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文檔簡介
§3.2齊次線性方程組
第三章線性方程組
§3.2齊次線性方程組
齊次線性方程組a11x1+a12x2+…+a1nxn=0
a21x1+a22x2+…a2nxn=0
…am1x1+am2x2+…+amnxn=0零解/平凡解,非零解/非平凡解§3.2齊次線性方程組
第三章線性方程組
一.齊次線性方程組有非零解的條件(P.92-93)
定理3.1.
Asn
x=0有非零解r(A)<n例.當
取何值時,齊次線性方程組推論3.1.
若s<n,則Asn
x=0有非零解推論3.2.
Ann
x=0有非零解|A|=0有非零解?x1+
x2+x3
=0x1+x2+x3=0
x1+x2
+
x3=0§3.2齊次線性方程組
第三章線性方程組
二.齊次線性方程組解的性質
A
=0A(k)=k(A)=0.性質1.若,都是Ax
=0的解向量,則+也是Ax
=0的解向量.A
=0,A
=0A(+)=A+A=0.性質2.若是Ax
=0的解向量,kR,則k也是Ax=0的解向量.綜上所述,若,都是Ax
=0的解向量,k1,k2R,則k1
+k2也是Ax
=0的解向量.§3.2齊次線性方程組
第三章線性方程組
V={Rn|A
=0}Ax
=0的解集構成一個向量空間
——Ax
=0的解空間.三.基礎解系
齊次線性方程組Ax=0的解空間的基稱為該齊次線性方程組的基礎解系.若1,2,…,s是Ax
=0的一個基礎解系,則Ax=0的任何一個解就可以表示成
=k11+k22+…+kss其中k1,k2,…,ks為常數.基礎解系的組合§3.2齊次線性方程組
第三章線性方程組
定理3.2.(P.94)設ARsn
,秩(A)=
r.
若r<n,則Ax
=0有基礎解系,且任一基礎解系均含有nr
個解向量.x1=c1,r+1xr+1
+c1,r+2xr+2
+…+c1nxn
x2=c2,r+1xr+1
+c2,r+2xr+2
+…+c2nxn
………xr=cr,r+1xr+1
+cr,r+2xr+2
+…+crnxn
xr+1=
xr+1
xr+2=
xr+2
xn=
xn
………§3.2齊次線性方程組
第三章線性方程組
=xr+1
+xr+2
+…+xn
x1
x2
…xr
xr+1xr+2
…xn
c1,r+1
c2,r+1
…cr,r+1
10…0c1,r+2
c2,r+2
…cr,r+2
01…0c1n
c2n
…crn
00…1定理3.2§3.2齊次線性方程組
第三章線性方程組
定理3.2.1=,c1,r+1
c2,r+1
…cr,r+1
10…0c1,r+2
c2,r+2
…cr,r+2
01…0c1n
c2n
…crn
00…12=,nr=.§3.2齊次線性方程組
第三章線性方程組
例.求的基礎解系與一般解.解:初等行變換該方程組的基礎解系可取為一般解為§3.2齊次線性方程組
第三章線性方程組
比較:初等行變換該方程組的基礎解系可取為一般解為故原方程組化為§3.2齊次線性方程組
第三章線性方程組
性質:與Ax
=0的基礎解系等價的線性無
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