22高等數(shù)學基礎形考作業(yè)1:第1章函數(shù)第2章極限與連續(xù)（-）單項選擇題下列務函數(shù)對中，（C）中的兩個函數(shù)相等.A./(X)=(Jx)2,g(X)=X

B.=序,g(x)=xc./(x)=lnx3,g(x)=3]nx

D/(x)=x+L^)=TT2.設函數(shù)fM的定義域為（一8,+8）,則函數(shù)fM+f（-X）的圖形關于（C）對涿.B.A.坐標原點B.D.3.下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（B）.a.y=W+x2)a.y=W+x2)b.y=xcosxax+a-xc.y=r-ax+a-xc.y=r-d.y=ln(l+x)D.-1,x<01, x>05.下列極限存計算不正確的是（D）.X2b.limln(l+x)=0D.-1,x<01, x>05.下列極限存計算不正確的是（D）.X2b.limln(l+x)=0x->()rsinxnclim =0'X*X6.當XT°時，變金(C)是無窮小金.sinxA. 1D.limxsin—=0B.C.xsinlD.ln(x+2)4.下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是（C）.B.a.y=x+\

B.7.若函數(shù)fCO在點君滿足(A),則須(X)在點寫連續(xù)。a.limf(x)=f(x) B./'⑴在點%的某個鄰域內有定義C.麗fM=/(%) D.岫fM=lirnf(x)(二)填瓠1.函數(shù)fM=J二9+ln(l+x)的定義域是G,+oo).已知函數(shù)f(X+\)=X2+X,則f(X)=y,y3.1im(l+一)》=ei.ib2x4若函數(shù)/W=-4若函數(shù)/W=-(l+*)x,x+k,x<0x>0.在工=0處連續(xù)，則k=x+l,x>05.函數(shù)y=sinx,xo5.函數(shù)y=6.若limf(x)=A，則當xTxni,f(x)-A稱為m時的無窮小量ofo (三)計算題】?設函數(shù)/?=x>0/?=x>0x<0解：/(-2)=-2,/(0)=0,f(\)=ei=e2.求函數(shù)尸成世的定義域.X解：y=ig竺己有意義，要求?X則定義域為x\x<0或x>在半徑為R的半圓內內接一梯形，梯形的一個底邊與半圓的直徑垂合，另一底邊的兩個端點在半圓上，試將梯形的面積表示成其高的函數(shù).示成其高的函數(shù).設梯形ABCD即為題中要求的梯形，設高為h,即OE=h,下底CD=2R直角三角形AOE中，利用勾股定理得則上底=2AE=2^R2-h2故 +2』R—h)=hC+必2_阮)sin3x iosin2xsin3xTOC\o"1-5"\h\zsin3x ?c x5xsin3xvsm3x..3r r麒.hm =lim =hmdsin2xx_m)s*nx2x-?->o2x 2x5.求HmX2~1.x->-isin(x+l)X2-1解.lim ^-.sin(x+l)lim(x-lXx+l)=limx-1 -1-1X2-1解.lim ^-.sin(x+l)Isbo+l) —|Sin(x+l) 1tan3x 6.求hm .x->0X..tan3x sin3x1sin3x1 ,〔1 °°解.lim =lim ? =lim x x3=lx_xj=JA_>ox x cos3x 53x cos3x1 7.求lim歸己1x-?osinxX2x->osinx=iim =lim *->o(J1+X2+l)sinxx->o(/Mr+l)sinx卄氣（E+1）虹向E。si i--(i-b[(i+2_)-x]-ig3解：lim(-——)*=lim(—)?=lim i—=lim =一=ig3+3 、*]+( 5(1+2*f[(1+$，39.求9.求limx->4X2-6x+8X2-5x+4x2-6x+8 G-4)G-2)「x-24-22fty.lim =lim f v=lim = =—?I*-5x+4z(x-4丿*一1丿—4工-1 4-1 3io.設函數(shù)(—2)2x>\(—2)2x>\/?=-!<%<!/?=x<-l討論fM的連續(xù)性。解：分別對分段點X=—1,X=1處討論連續(xù)性lim/(x)=limx=-llim/(x)=lim(x+l)=-1+1=0XT-1- Xf-1-所以lim/G)#：lim/(x),即/G)在工=一1處不連續(xù)X->-l+ A—>-1-(2)lim/(x)=limCv-2)2=(1-2》=1A->1+ ,、 X-?l+lim/(A)=limx=lII-所以limfG)=lim/(x)=/(l)即/G)在x=1處連續(xù)x-?l+ x-*l-由（1）（2）得yG）在除點x=T外均連續(xù)高等數(shù)學基礎作業(yè)2答案:第3章導數(shù)與微分2.設須（同在％可導，則2.設須（同在％可導，則lim %C=①）.2h（-）單項選擇題1.設/(O)=0且極限lim竺1存在，姻lim蟲1=(c).X x-?0XA./(0)B.尸A./(0)D.°cvxc.廣⑴D.°cvxA.-2/(%)c.2廠氣)Arc—en—e

2 43.設f(x)=3,Arc—en—e

2 4Av->0A.eb.2e4.設fM=x(x-l)(x-2)--(x-99),則f\0)=A.99B.-99C.99!A.99B.-99C.99!D.—99!5.下列結論中正確的是（C>.A.若/A.若/'（X）在點爲有極限，則在點爲可導.B.若7*。）在點爲連續(xù)，則在點七可導.C.若C.若/（x）在點X?？蓪?，則在點X。有極限.D.若/（X）在點爲有極限，則在點爲連續(xù).（二）填空題1 八X2sin_,x^O,則f(0)=_o0,x=00,2.設ggg則"3.曲線fM=Jx+l在（1,2）處的切線斜率是*=?

4.曲線/（X）=sinx在（y,l）處的切線方程是V=L5.設y=x2xf則y'=2x2x(1+Inx)6.設y=x\nx，則/=-o人（三）計鮑1術下列函數(shù)的導數(shù)＞'：⑴y=(xb+3)e，解：y'=^xJx+3^ex+(jx+sL)=(xt+3)e)+(2)y=cotx+X2Inx解：y'=Got+(v2/hx+xs(inx)=-csc2x+x+2xlnxX2⑶"砧,C2)Inx-%2(lnxJ2x\nx-x峪y= = 鮮. ln2x ln2xcosx+2xcosx+2x⑷尸 X3,(osx+2x)x3一(osx+2x)C),(osx+2x)x3一(osx+2x)C)解 G x(-sinx+2<In2)-3(cosx+2?)]nx—x2(5)y=—: sinx解：/=xJsinx-sin2xsin解：/=xJsinx-sin2xsinx(—一2x)-(Inx-X2)cosxx sin2x⑹V=]?*—sinxInx解：=(v4)-Ginx)Inx-sinx(lnx)=4x3一早一cosilnx2222sinx+x2（?）y=3x,(inx+x2)3x-(inx+x2Xx)解：，= o 3?(cosx+2x)-(sinx+xi)3-in332a(8)y=e“tanx+Inx鯉.)"=Q)tanx+ex(tanx)+(inx)=e?tanx+— +—COS2XXex2.求下列函數(shù)的導數(shù)y'：解:y=C<)=WxL-⑵y=Incosx解./=_L(-sinx)=-^=-tanxcosx cos(4)y=sin2X解：=2sinx(sinxJ=2sinx-cosx=2sin2x⑸y=sin%2解：/=cosx2.2x=2xcosx⑹尸COSB⑹尸COSB解，y'=-sineD=—2ssing(7)y=sin”xcosnx解：y'=(in?%)cosnx+sin?x(cosnx)=nsin?-ixcosxcosnx-nsin?xsin(nx)

V=5sinx解：y'=5eIn5xcosx=In5cosx5sinxy=ecosx⑼y'=ecosA（-sinx）=-sin鶴c°sx解：丿3在下列方程中，y=y(x)是由方程確定的函數(shù)，求y'：⑴yCOSX=Q2y, c、， ，ysinx解.ycosx-ysinx=2e2vjy= cosx-2e2y⑵y=cosyinx解：/=siny./Inx+cosy.ly'= _-x.rd+sinyInX）（^2xs\ny=—y解：2xcos），.y'+2siny=2WF），'礦口*），+擋）=竺-2sin），/=2xy-2.ysinyy2 yiyi 2xy2cosy+%2⑷y=x+lnyy-（5）lnx+e）=y2解:-+eyyf解:-+eyyf=2yy'/=1x（2y-ey）⑹y2+l=e、siny解.2#'=，、*?'+siny，=.Q丄2y-excosy（7）ey=e*_>3gx解：e>y'=-3y2y' y1=_+3yiey

5、In5⑻y=5x+2y解.y*=5*In54-5、In5l-2yln24尿下列函數(shù)的微分dy：（注：dy=y'dx）(i)y=cotx+cscx解：y'=-csc2x-cscxcotxCOS2xcosxsin2x)dxInxsinx_sinx-lnxcosx解:—⑶y=sin2x解：_sinx-lnxcosx解:—⑶y=sin2x解：y'=2sinxcosx⑹y=tane?解：y'=sec2ex-ex5.求下列函數(shù)的二階導數(shù)：r , 1一丄⑴y=b解：>=尸2_sinx-]nxcosxdy=Z dxsin2xdy=2sinxcosxdxdy=sec2 ?exdx=e.?'sec2exdx2=3，解：y'=3.vIn3y"=In3?3*?In3=In23?3*⑶y=lnx解：Jx⑷y=xs\nx解：=sinx+xcosxy*=cosx+cosx+xl^sinx)=2cosx-jsinx（四）證明題設/（x）是可導的奇函數(shù)，試證f'W是偶函數(shù).1()1()1()1()證：因為f(x)是奇函數(shù)所以/(--v)=-/W兩邊導數(shù)得：=-尸(x)=>fX-x)=f(x)所以f'M是偶函數(shù).2222高等數(shù)學基礎形考作業(yè)3答案：第4章導數(shù)的應用（一）單項選擇題若函數(shù)/'（X）滿足條件（D）,則存在&」（a，b）,使得廣（：）='（?b-aA.在（o，b）內連續(xù) B,在（。，力）內可導C.在（。，力）內連續(xù)且可導D.在［。’切內連續(xù)，在（。,人）內可導函數(shù)f(X)=X2+4x-1的單調增加區(qū)間是(D).A.(-8,2) B.(-1，1)C,(2,+8) d.(-2,+8)函數(shù)y=x2+4x-5在區(qū)間（-6,6）內滿足（A）.A.先單調下降再單調上升 B.單調下降C.先單調上升再單調下降 D.單調上升函數(shù)，（對滿足廣（X）=。的點，一定是/（X）的（C）.

B.極值點A.B.極值點C,駐點 D.拐點設f(x)在(a，b)內有連續(xù)的二階導數(shù)，X。￡("),若/(X)滿足<C).則須(X)在％取到極小值.A.尸(爲)>0,廣(為)=o B./V)<o,/ffu)=0c,了?)=0,廠a)>oD.了'(X)=0,廠(X)<00 0 0 0設/(x)在(")內有連續(xù)的二階導數(shù)，旦r'(x)<0,/〃(■￥)<。，則f(x)在此區(qū)間內是(a).A.單調減少且是凸的 B.單調減少且是凹的C,單調增加且是凸的 D.單調增加且是凹的(-)填空題1.設/(X)在(a，b)內可導,君€("),且當x<XQ時廣(x)v0,當x>XQ時/'(x)>0,則%是/(對的極小值點.2若函數(shù)fW在點％可導，且七是/⑴的極值點，則廣(為)= ?3.函數(shù)y=ln(l+X2)的単.調減少區(qū)間是(一8,0).4.函數(shù)f(x)=e-的單調増加區(qū)間是(0,+8)6,2) 5.若函數(shù)/(*)在［。M］內恒有f\x)<0,則f(x)在［。M］上的最大值是6,2) 6.函數(shù)f(x)=2+5x-3xy的拐點是(三)計算題1.求函數(shù)y=(x+D(工一5)2的單調區(qū)間和極值.解：令y=G-5^+U+l)-2-(x-5)=3(x-5)(x-l)=>駐點x=l,x=5列表：極大值：八1)=32極小值：/(5)=0X(-8,1)1(1,5)5(5,+oo)，y+0—0十y上升極大值32下降極小值0上升2.求函數(shù)y=x2-2x+3在區(qū)冋［0,3］內的極值點，并求最大值和最小值.解：令：y'=2x-2=0 =>x=l(駐點)，列表:X<O,1)1(1,3)fy+0—y上升極大值2下降y=X2-2x+3=(x-\\+2/(0)=3 /⑶=6 f⑴=2=>極值點：川)=2=>最大值 了⑶=6=最小值 /(I)=23.求曲線y2=2x上的點，使其到點A(2,0)的距離最短.解：設p(x,y)是y2=2x上的點，d為p到a點的距離，則:。=如-2)2+尸=J(x-2)2+2x5=f+2_x-l=qn"iny=±42^(x-2)2+2xJ(■-2)2+2x>2=2x上點(1權)或點A(2,0)的距離最短。。圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為乙，問當?shù)装霃脚c高分別為多少時，圓柱體的體積最大？解：設園柱體半徑為R，高為h,則體積V=TtR2h=Tt(Li-h2)h令：Vl令：Vl=n[h(-2h)+b-h2]=n[b-3/i2]=0=>L=^3hh=%LR=*乙 .?.當h=斗,R=*乙時其體積最大?！w積為V的圓柱體，問底半徑與高各為多少時表面積最??？解:設園柱體半徑為R，高為解:設園柱體半徑為R，高為h,則體枳VS=2nRh+2兀氏2=2—+2k/?2表面枳 R令：Sr=-2VR-2+4ji/?=0=丄=令：Sr=-2VR-2+4ji/?=0=丄=R3nR=2兀答：當&=時表面枳最大。欲做一個底為正方形，容積為62.5立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省？解：設底長為x,高為h°則：62.5=x2h,62.562.5=x2h=>h= X2c4. 250側面積為：S=x2+4xh=x2+一令S'=2x—3^=0X2

=> =125=>x=5答：當?shù)走B長為5米，高為2.5米時用料最省。（四）證明題1.當工>°時，證明不等式x>ln（l+x）.InG+x)-In1-證：在區(qū)冋R1+InG+x)-In1-其屮1 <1+x,故v1,日由B可得x>\n(l+x)2.當x>°時，證明不等式e、>x+1證：設/(x)=c-(x+1)f'(x)=ex-i>0(當x>OW)f'(x)=ex-i>0(當x>OW)n當x>OW,f(x)單調上升JL/(O)=0:.f(x)>0,即c>(x+l)高等數(shù)學基礎形考作業(yè)4答案:第5章不定積分第6章定積分及其應用（-）單項選擇題1.若/（X）的一個原函數(shù)是一，則廣⑴=（D）.A.hi|x|B.-IX21D.c.D.2.下列等式成立的是（D）.B.U（X）=/（X）Cdff(x)dx=f(x)3.若fM=cosx，則f/,(x)dx=(B).a.sinx+ccosx+cc.-sinx+c4.^fx2/(x3)dx=D.一cosx+ca.f(xy)B.X2f(X3)5.若J/(x)dx=F(x)+c,則J*/(h)dx=(B).A.F(S+cB.2F(41)+cC.F(2b)+c6.下列無窮限積分收斂的是（D）.A. 勺XC.<-）填空題b\^exdxDJ+8-lzZx■IX21.函數(shù)f（x）的不定積分』f（^x.2.若函數(shù)F（x）與G（x）是同-函數(shù)的原函數(shù)，則F（x）與G（對之間有關系式F（x）-G（x）=c（常數(shù)）°4.1(tanx)'dx=tanx+co5.若』f(x)dx=cos3x+c,則f\x)=-9cos(3x)。6J3(sin5x+—)dx=z-3 2若無窮積分「'「一dr收斂，則p>Oe1XP (三)計算題海1IJ dx=-fcos—tZ(-L)=-sin