平面力系問題講解

答疑課程：工程力學《一》2017-09-03答疑課程：工程力學《一》Part1Part2匯交力系力偶系力偶的概念和工程實例力對點之矩·合力矩定理力偶系及其性質力偶系的合成與平衡匯交力系的概念與實例匯交力系的合成與平衡—幾何法力的投影匯交力系的合成與平衡—解析法目錄Part1Part2匯交力系力偶系力偶的概念和工程實匯交力系：各力作用線均匯交于一點。平面匯交力系F3F2F1OAOCB空間匯交力系1匯交力系的概念與實例匯交力系：各力作用線均匯交于一點。平面匯交力系F3F2F1O基本問題力系的合成力系的平衡條件

匯交力系和力偶系是兩種最簡單的力系，也稱為基本力系，是研究復雜力系的基礎。研究方法幾何法解析法基本問題力系的合成力系的平衡條件匯交力系和一、匯交力系合成的幾何法FR1=F1+F2aF2F1F4F3FRFR1FR2bcedFR2=FR1+F3FR=FR2+F4=F1+F2+F3+F4合力的表達式：AF2F1F4F32匯交力系的合成與平衡—幾何法一、匯交力系合成的幾何法FR1=F1+F2aF2F1F4F3

把各力矢首尾相接，形成一條有向折線段（稱為力鏈）。得到一個開口的多邊形，稱為力多邊形。由開口的力多邊形始點指向終點的封閉邊為合力。合力的作用點仍在力系的公共作用點上。此法稱為力的多邊形法則。1、力的多邊形法則

根據矢量加法的交換率，可以交換力多邊形中的各個力矢，合力的大小和方向、作用點仍然不改變。F1F4F2F3aFR1FR2FRbcdeF1F4F2F3aFRcdeb把各力矢首尾相接，形成一條有向折線段（稱為力鏈）。得到

空間共點力系和平面情形類似，在理論上也可以用力多邊形來合成。但空間力系的力多邊形為空間圖形。給實際作圖帶來困難。2、匯交力系的合成結果

匯交力系可以合成為一個力，合力作用在力系的匯交點，合力等于這些力的矢量和，并可由這力系的力多邊形的封閉邊表示。矢量的表達式：R=F1+F2+F3+···+Fn空間共點力系和平面情形類似，在理論上也可以用力多用幾何法求匯交力系的合力時，應注意以下幾點：按一定的比例畫出各力的大小，方向要準確；力多邊形中各力必須首尾相連。合力的方向則是從第一個力的起點指向最后一個力的終點；作力多邊形時，可以任意變換力的次序，合成的結果并不改變。用幾何法求匯交力系的合力時，應注意以下幾點：例1：如圖所示，固定在墻內的螺釘上作用有三個力，F(xiàn)1=3kN，F(xiàn)2=4kN，F(xiàn)3=5kN。試求這三個力的合力。F1OF2F3300F2F3FRα解：

FR=8.3kN，α

=3.50F1O

幾何法求合力，作圖的精確度對所求結果有較大影響。因此對作圖的精度要求較高，一般按要求作圖法很難滿足，特別是對空間力系，因此一般采用幾何法求解的較少，更多的是采用下面介紹的方法——解析法。例1：如圖所示，固定在墻內的螺釘上作用有三個力，F(xiàn)1=3k二、匯交力系平衡的幾何條件匯交力系平衡的充要條件是：

力系的合力FR等于零，或力系的矢量和等于零。用矢量式表達為：

匯交力系平衡的幾何條件是：該力系的力多邊形自行封閉。二、匯交力系平衡的幾何條件匯交力系平衡的充要條件是：匯交力例2桿AC和BC在C處鉸接，另一端均與鉛垂墻面鉸接。鉛垂力F作用在銷釘C上，且F=866N，不計桿自重。試求兩桿所受的力。

CBAC解：(1)根據題意，選取銷釘C為研究對象。(2)畫受力圖。銷釘C受鉛垂力F的作用，還受到桿AC和BC的作用，且桿AC和BC均為二力桿。銷釘C的受力圖如圖所示。例2桿AC和BC在C處鉸接，另一端均與鉛垂墻面鉸接。鉛垂力(3)作力多邊形。根據匯交力系平衡的幾何條件，這三個力組成的力多邊形自行封閉，即它們組成一個封閉的三角形。(4)求未知量?？梢钥闯隽θ切蝍bc為直角三角形，因此由三角關系可得:abcC(3)作力多邊形。根據匯交力系平衡的幾何條件，這三個力組成A60oPB30oaaC(a)解：(1)取梁AB

作為研究對象。(4)解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN.(2)畫出受力圖。(3)應用平衡條件畫出P、NA

和NB

的閉合力三角形。

例3：水平梁AB圖(a)所示，P=20kN,試求支座A和支座B的反力。梁的自重不計。BAC(b)FBFAD60o30oPEPFBFA60o30oHK(c)A60oPB30oaaC(a)解：(1)取梁AB作為研反之，當投影Fx

、Fy

已知時，則可求出力

F

的大小和方向：結論：力在某軸上的投影，等于力的模乘以力與該軸正向間夾角的余弦。一、力在平面坐標軸上的投影3力的投影反之，當投影Fx、Fy已知時，則可求出力F的大小和方

已知力F在坐標系oxyz上與x軸、y軸和z軸之間的夾角分別為α

、β

和γ，則力在三個坐標軸上的投影為：二、力在空間坐標軸上的投影FzFxFyzxFy

反之，當投影Fx

、Fy、Fz

已知時，則可求出力

F

的大小和方向：1、直接投影法已知力F在坐標系oxyz上與x軸、y軸和z軸

由力矢F的始端A和末端B向投影平面oxy引垂線，由垂足a到b所構成的矢量ab，就是力在平面Oxy上的投影記為Fxy。即：注意：力在軸上投影是代數值。力在平面上的投影是矢量。力在平面上的投影:2、二次投影法（間接投影法）xyabαFxyAB由力矢F的始端A和末端B向投影平面oxy引二次投影法:

如果已知F、γ和φ，則可求出力

F

在各個坐標軸上的投影：FzFxFyzxy二次投影法:如果已知F、γ和φ，則可例4圖所示的圓柱斜齒輪，其上受嚙合力F的作用。已知斜齒輪的齒傾角（螺旋角）β

和壓力角θ

，試求力F在x、y、z軸上的投影。解：先將力F向z軸和oxy平面投影，得：

再將力Fxy向x和y軸投影，得：例4圖所示的圓柱斜齒輪，其上受嚙合力F的作用。已知斜齒輪

以兩個力組成的共點力系為例。設有兩個共點力F1、F2,并用幾何法畫出其合力。三、合力投影定理OABCABOxy以兩個力組成的共點力系為例。設有兩個共點力F1、F2CABOabxyc各力在y軸上投影：由圖可知：即：各力在x軸上投影：CABOabxyc各力在y軸上投影：由圖可知：即：各力在x軸

推廣到任意多個力F1、F2、Fn

組成的平面共點力系，可得：

合力投影定理：合力在任一軸上的投影，等于它的各分力在同一軸上的投影的代數和。推廣到任意多個力F1、F2、Fn組成的平面共點力則合力的大小和FR的方向余弦：根據合力投影定理得:一、匯交力系合成的解析法4匯交力系的合成與平衡—解析法則合力的大小和FR的方向余弦：根據合力投影定理得:一、匯交力對于平面匯交力系的特殊情況問題：合力的大小:合力FR的方向余弦:對于平面匯交力系的特殊情況問題：合力的大小:合力FR的方例5

試求圖中各力在坐標軸上的投影及各力的合力的大小和方向。已知：F1=F2=F3=100kN，F(xiàn)4=F5=200kN。OxyF5F4F3F2F1解：例5試求圖中各力在坐標軸上的投影及各力的合力的大小和方向OxyF5F4F3F2F1FR

可得：

OxyF5F4F3F2F1FR可得：平面匯交力系的平衡方程:

即:匯交力系的平衡條件是力系中所有各力在各個坐標軸中每一軸上的投影的代數和分別等于零。匯交力系平衡的充要條件是：力系的合力等于零,即:二、匯交力系平衡的解析條件平面匯交力系的平衡方程:即:匯交力系的平衡條件是力系例6圖示重物重為Q=30kN，由繩索AB、AC懸掛，求AB、AC的約束反力。解:1）取研究對象—力系的匯交點A；AQFC

3）建立坐標系；yx4）列出對應的平衡方程：FB600CBAQ3005）聯(lián)立求解：2）畫受力圖；例6圖示重物重為Q=30kN，由繩索AB、AC懸掛，求A例7水平力F作用在門式剛架的B點，如圖2.12a所示，剛架的自重忽略不計。試求A、D兩處的約束力。解:1）選取剛架為研究對象；2）畫受力圖；FAADCByxFDADCBa2a例7水平力F作用在門式剛架的B點，如圖2.12a所示，剛3）建立坐標系，列平衡方程：4）聯(lián)立求解：FA為負值，說明圖中所假設的指向與其實際指向相反，F(xiàn)D為正值，說明圖中所假設的指向與其實際指向相同。FAADCByxFD3）建立坐標系，列平衡方程：4）聯(lián)立求解：FA為負值，說明圖例8支架的橫梁AB與支桿BC在B點用鉸鏈連接，梁的A端以及支桿的C點以鉸鏈固定在鉛垂墻上。已知力F作用在梁中間，即AD＝DB，且F＝15kN，支桿BC與水平橫梁成30o角。設橫梁和支桿的重量忽略不計，試求鉸鏈A的約束力及支桿BC所受的力。

解:1）取橫梁AB為研究對象，畫受力圖；CBADxEBADy例8支架的橫梁AB與支桿BC在B點用鉸鏈連接，梁的A端以2）列平衡方程，建立Axy坐標系；3）聯(lián)立求解。xEBADy2）列平衡方程，建立Axy坐標系；3）聯(lián)立求解。xEBAABCDaayxABC例9邊長為a的直角彎桿ABC的A端與固定鉸鏈支座聯(lián)結，C端與桿CD用銷釘聯(lián)結，而桿CD與水平線的夾角為60o，略去各桿的重量。沿BC方向作用已知力F=60N。試求A，C兩點的約束力。解:1）取ABC為研究對象，受力圖如圖。ABCDaayxABC例9邊長為a的直角彎桿ABC的A端與yxABC2）列平衡方程；3）聯(lián)立求解。yxABC

正值表示受力圖中所假設的指向與真實的方向一致;

負值表示受力圖中所假設的指向與真實的方向相反。

注意：坐標軸（投影軸）可以任意選取，與合成結果無關，最好取成與各分力夾成已知角度，以便于投影計算。yxABC2）列平衡方程；3）聯(lián)立求解。yxABC解方程得桿AB和BC所受的力:解：

由滑輪B的平衡。xyBFABF2F1FBCABDCP顯然，F(xiàn)1=F2=P例10如圖，P=20kN,求AB、BC兩桿受力。解方程得桿AB和BC所受的力:解：由滑輪B的OyzxFCFBFAFT=FOCBAF例11桿AO，BO，CO用光滑鉸鏈連接在O處，并在O處掛有重物F。如圖2.15a所示。各桿的自重不計，且α＝45o，OB=OC，試求平衡時各桿所受的力。解:1）取鉸鏈O為研究對象，受力圖如圖。OyzxFCFBFAFT=FOCBAF例11桿AO，BO2）列平衡方程，建立坐標系；3）聯(lián)立求解。FA為負值，說明圖中所假設的指向與其實際指向相反，即AO桿受壓。OyzxFCFBFAFT=F2）列平衡方程，建立坐標系；3）聯(lián)立求解。FA為負例12用起重機吊起重物。起重桿的A端用球鉸鏈固定在地面上，而B端則用繩CB和DB拉住，兩繩分別系在墻上的C點和D點，連線CD平行于x軸。已知CE=EB=DE,角α=30o，CDB平面與水平面間的夾角∠EBF=30o,重物G=10kN。如不計起重桿的重量,試求起重桿所受的力和繩子的拉力。例12用起重機吊起重物。起重桿的A端用球鉸鏈固定在地面上解:取桿AB與重物為研究對象，受力分析如圖。xzy30oαABDGCEFF1F2FA解出解:取桿AB與重物為研究對象，受力分析如圖。xzy30oα解析法求解匯交力系平衡問題的一般步驟:1.選分離體，分離體選取最好含題設的已知條件。2.畫受力圖。3.列平衡方程求解。重點掌握匯交力系合成及平衡條件應用的解析法。小結解析法求解匯交力系平衡問題的一般步驟:1.選分離體，分離體一、工程實例1力偶系概念及工程實例一、工程實例1力偶系概念及工程實例

日常生活中經常遇到力偶，比如：用手擰鑰匙、汽車司機雙手轉動駕駛盤等。二、力偶的概念:

作用于剛體上大小相等、方向相反且不共線的兩個力組成的力系稱為力偶。日常生活中經常遇到力偶，比如：用手擰鑰匙、汽車司機雙無法再簡化的簡單力系之一。

力偶作用面：由一對力F

所組成的平面；力偶臂：構成力偶的一對力的作用線間的距離，用d表示；度量轉動作用效應的物理量。單位為N·m或kN·m。

力偶系：作用于剛體上的一群力偶。使剛體的轉動狀態(tài)發(fā)生改變。作用效應:dF′F無法再簡化的簡單力系之一。力偶作用面：由一對力F一、平面中力對點之矩

力F對剛體產生的繞平面上O點的轉動效應取決于：

轉動效應的強度：Fd；轉動的方向：順時針或逆時針。

力對點之矩（力矩）是為了描述剛體運動中的轉動效應。OAFBd2力對點之矩·合力矩定理一、平面中力對點之矩力F對剛體產生的繞平面上O點

力使剛體繞矩心逆時針轉動時為正，順時針轉動時為負。正負規(guī)定：其中：O

為參考系中的某一點，稱為矩心。d為矩心至力F作用線的垂直距離，稱為力臂。OAFBd力使剛體繞矩心逆時針轉動時為正，正負規(guī)定：其中：O平面中力對點之矩是一個代數量。力矩在下列兩種情況下等于零：

1.力的大小等于零；

2.力的作用線通過矩心，即力臂等于零。力矩的單位常用N·m或kN·m。OAFBd平面中力對點之矩是一個代數量。力矩在下列兩種情況下等于零：O二、力對點之矩矢⑶

轉向：剛體繞軸轉動是順時針還是逆時針。⑵轉動軸方位:力的作用線與矩心所決定的平面的法線方位；⑴大小:力F與力臂的乘積；

在空間問題中，力對剛體產生的繞O點的轉動效應取決于三個要素：

——力對點之矩矢，是一個過矩心O的定位矢量，是力對剛體轉動效應的度量。1.力對點之矩矢的概念二、力對點之矩矢⑶轉向：剛體繞軸轉動是順時針還是逆時針。⑵2.力對點之矩矢的矢量積表示式和解析表示式⑴力對點之矩矢的矢量積表示式OdA2.力對點之矩矢的矢量積表示式和解析表示式⑴力對點之矩矢⑵力對點之矩矢的解析表示式則:⑵力對點之矩矢的解析表示式則:力對點O的矩矢在三個坐標軸上的投影為:力對點O的矩矢在三個坐標軸上的投影為:3.力對點之矩矢的基本性質

作用于剛體上的二力對剛體產生的繞任一點的轉動效應，可以用該點的一個矩矢來度量，這個矩矢就等于二力分別對該點矩矢的矢量和，即：

也就是說：力對點之矩矢服從矢量的合成法則。即在一般情況下：

對于平面力系，則有(代數和）：3.力對點之矩矢的基本性質作用于剛體上的二力對剛體4.合力矩定理

合力矩定理：合力對任一點之矩等于諸分力對同一點之矩的矢量和。即：對于平面力系，則有（代數和）：4.合力矩定理合力矩定理：合力對任一點之矩證明：由圖得而FyFxFA則證明：由圖得而FyFxFA則例1：圖示梁受到載荷集度為q的均布載荷的作用，求均布載荷的合力及其作用線位置。解:根據合力投影定理，則合力的大小為：再根據合力矩定理確定合力的作用線位置。假設合力Q的作用線距離A點的距離為xC。例1：圖示梁受到載荷集度為q的均布載荷的作用，求均布載荷的合思考：這個力系的合力及作用線位置。q2AlBq1思考：這個力系的合力及作用線位置。q2AlBq13力偶及其性質一、力偶矩矢概念根據力對點之矩矢，力偶對O之矩為：ABOMM稱為力偶矩矢，用以衡量力偶對剛體的轉動效應。平面有一對力偶

,將它們對O點取矩。3力偶及其性質一、力偶矩矢概念根據力對點之矩矢，力偶對O二、力偶轉動效應三要素力偶轉動效應三要素力偶矩大小轉向作用面方位力偶矩矢長度力偶矩矢指向力偶矩矢法線力偶矩矢三要素二、力偶轉動效應三要素力偶力偶矩大小轉向作用面方位力偶矩矢長三、力偶的解析表示式選取坐標軸Oxyz，力偶矩矢可表示為：四、平面力偶是力偶矩矢在三個坐標軸上的投影。

規(guī)定：力偶使剛體在作用面內逆時針轉動時為正，順時針轉動時為負。三、力偶的解析表示式選取坐標軸Oxyz，力偶矩矢可表示為：四相同處：兩者量綱相同；作用效應相同。不同處：力對點的矩可隨矩心的位置改變而改變，但一個力偶矩是常量。聯(lián)系：力偶中的兩個力對任一點的矩之和是常量，等于力偶矩。五、力對點的矩與力偶矩的區(qū)別與聯(lián)系相同處：兩者量綱相同；不同處：力對點的矩可隨矩心的位置改變而六、力偶的等效條件和性質兩個力偶的等效條件是它們的力偶矩矢相等。（兩個力偶矩矢相等的力偶等效。）1.力偶的等效條件2.力偶的性質

（2）力偶不能與一個力等效（即力偶無合力），本身又不平衡，也不能與一個力平衡（力偶只能由力偶來平衡）。是一個基本的力學量。（1）力偶中兩力在任意坐標軸上投影的代數和為零。六、力偶的等效條件和性質兩個力偶的等效條件是它們的力偶矩矢相力偶矩因（3）力偶對任意點取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變而改變。力偶矩因（3）力偶對任意點取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變而

（4）只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內任意移轉，且可以同時改變力偶中力的大小與力偶臂的長短，對剛體的作用效果不變。

Mr

F￠rd(a)

FrFra

Mr

F￠rad/a(c)

Fr

Mr

F￠rd(b)Fr（4）只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內任意移轉，（5）只要保持力偶矩不變，力偶可從其所在平面移至另一與此平面平行的任一平面，對剛體的作用效果不變。七、力偶的表示方法（5）只要保持力偶矩不變，力偶可從其所在平面移至另一與此平面

兩個力偶合成的結果得到一個合力偶，合力偶的力偶矩矢等于此二力偶矩矢的矢量和。即：為合力偶矩矢。4力偶系的合成與平衡一、力偶的合成兩個力偶合成的結果得到一個合力偶，合力偶的有推廣：力偶系合成的結果得到一個合力偶，合力偶的力偶矩矢等于力偶系各力偶力偶矩矢的矢量和，即：選取坐標軸Oxyz，則：二、力偶矩矢的投影有推廣：力偶系合成的結果得到一個合力偶，合力偶的力偶矩矢等合力偶矩矢的大小和方向余弦可表示為：

平面力偶合成所得的合力偶的力偶矩等于力偶系各力偶力偶矩的代數和，即：合力偶矩矢的大小和方向余弦可表示為：平面力偶合成所得的合力即：力偶系各力偶矩矢分別在三個坐標軸投影的代數和為零，稱為力偶系作用下剛體的平衡方程。

空間力偶系平衡的充分必要條件是:合力偶矩矢等于零，力偶系各力偶矩矢的矢量和等于零。寫出解析的形式，有：三、力偶系的平衡條件平面力偶系作用下剛體的平衡方程：即：力偶系各力偶力偶矩的代數和等于零。即：力偶系各力偶矩矢分別在三個坐標軸投影的代數和為零，稱為力OBDαA例2圖示的鉸接四連桿機構OABD，在桿OA

和BD上分別作用著矩為和的力偶，而使機構在圖示位置處于平衡。已知OA=r，DB=2r，α=30°，不計桿重，試求和間的關系。αOADB解：1）畫受力圖，桿AB為二力桿。OBDαA例2圖示的鉸接四連桿機構OABD，在桿OA2）分別寫出桿AO

和BD

的平衡方程：αOADB2）分別寫出桿AO和BD的平衡方程：αOADBaABCbcBC例3圖示機構在圖示位置處于平衡。解：1）畫受力圖，BC為二力體。AC2）列平衡方程：已知，a:b=c:a,不計桿重，求A，B兩點的約束力。aABCbcBC例3圖示機構在圖示位置處于平衡。解：1）例4各構件不計自重，在構件BC上作用一力偶矩為M的力偶。試求支座A的約束力。解：1）以BC構件為研究對象，畫出分離體及其受力圖。根據力偶平衡條件，列平衡方程：例4各構件不計自重，在構件BC上作用一力偶矩為M的力偶。2）以ACD構件為研究對象，畫出分離體受力圖。根據力偶平衡條件，列平衡方程：A點約束力為:方向與圖示一致。2）以ACD構件為研究對象，畫出分離體受力圖。根據力偶平衡條βo1BoABo1AoA例5圖示使機構在圖示位置處于平衡。已知，OA=a，β=30o，M1，不計桿重，求M2。解：1）畫受力圖。2）列平衡方程：曲柄OA：擺桿O1B：又：可得：βo1BoABo1AoA例5圖示使機構在圖示位置處于平衡求:軸承A,B處的約束力.圓盤面O1垂直于z軸，例6F1=3N，F(xiàn)2=5N，構件自重不計.兩盤面上作用有力偶，圓盤面O2垂直于x軸，AB=800mm,兩圓盤半徑均為200mm，解：取整體，受力圖如圖b所示.解得由力偶系平衡方程求:軸承A,B處的約束力.圓盤面O1垂直于z軸，例6F1=3總結1、理解力對點之矩和力對軸之矩的概念；2、理解力偶和力偶矩的概念；3、理解力偶矩矢的性質；4、力偶系的合成；5、力偶系平衡條件的應用。重點掌握力偶系合成及其平衡的條件，并運用平衡條件求解力偶系的平衡問題。

總結1、理解力對點之矩和力對軸之矩的概念；本次答疑結束謝謝大家！本次答疑結束平面力系問題講解

答疑課程：工程力學《一》2017-09-03答疑課程：工程力學《一》Part1Part2匯交力系力偶系力偶的概念和工程實例力對點之矩·合力矩定理力偶系及其性質力偶系的合成與平衡匯交力系的概念與實例匯交力系的合成與平衡—幾何法力的投影匯交力系的合成與平衡—解析法目錄Part1Part2匯交力系力偶系力偶的概念和工程實匯交力系：各力作用線均匯交于一點。平面匯交力系F3F2F1OAOCB空間匯交力系1匯交力系的概念與實例匯交力系：各力作用線均匯交于一點。平面匯交力系F3F2F1O基本問題力系的合成力系的平衡條件

匯交力系和力偶系是兩種最簡單的力系，也稱為基本力系，是研究復雜力系的基礎。研究方法幾何法解析法基本問題力系的合成力系的平衡條件匯交力系和一、匯交力系合成的幾何法FR1=F1+F2aF2F1F4F3FRFR1FR2bcedFR2=FR1+F3FR=FR2+F4=F1+F2+F3+F4合力的表達式：AF2F1F4F32匯交力系的合成與平衡—幾何法一、匯交力系合成的幾何法FR1=F1+F2aF2F1F4F3

把各力矢首尾相接，形成一條有向折線段（稱為力鏈）。得到一個開口的多邊形，稱為力多邊形。由開口的力多邊形始點指向終點的封閉邊為合力。合力的作用點仍在力系的公共作用點上。此法稱為力的多邊形法則。1、力的多邊形法則

根據矢量加法的交換率，可以交換力多邊形中的各個力矢，合力的大小和方向、作用點仍然不改變。F1F4F2F3aFR1FR2FRbcdeF1F4F2F3aFRcdeb把各力矢首尾相接，形成一條有向折線段（稱為力鏈）。得到

空間共點力系和平面情形類似，在理論上也可以用力多邊形來合成。但空間力系的力多邊形為空間圖形。給實際作圖帶來困難。2、匯交力系的合成結果

匯交力系可以合成為一個力，合力作用在力系的匯交點，合力等于這些力的矢量和，并可由這力系的力多邊形的封閉邊表示。矢量的表達式：R=F1+F2+F3+···+Fn空間共點力系和平面情形類似，在理論上也可以用力多用幾何法求匯交力系的合力時，應注意以下幾點：按一定的比例畫出各力的大小，方向要準確；力多邊形中各力必須首尾相連。合力的方向則是從第一個力的起點指向最后一個力的終點；作力多邊形時，可以任意變換力的次序，合成的結果并不改變。用幾何法求匯交力系的合力時，應注意以下幾點：例1：如圖所示，固定在墻內的螺釘上作用有三個力，F(xiàn)1=3kN，F(xiàn)2=4kN，F(xiàn)3=5kN。試求這三個力的合力。F1OF2F3300F2F3FRα解：

FR=8.3kN，α

=3.50F1O

幾何法求合力，作圖的精確度對所求結果有較大影響。因此對作圖的精度要求較高，一般按要求作圖法很難滿足，特別是對空間力系，因此一般采用幾何法求解的較少，更多的是采用下面介紹的方法——解析法。例1：如圖所示，固定在墻內的螺釘上作用有三個力，F(xiàn)1=3k二、匯交力系平衡的幾何條件匯交力系平衡的充要條件是：

力系的合力FR等于零，或力系的矢量和等于零。用矢量式表達為：

匯交力系平衡的幾何條件是：該力系的力多邊形自行封閉。二、匯交力系平衡的幾何條件匯交力系平衡的充要條件是：匯交力例2桿AC和BC在C處鉸接，另一端均與鉛垂墻面鉸接。鉛垂力F作用在銷釘C上，且F=866N，不計桿自重。試求兩桿所受的力。

CBAC解：(1)根據題意，選取銷釘C為研究對象。(2)畫受力圖。銷釘C受鉛垂力F的作用，還受到桿AC和BC的作用，且桿AC和BC均為二力桿。銷釘C的受力圖如圖所示。例2桿AC和BC在C處鉸接，另一端均與鉛垂墻面鉸接。鉛垂力(3)作力多邊形。根據匯交力系平衡的幾何條件，這三個力組成的力多邊形自行封閉，即它們組成一個封閉的三角形。(4)求未知量?？梢钥闯隽θ切蝍bc為直角三角形，因此由三角關系可得:abcC(3)作力多邊形。根據匯交力系平衡的幾何條件，這三個力組成A60oPB30oaaC(a)解：(1)取梁AB

作為研究對象。(4)解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN.(2)畫出受力圖。(3)應用平衡條件畫出P、NA

和NB

的閉合力三角形。

例3：水平梁AB圖(a)所示，P=20kN,試求支座A和支座B的反力。梁的自重不計。BAC(b)FBFAD60o30oPEPFBFA60o30oHK(c)A60oPB30oaaC(a)解：(1)取梁AB作為研反之，當投影Fx

、Fy

已知時，則可求出力

F

的大小和方向：結論：力在某軸上的投影，等于力的模乘以力與該軸正向間夾角的余弦。一、力在平面坐標軸上的投影3力的投影反之，當投影Fx、Fy已知時，則可求出力F的大小和方

已知力F在坐標系oxyz上與x軸、y軸和z軸之間的夾角分別為α

、β

和γ，則力在三個坐標軸上的投影為：二、力在空間坐標軸上的投影FzFxFyzxFy

反之，當投影Fx

、Fy、Fz

已知時，則可求出力

F

的大小和方向：1、直接投影法已知力F在坐標系oxyz上與x軸、y軸和z軸

由力矢F的始端A和末端B向投影平面oxy引垂線，由垂足a到b所構成的矢量ab，就是力在平面Oxy上的投影記為Fxy。即：注意：力在軸上投影是代數值。力在平面上的投影是矢量。力在平面上的投影:2、二次投影法（間接投影法）xyabαFxyAB由力矢F的始端A和末端B向投影平面oxy引二次投影法:

如果已知F、γ和φ，則可求出力

F

在各個坐標軸上的投影：FzFxFyzxy二次投影法:如果已知F、γ和φ，則可例4圖所示的圓柱斜齒輪，其上受嚙合力F的作用。已知斜齒輪的齒傾角（螺旋角）β

和壓力角θ

，試求力F在x、y、z軸上的投影。解：先將力F向z軸和oxy平面投影，得：

再將力Fxy向x和y軸投影，得：例4圖所示的圓柱斜齒輪，其上受嚙合力F的作用。已知斜齒輪

以兩個力組成的共點力系為例。設有兩個共點力F1、F2,并用幾何法畫出其合力。三、合力投影定理OABCABOxy以兩個力組成的共點力系為例。設有兩個共點力F1、F2CABOabxyc各力在y軸上投影：由圖可知：即：各力在x軸上投影：CABOabxyc各力在y軸上投影：由圖可知：即：各力在x軸

推廣到任意多個力F1、F2、Fn

組成的平面共點力系，可得：

合力投影定理：合力在任一軸上的投影，等于它的各分力在同一軸上的投影的代數和。推廣到任意多個力F1、F2、Fn組成的平面共點力則合力的大小和FR的方向余弦：根據合力投影定理得:一、匯交力系合成的解析法4匯交力系的合成與平衡—解析法則合力的大小和FR的方向余弦：根據合力投影定理得:一、匯交力對于平面匯交力系的特殊情況問題：合力的大小:合力FR的方向余弦:對于平面匯交力系的特殊情況問題：合力的大小:合力FR的方例5

試求圖中各力在坐標軸上的投影及各力的合力的大小和方向。已知：F1=F2=F3=100kN，F(xiàn)4=F5=200kN。OxyF5F4F3F2F1解：例5試求圖中各力在坐標軸上的投影及各力的合力的大小和方向OxyF5F4F3F2F1FR

可得：

OxyF5F4F3F2F1FR可得：平面匯交力系的平衡方程:

即:匯交力系的平衡條件是力系中所有各力在各個坐標軸中每一軸上的投影的代數和分別等于零。匯交力系平衡的充要條件是：力系的合力等于零,即:二、匯交力系平衡的解析條件平面匯交力系的平衡方程:即:匯交力系的平衡條件是力系例6圖示重物重為Q=30kN，由繩索AB、AC懸掛，求AB、AC的約束反力。解:1）取研究對象—力系的匯交點A；AQFC

3）建立坐標系；yx4）列出對應的平衡方程：FB600CBAQ3005）聯(lián)立求解：2）畫受力圖；例6圖示重物重為Q=30kN，由繩索AB、AC懸掛，求A例7水平力F作用在門式剛架的B點，如圖2.12a所示，剛架的自重忽略不計。試求A、D兩處的約束力。解:1）選取剛架為研究對象；2）畫受力圖；FAADCByxFDADCBa2a例7水平力F作用在門式剛架的B點，如圖2.12a所示，剛3）建立坐標系，列平衡方程：4）聯(lián)立求解：FA為負值，說明圖中所假設的指向與其實際指向相反，F(xiàn)D為正值，說明圖中所假設的指向與其實際指向相同。FAADCByxFD3）建立坐標系，列平衡方程：4）聯(lián)立求解：FA為負值，說明圖例8支架的橫梁AB與支桿BC在B點用鉸鏈連接，梁的A端以及支桿的C點以鉸鏈固定在鉛垂墻上。已知力F作用在梁中間，即AD＝DB，且F＝15kN，支桿BC與水平橫梁成30o角。設橫梁和支桿的重量忽略不計，試求鉸鏈A的約束力及支桿BC所受的力。

解:1）取橫梁AB為研究對象，畫受力圖；CBADxEBADy例8支架的橫梁AB與支桿BC在B點用鉸鏈連接，梁的A端以2）列平衡方程，建立Axy坐標系；3）聯(lián)立求解。xEBADy2）列平衡方程，建立Axy坐標系；3）聯(lián)立求解。xEBAABCDaayxABC例9邊長為a的直角彎桿ABC的A端與固定鉸鏈支座聯(lián)結，C端與桿CD用銷釘聯(lián)結，而桿CD與水平線的夾角為60o，略去各桿的重量。沿BC方向作用已知力F=60N。試求A，C兩點的約束力。解:1）取ABC為研究對象，受力圖如圖。ABCDaayxABC例9邊長為a的直角彎桿ABC的A端與yxABC2）列平衡方程；3）聯(lián)立求解。yxABC

正值表示受力圖中所假設的指向與真實的方向一致;

負值表示受力圖中所假設的指向與真實的方向相反。

注意：坐標軸（投影軸）可以任意選取，與合成結果無關，最好取成與各分力夾成已知角度，以便于投影計算。yxABC2）列平衡方程；3）聯(lián)立求解。yxABC解方程得桿AB和BC所受的力:解：

由滑輪B的平衡。xyBFABF2F1FBCABDCP顯然，F(xiàn)1=F2=P例10如圖，P=20kN,求AB、BC兩桿受力。解方程得桿AB和BC所受的力:解：由滑輪B的OyzxFCFBFAFT=FOCBAF例11桿AO，BO，CO用光滑鉸鏈連接在O處，并在O處掛有重物F。如圖2.15a所示。各桿的自重不計，且α＝45o，OB=OC，試求平衡時各桿所受的力。解:1）取鉸鏈O為研究對象，受力圖如圖。OyzxFCFBFAFT=FOCBAF例11桿AO，BO2）列平衡方程，建立坐標系；3）聯(lián)立求解。FA為負值，說明圖中所假設的指向與其實際指向相反，即AO桿受壓。OyzxFCFBFAFT=F2）列平衡方程，建立坐標系；3）聯(lián)立求解。FA為負例12用起重機吊起重物。起重桿的A端用球鉸鏈固定在地面上，而B端則用繩CB和DB拉住，兩繩分別系在墻上的C點和D點，連線CD平行于x軸。已知CE=EB=DE,角α=30o，CDB平面與水平面間的夾角∠EBF=30o,重物G=10kN。如不計起重桿的重量,試求起重桿所受的力和繩子的拉力。例12用起重機吊起重物。起重桿的A端用球鉸鏈固定在地面上解:取桿AB與重物為研究對象，受力分析如圖。xzy30oαABDGCEFF1F2FA解出解:取桿AB與重物為研究對象，受力分析如圖。xzy30oα解析法求解匯交力系平衡問題的一般步驟:1.選分離體，分離體選取最好含題設的已知條件。2.畫受力圖。3.列平衡方程求解。重點掌握匯交力系合成及平衡條件應用的解析法。小結解析法求解匯交力系平衡問題的一般步驟:1.選分離體，分離體一、工程實例1力偶系概念及工程實例一、工程實例1力偶系概念及工程實例

日常生活中經常遇到力偶，比如：用手擰鑰匙、汽車司機雙手轉動駕駛盤等。二、力偶的概念:

作用于剛體上大小相等、方向相反且不共線的兩個力組成的力系稱為力偶。日常生活中經常遇到力偶，比如：用手擰鑰匙、汽車司機雙無法再簡化的簡單力系之一。

力偶作用面：由一對力F

所組成的平面；力偶臂：構成力偶的一對力的作用線間的距離，用d表示；度量轉動作用效應的物理量。單位為N·m或kN·m。

力偶系：作用于剛體上的一群力偶。使剛體的轉動狀態(tài)發(fā)生改變。作用效應:dF′F無法再簡化的簡單力系之一。力偶作用面：由一對力F一、平面中力對點之矩

力F對剛體產生的繞平面上O點的轉動效應取決于：

轉動效應的強度：Fd；轉動的方向：順時針或逆時針。

力對點之矩（力矩）是為了描述剛體運動中的轉動效應。OAFBd2力對點之矩·合力矩定理一、平面中力對點之矩力F對剛體產生的繞平面上O點

力使剛體繞矩心逆時針轉動時為正，順時針轉動時為負。正負規(guī)定：其中：O

為參考系中的某一點，稱為矩心。d為矩心至力F作用線的垂直距離，稱為力臂。OAFBd力使剛體繞矩心逆時針轉動時為正，正負規(guī)定：其中：O平面中力對點之矩是一個代數量。力矩在下列兩種情況下等于零：

1.力的大小等于零；

2.力的作用線通過矩心，即力臂等于零。力矩的單位常用N·m或kN·m。OAFBd平面中力對點之矩是一個代數量。力矩在下列兩種情況下等于零：O二、力對點之矩矢⑶

轉向：剛體繞軸轉動是順時針還是逆時針。⑵轉動軸方位:力的作用線與矩心所決定的平面的法線方位；⑴大小:力F與力臂的乘積；

在空間問題中，力對剛體產生的繞O點的轉動效應取決于三個要素：

——力對點之矩矢，是一個過矩心O的定位矢量，是力對剛體轉動效應的度量。1.力對點之矩矢的概念二、力對點之矩矢⑶轉向：剛體繞軸轉動是順時針還是逆時針。⑵2.力對點之矩矢的矢量積表示式和解析表示式⑴力對點之矩矢的矢量積表示式OdA2.力對點之矩矢的矢量積表示式和解析表示式⑴力對點之矩矢⑵力對點之矩矢的解析表示式則:⑵力對點之矩矢的解析表示式則:力對點O的矩矢在三個坐標軸上的投影為:力對點O的矩矢在三個坐標軸上的投影為:3.力對點之矩矢的基本性質

作用于剛體上的二力對剛體產生的繞任一點的轉動效應，可以用該點的一個矩矢來度量，這個矩矢就等于二力分別對該點矩矢的矢量和，即：

也就是說：力對點之矩矢服從矢量的合成法則。即在一般情況下：

對于平面力系，則有(代數和）：3.力對點之矩矢的基本性質作用于剛體上的二力對剛體4.合力矩定理

合力矩定理：合力對任一點之矩等于諸分力對同一點之矩的矢量和。即：對于平面力系，則有（代數和）：4.合力矩定理合力矩定理：合力對任一點之矩證明：由圖得而FyFxFA則證明：由圖得而FyFxFA則例1：圖示梁受到載荷集度為q的均布載荷的作用，求均布載荷的合力及其作用線位置。解:根據合力投影定理，則合力的大小為：再根據合力矩定理確定合力的作用線位置。假設合力Q的作用線距離A點的距離為xC。例1：圖示梁受到載荷集度為q的均布載荷的作用，求均布載荷的合思考：這個力系的合力及作用線位置。q2AlBq1思考：這個力系的合力及作用線位置。q2AlBq13力偶及其性質一、力偶矩矢概念根據力對點之矩矢，力偶對O之矩為：ABOMM稱為力偶矩矢，用以衡量力偶對剛體的轉動效應。平面有一對力偶

,將它們對O點取矩。3力偶及其性質一、力偶矩矢概念根據力對點之矩矢，力偶對O二、力偶轉動效應三要素力偶轉動效應三要素力偶矩大小轉向作用面方位力偶矩矢長度力偶矩矢指向力偶矩矢法線力偶矩矢三要素二、力偶轉動效應三要素力偶力偶矩大小轉向作用面方位力偶矩矢長三、力偶的解析表示式選取坐標軸Oxyz，力偶矩矢可表示為：四、平面力偶是力偶矩矢在三個坐標軸上的投影。

規(guī)定：力偶使剛體在作用面內逆時針轉動時為正，順時針轉動時為負。三、力偶的解析表示式選取坐標軸Oxyz，力偶矩矢可表示為：四相同處：兩者量綱相同；作用效應相同。不同處：力對點的矩可隨矩心的位置改變而改變，但一個力偶矩是常量。聯(lián)系：力偶中的兩個力對任一點的矩之和是常量，等于力偶矩。五、力對點的矩與力偶矩的區(qū)別與聯(lián)系相同處：兩者量綱相同；不同處：力對點的矩可隨矩心的位置改變而六、力偶的等效條件和性質兩個力偶的等效條件是它們的力偶矩矢相等。（兩個力偶矩矢相等的力偶等效。）1.力偶的等效條件2.力偶的性質