新曲線(xiàn)的密切平面。解：={-cossint,coscost,sin

},={-coscost,-cossint,0}{sinsint,-sincost,cos

}新曲線(xiàn)的方程為={coscost+sinsint，cossint-sincost，tsin

+cos

}對(duì)于新曲線(xiàn)={-cossint+sincost，coscost+sinsint，sin

}={sin(-t),cos(-t),sin},

={-cos(-t),sin(-t),0},其密切平面的方程是25、求曲線(xiàn)的曲率k和撓率。解：因?yàn)?，，?/p>

，=

26、求曲線(xiàn)的切線(xiàn)曲面的主曲率，平均曲率，曲率線(xiàn)方程。解：設(shè)曲線(xiàn)（s為弧長(zhǎng)參數(shù)）的切線(xiàn)曲面為，

則有，

，，

E=1+，F(xiàn)=1，G=1，L=M=0，N=0

,H=

曲率線(xiàn)方程為=0，即s=常數(shù)，或v=-s+c27、求曲面高斯曲率。解：

可得K=028、求曲面的漸近曲線(xiàn).解設(shè)則 ，，，，，，因漸近曲線(xiàn)的微分方程為 即或 漸近曲線(xiàn)為或 1、證明極小曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)或平點(diǎn).證：由H==0有==0或=-0.若==0,則沿任意方向,=0,即對(duì)于任意的du:dv,,所以有L=M=N=0,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為平點(diǎn).若=-0,則K=<0,即LN-M<0,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為雙曲點(diǎn).2、證明如果曲線(xiàn)的所有切線(xiàn)都經(jīng)過(guò)一的定點(diǎn)，則此曲線(xiàn)是直線(xiàn)。證：取定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的方程設(shè)為＝，則曲線(xiàn)在任意點(diǎn)的切線(xiàn)方程是，由條件切線(xiàn)都過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，可見(jiàn)∥，所以具有固定方向，故＝是直線(xiàn)3、證明曲面=是可展曲面.證：已知曲面方程可改寫(xiě)為=+v，令=，=，則=+v，且0，這是直紋面的方程，它滿(mǎn)足==0

,所以所給曲面為可展曲面。4、證明不存在曲面，使E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1.證；若存在曲面滿(mǎn)足題設(shè)條件，則所給E,F,G,L,M,N必須滿(mǎn)足在正交坐標(biāo)網(wǎng)下的G—C—M公式，但，所以不滿(mǎn)足高斯公式，故不存在滿(mǎn)足題設(shè)條件的曲面。5、證明曲面={cosv-(u+v)sinv,sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。證：曲面的方程可改寫(xiě)為=+u，其中={cosv-vsinv,sinv+vcosv,2v}，={-sinv,cosv,1}，易見(jiàn)0，所以曲面為直紋面，又因?yàn)?=0，所以所給曲面為可展曲面6、證明在曲面上的給定點(diǎn)處,沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數(shù).證；曲面上的給定點(diǎn)處兩主曲率分別為

、，任給一方向及與其正交的方向+，則這兩方向的法曲率分別為，即為常數(shù)。7、證明撓曲線(xiàn)(的曲線(xiàn))的主法線(xiàn)曲面是不可展曲面.8、證明如果一條曲線(xiàn)的所有法平面包含常向量，那么這曲線(xiàn)是直線(xiàn)或平面曲線(xiàn).證：設(shè)所給的常向量為，則。所以，兩邊對(duì)求微商得，即。若，則曲線(xiàn)是直線(xiàn)。若，則，于是，，由于，所以有。由可知，從而，所以，即曲線(xiàn)為平面直線(xiàn)9、設(shè)在兩條曲線(xiàn)Γ、的點(diǎn)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)的切線(xiàn)平行，證明它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)的主法線(xiàn)以及副法線(xiàn)也互相平行。證設(shè)曲線(xiàn)Γ：=與：點(diǎn)s與一一對(duì)應(yīng)，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線(xiàn)平行，則=,兩端對(duì)s求微商得,即

，(這里k0，若k==0，則無(wú)定義)，所以∥，即主法線(xiàn)平行，那么兩曲線(xiàn)的副法線(xiàn)也平行。10、設(shè)空間兩條曲線(xiàn)和的曲率處處不為零，若曲線(xiàn)和可以建立一一對(duì)應(yīng)，且在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的主法線(xiàn)互相平行，求證曲線(xiàn)和在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線(xiàn)夾固定角.解；設(shè)則由知從而，即這表明曲線(xiàn)和在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線(xiàn)夾固定角11、給出曲面上一條曲率線(xiàn)，設(shè)上每一點(diǎn)處的副法向量和曲面在該點(diǎn)的法向量成定角.求證是一條平面曲線(xiàn).證

；設(shè)

，，其中是的自然參數(shù)，記，則，兩邊求導(dǎo)，得，

由為曲率線(xiàn)知，即，因此

.若，則為平面曲線(xiàn)；

若，則因?yàn)榍嫔系囊粭l曲率線(xiàn)，故.而，所以，即為常向量.于是為平面曲線(xiàn).12、如果兩曲線(xiàn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)有公共的副法線(xiàn)，則它們是平面曲線(xiàn)。證：設(shè)一曲線(xiàn)為Γ：＝，則另一曲線(xiàn)的表達(dá)式為：

，為曲線(xiàn)Γ在點(diǎn)s的主法向量，也應(yīng)為在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的副法線(xiàn)的方向向量。＝＋－與正交，即·＝０，于是＝０，為常數(shù)。＝－，＝k－－（－k＋）也與正交，即·＝-=0,而０,所以有＝０，曲線(xiàn)Γ為平面曲線(xiàn)。同理曲線(xiàn)為平面曲線(xiàn)。13、求證：如果測(cè)地線(xiàn)同時(shí)為漸近線(xiàn)，則它是直線(xiàn)；證

因?yàn)樗o曲線(xiàn)是測(cè)地線(xiàn)，所以；又因?yàn)樗o曲線(xiàn)是漸近線(xiàn)，所以，而

，所以k=0，故所給曲線(xiàn)是直線(xiàn)。14、證明曲線(xiàn)＝為一般螺線(xiàn)的充要條件為，＝，其中k0.曲線(xiàn)＝為一般螺線(xiàn)的充要條件為

為常數(shù),即=0,也是

。15、若曲線(xiàn)的主法線(xiàn)是曲線(xiàn)的副法線(xiàn)，的曲率、撓率分別為，求證，其中是常數(shù)。證明：設(shè)曲線(xiàn)，曲線(xiàn)。在的主法線(xiàn)與在的副法線(xiàn)重合，則。于是有，，。因?yàn)?，于是，上式兩邊點(diǎn)乘，可得，從而是常數(shù)。設(shè)，則。上式兩邊對(duì)求微商，可得。上式兩邊點(diǎn)乘，可得，即

。16．證明正螺面={vcosu,vsinu,au+b}(a0)不是可展曲面。017、證明如果一條曲線(xiàn)的所有法平面包含常向量，那么曲線(xiàn)是直線(xiàn)或平面曲線(xiàn)。證：根據(jù)已知，若是常向量，則k==0，這時(shí)曲線(xiàn)是直線(xiàn)。否則在兩邊微分得·=０，即k·=０,所以·=０，又因，所以∥，而為單位向量，所以可知為常向量，于是，即，此曲線(xiàn)為平面曲線(xiàn)。18、證明過(guò)原點(diǎn)平行于圓柱螺線(xiàn)={a，a，bt}的副法線(xiàn)的直線(xiàn)軌跡是錐面.證={-a,a,b},

={-a,-a,0}，×=為副法線(xiàn)的方向向量，過(guò)原點(diǎn)平行于副法線(xiàn)的直線(xiàn)的方程是

，消去參數(shù)t得。19、證明：若曲面是（非平面）極小曲面，則該曲面有二族互相正交的漸近曲線(xiàn)。證：因?yàn)槭菢O小曲面，所以，為非平面，即有

則K<0,所以極小曲面上的點(diǎn)是雙曲點(diǎn)。必有兩族漸近曲線(xiàn)。設(shè)兩族漸近曲線(xiàn)主方向的交角為，則由歐拉公式有=

兩族漸近曲線(xiàn)正交20、證明一條曲線(xiàn)的所有切線(xiàn)不可能同時(shí)都是另一條曲線(xiàn)