中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)A6.3.3多元函數(shù)的極值6.3.4條件極值—拉格朗日乘數(shù)法

6.3多元函數(shù)微分的應(yīng)用

第6章多元函數(shù)微分學(xué)中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)A6.3.36.3.3多元函數(shù)的極值6.3多元函數(shù)微分的應(yīng)用

二元函數(shù)極值的定義極值存在的必要、充分條件

求函數(shù)極值的步驟與習(xí)例1-3多元函數(shù)的最值問(wèn)題多元函數(shù)的最值問(wèn)題習(xí)例4-76.3.4條件極值—Lagrange乘數(shù)法則

條件極值Lagrange乘數(shù)法Lagrange乘數(shù)法習(xí)例8-12

小結(jié)思考題多元函數(shù)的極值與條件極值—Lagrange乘數(shù)法

6.3.3多元函數(shù)的極值6.3多元函數(shù)微分的應(yīng)用二元函一、多元函數(shù)的極值1.二元函數(shù)極值的定義極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.若引進(jìn)點(diǎn)函數(shù),則一、多元函數(shù)的極值1.二元函數(shù)極值的定義極大值與極小值(1)(2)(3)(1)(2)(3)2.極值存在的必要條件和充分條件定理1（極值存在的必要條件）證2.極值存在的必要條件和充分條件定理1（極值存在的必要條件注意:(4)駐點(diǎn)極值點(diǎn)（可偏導(dǎo)函數(shù)）注意:(4)駐點(diǎn)極值點(diǎn)（可偏導(dǎo)函數(shù)）定理2（極值存在的充分條件）定理2（極值存在的充分條件）證:由二元函數(shù)的泰勒公式,并注意則有所以證:由二元函數(shù)的泰勒公式,并注意則有所以其中,,是當(dāng)h→0,k→0時(shí)的無(wú)窮小量,于是(1)當(dāng)B2－

AC

<0時(shí),必有A≠0,且A與C同號(hào),可見,從而△z＞0,因此其中,,是當(dāng)h→0,k→0時(shí)的無(wú)窮從而△z＜0,(2)當(dāng)B2－

AC

>0時(shí),若A,C不全為零,無(wú)妨設(shè)A≠0,則時(shí),有異號(hào);同號(hào).可見△z在(x0,y0)鄰近有正有負(fù),從而△z＜0,(2)當(dāng)B2－AC>0時(shí),若A++－若A＝C

＝0,則必有B≠0,不妨設(shè)B＞0,此時(shí)可見△z在(x0,y0)鄰近有正有負(fù),(3)當(dāng)AC－B2＝0時(shí),若A≠0,則若A＝0,則B＝0,為零或非零++－若A＝C＝0,則必有B≠0,不妨設(shè)B＞0此時(shí)因此,不能斷定(x0,y0)是否為極值點(diǎn).此時(shí)因此,不能斷定(x0,y0)是否為極值點(diǎn).3.求函數(shù)極值的步驟與習(xí)例3.求函數(shù)極值的步驟與習(xí)例例4.設(shè)f(x,y)=2x2-3xy2+y4,求它的極值例4.設(shè)f(x,y)=2x2-3xy2+y4,解解高等數(shù)學(xué)A第6章多元函數(shù)微分學(xué)9-10(多元函數(shù)的極值-條件極值—拉格朗日乘數(shù)法則)課件解解高等數(shù)學(xué)A第6章多元函數(shù)微分學(xué)9-10(多元函數(shù)的極值-條件極值—拉格朗日乘數(shù)法則)課件高等數(shù)學(xué)A第6章多元函數(shù)微分學(xué)9-10(多元函數(shù)的極值-條件極值—拉格朗日乘數(shù)法則)課件解

顯然(0,0)都是它們的駐點(diǎn),在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負(fù)0并且在(0,0)都有可能為解顯然(0,0)都是它們的駐點(diǎn),在(0,0)點(diǎn)鄰域例4.設(shè)f(x,y)=2x2-3xy2+y4,求它的極值解：先求有A=fxx(0

,0)=4,B=fxy(0

,0)=0,由定理2不能判斷M點(diǎn)是否為極值點(diǎn),但是當(dāng)(x,y)≠(0,0)

,因?yàn)閒(x,y)–f(0,0)=

2x2–3xy2+y4=(2x–y2)(x–y2)C=fyy(0

,0)=0,當(dāng)x<0時(shí),f(x,y)>f(0,0);當(dāng)y2/2

<x<y2時(shí),f(x,y)<f(0,0).所以，f(x,y)沒(méi)有極值.x=y2x=y2/2＋＋－－例4.設(shè)f(x,y)=2x2-3xy2+y4,二、多元函數(shù)的最值問(wèn)題(1)閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值:將函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值與在D的邊界上的函數(shù)值相互比較，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.(2)實(shí)際問(wèn)題則根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)判斷,若問(wèn)題存在最值，且只有唯一一個(gè)駐點(diǎn)，則該駐點(diǎn)必為所求的最值點(diǎn).1.多元函數(shù)的最值問(wèn)題二、多元函數(shù)的最值問(wèn)題(1)閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值2.多元函數(shù)的最值問(wèn)題習(xí)例例7

把一個(gè)正數(shù)a表為三個(gè)正數(shù)之和,使其乘積最大,求這三個(gè)數(shù).例6

有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板,把它折起來(lái)做成

一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,問(wèn)怎樣折法才能使

斷面面積最大.

例5.某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2的有蓋長(zhǎng)方體水問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?2.多元函數(shù)的最值問(wèn)題習(xí)例例7把一個(gè)正數(shù)a表為三個(gè)正數(shù)之解解例5.解:設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為時(shí),水箱所用材料最省.例5.解:設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為x,ym,則高為則水解

設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為xcm,則斷面面積x24傾角為

,為例6有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板,把它折起來(lái)做成一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,問(wèn)怎樣折法才能使斷面面積最大.

解設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為xcm,則斷面面積x24傾角為令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達(dá)到,而在域D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達(dá)到,而在域D內(nèi)只有解例7

把一個(gè)正數(shù)a表為三個(gè)正數(shù)之和,使其乘積最大,求這三個(gè)數(shù).解例7把一個(gè)正數(shù)a表為三個(gè)正數(shù)之和,使其乘積最大,三、條件極值和Lagrange乘數(shù)法1.條件極值自變量除了受其定義域限制外還有別的條件限制，這種情況下的極值稱為條件極值.相應(yīng)地，前面討論的極值稱為無(wú)條件極值.條件極值與無(wú)條件極值的區(qū)別和聯(lián)系，例如三、條件極值和Lagrange乘數(shù)法1.條件極值自變量除了解(1)顯然函數(shù)在（0，0）點(diǎn)處取得極小值.可見，兩種極值不同，但條件極值可轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值來(lái)求，稱為“降元法”；并非所有條件極值都能用“降元法”解，為此必須介紹新的方法.解(1)顯然函數(shù)在（0，0）點(diǎn)處取得極小值.可見，兩種極值2.Lagrage乘數(shù)法說(shuō)明F(x,y,)的可能極值點(diǎn)為上述方程組確定的(x,y).2.Lagrage乘數(shù)法說(shuō)明F(x,y,)的可能極值注意:(1)Lagrange乘數(shù)法:解出(x,y)即為可能極值點(diǎn).判斷是否為極值點(diǎn)通常由實(shí)際問(wèn)題來(lái)定.注意:(1)Lagrange乘數(shù)法:解出(x,y)即為解出(x,y,z)即為可能極值點(diǎn).解出(x,y,z)即為可能極值點(diǎn).3.Lagrane乘數(shù)法習(xí)例3.Lagrane乘數(shù)法習(xí)例例11三個(gè)正數(shù)的倒數(shù)和為1，求使三個(gè)正數(shù)和為最小的三個(gè)正數(shù).例11三個(gè)正數(shù)的倒數(shù)和為1，求使三個(gè)正數(shù)和為最則問(wèn)題為求x,y,令解方程組解

設(shè)x,y,z分別表示長(zhǎng)、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件則問(wèn)題為求x,y,令解方程組解設(shè)x,y,得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的2倍時(shí)，所用材料最省.因此,當(dāng)高為思考:1)當(dāng)水箱封閉時(shí),長(zhǎng)、寬、高的尺寸如何?提示:利用對(duì)稱性可知,2)當(dāng)開口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí),欲使造價(jià)最省,應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)?長(zhǎng)、寬、高尺寸如何?提示:長(zhǎng)、寬、高尺寸相等.得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的2倍解

設(shè)為拋物面上任一點(diǎn)，則P

的距離為問(wèn)題歸結(jié)為約束條件:目標(biāo)函數(shù):作拉氏函數(shù)到平面解設(shè)為拋物面上任一點(diǎn)，則P的距離為問(wèn)題歸結(jié)為約束條令解此方程組得唯一駐點(diǎn)由實(shí)際意義最小值存在,故令解此方程組得唯一駐點(diǎn)由實(shí)際意義最小值存在,故解解高等數(shù)學(xué)A第6章多元函數(shù)微分學(xué)9-10(多元函數(shù)的極值-條件極值—拉格朗日乘數(shù)法則)課件解例11三個(gè)正數(shù)的倒數(shù)和為1，求使三個(gè)正數(shù)和為最小的三個(gè)正數(shù).解例11三個(gè)正數(shù)的倒數(shù)和為1，求使三個(gè)正數(shù)和為最高等數(shù)學(xué)A第6章多元函數(shù)微分學(xué)9-10(多元函數(shù)的極值-條件極值—拉格朗日乘數(shù)法則)課件解解高等數(shù)學(xué)A第6章多元函數(shù)微分學(xué)9-10(多元函數(shù)的極值-條件極值—拉格朗日乘數(shù)法則)課件四面體體積最小.四面體體積最小.1.函數(shù)的極值問(wèn)題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步利用充分條件(僅限二元函數(shù)）判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).如對(duì)二元函數(shù)內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問(wèn)題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)2.函數(shù)的最值問(wèn)題3.函數(shù)的條件極值問(wèn)題(1)簡(jiǎn)單問(wèn)題用代入法(2)一般問(wèn)題用拉格朗日乘數(shù)法第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組在條件求駐點(diǎn).設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組在條件求駐點(diǎn).已知平面上兩定點(diǎn)A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點(diǎn)C,使△ABC面積S△最大.解答提示:設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),思考與練習(xí)則已知平面上兩定點(diǎn)A(1,3),B(4,2設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面積而比較可知,點(diǎn)C與E重合時(shí),三角形面積最大.設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面積而比較可知,點(diǎn)C與6求函數(shù)在內(nèi)的最大值與最小值。D如圖,解教材習(xí)題詳解6求函數(shù)7.在xoy面上求一點(diǎn)，使它到三直線的距離平方和為最小。解:設(shè)該點(diǎn)為即求下列函數(shù)的最小值得駐點(diǎn)解方程組有A=fxx=12/5>0,B=fxy=4/5,C=fyy=18/5,由于A>0,則駐點(diǎn)為極小值點(diǎn)，而該問(wèn)題的最小值確實(shí)存在，則該極小值點(diǎn)也為最小值點(diǎn)。7.在xoy面上求一點(diǎn)，使它到三直線的距離平方和為最8.證明：函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)極大值，但沒(méi)有極小值。解:得駐點(diǎn)M(x,y)解方程組8.證明：函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)極大值，但沒(méi)有極小值。解:得由于A<0,則所求的駐點(diǎn)均為極大值點(diǎn)，即得證該函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)極大值，但沒(méi)有極小值。由于A<0,則所求的駐點(diǎn)均為極大值點(diǎn)，即得證該函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)9.設(shè)(x,y,z)在第一卦限的球面（2）對(duì)任意的正數(shù)a,b,c，證明下列不等式成立求（1）函數(shù)的最大值；解:(1)設(shè)拉格朗日函數(shù)令得駐點(diǎn)9.設(shè)(x,y,z)在第一卦限的球面（2）對(duì)任意的正數(shù)a,在約束條件下，當(dāng)點(diǎn)從第一卦限內(nèi)趨于第一卦限的邊界是，函數(shù)趨于零不可能取到最大值，而第一卦限內(nèi)駐點(diǎn)唯一，所以函數(shù)(2)由(1)有,當(dāng)?shù)淖畲笾禐闀r(shí),上式兩邊平方，再令，則有在約束條件下，當(dāng)點(diǎn)從第一卦限內(nèi)趨于第一卦限的邊界是，函數(shù)趨于高等數(shù)學(xué)A第6章多元函數(shù)微分學(xué)9-10(多元函數(shù)的極值-條件極值—拉格朗日乘數(shù)法則)課件高等數(shù)學(xué)A第6章多元函數(shù)微分學(xué)9-10(多元函數(shù)的極值-條件極值—拉格朗日乘數(shù)法則)課件高等數(shù)學(xué)A第6章多元函數(shù)微分學(xué)9-10(多元函數(shù)的極值-條件極值—拉格朗日乘數(shù)法則)課件高等數(shù)學(xué)A第6章多元函數(shù)微分學(xué)9-10(多元函數(shù)的極值-條件極值—拉格朗日乘數(shù)法則)課件高等數(shù)學(xué)A第6章多元函數(shù)微分學(xué)9-10(多元函數(shù)的極值-條件極值—拉格朗日乘數(shù)法則)課件高等數(shù)學(xué)A第6章多元函數(shù)微分學(xué)9-10(多元函數(shù)的極值-條件極值—拉格朗日乘數(shù)法則)課件高等數(shù)學(xué)A第6章多元函數(shù)微分學(xué)9-10(多元函數(shù)的極值-條件極值—拉格朗日乘數(shù)法則)課件高等數(shù)學(xué)A第6章多元函數(shù)微分學(xué)9-10(多元函數(shù)的極值-條件極值—拉格朗日乘數(shù)法則)課件中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)A6.3.3多元函數(shù)的極值6.3.4條件極值—拉格朗日乘數(shù)法

6.3多元函數(shù)微分的應(yīng)用

第6章多元函數(shù)微分學(xué)中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)A6.3.36.3.3多元函數(shù)的極值6.3多元函數(shù)微分的應(yīng)用

二元函數(shù)極值的定義極值存在的必要、充分條件

求函數(shù)極值的步驟與習(xí)例1-3多元函數(shù)的最值問(wèn)題多元函數(shù)的最值問(wèn)題習(xí)例4-76.3.4條件極值—Lagrange乘數(shù)法則

條件極值Lagrange乘數(shù)法Lagrange乘數(shù)法習(xí)例8-12

小結(jié)思考題多元函數(shù)的極值與條件極值—Lagrange乘數(shù)法

6.3.3多元函數(shù)的極值6.3多元函數(shù)微分的應(yīng)用二元函一、多元函數(shù)的極值1.二元函數(shù)極值的定義極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.若引進(jìn)點(diǎn)函數(shù),則一、多元函數(shù)的極值1.二元函數(shù)極值的定義極大值與極小值(1)(2)(3)(1)(2)(3)2.極值存在的必要條件和充分條件定理1（極值存在的必要條件）證2.極值存在的必要條件和充分條件定理1（極值存在的必要條件注意:(4)駐點(diǎn)極值點(diǎn)（可偏導(dǎo)函數(shù)）注意:(4)駐點(diǎn)極值點(diǎn)（可偏導(dǎo)函數(shù)）定理2（極值存在的充分條件）定理2（極值存在的充分條件）證:由二元函數(shù)的泰勒公式,并注意則有所以證:由二元函數(shù)的泰勒公式,并注意則有所以其中,,是當(dāng)h→0,k→0時(shí)的無(wú)窮小量,于是(1)當(dāng)B2－

AC

<0時(shí),必有A≠0,且A與C同號(hào),可見,從而△z＞0,因此其中,,是當(dāng)h→0,k→0時(shí)的無(wú)窮從而△z＜0,(2)當(dāng)B2－

AC

>0時(shí),若A,C不全為零,無(wú)妨設(shè)A≠0,則時(shí),有異號(hào);同號(hào).可見△z在(x0,y0)鄰近有正有負(fù),從而△z＜0,(2)當(dāng)B2－AC>0時(shí),若A++－若A＝C

＝0,則必有B≠0,不妨設(shè)B＞0,此時(shí)可見△z在(x0,y0)鄰近有正有負(fù),(3)當(dāng)AC－B2＝0時(shí),若A≠0,則若A＝0,則B＝0,為零或非零++－若A＝C＝0,則必有B≠0,不妨設(shè)B＞0此時(shí)因此,不能斷定(x0,y0)是否為極值點(diǎn).此時(shí)因此,不能斷定(x0,y0)是否為極值點(diǎn).3.求函數(shù)極值的步驟與習(xí)例3.求函數(shù)極值的步驟與習(xí)例例4.設(shè)f(x,y)=2x2-3xy2+y4,求它的極值例4.設(shè)f(x,y)=2x2-3xy2+y4,解解高等數(shù)學(xué)A第6章多元函數(shù)微分學(xué)9-10(多元函數(shù)的極值-條件極值—拉格朗日乘數(shù)法則)課件解解高等數(shù)學(xué)A第6章多元函數(shù)微分學(xué)9-10(多元函數(shù)的極值-條件極值—拉格朗日乘數(shù)法則)課件高等數(shù)學(xué)A第6章多元函數(shù)微分學(xué)9-10(多元函數(shù)的極值-條件極值—拉格朗日乘數(shù)法則)課件解

顯然(0,0)都是它們的駐點(diǎn),在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負(fù)0并且在(0,0)都有可能為解顯然(0,0)都是它們的駐點(diǎn),在(0,0)點(diǎn)鄰域例4.設(shè)f(x,y)=2x2-3xy2+y4,求它的極值解：先求有A=fxx(0

,0)=4,B=fxy(0

,0)=0,由定理2不能判斷M點(diǎn)是否為極值點(diǎn),但是當(dāng)(x,y)≠(0,0)

,因?yàn)閒(x,y)–f(0,0)=

2x2–3xy2+y4=(2x–y2)(x–y2)C=fyy(0

,0)=0,當(dāng)x<0時(shí),f(x,y)>f(0,0);當(dāng)y2/2

<x<y2時(shí),f(x,y)<f(0,0).所以，f(x,y)沒(méi)有極值.x=y2x=y2/2＋＋－－例4.設(shè)f(x,y)=2x2-3xy2+y4,二、多元函數(shù)的最值問(wèn)題(1)閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值:將函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值與在D的邊界上的函數(shù)值相互比較，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.(2)實(shí)際問(wèn)題則根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)判斷,若問(wèn)題存在最值，且只有唯一一個(gè)駐點(diǎn)，則該駐點(diǎn)必為所求的最值點(diǎn).1.多元函數(shù)的最值問(wèn)題二、多元函數(shù)的最值問(wèn)題(1)閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值2.多元函數(shù)的最值問(wèn)題習(xí)例例7

把一個(gè)正數(shù)a表為三個(gè)正數(shù)之和,使其乘積最大,求這三個(gè)數(shù).例6

有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板,把它折起來(lái)做成

一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,問(wèn)怎樣折法才能使

斷面面積最大.

例5.某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2的有蓋長(zhǎng)方體水問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?2.多元函數(shù)的最值問(wèn)題習(xí)例例7把一個(gè)正數(shù)a表為三個(gè)正數(shù)之解解例5.解:設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為時(shí),水箱所用材料最省.例5.解:設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為x,ym,則高為則水解

設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為xcm,則斷面面積x24傾角為

,為例6有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板,把它折起來(lái)做成一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,問(wèn)怎樣折法才能使斷面面積最大.

解設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為xcm,則斷面面積x24傾角為令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達(dá)到,而在域D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達(dá)到,而在域D內(nèi)只有解例7

把一個(gè)正數(shù)a表為三個(gè)正數(shù)之和,使其乘積最大,求這三個(gè)數(shù).解例7把一個(gè)正數(shù)a表為三個(gè)正數(shù)之和,使其乘積最大,三、條件極值和Lagrange乘數(shù)法1.條件極值自變量除了受其定義域限制外還有別的條件限制，這種情況下的極值稱為條件極值.相應(yīng)地，前面討論的極值稱為無(wú)條件極值.條件極值與無(wú)條件極值的區(qū)別和聯(lián)系，例如三、條件極值和Lagrange乘數(shù)法1.條件極值自變量除了解(1)顯然函數(shù)在（0，0）點(diǎn)處取得極小值.可見，兩種極值不同，但條件極值可轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值來(lái)求，稱為“降元法”；并非所有條件極值都能用“降元法”解，為此必須介紹新的方法.解(1)顯然函數(shù)在（0，0）點(diǎn)處取得極小值.可見，兩種極值2.Lagrage乘數(shù)法說(shuō)明F(x,y,)的可能極值點(diǎn)為上述方程組確定的(x,y).2.Lagrage乘數(shù)法說(shuō)明F(x,y,)的可能極值注意:(1)Lagrange乘數(shù)法:解出(x,y)即為可能極值點(diǎn).判斷是否為極值點(diǎn)通常由實(shí)際問(wèn)題來(lái)定.注意:(1)Lagrange乘數(shù)法:解出(x,y)即為解出(x,y,z)即為可能極值點(diǎn).解出(x,y,z)即為可能極值點(diǎn).3.Lagrane乘數(shù)法習(xí)例3.Lagrane乘數(shù)法習(xí)例例11三個(gè)正數(shù)的倒數(shù)和為1，求使三個(gè)正數(shù)和為最小的三個(gè)正數(shù).例11三個(gè)正數(shù)的倒數(shù)和為1，求使三個(gè)正數(shù)和為最則問(wèn)題為求x,y,令解方程組解

設(shè)x,y,z分別表示長(zhǎng)、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件則問(wèn)題為求x,y,令解方程組解設(shè)x,y,得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的2倍時(shí)，所用材料最省.因此,當(dāng)高為思考:1)當(dāng)水箱封閉時(shí),長(zhǎng)、寬、高的尺寸如何?提示:利用對(duì)稱性可知,2)當(dāng)開口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí),欲使造價(jià)最省,應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)?長(zhǎng)、寬、高尺寸如何?提示:長(zhǎng)、寬、高尺寸相等.得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的2倍解

設(shè)為拋物面上任一點(diǎn)，則P

的距離為問(wèn)題歸結(jié)為約束條件:目標(biāo)函數(shù):作拉氏函數(shù)到平面解設(shè)為拋物面上任一點(diǎn)，則P的距離為問(wèn)題歸結(jié)為約束條令解此方程組得唯一駐點(diǎn)由實(shí)際意義最小值存在,故令解此方程組得唯一駐點(diǎn)由實(shí)際意義最小值存在,故解解高等數(shù)學(xué)A第6章多元函數(shù)微分學(xué)9-10(多元函數(shù)的極值-條件極值—拉格朗日乘數(shù)法則)課件解例11三個(gè)正數(shù)的倒數(shù)和為1，求使三個(gè)正數(shù)和為最小的三個(gè)正數(shù).解例11三個(gè)正數(shù)的倒數(shù)和為1，求使三個(gè)正數(shù)和為最高等數(shù)學(xué)A第6章多元函數(shù)微分學(xué)9-10(多元函數(shù)的極值-條件極值—拉格朗日乘數(shù)法則)課件解解高等數(shù)學(xué)A第6章多元函數(shù)微分學(xué)9-10(多元函數(shù)的極值-條件極值—拉格朗日乘數(shù)法則)課件四面體體積最小.四面體體積最小.1.函數(shù)的極值問(wèn)題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步利用充分條件(僅限二元函數(shù)）判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).如對(duì)二元函數(shù)內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問(wèn)題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)2.函數(shù)的最值問(wèn)題3.函數(shù)的條件極值問(wèn)題(1)簡(jiǎn)單問(wèn)題用代入法(2)一般問(wèn)題用拉格朗日乘數(shù)法第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組在條件求駐點(diǎn).設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組在條件求駐點(diǎn).已知平面上兩定點(diǎn)A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點(diǎn)C,使△ABC面積S△最大.解答提示:設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),思考與練習(xí)則已知平面上兩定點(diǎn)A(1,3),B(4,2設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面積而比較可知,點(diǎn)