初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題典數(shù)的整除題l所有四位數(shù)中，有()個(gè)數(shù)能同時(shí)被入3,5,7和11整除？(A)l(B)2(C)3(D)4題1所有四位數(shù)中，有()個(gè)數(shù)能同時(shí)被2,3,53和11整除？(A)l(B)2(03(D)4解因2,3,5.7和】1兩兩互質(zhì)，能被2,3,5門(mén)和11同時(shí)整除的數(shù)，必能被2x3x5x7x】1工2310整除，且四位數(shù)中，能被2310整除的只有2310,2310x2,2310m3,2310x4共4個(gè)，故應(yīng)選(D).題2設(shè)n是100到200之間的自然數(shù)，則滿(mǎn)足7n+2是5的倍數(shù)的。共有()個(gè).題2設(shè)幾是100到200之間的自然數(shù)，則滿(mǎn)足7n+2是5的倍數(shù)的□共有()個(gè).(A)l0(B)ll(C)20(1))21解因7口+2是5的倍數(shù)，故其個(gè)位數(shù)必為0或5,從而得知7n的個(gè)位數(shù)必為8或3小的個(gè)位數(shù)必為4或9,亦即門(mén)只能為12,109,114,119,…，194,199,共20個(gè)*故應(yīng)選(C).題3一個(gè)六位數(shù)al991b能被12整除，這樣的六位數(shù)共有多少個(gè).(A)4(B)(C)8(D)12題3一個(gè)六位數(shù)耐6能被12整除，這樣的六位數(shù)共有()個(gè).(A)4(B)6(0)8(D)12解n199訶能被12整除，則能被3和4整除.M的末兩位數(shù)正能被4整除，此時(shí)￡=2或6.M的各位數(shù)字之和1+9+9+1+6=u+6+20能被3整除,表明。+6+2能被3整除.若6=2,則q可為2,5,8;若6=6,則?？蔀?,4,7.M共有6種可能.故應(yīng)選(B).題4已知724—1可被40至50之間的兩個(gè)整數(shù)整除，這兩個(gè)整數(shù)是()題4已知7%-1可被40至50之間的兩個(gè)整數(shù)整除，這兩個(gè)整數(shù)是（）.（A）41,48（B）45,47（043,48（D）4】，477%-I=(7l2+1)(713-I)=(712+1)(76+1)(76-1)(7l2+l)(76+l)(73+l)(7^1).73+1=(7+1)(73-7+1)=8x43173-1=(7-1)(72+7+I)=6x57.所以7罌-1可被43與6x8=48整除.故應(yīng)選（C）.題6n是一個(gè)兩位數(shù)，它的數(shù)碼之和為a.當(dāng)n分別乘以3,5,79以后得到4個(gè)乘積.如果其每一個(gè)積的數(shù)碼之和仍為a,那么，這樣的兩位數(shù)n有（）.題6八是一個(gè)兩位數(shù)，它的數(shù)碼之和為*當(dāng)然分別乘以3,5,7,9以后得到4個(gè)乘積,如果其每一個(gè)積的數(shù)碼之和仍為。，那么，這樣的兩位數(shù)也有（）.（A）3個(gè)（B）5個(gè)（C）7個(gè)（1））91"解因9準(zhǔn)的數(shù)碼和一定能被9楂除，即口能被9整除，從而幾能被9整除.所以，兩位數(shù)n只可能是18,27,36,45.54,63.72,81,90.99,易知27,54,63,72和81不滿(mǎn)足條件（可分別乘以7,7.3.9,9來(lái)檢驗(yàn)）.而18,36,45,90,99經(jīng)檢驗(yàn)均滿(mǎn)足條件.故應(yīng)選（B）.題8設(shè)某個(gè)n位正整數(shù)的n個(gè)數(shù)宇是1,2,…，n的一個(gè)排列，如果它的前k個(gè)數(shù)字所組成的整數(shù)能被k整除，其中k=1,2,…，n,那么就這個(gè)n位數(shù)為一個(gè)“好數(shù)”.例如，321就是一個(gè)三位“好數(shù)”，因?yàn)?整除3,2整除32,3整除321.那么六位“好數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）.題8設(shè)某個(gè)八位正整數(shù)的n個(gè)數(shù)字是1,2,…，n的一個(gè)排列，如果它的前k個(gè)數(shù)字所組成的整數(shù)能被A整除,其中k=1,2,…，那么就稱(chēng)這個(gè)n位數(shù)為一個(gè)“好數(shù)匚例如,321就是一個(gè)三位“好數(shù)二因?yàn)?整除3,2整除32,3整除321,那么六位“好數(shù)”的個(gè)數(shù)為().(A)0(B)l(C)2⑴)大于2解六位“好數(shù)”的第五位數(shù)字必是5,第二、四、六位數(shù)字必是偶數(shù)，由此可知第一、三位數(shù)字只能分別為1、3或3,1.又因?yàn)?+2+3=6,而1+4+3=8,1+6+3=10,只有6能被3整除，從而可斷定第二位數(shù)字只能是2,123或321才能被3整除,注意到1234和3214不能被4整除，所以第四位數(shù)字只能是6,進(jìn)而斷定第六位數(shù)字為4.綜上所述，六位“好數(shù)”只有123654和321654?故應(yīng)選(C).題9能被11整除的最小的九位數(shù)是題9能被11整除的最小的九位數(shù)是().解根據(jù)可被11整除的數(shù)的特征：奇位數(shù)字和與偶位數(shù)字和的差為0,或?yàn)?1的倍數(shù)可知所求整數(shù)為100000010.題12在自然數(shù)1,2,3,…，1990,1991中.不能披7整除的數(shù)有()個(gè).題12在自然數(shù)1,2,3,…，1990.1991中，不能被7整除的數(shù)有()個(gè).解在1到1991所有自然數(shù)中，能被7整除的數(shù)應(yīng)是7,2x7,3x7,'ii,nx7（n為自然數(shù)）.因?yàn)?rwI991,所以凡故能被7整除的白然數(shù)有［粵］=284（個(gè)）.所以不能被7整除的自然數(shù)有‘1991-284=1707（個(gè)）.注一般地，在自然數(shù)中，有［3］個(gè)數(shù)被p整除.n題13將自然數(shù)N接寫(xiě)在任意一個(gè)自然數(shù)的右面（例如，將2接寫(xiě)在35的右面得352）,如果得到的新數(shù)都能被N整除，那么N稱(chēng)為魔術(shù)數(shù)，在小于130的自然數(shù)中，魔術(shù)數(shù)的個(gè)數(shù)為（）.題13將自然數(shù)N接寫(xiě)在任意?個(gè)自然數(shù)的右面（例如，將2接寫(xiě)在35的右面得352）,如果得到的新數(shù)都能被N整除，那么W稱(chēng)為魔術(shù)數(shù),在小于130的自然數(shù)中，魔術(shù)數(shù)的個(gè)數(shù)為（）...解設(shè)P為任意?個(gè)自然數(shù)，將魔術(shù)數(shù)可（N<130）接后得麗，下面對(duì)內(nèi)為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)分別討論：（1）當(dāng)N為一位數(shù)時(shí)，麗=10P+N,依題意/VI所,則N\10P,由于需對(duì)任意數(shù)P成立，故NU0.所以?xún)?nèi)士1.2,5二（2）當(dāng)N為兩位數(shù)時(shí)，麗二100尸+用，依題意WlMV,則N\100匕故/VI100,所以N=10,20,25,50.一（3）當(dāng)N為三位數(shù)時(shí)，麗=IOOOP+N,依題意M而，則N11000P,故NI1000,所以N=100,125.綜上所述，魔術(shù)數(shù)的個(gè)數(shù)為9個(gè).題14在所有的五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于43且能被11整除的數(shù)是（）。

題14在所有的五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于43且能被1】整除的數(shù)是().解五位數(shù)中最大的數(shù)為99999,其數(shù)字和為45.故數(shù)字之和是43的五位數(shù)的各個(gè)位上的數(shù)字僅有下列兩種可能情形:(I)一個(gè)數(shù)字是7,四個(gè)數(shù)字是9,這樣的五位數(shù)共有5個(gè):79999,97999+99799.99979,99997；(2)兩個(gè)數(shù)字是8,三個(gè)數(shù)字是9,這樣的五位數(shù)共10個(gè):88999,98899,99889>99988.89899,89989,89998,98989.98998,99898.根據(jù)被11整除的數(shù)的特征可驗(yàn)明上述15個(gè)五位數(shù)中有3個(gè)數(shù)：97999,99979,98989能被11整除,題15定義：如果n個(gè)不同的正整數(shù)，對(duì)其中的任意兩個(gè)數(shù)，這兩數(shù)的積能被這兩數(shù)的和整除.那么，叫這組數(shù)為n個(gè)數(shù)的祖沖之?dāng)?shù)組。例如：60,120,180這三個(gè)數(shù)就構(gòu)成一個(gè)三個(gè)數(shù)的祖沖之?dāng)?shù)組，(因(60X120)+(60+120),(60X180)+(60+180),(120X180)+(120+180)都是整數(shù)).請(qǐng)你寫(xiě)出一組四個(gè)數(shù)的祖沖之?dāng)?shù)組.題15定義：如果凡個(gè)不同的正整數(shù)，對(duì)其中的任意兩個(gè)數(shù),這兩數(shù)的積能被這兩數(shù)的和整除.那么，叫這組數(shù)為n個(gè)數(shù)的祖之?dāng)?shù)組0(60x120)-(60+120),(60x180)^(60+180),(120x180)+(120+180)都是整數(shù)),請(qǐng)你寫(xiě)出一組四個(gè)數(shù)的祖沖之?dāng)?shù)沖之?dāng)?shù)組:沖之?dāng)?shù)組:例如：60,120,1這三個(gè)數(shù)就構(gòu)成一個(gè)三個(gè)數(shù)的祖沖組.解受例子的啟發(fā),可設(shè)四個(gè)正整數(shù)為。，2口,3%4/由定義知馬底二工心為整數(shù)，由此可知31口，同理：51441口,71口，即aa+2a3應(yīng)為345,7的倍數(shù),二%=3x4x5x7w420.故符合要求的祖沖之?dāng)?shù)組為(420,840,1260,1680).注本題的答案不是唯一的.例如(840,1680,2520,3璇)也是一組四個(gè)數(shù)的祖沖之?dāng)?shù)組。題16設(shè)a、b、c為整數(shù)，且a+b和ab均可被c整除，求怔：a3+b3可被c2整除.

題16設(shè)為整數(shù)，且口+6和就均可被。整除，求證：1+/可被，整除,證明因?yàn)閍3+ft3=(a+6)[(?+6)2-3必],其中等式右邊兩個(gè)因式都可被e整除，所以它們的乘積是c2的倍數(shù).故(?1(舒+分).題17設(shè)a、b、c為正整數(shù)，求證：a3(b—c)+b3(c—a)+c3(a—b)可被a+b+c整除.?17設(shè)口”、心為正整數(shù)，求證C)+&3(c一.)+/,(a-b)可被a+6+c整除.證明因?yàn)閍3(6-c)+&3(c-a)+3(a-b)x(dt+bc)(a-h)(b-c)(q-c)所以結(jié)論成立.題19一個(gè)魔方是由自然數(shù)組成的正方形網(wǎng)格。它有如下性質(zhì)：每一行，每一列及兩條對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)的和都相同，這個(gè)值稱(chēng)為魔方和。求證：每一個(gè)3X3大小的魔方的魔方和都能被3整除。S19一個(gè)魔方是由自然數(shù)組成的正方形網(wǎng)格.它有如下性質(zhì)：每一行，每一列及兩條對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)的和都相同，這個(gè)值稱(chēng)為魔方和,求證:每一個(gè)3x3大小的魔方的魔方和能被3整除.證明設(shè)3X3大小魔方上的自然數(shù)為M、。12、“日、。21、。22、。23、口31、。32、/3,它的魔方和為人于是根據(jù)魔方的性質(zhì)得*四，口”a**<1x(OhjAH+口也+Q33=%.Gj]+“龍+Q#=k.以3】+a22+=^■口】】所以(&H+(Jji+&31)+3aj2+(。33+以13)=3匕利用口】】++Q英=A和a33+fl21+口】3=k代入，得3。必=A,故31k題20求證：如果兩個(gè)不可約分?jǐn)?shù)的和是整數(shù)，那么這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母相同。題20求證:如果兩個(gè)不可約分?jǐn)?shù)的和是整數(shù).那么這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母相同.證明設(shè)兩個(gè)不可約的分?jǐn)?shù)為總和&，則pm9+3二型ILS,pmpm是整數(shù).即ptnI(gm+pn).由pI(<pn+p門(mén))知，pI如■而(p,q)=1,所以pIm,同理，由mI(gm+pn)推得mIp.故2=虐，即這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母相同.a=bo題21設(shè)a和b為自然數(shù)，使得a2+ab+1可被b2+ba+1整除，求證:a=bo題21設(shè)口和b為自然數(shù)，使得+l可被川+兒+1整除,求證：值=6,證明由恒等式6(?2+a6+1)-a(ft2+(ib+1)=/>-a推知，b-Q可被必+加十】整除顯然，這只有當(dāng)b-Q=0時(shí)才有可能.故0=6.題22自然數(shù)a、b、c、d都可以被ab—cd整除，其中ab—cd>0。求證：ab—cd=1。題22自然數(shù)Q、b、￡、d都可以被肪整除，其中ab-cd>0,求證：而-cd=L證明記e=M-cd,并設(shè)。=此"=便，七==加，則□，氏ya都是自然數(shù)，并且e=ae*他-桂*be=(甲-2)」.因此t可被/整除，而這僅當(dāng)e=1(注意e>0)時(shí)才有可能.故ab—al=1.題23使求出所有這樣的自然數(shù)n,使得n3+3可被n+3整除。題23試求出所有這樣的自然數(shù)凡，使得/+3可被n十3整除.解因?yàn)閚34r3=(nJ+33)-24=(n+3)(n2-3n+9)-24,所以n+3124,因此n可為1、3s9或21.題26圓上有9個(gè)數(shù)碼，已知從某一位起把這些數(shù)碼按順時(shí)針?lè)较蛴浵?，得到一個(gè)9位數(shù)并且能被27整除。求證：如果從任何一位起把這些數(shù)碼按順時(shí)針?lè)较蛴浵碌脑?huà)，那么所得的一個(gè)9位數(shù)也能被27整除。H26圓上有9個(gè)數(shù)碼,已知從某一位起把這些數(shù)碼按順時(shí)針?lè)较蛴浵拢玫揭粋€(gè)9位數(shù)并且能被27整除.求證：如果從任何一位起把這些數(shù)碼按順時(shí)針?lè)较蛴浵碌脑?huà)，那么所得的一個(gè)9位數(shù)也能被27整除.證明假設(shè)從某位開(kāi)始按順時(shí)針?lè)较蜃x起，所得到的數(shù)01做…％udj+0工*】。'+…+0^*10+。馬能被27整除.為了證明所提出的結(jié)論，顯然只要證明：血果從相鄰一位讀起所得到的數(shù)口2。3…曲=a；-108+113To7+…+則TO+Q]也能被27整除.現(xiàn)在來(lái)號(hào)究—IO*a[口2口3**,但g-a2ay^a9ai=oi*itf+ai*108+勾?】0'+…+a?*162+10-(找2”/+aj*107+…+09*10+Gj)=-10?*a(-(10?-1)?=(10003-l)-ar因?yàn)?000?-i^(lOOO-DdOOtf+UXJO+l)=999x(10002+1000+1),而271999,所以27I10003-L故石^?直石能被27整除.注本題的結(jié)論對(duì)于圓上寫(xiě)3r個(gè)數(shù)字時(shí)也是成立的.題27任意給定一個(gè)自然數(shù)A,把A的各位數(shù)字按逆序?qū)懗鰜?lái)，形成一個(gè)新的自然數(shù)A'。試證：A—A'是9的倍數(shù)。

H27任意給定一個(gè)自然數(shù)3把4的各位數(shù)字按逆序?qū)懗鰜?lái)，形成一個(gè)新的自然數(shù)試證是9的倍數(shù).,證明設(shè)4=冊(cè)_】/-廣Ro,則從'=。。。1…4-1.4一4二-1)+*_2(io"|一io)+…*曲(1-io")=每一](10“-1)+4?式10"2-1)70+~+小(1?109由乘法公式知，上式每一項(xiàng)都是9的倍數(shù)，所以其和也是9的倍數(shù).即A-浦是9的倍數(shù).注此題的一個(gè)錯(cuò)誤證法是，因?yàn)锳-A=(4.]-+(an_2-%)10"+…+(-4-2)T°+(。0一冊(cè)-1)的各位數(shù)字之和(冊(cè)-1-的)+(冊(cè)丐)++(%-%-2)+(Q0一冊(cè)-1)=0是9的倍數(shù)，所以是9的倍數(shù),你能判斷這種證法錯(cuò)在何處嗎？題28設(shè)n是正奇數(shù)，試證：1n+2n+…+9n—3(1n+6n+8n)能被18整除。JK28設(shè)孔是正奇數(shù)，試證：1F2r…+9=3(1、6+8”)能被18整除,證明顯然1"+2證明顯然1"+2「+…?9"是奇數(shù)，3(1"+6n+8")也是奇數(shù)做211。2-T+6、8").因?yàn)閬V是奇數(shù)，所以911“+8。912“+7",9131+6J914n+5,919",913x6,從而有9llft+2n+--+9a-3(ln+6n+8").又(2,9)=1,因此18fr+2"+—+9"-3(in+6n+8B);題29求證：眥43被1001整除。200個(gè)0

題29求證：1。…01被1001整除.?_*證明因?yàn)?0-01=1嚴(yán)+1=(ltf)67+1'7?3nm=(16+iHQo3產(chǎn)一(1)產(chǎn)+…一io%+1],所以1惘+1(=1001)整除10…01.20frt0題30求證：7|(22225555+55552222)。題30證明所以求證：71〈2222幻k+5555題30證明所以2222=7*318-4,

5555=7"793+4.2222—+5555如=(22225555+45555)+(5555?-4的)

嚴(yán)):(2222+4)(222溶5-222落?44+(5555-4)(5555m+5555卸,4+…)-4的(64-1)(64巾°+64皿—)因?yàn)?12226.715551,7163,所以712222s555+5555必,題31求證：對(duì)任何自然數(shù)，數(shù)(2n—1)n—3都可被2n—3整除。H31求證:對(duì)任何自然數(shù)，數(shù)(2#-1尸-3都可被2"-3整除.證明v(2肛?1尸-3=⑵一]尸―2”+⑵-3)二⑵一3)[⑵—I)”-+(2a一I尸凡2+…+2”力+(2-3),(2”一1尸一3可被2州?3整除.

題33給定自然數(shù)a,b和n,已知對(duì)任何自然數(shù)k(kw0),數(shù)a-kn能被b—k整除，證明:na=b。題33給定自然數(shù)q,6和r,已知對(duì)任何自然數(shù)AU#O),數(shù)a-kn能被6—/樓除，證明證明由恒等式妙)一(廳一*)二0—曠推知，"能被〃-L整除.顯然，這只有a-V=0時(shí)才有可能.故a=b\題34設(shè)k為正奇數(shù)，證明1+2+…+n整除(1k+2k+…+nk)。題34設(shè)4為正奇數(shù)，證明1+2+…+用整除＜1*+2*+…+r?).分析因?yàn)?42+…+口=/r(r+1),故問(wèn)題等價(jià)于證明

心+1升2(1*+24+…+/).而(圈E+D=1.所以這又等價(jià)于證明晨2(廿+2*+…+/)，及(門(mén)+1)12(1*+2*+…+").事實(shí)上，2(1*+21+-+?)=[l*+(n-1)可+[2*+(就-2)*]+…+[(n-1)*+?]+2n\是n的倍數(shù).2(1"+2,…+#)=[1*+4]+[2*+(槨-1力+…+[爐+1*]也是n+1的倍數(shù).注在處理整除問(wèn)題時(shí)，若直接證明加口不易著手，我們常將6分解為兩兩互素的砥，…，兒之積，于是討口便等價(jià)于證明對(duì)1毛twr,&I口.這種問(wèn)題分解的手法是很基本的，見(jiàn)28,題這種問(wèn)題分解的手法是很基本的，見(jiàn)28,題32和題33.題35求證：467|5123+6753+7203。題35求證:4671512s+6753+720\證明設(shè)#=512,，=675.才=720,貝U2,-39，從而x5+y3+i3=/+/-J+3xyz=(x+y-z)(x2+y2+jr-xy+yr+zx)可被工+尸一看工467整除.TOC\o"1-5"\h\zmm111題36已知取間分?jǐn)?shù)一可以表不成一=1+-+—+L+。試證：分子m是質(zhì)數(shù)1993nn231992的倍數(shù)。題36已知最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)里可以表示成nm.111n~1+2+3+1992'試證:分子m是質(zhì)數(shù)】993的倍數(shù).證明由已知可推得m,I111II7=1+7+5+4+'*+1990+1991+1992=Q+表)+G+高)+4+羨)+…+(聶+轟)199319931993,1993__=BU992+2^991+3^1991+…+標(biāo)997二1993x(力麗+京島+…+思前)?人__1一b--+…+■——一■—?jiǎng)t衛(wèi)=1993*用R0=1x19922x1991996x997Mnn“992!(1992!=Lx2x3x…x1991x1992)乘上式兩邊，彳導(dǎo)mH992!=1993a<n-1992!顯然n,l992!是整數(shù)，于是有19931m*1992!.又因?yàn)?993是質(zhì)數(shù)，所以“993.1992!)=1,故19931m，即分子血是1993的倍數(shù).p1111題37設(shè)p與q是自然數(shù)，滿(mǎn)足上=1——+__L———十——。求證：p可被質(zhì)數(shù)1979q2313181319整除。題37設(shè)p與q是自然數(shù)，滿(mǎn)足才工一子制-…-六十亞?求證：p可被質(zhì)數(shù)1979整除?證明/=（1+4+"+…+ih，12，（5+彳+…9+,.）十1318,…+忐）一"*?+旃）一+'-660+661+1319*]]=<660+忐）+（焉+忐）+…+（荻+麗）I1L、=1979-癡麗.661x1318+…+989^990^’兩端同乘以1319!得1319!X:=1979X血（血為自然數(shù)），和八319!P=1979m?,此式說(shuō)明1979U319!xp*由于1"9為質(zhì)數(shù)，且（1979,1319!）=1,故19791P.注把1979換成形如3k+2的質(zhì)數(shù),1319換成”+1（A為自然數(shù)），命題仍成立.111a題38設(shè)p為奇質(zhì)數(shù)，求證：1+-+-+L+=一的分子a是p的倍數(shù)。23p-1b題38設(shè)p為奇質(zhì)數(shù)，求證：1+J+!+…+-[■的分23p-1b子。是p的倍數(shù).證明仿照高斯求和1+2+…+〃的辦法，將和1111a23p—1一b的各項(xiàng)順序倒過(guò)來(lái)再寫(xiě)一遍，即11.11a1+不分+口+…+i=針兩式相加得P一1+2。一2）+…，p—lF從而2a?（p-l）!=p的倍數(shù)?因?yàn)閜為奇質(zhì)數(shù)，所以p不整除2,3,…，p-1,從而pla.注此題是題37的推廣，也可仿題37證明如下：=(1+*)+(力力=(1+*)+(力力、(11、“…+(點(diǎn)+區(qū))r1111二p[由F+好二^+…十三五」22將中括號(hào)內(nèi)的分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分，其公分母為l?（p-l）?2?（p-2）?3?（p-3）=（p-1）!,故學(xué)二口,儲(chǔ),燈!（9是自然數(shù)），從而a?（p-l）!=p的倍數(shù),所以pl%注意，當(dāng)p不是素?cái)?shù)時(shí)，問(wèn)題需做另外的考慮,利用如下性質(zhì):設(shè)四和也是兩個(gè)不可約分?jǐn)?shù)，并且%和股均被某一素?cái)?shù)qn\n2整除，則在分?jǐn)?shù)吧+—=四二,1丐的分子，分母約去公因子n]幾？n?口2后，所得的不可約分?jǐn)?shù)的分子也能被q整除.1982年蘇聯(lián)基輔市數(shù)學(xué)奧林匹克六年級(jí)試題中有如39.一一、m111m一題39給定m=l十1十」十L十，，其中m是不可約分?jǐn)?shù)，試證：m能被5整除。n2320n題39給定1+?…+呆:，其中皆是不可約分?jǐn)?shù)，試證：m能被5整除.分析由前述性質(zhì)，只需把分?jǐn)?shù)1+4+…+去=看寫(xiě)成分子能被5整除的不可約分?jǐn)?shù)之和的形式.這里，我們有111.H11tx+10+15+20)+(1+2+3+4)+…+*+…+吉).下面我們證明：在把每一個(gè)小括號(hào)中的分?jǐn)?shù)化為不可約分?jǐn)?shù)后，它們的分子都能被5整除.事實(shí)上，111112+6+4+325_5-5+16+15+20"60=60=⑵并對(duì)每一個(gè)2,3都有11—I—5i+l+5t+2+5A+354+4_(5力+2)(5*+3)(5*+4)+…+(54+1)(5<+2)(5<+3)=(5fc+l)(5fc+2)(5it+3)(5t+4)_5-一2?3?4$56+1?3?4+513+1.2?4+5〃+1*2?3=一577+^-2*3-4_51+50=5Z0+24*這里八小、小"」及“都是自熱數(shù)，分母％+24不能被5整除，從而分?jǐn)?shù)在化為不可約分?jǐn)?shù)后，它的分子仍能被5整除?111m一題40試證：將和1十2+3+L+q寫(xiě)成一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)時(shí)，m不會(huì)是5的倍數(shù)。題40試證:將和I…+才寫(xiě)成一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)個(gè)時(shí)，加不會(huì)是5的倍數(shù).證法1原式各項(xiàng)的分母依次是1,2,3,2、5,2x3,7,2）32,2x5,11,22x3,13,2x7,3x5,24,17,2x32J9t2zx53x7T2x11,23.2?x3f52t2x13tJxllt2x17,5x7t22x32,-37,2*19,3x13,2s冀5所以通分時(shí)，除或以外,各項(xiàng)的分子中都含有5作為因數(shù).設(shè)公分母為N（實(shí)際上2sx33x52x7x1]x13x17x19x23x29x31x37）,黑泉當(dāng)時(shí)，M中不含5作為因數(shù)，而其余各項(xiàng)分子都可寫(xiě)成5MA和可寫(xiě)為5M甘必，在約分時(shí)因?yàn)榉肿硬缓?為因1T數(shù)，因此得到的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)也中m數(shù)，因此得到的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)也中m不含5為因數(shù).故m不會(huì)是5的倍數(shù).證法21+[+…+奈4*TV40!+4-x4O!+4>40!+…+￡x40!2一3一一4U上式分子中的每一項(xiàng)必含有因數(shù)5,且含因數(shù)5的個(gè)數(shù)最少的一項(xiàng)為高X40!只含7個(gè)因數(shù)5,其余各項(xiàng)因數(shù)5的個(gè)數(shù)都超過(guò)7,但不超過(guò)9,將分子?、分母同時(shí)約去5\可得分子中除』x40!夕卜,其余各項(xiàng)均為5的倍數(shù)，則此分子不為5的倍數(shù).因此得到的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)中,m不含5為因數(shù),故m不會(huì)是5的倍數(shù).題41設(shè)n是正偶數(shù)，求證：（2n—1）不整除（3n—1）。S41設(shè)〃是正偶數(shù)，求證：（2河-1汴（3艮-1）.證明先證2碑-］能被3整除,再證3不整除3=1,進(jìn)而⑵-1）.注意到n=2*（即正偶數(shù)），則2n一1=⑵-1）（2*+1）,由于2*-1,2、y+1這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)中一定有一個(gè)是3的倍數(shù),顯然羿2左,故2-1和2*+1中一定有一個(gè)是3的倍數(shù).顯然卦3"-1,故結(jié)論成立，注由整除性質(zhì)“若口”，Me,則口1k可以轉(zhuǎn)變?yōu)椴徽囊粋€(gè)證明思路：為了證明m\4,可以找m的一個(gè)約數(shù)硼?.而mfM容易證明，則m\4成立.這種利用縮小除數(shù)證不整除的思路在題32中已經(jīng)用過(guò).題42試證：對(duì)每一個(gè)自然數(shù)n,數(shù)11997+21997+…+n1997不能被n+2整除。題42試證;對(duì)每一個(gè)自然數(shù)/數(shù)1.+2曲+…+r?不能被n十2整除.?證明因?yàn)?（1歷+2呻+??.+/沏）=（21W+/則）+⑶初+（計(jì)叫+…+5附+2,w）+2,而「+2121即+/即，凡+213啊+"-1嚴(yán)「所以"2:2（1物+2］知+…+解助）.故r+2W切+2.+…+凡師.題46一個(gè)自然數(shù)a,若將其數(shù)字重新排列可得一個(gè)新的自然數(shù)b,如果a恰是b的3被,我們稱(chēng)a是一個(gè)“希望數(shù)”。（1）請(qǐng)舉例說(shuō)明：“希望數(shù)”一定存在。（2）請(qǐng)證明：如果a,b都是“希望數(shù)”，則一定有729|abo題46一個(gè)自然數(shù)曲若將其數(shù)字重新排列可得一個(gè)新的自然數(shù)上如果&梏是6的3倍，我們稱(chēng)幽是一個(gè)“希望數(shù)二(1)請(qǐng)舉例說(shuō)明「‘希望數(shù)”一定存在；1(2)請(qǐng)證明：如果-6都是“看望數(shù)二則一定有7291曲.解(D比如a=3105,6=1035,3105=3乂1035,所以3105就是一個(gè)■希望數(shù)二(2)因a是“希望數(shù)二依“希望數(shù)”定義知，存在一個(gè)由a的數(shù)字重新排列而成的自然數(shù)口,使得。=3%并且。的數(shù)字和等于Q的數(shù)字和.__由a-3a知31q,但a的數(shù)字和等于a的數(shù)字和，從而31a,故91%_因a的數(shù)字和等于3的數(shù)字和，所以91G.又。=3々，所以271a.這就證明了"希望數(shù)''一定能被27整除.現(xiàn)已知都是“希望數(shù)”，所以a.b都是27的倍數(shù)，即a=27n|Pb=27rt式叫、孔工為正整數(shù)).于是ab~27n1x27叼二729"?叼.所以7291必.題47求證：對(duì)任何自然數(shù)n,都有1201n5—5n3+4n。題47求證:對(duì)任何自然數(shù)r,都有1201M一5產(chǎn)+4*分析n5-5黯+4/i=n(n4-5n2+4)=n(n3-l)(n2-4)=(n-2)(n-1)n(h+1)(n+2).這表明鑄-5/+4門(mén)是5個(gè)連續(xù)整數(shù)之積(目二1,2時(shí),原式為0,結(jié)論顯然成立時(shí)，原式是5個(gè)連續(xù)自然數(shù)之積).因?yàn)槿我?個(gè)連續(xù)整數(shù)中都有一個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)，所以-5M+4r可被5整除,又因?yàn)槿我馊齻€(gè)連續(xù)整數(shù)中都有一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，所以普-5/+4%又可被3整除.注意到任意五個(gè)連續(xù)整數(shù)中，至少有兩個(gè)偶數(shù),這兩個(gè)偶數(shù)是“相鄰”偶數(shù)，即這兩個(gè)偶數(shù)中，至少有一個(gè)偶數(shù)是4的倍數(shù).因此/-5r+4「又可被8整除.因?yàn)?、3、8互質(zhì)，所以(5x3x8)=120整除n5-5n5+4n.注這里我們推出「“任意五個(gè)連續(xù)整數(shù)之積可被120整除”的結(jié)論.類(lèi)似地，還可推出“任意四個(gè)連續(xù)整數(shù)之積可被24整除”「任意六個(gè)連續(xù)整數(shù)之積可被720整除“，等等.一般地，任意A個(gè)連續(xù)整數(shù)之積可被上!(=1x2x3x…x。整除.題48求證：n(n2-1)(n2-5n+26)可以被120整除。題48求證：題48求證：n(n2-】)(川-5凡+%)可以被120整除證明ie/(n)=n(n2-l)(n2-5n+26),WJ/(1):0,/(2)=120)(3)=480,即當(dāng)n=1,2,3時(shí)，結(jié)論成立.當(dāng)n〉3時(shí)，/(n)=(n-l)n(n+1)(n-2)(n-3)+20(n-I)n(n+1).由于5個(gè)連續(xù)整數(shù)之積可被5!=120整除，可知第一項(xiàng)能被120整除.又3個(gè)連續(xù)整數(shù)之積可被3!二6整除，所以120120"-l)n(n+1).故120ln(n2-l)(a2-5n+26),題49試證：n2(n2-1)(n2-4)可以被360整除。題49試證：可以被360整除.證明自黯_])(然2-4)工(n-2)(n-1)n?a(n+1)(n+2).5個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中，必有兩個(gè)連續(xù)的偶數(shù)，故其積可被8整除；5個(gè)連續(xù)的自然數(shù),必有一個(gè)可被5整除；(幾-2)5-1)r及起(昂+1)(卸+2)均可被3整除，故其積可被9整除.由于8、59互質(zhì)，所以滔(M-1)(M-4)可被其乘積360整

n37題50設(shè)n是任意自然數(shù)，求證：工+n+72是整數(shù)。5315題50題50設(shè)幾是任意自然數(shù)，求證卡+萬(wàn)唱是整證明/V=y+y+TOC\o"1-5"\h\z_史二汕山凡也正二50辦■55533153,2_])(M-4)71(?-1)=n+53qfn-2)(n^l)n(n+l)(n+2)二幾+5w+r^因?yàn)?l(n—2)(n—l)n(n+1)(n+2)t31(n-1)n(n+1)>所以N是三個(gè)整數(shù)之和，即N是整數(shù).題51若干個(gè)整數(shù)的和能被6整除，求證：這些數(shù)的立方和也能被6整除。題51若干個(gè)整數(shù)的和能被6整除.求證:這些數(shù)的立方和也能被6整除.證明首先,注意到對(duì)于任意整數(shù)ara3-a^（a-l）a（a+1）能被6整除,因此，差（U]3+<124…十一（1+與+…+/）能被6整除.所以，如果口]+沏+…+%能被6整除，那么口/+口/+…+%?也能被6整除*題52今有6根金屬棒，每根的長(zhǎng)度都是1m,能否將它們鋸成10根27cm長(zhǎng)、12根15cm長(zhǎng)和25根6cm長(zhǎng)的短棒？（鋸棒時(shí)的損耗可忽略不計(jì)）S52今有6根金屬棒，每根的長(zhǎng)度都是1m.能否將它們鋸成10根27cm長(zhǎng).12根15cm長(zhǎng)和25根6cm長(zhǎng)的短棒？（鋸棒時(shí)的損耗可忽略不計(jì)）解不可能.這是因?yàn)殚L(zhǎng)為100cm的棒子不可能毫無(wú)剩余地截成長(zhǎng)度為27、15和&m的短棒，事實(shí)上,27,15和6都是3的倍數(shù)，而100卻不是.題53柯樓南契大蛇有1000個(gè)頭。神話(huà)中的大力士能一次用劍看去1,17,21或33個(gè)頭,但是大蛇又相應(yīng)地生出10,14,0或48個(gè)頭。問(wèn)大力士能戰(zhàn)勝柯樓南契大蛇嗎？題53柯樓南契大蛇有1000個(gè)頭.神話(huà)中的大力上能一次用劍砍去1,17,21或33個(gè)頭，但是大蛇又相應(yīng)地生出10,1明0或48個(gè)頭.問(wèn)大力士能戰(zhàn)勝柯樓南契大蛇嗎？解我們來(lái)計(jì)算，在大力上的每次打擊下柯樓南契大蛇的頭數(shù)能改變多少.如果大力士砍去一個(gè)蛇頭■則增加了10-1=9個(gè)蛇頭，如果砍去17,則減少17-14=3個(gè)蛇頭，如果砍去21個(gè)，則減少21,如果砍去33個(gè)，則增加48-13=35個(gè).可以看出，在任一情況下蛇頭數(shù)改變的量是3的倍數(shù)（9,3,21,15都被3整除）.因此，在任何時(shí)候大蛇的頭數(shù)與原始數(shù)100。相差一個(gè)3的倍數(shù)的量.由此，任何時(shí)候都砍不光大蛇所有的頭，因?yàn)?000不能被3整除，而0能被3整除.所以大力上不可能戰(zhàn)勝柯樓南契大蛇.題54一天我發(fā)現(xiàn)了如下的魔術(shù)錢(qián)幣機(jī)：如果我放入一枚一分的硬幣，出來(lái)一枚5分硬幣和一枚一角硬幣；如果我放進(jìn)一枚5分硬幣，機(jī)器給出四角硬幣，而如果我放如一枚一角硬幣，我取回3枚一分的硬幣.我用一枚一分的硬幣開(kāi)始，反復(fù)進(jìn)行以上過(guò)程，能出現(xiàn)我剛好有一美元硬幣的機(jī)會(huì)嗎？驗(yàn)證答案.題54-天我發(fā)現(xiàn)r如下的魔術(shù)錢(qián)幣機(jī)：如果我放入一枚一分的硬而，出來(lái)一枚5分硬幣和?枚一角硬幣；如果我放進(jìn)一枚5分硬幣，機(jī)器給出四角硬幣，而如果我放入一枚一角硬幣，我取回3枚一分的硬幣.我用一枚一分的硬幣開(kāi)始,反復(fù)進(jìn)行以上過(guò)程,能出現(xiàn)我剛好有一美元硬幣的機(jī)會(huì)嗎？驗(yàn)證答案.解如果投入機(jī)器一枚一分硬幣，我所得凈多14分，而如果投入一枚5分硬幣，我所得凈多35分.另一方面，我如果投入一枚一角硬幣，所得將凈失去7分.既然14J5和7都是7的倍數(shù),由此推知，不管我向機(jī)器投入多少次硬幣，凈增加（或減少）總是7的倍數(shù),如果要有總數(shù)為1美元，凈增加將是99美分，因?yàn)?9不是7的倍數(shù)，因此要出現(xiàn)這種情況是不可能的，即永遠(yuǎn)也不會(huì)剛好有】美元的硬幣*題55是否存在兩個(gè)不等于0的整數(shù)a和b,其中之一可被它們的和整除，另一個(gè)可被它們的差整除？

題55是否存在兩個(gè)不等于0的整數(shù)。和3其中之一可被它們的和整除，另-?個(gè)可被它們的差整除？解不存在這樣兩個(gè)整數(shù).事實(shí)匕對(duì)于任何兩個(gè)非零整數(shù)1和在1。+川與1口-八中必有一個(gè)既大于51,又大于"I，從而它不可以是q的約數(shù)，也不可能是6的約數(shù)?題56一個(gè)凸n邊形被劃分成黑、白兩色的若干個(gè)三角形，使得任意兩個(gè)三角形要么有公共的邊（這時(shí)它們?nèi)静煌伾从泄岔旤c(diǎn)，要么沒(méi)有公共頂點(diǎn)。而多邊形的每條邊都是某個(gè)黑色三角形的邊。證明：3|n。題56?個(gè)凸a邊形被劃分成黑，白兩色的若干個(gè)三角形,使得任意兩個(gè)三角形要么有公共的邊（這時(shí)它們?nèi)静煌伾?，要么有公共頂點(diǎn)，要么沒(méi)有公共頂點(diǎn).而多邊形的每條邊都是某個(gè)黑色三角形的邊.證明