考點64證明思維導圖】一般地，利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等，經(jīng)過一系定義列的推理論證.最后推導出所要證明的結論成立,這種證明方法叫 、做綜合法特點從已知條件定理推出結論綜合法分析法直接證明與間接證明步驟I”化**In械it"1 th4分址什?定義特點定義特點從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，丸至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定特點從已知條件定理推出結論綜合法分析法直接證明與間接證明步驟I”化**In械it"1 th4分址什?定義特點定義特點從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，丸至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明方法叫做分析法.從結論出發(fā)倒推出已知條件或者定理公理假設原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾.這個矛盾可以是與己知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等反證法步驟1口紿論:A.JL.“工之“”論的皮?身A -AH***■?2*或串畬丈**0?4常見反證詞語結論詞反設詞結論詞反設詞至少有一個一個也沒有對所有X成立存在某個X。不成立至多有一個至少有兩個對任意X不成立存在某個X。成立至少有n個至多有n-l個?；騫非P且非q至多有n個至少有n+1個常見考法】考點一綜合法（2020?西夏?寧夏大學附屬中學）.命題“對于任意角。，cos40-sin40=cos20"的證明：acos40-sin40=（cos20-sin20）（cos20+sin29）=cos20-sin20=cos20”,其過程應用了A.分析法 B.綜合法C.綜合法、分析法綜合使用 D.間接證法【答案】B【解析】【分析】由題意，由已知條件入手利用同角三角函數(shù)的基本關系式，屬于綜合法,即可得到結論.【詳解】由題意，由已知條件入手利用同角三角函數(shù)的基本關系式，即可證得等式，應用的是綜合法證明方法.故選B.【點睛】本題主要考查了綜合法的證明過程，其中解中正確理解綜合法證明的基本過程，合理進行判斷是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題..已知且R?c=l,用綜合法證明：\+-^^\>a+b+c.abc【答案】證明見解析.【解析】[分析】本題首先可根據(jù)abc=1以及基本不等式得出e+/22c,然后用同樣的方TOC\o"1-5"\h\z1 11 1式得出言+=？2a以及=+萬22。，最后將三個式子相加，即可得出結果.h~c a~c) 1 2【詳解】因為"c=l,所以=+7T之==2%當且僅當。=力時"=”成立，ab-ah1 1 2同理可得7T+=2丁=2%當且僅當c=b時"="成立，hche11?-y+—>—=2b,當且僅當。=c時”=”成立，acac故2(,+*+i)22(a+b+c),即-y+乒+-7Na+b+c,當且僅當a=/?=c時"="成立.【點睛】本題考查根據(jù)綜合法證明不等式，考查基本不等式的靈活應用，考查計算能力，是中檔題.(2018?河北張家口)3.已知a>Z?>0,求證：a+b+3>>[ah+2\fa+\[lb；\Ja+l-Ja+2>y/b+l-yJb+2■【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析.【解析】【分析】(1)因為a>b>0,所以2(a+方+3)=(。+力)+(a+4)+(Z?+2)>2疝+2阮+2月，即得證；(2)利用分析法證明不等式Ja+l-Ja+2>J/+1-4+2?【詳解】(1)因為。>〃>。，所以2(。+/?+3)=(〃+6)+(a+4)+(Z?+2)>2\[ah+2\[4a+2\[2h,所以。+〃+3>yfab+2\fa+\[2h得證.(2)欲證明\ja+1-Ja+2>J"+1-Jb+2成立，即證明Ja+1+Jb+2>Jb+1+Ja+2成立，又即證明(Ja+1+J/?+2)>(Jb+l+J〃+2)成立，即證明(。+1)+(》+2)+2、(〃+1乂力+2)>(Z?+l)+(a+2)+2j9+1)(〃+2)成立,即證明(。+1)僅+2)>(。+1)(〃+2)成立，即證明ab+2a+b+2>ab+a+2b+2成立,即證明a>人成立.故不等式成立得證.【點睛】本題主要考查綜合法和分析法證明不等式，考查基本不等式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.考點二分析法(2020?上海高三專題練習).用綜合法或分析法證明：已知a>0力>0,2c>a+R求證：c—yJc2-ab<a<c+\Jc2-ab-【答案】證明見解析.【解析】【分析】根據(jù)分析法證明不等式的方法和步驟進行證明，即可得解.【詳解】證明：(分析法)要證c—Jc?-abvavc+Jc2-ab,只需證<a-c<，即證|a-c|<Jc?-a。,只需證(a-c)?<(J。?-a/?),只需證ci~-2ac+c~<c2—cib，即證2ac>a'+ab,因為a>0,所以只需證2c>a+8.因為2c>a+b已知，所以原不等式成立.【點睛】關鍵點點睛：掌握分析法證明不等式的方法和步驟是解題關鍵..設a,b,c都是正數(shù)，求證卡+">2立+>5【答案】證明見解析.【解析】【分析】本題用分析法證明即可得出結論成立.【詳解】證明：要證后+>/7>2①+6,只需證明+>即證明2悠>2屈，也就是證明42>40,上式顯然成立，故原不等式成立.【點睛】本題主要考查不等式的證明，考查分析法的應用，考查學生的邏輯推理能力，考查計算能力，是簡單題.(2020.安徽師范大學附屬中學).設為正實數(shù)，且a+力=1,請用分析法證明不等式：x/l+a+Jl+上義卡.【答案】見解析【解析】【分析】先對所求證的式子進行等價變形，結合基本不等式，即可證明問題.【詳解】,?*a,beR,且a+Z?=l,欲證+a+Jl+b4正,只需證+ 即證2j(l+a)(l+b)W3,只需證4（l+a）（l+8）W9,即證又?.?abW（等）=；,當僅當a=b=g時等號成立，.?.JT^+JT^vC成立.【點睛】本題考查利用分析法證明不等式，考查基本不等式，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意分析法的證明思路是執(zhí)果索因.考點三反證法（2020?遼源市田家炳高級中學校）.用反證法證明"三角形的內(nèi)角中至少有一個不小于60。”時，第一步假設為（）A.三個內(nèi)角至多有一個大于60。B.三個內(nèi)角都大于60°C.三個內(nèi)角至多有兩個大于60。 D.三個內(nèi)角都小于60?！敬鸢浮緿【解析】【分析】根據(jù)反證法證明命題時，應假設命題的否定成立，即得結果.【詳解】用反證法證明”三角形的內(nèi)角中至少有一個不小于60?！睍r，應假設命題的否定成立，而“三角形的內(nèi)角中至少有一個不小于60。”的否定是"三角形的三個內(nèi)角都小于60。”，故選:D.【點睛】本題考查了反證法，屬于易錯題.（2020?廣西欽州）.用反證法證明命題"x,yeR,若x+y>0,則x,V至少有一個大于0”，證明的第一步的正確表述是（ ）A.假設X,y全都大于0 B.假設x,V至少有一個小于或等于0c.假設x,y全都小于或等于0D.假設x,y至多有一個大于o【答案】C【解析】【分析】利用反證法的定義分析判斷得解.【詳解】用反證法證明命題"X,yeR,若x+y>0,則無，y至少有一個大于0”時,假設的內(nèi)容應該是對結論的否定，即：假設x,y全都小于或等于0.故選：c.【點睛】本題主要考查反證法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.(2020?遼寧大連), ,, , 4 9 1",, ….已知正數(shù)a,b,c,求證：a+—,b+—,c+—這三個數(shù)中，至少有一個不小bca于4【答案】證明見解析.【解析】【分析】用反證法證明數(shù)學命題的方法和步驟，把要證的結論進行否定，得到要證的結論的反面，利用基本不等式，即可得出結論.TOC\o"1-5"\h\z4 9 1【詳解】證明：假設這三個數(shù)都小于4,即a+丁<4,b+-<4,c+-<4,b c a4 9 1所以a+—+8+-+C+—<12h c a因為a,b,c均大于0,根據(jù)均值不等式有，4,9 1( 1)J4)( 9)a+—+8+-+C+—=|a+—+b+—+c+->12,bca\a)\b)\c)當且僅當a=l,b=2,c=3時，等號成立.4 9 1這與。+:+人+-+。+—<12矛盾，因此假設不成立，從而這三個數(shù)中，至少有一b c a個不小于4.【點睛】本題主要考查反證法的應用，關鍵是掌握不等式的基本性質(zhì)，屬于中檔題.(2020.鎮(zhèn)原中學).已知xe/?,。=丁+L,b=2-x,c=x2-x+l,試證明a,"c至少有一個不小于2 -L【答案】證明見解析.【解析】【詳解】試題分析：反證法關鍵是先假設：a,Ac均小于1,再根據(jù)條件推出矛盾:a+Z?+c=2x2-2xH—=2[x—j+323>a+Z?+c2I2)試題解析：解：假設a*,c均小于1,即。<1力<l,c<l,則有a+b+c<3而a+/?+c=2r-2x4——2[x—1+323矛盾2I2)所以原命題成立考點：反證法(2020.新安縣第一高級中學)11.(1)已知x,ye/T且x+y>2,求證：上祖與匕冬中至少有一個小于xy3.(2)當a+b>0時，求證：yla2+b2>—(a+b).【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析.【解析】【分析】(1)正繁則反，對于至少型問題，一般利用反證法，即假設匕苴23且X\-u2x >3,再利用不等式性質(zhì)證得矛盾，否定假設；y(2)利用分析法和重要不等式，按照分析法的證明步驟證明即可.【詳解】證明：⑴(反證法)假設結論不成立，即有一且 >3,由已x y所以有1+2yN3x且1+2xN