一、選擇題．若直線

和

b

沒有公共點，則

與

b

的位置關(guān)系是 A．相交 B．平行

．異面 ．平行或異面

－

共面也與

共面的棱的條數(shù)為 A． B． ． ．．已知平面

α

和直線

l，則

α

內(nèi)至少有一條直線與l A．平行 B．相交 ．垂直 ．異面．長方體

－中，異面直線，所成的角等于 A． B． ． ．．對兩條不相交的空間直線

與

b，必存在平面

α，使得 A．?α，b?αB．?α，b∥α．⊥α，b⊥α．?α，b⊥α．下面四個命題：其中真命題的個數(shù)為 ①若直線

，b

異面，b，

異面，則

，

異面；②若直線

，b

相交，b，

相交，則

，

相交；③若

∥b，則

，b

與

所成的角相等；④若

⊥b，b⊥，則

∥.A． B． ． ．．在正方體

－中，E，F(xiàn)

分別是線段

，上的不與端點重合的動點，如果E＝F，有下面四個結(jié)論：①EF⊥；②EF∥；③EF

與

異面；④EF∥平面

.其中一定正確的有 A．①② B．②③ ．②④ ．①④．設(shè)

，b

為兩條不重合的直線，α，β

為兩個不重合的平面，下列命題中為真命題的是 A．若

，b

與

α

所成的角相等，則∥bB．若

∥α，b∥β，α∥β，則

∥b．若

?α，b?β，∥b，則

α∥β．若

⊥α，b⊥β，α⊥β，則

⊥b．已知平面

α⊥平面

β，α∩β＝l，點

∈α，?l，直線

∥l，直線

⊥l，直線

m∥α，∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是 A．∥m B．⊥m．∥β ．⊥β

/

．已知正方體

－中，E、F

分別為

、的中點，那么直線

與

F

所成角的余弦值為

．－

．－．已知三棱錐－

的三個側(cè)面與底面全等，且＝＝，＝，則以

為棱，以面

與面

為面的二面角的余弦值為 A.

． ．－．如圖所示，點P在正方形所在平面外，⊥平面，＝，則

與

所成的角是 A． B． ． ．二、填空題三、．下列圖形可用符號表示為________．

－

－－

的平面角等于________．．設(shè)平面

α

平面

β，，∈α，，∈β，直線

與

交于點

，且點

位于平面

α，β

之間，＝，＝，＝，則＝________.．將正方形

沿對角線

折成直二面角

－－，有如下四個結(jié)論：①⊥；②△

是等邊三角形；③

與平面

成

的角；④

與

所成的角是

其中正確結(jié)論的序號是________．

/

三、解答題解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．如下圖，在三棱柱

－

中，△

與 eq

\o\ac(△,A)

都為正三角形且

⊥面

，F(xiàn)、F分別是

，的中點．求證：平面

F

平面

BF；平面

F⊥平面

．如圖所示，在四棱錐P－

中，⊥平面

，＝，＝，＝，∠＝∠＝，E

是

的中點．證明：⊥平面

；若直線與平面

所成的角和

與平面

所成的角相等，求四棱錐

P－

的體積．

/

．如圖所示，邊長為

的等邊△

所在的平面垂直于矩形

所在的平面，＝

，M

為

的中點．證明：⊥；求二面角

P－－

的大小．．如圖，棱柱－的側(cè)面

是菱形，⊥.證明：平面

⊥平面

；設(shè)

是

平面

，求

的值．

/

eq

\o\ac(△,．)

中，＝＝

，

是邊長為

的正方形，平面

⊥底面

，若

，F(xiàn)

分別是

EC，

的中點．求證：GF∥底面

；求證：⊥平面

EBC；求幾何體

的體積

.．如下圖所示，在直三棱柱－中，＝，＝，＝，＝，點

是

的中點．求證：⊥；求證：∥平面；求異面直線

與

所成角的余弦值．

/

與

線，因此只有兩類：第一類與

平行與

相交的有：、與

平行且與

相交的有：、，第二類與兩者都相交的只有

，故共有

條．當直線

l與平面α

α內(nèi)不存在與l平行的直線，∴A

錯；當

l α

時，在

α

內(nèi)不存在直線與

l

異面，∴

錯；當

l∥α時，在

α

內(nèi)不存在直線與

l

相交．無論哪種情形在平面α

內(nèi)都有無數(shù)條直線與

l

垂直．

由于

∥，則∠

是異面直線

，所成的角，很明顯∠＝

對于選項

A，當

與

b

是異面直線時，A

錯誤；對于選項

B，若

，b

不相交，則

與

b

平行或異面，都存在α，使?α，b∥α，B

，⊥α，b⊥α

∥b，

，?α，b⊥α，一定有

⊥b，

錯誤．

異面、相交關(guān)系在空間中不能傳遞，故①②錯；根據(jù)等角定理，可知③正確；對于④，在平面內(nèi)，∥，而在空間中，

與

可以平行，可以相交，也可以異面，故④錯誤．

如圖所示．由于

⊥平面

，EF?平面

，則

EF⊥

E，F(xiàn)

分別是線段

，的中點時，EF∥，又∥，則EF∥，所以③不正確；當E，F(xiàn)

分別不是線段

，的中點時，EF

與

異面，所以②不正確；由于平面

∥平面

，EF?平面

，所以

EF∥平面，所以④正確．

/

選項

A

中，，b

還可能相交或異面，所以

A

是假命題；選項

B中，，b

還可能相交或異面，所以B

是假命題；選項

中，α，β

還可能相交，所以

是假命題；選項

中，由于⊥α，α⊥β，則∥β或

?β，則

β

內(nèi)存在直線

l∥，又

b⊥β，則

b⊥l，所以

⊥b.如圖所示：∥l∥m；⊥l，m∥l?⊥m；∥l?∥β.、

取

中點

E，連

、DE，可證

⊥，⊥DE，∴∠

為二面角

－－

的平面角又

＝ED＝

，＝，∴∠＝，故選

C.

將其還原成正方體

－，顯見∥eq

\o\ac(△,SC)，

為正三角形，∴∠＝α∩β＝eq

\o\ac(△,1)如圖所示，正方體

－

中，由于

⊥，eq

\o\ac(△,1)，則∠

是二面角

－－

的平面角．又 是等腰直角三角形，則∠＝、如下圖所示，連接

，，

/

則直線

，

確定一個平面

.∵α∥β，∴∥， 則＝，∴＝，解得

＝①②④如圖所示，①取

中點，E

連接

，CE，則

⊥，⊥CE，而

∩CE＝E，∴⊥平面

，?平面

，故

⊥，故①正確．則

則

MN∥，且

MN＝

＝

，∥，且

＝

＝

，②設(shè)正方形的邊長為，則

＝CE＝

.由①知∠＝是直二面角

－－

的平面角，且∠＝，∴＝，∴△

是等邊三角形，故②正確．③由題意及①知，⊥平面

，故∠

是

與平面

所成的角，而∠＝，所以③不正確．④分別取

，

的中點為

M，N，連接

，，MN. ∴∠

是異面直線

，

所成的角．在

eq

\o\ac(△,Rt)

中，＝CE＝

，＝， ∴＝＝eq

\o\ac(△,.)∴

是正三角形，∴∠＝，故④正確．在正三棱柱

－中，∵F、F分別是

、的中點，∴F∥BF，∥F.又∵F∩＝F，F(xiàn)∩BF＝F∴平面

F∥平面

BF.在三棱柱

－中，⊥平面

，∴F⊥.又

F⊥，∩＝∴F⊥平面

，而F?平面

F∴平面

F⊥平面

.

/

＋＝

，BF＝＝＝

.于是＋＝

，BF＝＝＝

.于是

＝BF＝＝又

＝，E

是

的中點，所以

⊥.∵⊥平面

， 平面

，所以

⊥.而

，

是平面

內(nèi)的兩條相交直線，所以⊥平面

.過點

作

∥，分別與

，

相交于

F，，連接

PF.由⊥平面

知，⊥平面

.于是∠BPF

為直線

與平面

所成的角，且

⊥.由

⊥平面

知，∠

為直線

與平面

所成的角．＝，＝，⊥，由題意，知∠＝∠BPF， BF因為

∠＝，∠BPF＝，所以

＝BF.由∠＝∠＝知，∥，又

∥，所以四邊形

是平行四邊形，故

＝＝于是

＝在

eq

\o\ac(△,Rt)

中，＝，＝，⊥，所以

＝

.又梯形

的面積為

＝×＋×＝，所以四棱錐

P－

的體積為

＝××＝××

＝

.解讀 證明：如圖所示，取

的中點

E，連接PE，，，∵△

為正三角形，

/

∴∠＝＝∴PE⊥，PE＝∠PDE＝＝

∴∠＝＝∵平面

⊥平面

，∴PE⊥平面

，而

?平面

，∴PE⊥.∵四邊形

是矩形，∴△，△，△

均為直角三角形，由勾股定理可求得

＝

，＝

，＝∴＋＝.∴⊥.又

PE∩＝E，∴⊥平面

，∴⊥.解：由可知

⊥，⊥，∴∠

是二面角

P－－

的平面角．PE ＝，∴∠＝∴二面角

P－－

的大小為

因為側(cè)面

是菱形，所以

⊥，又已知

⊥，且

∩＝，所以

⊥平面

，又

?平面

所以平面

⊥平面

.設(shè)

交

于點

E，連接

DE，則

DE

是平面

與平面

的交線．因為∥平面，?平面，平面∩平面＝DE，所以

∥DE.又

E

是

的中點，所以

為

的中點．即

＝解 證明：連接

，如下圖所示．∵

為正方形∴∩＝F，且

F

是

的中點，又

是

EC

的中點∴GF∥，又

?平面

，GF?平面

，∴GF∥平面

.證明：∵

為正方形，∴EB⊥，

/

又∵平面

⊥平面

，平面

∩平面

＝，EB?平面

，∴BE⊥平面

，∴BE⊥.又∵＝＝

，∴＋＝，∴⊥.又∵∩BE＝，∴⊥平面

BCE. 取

的中點

，連

，∵＝＝

＝

，∴⊥，且

＝，又平面

⊥平面

∴⊥平面

，∴＝××＝解讀 證明：在直三棱柱