2023屆高考數(shù)學(xué)專題(指數(shù)函數(shù))練習(xí)題型一指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用1.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，(x)=x"與g(x)=尸在［0,+功上的圖象可能是().A.a<b<\<c<dB.b<a<\<d<cC.\<a<b<c<dD.a<b<\<d<c.當(dāng)a>0且awl時(shí)，函數(shù)= -1的圖象一定過點(diǎn)A.(0,1) B.(0,-1) C.(-1,0) D.(1,0).已知‘幕函數(shù)g(x)=(2a-l)x"+2的圖象過函數(shù)〃x)=32*的圖象所經(jīng)過的定點(diǎn)，則6的值等于A.-2 B.1 C.2 D.4.函數(shù)尸2、與嚴(yán)(g)x關(guān)于對(duì)稱A.無軸 B.y軸C.y=x D.原點(diǎn).函數(shù)丁=》+。與^=優(yōu)，其中〃>0,且k1,它們的大致圖象在同一直角坐標(biāo)系中有可能是().如圖所示，面積為8的平行四邊形0/18。的對(duì)角線ZClCO,ZC與80交于點(diǎn)￡若指數(shù)函數(shù)y=a*(a>0且aH1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E,B,則a等于()A.yj2B.A.yj2B.小.若關(guān)于x的不等式4al<3x-4(a>0,且ar1)對(duì)于任意的x>2恒成立，則。的取值范圍為.已知函數(shù)/(x)=2，.(1)試求函數(shù)尸(x)=〃x)+4(2x),xe(-a>,0］的最大值;(2)若存在xe(-8,0),使|4(x)-/(2刈>1成立，試求。的取值范圍:(3)當(dāng)。>0,且xe[0,15]時(shí)，不等式〃x+l)4/[(2x+a)2]恒成立，求。的取值范圍.題型二指數(shù)函數(shù)的定義域與值域_7r<1.函數(shù)y= ，的值域是()[3-2,x>1A.(-2,-1) B.(-2,+qo)C.(-oo,-l] D.(-2,-1].已知/(x)=3~(24x44,b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,1),則〃x)的值域?yàn)?)A.[9,81] B.[3,9] C.[1,9] D.口,+功.已知f(x)=x(亍，+g).(1)求函數(shù)/(x)的定義域：(2)判斷〃x)的奇偶性，并說明理由；(3)證明/(x)>0.z.\x^-2x-3.求函數(shù)g的定義域、值域:.設(shè)函數(shù)/(x)=a2"-2T(aeR)3(1)若函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)g(x)=〃x)+],求滿足g(x0)=0的X。的值;(2)若函數(shù)6(x)=/(x)+4'+2r在xe[0,l]的最大值為_2,求實(shí)數(shù)a的值.題型三指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

.若函數(shù)/(x)=:6二一單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()［a,x>7A.43) B.［川 C.(1,3) D.(2,3).對(duì)于函數(shù)/(x)的定義域中任意的知》2(x尸》2)，有如下結(jié)論:當(dāng)f(x)=2、時(shí)，上述結(jié)論正確的是()A./(x,+x2)=/(xl)-/(x2) B./(X/X2)=/(X1)+/(X2)C/(芭)一/52),o Dz-fx.+x^；/(x,)+/(x2),占-W I2J2.已知函數(shù)/(》)=邛匚是定義在&上的奇函數(shù).(1)求。的值；(2)判斷并證明函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并利用結(jié)論解不等式：/(x2-2x)+/(3x-2)<0;(3)是否存在實(shí)數(shù)%,使得函數(shù)/(x)在區(qū)間［見〃］上的取值范圍是卷卷?若存在，求出實(shí)數(shù)k的取已知函數(shù)〃x)已知函數(shù)〃x)=4.(1)若a=-l,求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若/(x)有最大值3,求a的值；(3)若〃x)的值域是(0，+8),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.題型四指數(shù)函數(shù)的最值問題.若指數(shù)函數(shù)歹=/在區(qū)間~1,1］上的最大值和最小值的和為則。的值可能是().

A.2B.2_2A.2B.2_2C.3D..已知函數(shù)/(x)=a*(a>O,axl),且/(x)在區(qū)間［1,2］上的最大值比最小值大2.(1)求。的值：(2)若函數(shù)y=/(2x)+/(-2x)+2加［/(x)-/(-x)］在區(qū)間［l,+g)的最小值是_2,求實(shí)數(shù)膽的值..已知函數(shù)y=4"T_2'+|+5，xe［0,2］.(1)求函數(shù)在［0,2］上的單增區(qū)間；(2)求函數(shù)在［0,2］上的最大值和最小值.函數(shù)/(x)=2、-/是奇函數(shù).(1)求〃x)的解析式；(2)當(dāng)x?0,+8)時(shí)，恒成立，求m的取值范圍..已知函數(shù)/(x)=，t(xN0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,；),其中。>0且awl.則。=；函數(shù)y=/(x)+l(x20)的值域?yàn)?答案解析題型一指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)/(x)=x"與8(》)=4在［0,+8)上的圖象可能是().【答案】A【解析】f(x)=x"為幕函數(shù)，g(x)=ar=(1)、為指數(shù)函數(shù)g(x)=/、=(，)*過定點(diǎn)(0,1),可知0<1<1,/卜)=/的圖象符合，故可能.g(x)=aT=d『過定點(diǎn)(0,1),可知0<工<1,.?s>1,f(x)=x"的圖象不符合，故不可能.a ag(x)=a-'=d『過定點(diǎn)(0,1),可知1>1,..Ovavl,/(X)=x"的圖象不符合，故不可能.a aD.圖象中無幕函數(shù)圖象，故不可能.故選：A.如圖是指數(shù)函數(shù)①尸a*：?y=bx;?y=c；④產(chǎn)不的圖象，則a,b,c,d與1的大小關(guān)系是()A.a<b<\<c<dB.b<a<\<d<cC.\<a<b<c<dD.a<b<\<d<c【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)圖象"J知函數(shù)。y=a"; 為減函數(shù)，且x=l時(shí)，。.尸尸〈。.尸〃1,所以b<a<l,根據(jù)函數(shù)圖象可知函數(shù)。尸④尸/為增函數(shù)，且x=l時(shí)，?y=c'>?y=d',所以c>d>1故選：B.當(dāng)a>0且awl時(shí)，函數(shù)/(x)=/“-l的圖象一定過點(diǎn)A.(0,1) B.(0,-1) C.(-1,0) D.(1,0)【答案】C【解析】函數(shù)〃x)=a"'T,當(dāng)x=-l時(shí)，/(-D=0

故函數(shù)圖像過點(diǎn)（7,0）故選C.已知事函數(shù)g（x）=（2"l）x"+2的圖象過函數(shù)/（x）=32，+6的圖象所經(jīng)過的定點(diǎn)，則b的值等于A.-2 B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】函數(shù)g（x）=（2a-l）/2為幕函數(shù)，則：2a-l=0,.-.a=^,函數(shù)的解析式為：=式函數(shù)過定點(diǎn)（U）,函數(shù)/（力=32"，中，當(dāng)2x+6=0時(shí)，函數(shù)過定點(diǎn)1/I）,據(jù)此可得：-g=l,.?=-2.本題選擇A選項(xiàng).5.函數(shù)尸2“與尸（；）”關(guān)于對(duì)稱A.工軸 B.>軸C.y=x D.原點(diǎn)【答案】B【解析】函數(shù)產(chǎn)（1）=2'\與函數(shù)產(chǎn)2、的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故選B..函數(shù)y=X+a與y=",其中。>0,且它們的大致圖象在同一直角坐標(biāo)系中有可能是（）【答案】D【解析】Ta>。，則y=x+a單調(diào)遞增，故排除AC；時(shí)于BD,y=a、單調(diào)遞減，則0<a<1,,V=x+a與），軸交于0和1之間，故排除B.故選：D..如圖所示，面積為8的平行四邊形ON8C的對(duì)角線4cLeO,ZC與8。交于點(diǎn)￡.若指數(shù)函數(shù)y=a，（a>0且aw1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)E,8,則。等于()【答案】AQ 4 8【解析】設(shè)點(diǎn)。(0,⑼(機(jī)>0),則由已知可得4(2,〃7),E(一,旭),8(—,2⑼，m m m‘色m=am???(!)乂因?yàn)辄c(diǎn)E,8在指數(shù)函數(shù)的圖象匕所以J學(xué)，2m=am???(2)(1)式兩邊平方得……⑶(2)(3)聯(lián)立,得/-2加=0,所以機(jī)=0(舍去)或刑=2,所以〃=&.故選：A..若關(guān)于x的不等式<3x-4(?>0,且。工1)對(duì)于任意的x>2恒成立，則。的取值范圍為.【答案】(o，g【解析】不等式4al<3x-4等價(jià)于。-<^-\t4, 3令f(x)=a'T,g(x)=-x-l,當(dāng)a>l時(shí)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，如圖1所示，由圖知不滿足條件；當(dāng)0<。<1時(shí)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖像,圖2如圖2所示,則/(2)Wg(2),3 1 (1即/?故。的取值范圍是。,5故答案為：(o,g..已知函數(shù)/(x)=2”.(1)試求函數(shù)尸(x)=/(x)+4(2x),xe(-oo,0]的最大值；(2)若存在xe(-s,0),使依(x)-/(2x)|>l成立，試求a的取值范圍；(3)當(dāng)a>0,且xe[0,15]時(shí)，不等式/。+1)4/[(2*+°)2]恒成立，求。的取值范圍.47+1,47> 2(2)a<0,或。>2；(3)(2)a<0,或。>2；(3)a>\. M<——14a 2【解析】解：(1)vxe(-oo,0],F{x)=/(x)+af(2x)=2x+a-4x,令2』,(0<?<1),即有/口)=〃2+1,當(dāng)a=0時(shí)，尸(x)有最大值為1：當(dāng)afO時(shí)，對(duì)稱軸為，=-；,討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，2a若々>】，即-g<a<0,F(x)g=F(l)=a+l；TOC\o"1-5"\h\z若0<-；41，即a4-：,尸(x)2=尸(-4)=一；；Za 2 la4。若一上<0,即。>0,尸儀口取=尸⑴=a+1.2a?1a+ >—, 2綜上可得，尸(x)g= 1 ,a<——4a2(2)令2"=t，則存在晚(0，1)使得卜-聞>1,所以存在，e(OJ)使得/-at>l.或r<-1.即存在，w(O,l)使得“四或。?+；)加“，...avO,或a>2；(3)由/(x+l)4/[(2x+a)2]得x+14(2x+a>恒成立因?yàn)椤?gt;0,旦x?0，15],所以問題即為J77T42x+a恒成立，(-2x+在用g.設(shè)相(x)=-2x+Jx+l令&+1=t,則x=J-1"w[1,4],, 1-17/.〃?(/)=-2(/—1)+f=—2(z——)~+ .所以，當(dāng)￡=1時(shí)，加(x)g=l，「.〃之1.題型二指數(shù)函數(shù)的定義域與值域i.函數(shù)"—的值域是()13-2,x>1A.(-2,-1) B.(-2,+oo)C. D.(-2,-1]【答案】D【解析】當(dāng)x41時(shí)，函數(shù)y=3i-2單調(diào)遞增，因?yàn)閤-IWO,則0<3-41,所以，-2<31-24-1,此時(shí)，函數(shù)y=3i-2的值域?yàn)?-2,-1]；當(dāng)x>l時(shí)，函數(shù)y=3i-2=(；)-2單調(diào)遞減，因?yàn)閤-l>0,則0<(g)<1.所以，一2<(1)-2<-1,此時(shí)，函數(shù)y=3--2的值域?yàn)?-2,-1).綜上所述，函數(shù)y=[:二一：的值域是(-2,-1].13—2,x>1故選：D..已知/(x)=3i(24x44,b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,1),則/(x)的值域?yàn)?)A.[9,81] B.[3,9] C.[1,9] D.[1,+8)【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=3i的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,1),則〃2)=32-=1,所以，b=2,則/(x)=3i,因?yàn)楹瘮?shù)/何=3，-2在[2,4]上為增函數(shù)，當(dāng)24x44時(shí),/(2)</(x)</(4),gpi</(x)<9.故選：C..已知/(x)=x(白+；)(1)求函數(shù)/(x)的定義域；(2)判斷〃x)的奇偶性，并說明理由；(3)證明/(x)>0.【答案】⑴(f,0)5。，+00)；⑵/(x)為偶函數(shù)，理由見解析；(3)證明見解析.【解析】(I)由2,-lw0，得2\1，即XH0.函數(shù)/(X)= +的定義域是{x\xx0}:—I2.)(2)函數(shù)y=/(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，(2)函數(shù)y=/(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，〃x)=x112x-l+2x（2x+l）2（2V-1）'7 \=/（X），2（2r-l）所以，函數(shù)/(X)=X-"為偶函數(shù);Z—12.J-x（2-*+1）-x-2'（2-r+l）-x（l+2x）x（l+2J）-x2（2-"-1）-2-2'（2^-1）-2（1-2V）x（2'+l））o2（2X-1）x（2'+l））o2（2X-1）,4.求函數(shù)y=x2—的定義域、值域:（3）當(dāng)x>0時(shí)，2x-l>0.2t+l>0.則/（x）由于函數(shù)N=/(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,則/(x)=/(-x)>0.【答案】答案見詳解【解析】函數(shù)定義域?yàn)镠-x2-2x-3=(x-1)2-4>-4x2-2x-3..函數(shù)y的值域?yàn)椋?,16]綜上，知：函數(shù)定義域、值域分別為M(0,16]5.設(shè)函數(shù)/（x）=a-2*-2-、（aeR）, 3 (1)若函數(shù)夕=/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)g(x)=/(x)+；,求滿足g(x°)=o的％的值:(2)若函數(shù)/i(x)=〃x)+4，+2T在x€[0,l]的最大值為-2,求實(shí)數(shù)a的值.【答案】(1)-1；(2)-3.【解析】(1)：〃x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,/（-x）+/（x）=0,a-2x-2'+a-2x-2X=0,即（a-+2,=0,所以a=l；3令g（x）=2、_2-*+3=0,則2.（2'）2+3.（2*）-2=0,（2"+2）（2-2x-l）=0,又2、>0,x=-l所以滿足g（x（））=0的％的值為%=-1.（2）A（x）=a-2x-2-jr+4jr+2-Jt,xe[0,l],

令2』e[1,2],h(x)=H(t)=t2+aZJe[l,2].①當(dāng)1—/4萬，即—3時(shí),，2?)=42)=4+2。=-2,a=—3；O''i-->—.即a<-3時(shí)，22a=-3（舍）：綜上：實(shí)數(shù)a的值為-3.題型三指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性1.若函數(shù)/（》）=【（：:""13""7單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）[a,x>7A.件3） B.加 C.（U） D.（2,3）【答案】B【解析】解一??函數(shù)= 丁*I*，，單調(diào)遞增，\a,x>7—a>0,，9>1 解得一Va<34（3-a）x7-3<a所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是；,3）.故選：B.2.對(duì)于函數(shù)/（x）的定義域中任意的王,%（占XX2），有如下結(jié)論:當(dāng)/（力=2、時(shí)，上述結(jié)論正確的是（）A./（x1+x2）=/（x1）/（x2） B.〃占多）=/（占）+小2）C“演）一/仇））0 D.戶…]J（xJ+/x2）xi~x2 \2J 2【答案】ACD【解析】對(duì)于A,/(再+々)=2』+0,/(x,)/(x2)=2x'-2^=2x'^,f(xi+x2)=f(xl)-f(x2),正確;對(duì)于B,f(x]-x2)=2x,X!,/(xi)+/(x2)=21'+2Xj,/(xlx2)#/(x,)+/(x2),錯(cuò)誤;對(duì)于C,???/（x）=2,在定義域中單調(diào)遞增，㈤>0,正確:X]-x2對(duì)于D,對(duì)于D,/（后三）=2堂=4扣"+2、卜=?。?（%）又…,則/（詈卜/㈤了㈤,正確;故選：ACD3.已知函數(shù)= 是定義在H上的奇函數(shù).(1)求。的值；(2)判斷并證明函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并利用結(jié)論解不等式：/(x2-2x)+/(3x-2)<0;(3)是否存在實(shí)數(shù)無，使得函數(shù)，(x)在區(qū)間［機(jī),〃］上的取值范圍是5?若存在，求出實(shí)數(shù)上的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)?=1；(2)/(X)是K上的增函數(shù)，證明見解析：-2<x<l：(3)存在：實(shí)數(shù)上的取值范圍是(-3+272,0).【解析】解：(1)???/(x)="口是定義在汽上的奇函數(shù)，''4'+1.??/(0)=0,從而得出a=l,IIri\ \4'—14'—1時(shí)/(x)+/(r)=bAW\a=1；〃x)是式上的增函數(shù)，證明如下:設(shè)任意士,X2eR且毛，小)-小)?品H「品)2 2 2(411-4"2)4%+14*+1(4*+1)(4$+1)'x,<x2, 4V,<4-，4*+1>0,4-+1>0,.??/(x)是在(-<?,+?>)上是單調(diào)增函數(shù).v/(x2-2x)+/(3x-2)<0,乂是定義在R上的奇函數(shù)且在(f，+°°)上單調(diào)遞增，,-./(x2-2x)</(2-3x),_2x<2_3x,t,><x<1；(3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)人,使之滿足題意，由(2)可得函數(shù)“X)在［機(jī),〃］上單調(diào)遞增，TOC\o"1-5"\h\z、 k ［4?-l k"\ k ' |4"-1 kI 4〃 口"+1 4〃???”，，〃為方程3=與的兩個(gè)根，即方程3=V行兩個(gè)不等的實(shí)根,4+14 4+14令4，=f>0,即方程/-(1+4)"a=0有兩個(gè)不等的正根，于是有4-(1+6]>0且-%>0且[-(1+初2-4(-左)>0,解得：-3+2y/2<k<0-???存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)/(x)隹[肛〃]I二的取值范圍是親,并目.’實(shí)數(shù)％的取值范圍是”+2&,0144.已知函數(shù)/(x)(1)若0=-1,求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若〃x)有最大值3,求。的值；(3)若/(x)的值域是(0,+8),求實(shí)數(shù)。的取值范圍.【答案】(D單調(diào)增區(qū)間是(-22),單調(diào)減區(qū)間是(口，-2)；；(2)1；(3)0./[x—x^—4x+3【解析】解：⑴當(dāng)。=一1時(shí)，/(x)=1 ,令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,則g(x)在(y,-2)上單調(diào)遞增，在(-2,+功上單調(diào)遞減，而y=(；)在/?上單調(diào)遞減，所以/(x)在(-oo,-2)上單調(diào)遞減，在(-2,內(nèi))上單調(diào)遞增，即函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-2,+ao),單調(diào)減區(qū)間是(-8,-2):(2)令〃(x)=ax2-4x+3,/(x)=(g),由于/(x)有最大值3,所以Mx)有最小值-1,a>0因此必有,3a-4 ,.解得a=l, =—1a即當(dāng)/(X)有最大值3時(shí)，實(shí)數(shù)a的值為1；(3)在(2)基礎(chǔ)上，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使丁=卜)的值域?yàn)?。，+8)，應(yīng)使〃(x)=ax2-4x+3的值域?yàn)榉惨驗(yàn)槎魏瘮?shù)的值域不可能為R,所以a=0.題型四指數(shù)函數(shù)的最值問題5.若指數(shù)函數(shù)y=a"在區(qū)間上的最大值和最小值的和為1,則。的值可能是().A.2 B.v C.3 D.-3【答案】AB【解析】設(shè)f(x)=ax,當(dāng)。>1時(shí)，指數(shù)函數(shù)八口=。'單調(diào)遞增，所以在區(qū)間［T1］上的最大值V加=/(1)=。，最小值乂=/(T)=L所以aa+-=^>求得a=2或者a=!(舍)；a2 2當(dāng)0<a<l時(shí)，指數(shù)函數(shù)/(x)=a*單調(diào)遞減，所以在區(qū)間［7,1］上的最大值為1K=/(-l)=L最小值為m=/(l)=%a所以“+ 求得。=2(舍)或者a=：.a2 2綜上所述：a=2或者a=g.故選：AB.已知函數(shù)/(x)=a*(a>O,axl), 在區(qū)間［1,2］上的最大值比最小值大2.(1)求。的位；(2)若函數(shù)y=/(2x)+/(-2x)+2磯/(x)-/(-x)］在區(qū)間［1,+8)的最小值是_2,求實(shí)數(shù)機(jī)的值.【答案】(1)a=2；(2)m=-2.【解析】(1)當(dāng)。>1時(shí)，函數(shù)/(x)=〃在區(qū)間［L2］上單調(diào)遞增，則該函數(shù)的最大值為/(x)a=/(2)=a2,最小值為/a%”=/(1)=?，由題意得/-a=2,解得a=2,或。=-1(舍去)；當(dāng)0<”1時(shí)，函數(shù)/(》)="在區(qū)間［L2］上單調(diào)遞減，則該函數(shù)的最大值為/(x)a=/⑴=。，最小值為/(x)m,n=/(2)=a2,由題意得a-/=2，即/-a+2=o,該方程無實(shí)數(shù)解.綜上a=2；(2)函數(shù)y=f(2x)+/(-2x)+2刑［/(x)-f(-x)］=22*+2-"+2M2*-2-，),令g(x)=2'-2、xe［l,+oo),任取X|>X2Z1,因g(xJ_g(、2)=(2"-2f)-(2^-2f)=(2"-2-)+(2—-2f),?,X,>x2,所以-X2>-X|,有2』>2*2，2f>2f，所以g(xj>g(xz).則函數(shù)y=g(x)在［L+00)上單調(diào)遞增，teg(x)>g(i)=-|.令g(x)=f,因此，年萬，所以問題轉(zhuǎn)化為：函數(shù)力(/)="+2皿+2在*+8)上有最小值-2,求實(shí)數(shù)〃，的值.因人(。=+2-〃/，對(duì)稱軸方程為，=一用,當(dāng)-加41時(shí)，即當(dāng)m2-1時(shí)，函數(shù)_y=M「)在］,+8)上單調(diào)遞增，幺 L l_Z)(3、 17 17 7S \故"Dmin="5|=3機(jī)+7'^|3W+—=-2,解得m=一不與m2-弓矛盾；當(dāng)-加>1時(shí)，即當(dāng)機(jī)<-|時(shí)，A(/)