考點02正弦定理一、單選題1．已知中，內(nèi)角所對的邊分別為.若，則（）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】由正弦定理，可得，進而可求出.【詳解】由題意，根據(jù)正弦定理可得，，則，因為，所以或.又因為，所以，所以為銳角，且.故選：A.2．在中，，，則的值為（）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】利用正弦定理可得，結合內(nèi)角和和兩角和的正弦公式可求.【詳解】由正弦定理可得，故，因為，故，整理得到，解得，故選：A.3．在中，角所對的邊分別為，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理由邊化角，結合三角恒等變換即可求解．【詳解】依題由正弦定理得：，即，.故選：A.4．在中，分別是角的對邊，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由正弦定理將化為，而，代入化簡可求得的值，進而可得角【詳解】解：因為，所以由正弦定理得，因為，所以,因為，所以，因為，所以，故選：D5．在中，內(nèi)角的對邊分別為，，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，利用正弦定理轉化為，再結合，用b表示a，c，然后利用余弦定理求解.【詳解】因為，由正弦定理得，又因為，解得，由余弦定理得，故選：C6．在中，角、、的對邊分別為、、，若，且、、為等差數(shù)列，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由二倍角公式可求得、的值，進一步可求得的值，利用正弦定理邊角互化可得出的值.【詳解】，則，所以，，所以，，則，又、、成等差數(shù)列，則，，所以，，由正弦定理可得，故選：C.【點睛】方法點睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理求解；（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內(nèi)角和定理.7．在中，若，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用正弦定理即可.【詳解】在中，由正弦定理：，即，解得：.故選：B8．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則（）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理得，再由正弦定理得，化簡可得，結合三角函數(shù)的性質(zhì)得可得答案.【詳解】由得，由余弦定理得，再由正弦定理得，即，得，由于，，所以（舍去）或，故，于是，所以．故選：A.9．如圖，中，角的平分線交邊于點，，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】中由正弦定理求得后可得，從而得，角，得，用余弦定理可得．【詳解】在中，根據(jù)正弦定理得，由，所以，所以，所以，則，所以，在中，由余弦定理得，所以．故選：D．【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函數(shù)值等基礎知識，解題時對照已知條件選用恰當?shù)墓竭M行計算．如先在中選用正弦定理求得兩邊中另一邊的對角，可得三角形的第三角，這樣圖形聽所有角都已知，然后再求選用公式求邊．本題也可以不用余弦定理求邊．10．設的內(nèi)角所對的邊分別是，其中，那么滿足條件的（）A．有一個解 B．有兩個解 C．不能確定 D．無解【答案】A【分析】先利用正弦定理求得，再由確定解的個數(shù).【詳解】在中，，由正弦定理得：,所以，又因為，所以，所以滿足條件的只有一個解，故選：A11．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，則a∶b∶c＝（）A．1∶2∶3 B．3∶2∶1C．2∶∶1 D．1∶∶2【答案】D【分析】三角形中，由角的比例關系可得A＝30°，B＝60°，C＝90°，結合正弦定理即可求a∶b∶c.【詳解】在△ABC中，有A∶B∶C＝1∶2∶3，∴B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，即A＝30°，B＝60°，C＝90°，由正弦定理知：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝sin30°∶sin60°∶sin90°＝1∶∶2.故選：D12．已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦定理求得，得到，結合兩角和的正弦公式，即可求解.【詳解】在中，，，，由正弦定理，可得，因為，所以，所以，又由.故選：A.13．在中，角，，所對的邊分別為，，，，，．若的平分線與交于點，則（）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)，由余弦定理可得，再根據(jù)，得到角C，然后利用正弦定理解得邊c，然后根據(jù)為的平分線，在中，利用正弦定理求解.【詳解】因為，所以，因為，所以，又，，，則.又為的平分線，，，.故選：A14．我國古代數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術”，即在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則的面積.根據(jù)此公式，若，且，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)正弦定理化簡已知，求得，再根據(jù)余弦定理求，最后代入面積公式求解.【詳解】由正弦定理邊角互化可知化簡為，即，,，解得：，根據(jù)面積公式可知.故選：C【點睛】關鍵點點睛，本題考查數(shù)學文化，理解面積公式，對于面積公式可變形為.15．已知在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，則周長的最大值為（）A．6 B．9 C．12 D．【答案】B【分析】由正弦定理化角為邊，整理后應用余弦定理求得角，然后由正弦定理把用表示，求，利用三角函數(shù)恒等變換結合正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值，從而得周長最大值．【詳解】由得，由正弦定理可將上式轉化，得，，．，，則，得，，．易知，，當，即時，取得最大值，且，因此周長的最大值為9．故選：B．【點睛】思路點睛：在處理三角形中的邊角關系時，一般全部化為角的關系或全部化為邊的關系．題中若出現(xiàn)過的一次式，一般采用正弦定理進行轉化；若出現(xiàn)邊的二次式，一般采用余弦定理進行轉化．二、多選題16．在內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，邊上的高等于，則以下四個結論正確的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)條件可以求得a，c間的關系，結合正弦定理，余弦定理邊角互化得到其余角或邊的關系.【詳解】∵，∴，由余弦定理知：，解得，，選項D正確；由正弦定理有：，則，選項B正確；易知，，則，，選項C錯誤.，選項A正確；故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：利用正弦定理，余弦定理邊角轉化，求得邊角關系.17．在中，.若，則的值可以等于（）A． B． C．2· D．3【答案】AD【分析】根據(jù)，利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡得到，再利用正弦定理求解.【詳解】因為，所以，在中，因為，所以，即，解得或，當時，因為，所以，.當時，由正弦定理得：所以，綜上：或故選：AD18．在銳角三角形中，、、是其三內(nèi)角，則下列一定成立的有（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由正弦定理可判斷A；由結合正弦函數(shù)的單調(diào)性、誘導公式可判斷BC；由BC結論可判斷D.【詳解】對于A，在三角形中，兩邊之和大于第三邊，則，由正弦定理得，故A錯誤.因為是銳角三角形，所以所以B對，同理C對；對于D，由于，，所以D錯.故選：BC.【點睛】本題考查三角形中角對應的正弦余弦大小關系，屬于基礎題.19．已知中，角，，的對邊分別為，，，且，則角的值不可能是（）A．45° B．60° C．75° D．90°【答案】CD【分析】先利用正弦定理得到，再利用余弦定理和基本不等式得到，即可判斷.【詳解】∵，由正弦定理得：∴，∴，當且僅當時取等號，又，故.故選：CD.【點睛】本題主要考查了正弦定理以及余弦定理，考查了基本不等式.屬于較易題.三、填空題20．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，若，，則的面積為_____．【答案】【分析】先求角B，利用正余弦定理求出a、c，利用面積公式求面積.【詳解】由題意得，，所以，由正弦定理及得，由余弦定理得，即解得：，所以的面積為.故答案為：.【點睛】在解三角形中，選擇用正弦定理或余弦定理，可以從兩方面思考：①從題目給出的條件，邊角關系來選擇；②從式子結構來選擇．21．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，，則___________.【答案】【分析】先由及正弦定理得，結合可得，，再由可得，最后求出結果即可.【詳解】由及正弦定理得，因為，所以，則，，因為，所以，則.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：本題考查正弦、余弦定理，熟練運用正弦、余弦定理及變形是解題的關鍵.22．如圖所示，在中，已知，為邊上的一點，且滿足，，則______【答案】【分析】令，根據(jù)，結合，由，求得，再由，求得角D，然后在中，利用正弦定理求解.【詳解】令，因為，所以，所以，，，在中，由正弦定理得，解得.故答案為：23．的內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，已知，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】由正弦定理及三角形內(nèi)角性質(zhì)得，可得，根據(jù)余弦定理，應用基本不等式有，結合A為三角形內(nèi)角，即可求的范圍.【詳解】由正弦定理知：，∵，∴，即，又由余弦定理知：當且僅當時等號成立，而，∴，則.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：應用三角恒等變換、正弦定理的邊角關系確定三邊的數(shù)量關系，根據(jù)余弦定理及基本不等式，求角A余弦值的范圍，結合三角形內(nèi)角的性質(zhì)求角的范圍.24．已知在中，角、、的對邊分別為、、，若，且、、為等差數(shù)列，則________.【答案】【分析】由二倍角余弦、同角三角函數(shù)關系求、，利用三角形內(nèi)角性質(zhì)，結合、、為等差數(shù)列求，并得到其正余弦值，根據(jù)以及正弦定理邊角關系即可求值.【詳解】，則，∵、、等差，有，∴，，，而，∴由正弦定理知：.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：利用余弦倍角公式、等差數(shù)列的性質(zhì)求內(nèi)角的正余弦值，由及正弦邊角關系求.25．已知三內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，若角的平分線交于點，且，則的最小值為___________.【答案】4【分析】利用正弦定理的邊角互化可得，從而可得，再由，根據(jù)三角形的面積公式可得，即，再由基本不等式即可求解.【詳解】解析：由及正弦定理，得，因為，，所以，即.因為，所以.如圖，，所以，所以，即，所以，當且僅當，，即時，等號成立，所以的最小值為4.故答案為：426．在中，，，分別是角，，的對邊，若，，的面積為2，則______.【答案】【分析】利用正弦定理化簡已知條件，求得，利用三角形的面積公式列方程，求得，結合正弦定理求得的值.【詳解】因為，所以由正弦定理得，即，又，所以，即，因為，所以，.因為，所以.因為，所以，所以，所以.故答案為：四、解答題27．已知銳角中，角，，的對邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大?。唬?）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，根據(jù)正弦定理化簡得，進而求得，即可求解；（2）由（1）得到，根據(jù)三角恒等變換的公式，化簡，進而得到，得到的范圍，即可求解.【詳解】（1）在中，由，利用正弦定理得，所以，即，因為，可得，所以，又因為，所以.（2）由（1）知，可得，可得，所以，因為為銳角三角形，所以，，且，所以，，所以故的取值范圍為.28．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，若．（1）求角的大小；（2）若，，點在邊上，且，求的長度．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理將原式中的邊化為角，再運用正弦的和角公式可求得答案；（2）利用余弦定理可求得AD的長度．【詳解】解：（1）由正弦定理，可化為，即，所以，因為，所以，即，因為為三角形內(nèi)角，所以，所以；所以；（2）由余弦定理得，故，因為在邊上，且，所以，又，所以，所以．【點睛】方法點睛：在處理三角形中的邊角關系時，一般全部化為角的關系，或全部化為邊的關系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應用正、余弦定理時，注意公式變式的應用．解決三角形問題時，注意角的限制范圍．29．已知中，內(nèi)角的對邊分別為，_________．（1）求角C的大?。唬?）若，求的面積S．在①（R為外接圓的半徑），②，③（S為的面積），這三個條件中選一個，補充在橫線上，并加以解答．【答案】（1）；（2）【分析】（1）選①，利用正弦定理的邊角互化以及二倍角正弦公式即可求解；選②，利用正弦定理的邊角互化即可求解；選③，利用三角形的面積公式以及余弦定理即可求解.（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系求出，再根據(jù)正弦定理可得，求出，利用三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）選①，由正弦定理，則，又，所以，解得.選②，，因為，所以.選③，，因為，所以.（2），又，解得，，由（1），由正弦定理，即，整理可得，又，解得，.30．在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足：.（1）求角的大?。唬?）若，求的周長的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可求的大小;（2）利用正弦定理及三角變換公式可得，結合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求其取值范圍.【詳解】（1）由可得即，故，，.（2）由正弦定理可得：，，，，，所以.的周長的取值范圍是.【點睛】方法點睛：在解三角形中，如果題設條件是邊角的混合關系，那么我們可以利用正弦定理或余弦定理把這種混合關系式轉化為邊的關系式或角的關系式.31．在中，角的對邊分別為，，，且為銳角．（1）求角的大??；（2）若的面積為，角的平分線交于點，求的長．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)余弦二倍角公式，可解得的值，則角的大小可求；（2）利用面積公式解得，由余弦定理解得，再結合正弦定理即可求得結果．【詳解】（1）∵，∴，即，解得，∵為銳角，∴；（2）由題意知，得在中，由余弦定理得，故設，在中，由正弦定理得①，在中，由正弦定理得②，聯(lián)立①②得，又，所以．【點睛】在處理三角形中的邊角關系時，一般全部化為角的關系，或全部化為邊的關系，題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理，應用正、余弦定理時，注意公式變式的應用，解決三角形問題時，注意角的限制范圍．32．在①，，②，成等差數(shù)列，③，的面積為這三