平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)分析前面已經(jīng)知道 ,向量的線性運算有非常明確的幾何意義 ,因此利用向量運算可以討論一些幾何元素的位置關(guān)系 .既然向量可以進行加減運算 ,一個自然的想法是兩個向量能否做乘法運算呢如果能 ,運算結(jié)果應(yīng)該是什么呢另外 ,距離和角是刻畫幾何元素 （點、線、面 ）之間度量關(guān)系的基本量 .我們需要一個向量運算來反映向量的長度和兩個向量間夾角的關(guān)系 .眾所周知 ,向量概念的引入與物理學(xué)的研究密切相關(guān) ,物理學(xué)家很早就知道 ,如果一個物體在力 F的作用下產(chǎn)生位移s（如圖1）,那么力F所做的功圖1W=F||s|cos0功W是一個數(shù)量，其中既涉及“長度”，也涉及“角”，而且只與向量F,s有關(guān).熟悉的數(shù)的運算啟發(fā)我們把上式解釋為兩個向量的運算 ,從而引進向量的數(shù)量積的定義a-b=|a||b|cos0.這是一個好定義 ,它不僅滿足人們熟悉的運算律 （如交換律、 分配律等）,而且TOC\o"1-5"\h\z還可以用它來更加簡潔地表述幾何中的許多結(jié)果 .向量的數(shù)量積是一種新的向量運算 ,與向量的加法、減法、數(shù)乘運算一樣 ,它也有明顯的物理意義、 幾何意義 .但與向量的線性運算不同的是 ,它的運算結(jié)果不是向量而是數(shù)量 .二、教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能：掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義； 掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、 角度和垂直的問題； 掌握向量垂直的條件。2、過程與方法：通過物理中“功”等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。3、情感態(tài)度與價值觀：通過與物理中“功”的類比抽象出向量的數(shù)量積， 培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。三、重點難點教學(xué)重點 :平面向量數(shù)量積的定義 .教學(xué)難點 :平面向量數(shù)量積的定義及其運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.四、教學(xué)設(shè)想（一）導(dǎo)入新課思路1.我們前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及幾何中的有向線段等概念 ,向量是既有大小、又有方向的量 ,它與物理學(xué)中的力學(xué)、運動學(xué)等有著天然的聯(lián)系 ,將向量這一工具應(yīng)用到物理中 ,可以使物理題解答更簡捷、更清晰,并且向量知識不僅是解決物理許多問題的有利工具 ,而且用數(shù)學(xué)的33思想方法去審視相關(guān)物理現(xiàn)象 ,研究相關(guān)物理問題 ,可使我們對物理問題認識更深刻.物理中有許多量 ,比如力、速度、加速度、位移等都是向量 ,這些物理現(xiàn)象都可以用向量來研究 .在物理課中 ,我們學(xué)過功的概念 ,即如果一個物體在力 F的作用下產(chǎn)生位移s,那么力F所做白^功W可由下式計算：W=|F||s|cos9其中9是F與s的夾角.我們知道力和位移都是向量，而功是一個標(biāo)量(數(shù)量).故從力所做的功出發(fā) ,我們就順其自然地引入向量數(shù)量積的概念 .思路2.前面我們已學(xué)過 ,任意的兩個向量都可以進行加減運算 ,并且兩個向量的和與差仍是一個向量 .我們結(jié)合任意的兩個實數(shù)之間可以進行加減乘除 (除數(shù)不為零 )運算,就自然地會想到 ,任意的兩個向量是否可以進行乘法運算呢如果能,其運算結(jié)果是什么呢(二)推進新課、新知探究、提出問題①a?b的運算結(jié)果是向量還是數(shù)量它的名稱是什么②由所學(xué)知識可以知道 ,任何一種運算都有其相應(yīng)的運算律 ,數(shù)量積是一種向量的乘法運算 ,它是否滿足實數(shù)的乘法運算律③我們知道,對任意a,b€R恒有(a+b)2=a2+2ab+6,(a+b)(a-b)=a2-b2.對任意向量 a、b,是否也有下面類似的結(jié)論(1)(a+b)2=a2+2a?b+b2;(2)(a+b)?(a-b尸a2-b2.活動:已知兩個非零向量a與b,我們把數(shù)量|a||b|cos0叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a?b,即a-b=|a||b|cos0(0<0<tt).其中0是a與b的夾角，|a|cos0(|b|cos8)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.如圖2為兩向量數(shù)量積的關(guān)系 ,并且可以知道向量夾角的范圍是00<9<180°.圖2TOC\o"1-5"\h\z在教師與學(xué)生一起探究的活動中 ,應(yīng)特別點撥引導(dǎo)學(xué)生注意 :(1)兩個非零向量的數(shù)量積是個數(shù)量 ,而不是向量 ,它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積 ;(2)零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即a?0=0;(3)符號耍”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“X”代替；(4)當(dāng)008<時cos0>0,從而a-b>0;當(dāng)<8<九時,cos0<0,從而a?b<0.與學(xué)生共同探究并證明數(shù)量積的運算律 .已知a,b,c和實數(shù)人,則向量的數(shù)量積滿足下列運算律：①a-b=b-a(交換律)；②(入a)?b=2i(a?b)=a?(入b)(數(shù)乘結(jié)合律)；③(a+b)?c=a?c+b?c(分配律).特別是:(1)當(dāng)aw0時，由2?b=0不能推出b一定是零向量.這是因為任一與a垂直的非零向量b,都有a-b=0.(2)已知實數(shù)a、b、c(bw0),則ab=bca=c.但對向量的數(shù)量積,該推理不正確,即a-b=b?c不能推出a=c.由圖3很容易看出,雖然a-b=b?c,但a^c.(3)對于實數(shù)a、b、c有(a-b)c=a(b-c);但對于向量a、b、c,(a'b)c=a(b?c)不成立.這是因為(a?b)c表示一個與c共線的向量，而a(b?c)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線，所以(a-b)c=a(b'c)不成立.討論結(jié)果：①是數(shù)量，叫數(shù)量積.②數(shù)量積滿足a-b=b-a(交換律)；(入a)?b=入(a?b)=a?(入b)(數(shù)乘結(jié)合律);(a+b)-c=a-c+b-c(分配律).③(1)(a+b)2=(a+b)?(a+b)=a-b+a?b+b?a+b?b=a2+2a-b+b2;(2)(a+b)?(a-b)=a?a-a?b+b?a-b-b=a2-b2.提出問題①如何理解向量的投影與數(shù)量積它們與向量之間有什么關(guān)系②能用“投影”來解釋數(shù)量積的幾何意義嗎活動：教師引導(dǎo)學(xué)生來總結(jié)投影的概念，可以結(jié)合“探究”，讓學(xué)生用平面向量的數(shù)量積的定義，從數(shù)與形兩個角度進行探索研究.教師給出圖形并作結(jié)論性的總結(jié)，提出注意點“投影”的概念，如圖4.圖4定義:|b|cos9叫做向量b在a方向上的投影.并引導(dǎo)學(xué)生思考：10投影也是一個數(shù)量，不是向量；2當(dāng)9為銳角時投影為正值；當(dāng)9為鈍角時投影為負值；當(dāng)9為直角時投影為0;當(dāng)9=00時投影為|b|;當(dāng)9=180°時投影為-|b|.教師結(jié)合學(xué)生對“投影”的理解，讓學(xué)生總結(jié)出向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a-b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos0的乘積.讓學(xué)生思考：這個投影值可正、可負，也可為零，所以我們說向量的數(shù)量積的結(jié)果是一個實數(shù).教師和學(xué)生共同總結(jié)兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.°e?a=a-e=|a|cos0.a±ba-b=0.3°當(dāng)a與b同向時，a?b=|a||b|;當(dāng)a與b反向時，a-b=-|a||b|.特別地a-a=|a|2或|a|=.4°cos0=.5°|a-b|<|a||b|.上述性質(zhì)要求學(xué)生結(jié)合數(shù)量積的定義自己嘗試推證，教師給予必要的補充和提示，在推導(dǎo)過程中理解并記憶這些性質(zhì).討論結(jié)果：①略(見活動).②向量的數(shù)量積的幾何意義為數(shù)量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos0的乘積.(三)應(yīng)用示例思路1例1已知平面上三點A、B、C滿足||=2,||=1,||=,求?+?+的值.活動：教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的數(shù)量積并結(jié)合兩向量的夾角來求解，先分析題設(shè)然后找到所需條件.因為已知、、的長度，要求得兩兩之間的數(shù)量積，必須先求出兩兩之間的夾角.結(jié)合勾股定理可以注意到4A是直角三角形，然后可利用數(shù)形結(jié)合來求解結(jié)果.解：由已知,||2+||2=||2,所以4ABC是直角三角形.而且/ACB=90°,從而sin/ABC=,sin/BAC=./ABG60°,/BAC=30°.「?與的夾角為120°,與的夾角為90°,與的夾角為150°.故?+?+?=2X1Xcos120°+1Xcos90°+x2cos150°=-4.點評：確定兩個向量的夾角,應(yīng)先平移向量，使它們的起點相同，再考察其角的大小，而不是簡單地看成兩條線段的夾角，如例題中與的夾角是120°,而不是60°.變式訓(xùn)練已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為60°，求(a+2b)?(a-3b).解：(a+2b)-(a-3b)=a-a-a-b-6b?b=|a|2-a-b-6|b|2=|a|2-|a||b|cos9-6|b|2=62-6X4Xcos60°-6X42=-72.例2已知|a|=3,|b|=4,且a與b不共線，當(dāng)k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直解:a+kb與a-kb互相垂直的條件是(a+kb)?(a-kb)=0,即a2-k2b2=0..a2=32=9,b2=42=16,?.9-16k2=0.k=±.也就是說，當(dāng)k=±時，a+kb與a-kb互相垂直.點評:本題主要考查向量的數(shù)量積性質(zhì)中垂直的充要條件 .變式訓(xùn)練已知向量a、b滿足：a2=9,a-b=-12,求|b|的取值范圍.解：|a|2=a2=9,|a|=3.又:a?b=-12,.?.|a?b|=12..|a-b|<|a||b|,12<3|b|,|b|>4.故|b|的取值范圍是［4,+oo).思路2例1已知在四邊形ABCDF^,=a,=b,=c,=d,且a?b=c?d=b-c=d-a,試問四邊形ABCD勺形狀如何解：+++=0,即a+b+c+d=0,a+b=-(c+d).由上可得(a+b)2=(c+d)2,即a2+2a?b+b2=c2+2c?d+d2.又:a?b=c-d,故a2+b2=c2+d2.同理可得a2+d2=b2+c2.由上兩式可得a2=c2,且b2=d2,即|a|=|c|,且|b|=|d|,也即AB=CD旦BC=DA,???ABC比平行四邊形.故二,即a=-c.又a-b=b-c=-a-b,即a?b=0,..a±b,即±.綜上所述,ABCD^^!形.點評:本題考查的是向量數(shù)量積的性質(zhì)應(yīng)用，利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)垂直問題，然后結(jié)合四邊形的特點進而判斷四邊形的形狀.例2已知a,b是兩個非零向量，且|a|-|b|=|a+b|,求向量b與a-b的夾角.活動：教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量減法的平行四邊形法則，畫出以a,b為鄰邊的ABCD若=a,=b,貝U=a+b,=a-b.由|a|-|b|=|a+b|,可知/ABG60°,b與所成角是150°.我們還可以利用數(shù)量積的運算，得出向量b與a-b的夾角，為了鞏固數(shù)量積的有關(guān)知識，我們采用另外一種角度來思考問題，教師給予必要的點撥和指導(dǎo)，即由cos<b,a-b>=作為切入點，進行求解.解：|b|=|a+b|,|b|=|a|, b2=(a+b)2.?.|b|2=|a|2+2a-b+|b|2.a-b=-|b|2.而b-(a-b)=b-a-b2=|b|2-|b|2=|b|2,①由(a-b)2=a2-2a?b+b2=|b|2-2X()|b|2+|b|2=3|b|2,而|a-b|2=(a-b)2=3|b|2,.?.|a-b|=3|b|.②:cos〈b,a-b>=代入①②，得cos〈b,a-b〉=-.又:<b,a-b>C[0,",.二〈b,a-b>=.點評:本題考查的是利用平面向量的數(shù)量積解決有關(guān)夾角問題，解完后教師及時引導(dǎo)學(xué)生對本解法進行反思、總結(jié)、體會.變式訓(xùn)練設(shè)向量c=ma+nb(m,n€B,已知|a|=2,|c|=4,a±c,b-c=-4,且b與c的夾角為120°,求m,n的值.解：■,a±c,a'c=0.又c=ma+nb,,c-c=(ma+nb)-c,即|c|2=ma?c+nb?c.|c|2=nb-c.由已知|c|2=16,b-c=-4,??16=-4n...n=-4.從而c=ma-4b.b?c=|b||c|cos1200二-4,.?.|b|?4?(尸-4...|b|=2.由c=ma-4b,得a-c=ma2-4a-b