其中定理1(泰勒中值定理)若函數(shù)f(x)在x0點的某鄰域U(x0)內(nèi)具有直到n+1階連續(xù)導數(shù),則當x取U(x0)內(nèi)任何值時,f(x)可按(xx0)的方冪展開為f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+(在x0與x之間)+Rn(x)公式(1)稱為函數(shù)f(x)在x0處的泰勒公式.(1)

Rn(x)稱為拉格朗日(Lagrange)余項.泰勒系數(shù)k=0,1,2,

···,n是唯一的.一、泰勒公式其中定理1(泰勒中值定理)若函數(shù)f(x)在x0點的某鄰1定義如果函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)是存在任意階導數(shù),則冪級數(shù)稱為函數(shù)f(x)在x0處的泰勒級數(shù).=f(x0)+f(x0)(xx0)二、泰勒級數(shù)稱為函數(shù)f(x)的麥克勞林級數(shù).定義如果函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)是存在任意階導數(shù),2sinx

=

x(,+).(1<x<1)=1+x+x2+···+xn+···定理2

f(x)在x0點的泰勒級數(shù)在UR

(x0)內(nèi)收斂于f(x)

在UR

(x0)內(nèi),Rn(x)0.

x(,+).sinx=x(,+).(1<x<1)=3

1,收斂區(qū)間為:(1,1).1<<0,收斂區(qū)間為:(1,1].>0,收斂區(qū)間為:[1,1].1<x<11,收斂區(qū)間為:(1,1).1<<4§7.7初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式一、直接法(泰勒級數(shù)法)二、間接法三、常見函數(shù)的冪級數(shù)展開式§7.7初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式一、直接法(泰勒級數(shù)法5步驟:(1)求f(n)(x),n=0,1,2,

(2)計算an,

n=0,1,2,

(4)討論?并求出其收斂區(qū)間.(3)寫出冪級數(shù)利用泰勒公式或麥克勞林公式將f(x)展開為冪級數(shù)若為0,則冪級數(shù)在此收斂區(qū)間內(nèi)等于函數(shù)

f(x);若不為0,則冪級數(shù)雖然收斂,但它的和不是f(x).一、直接法(泰勒級數(shù)法)步驟:(1)求f(n)(x),n=0,1,2,6解例1

將f(x)=ex在展開成x的冪級數(shù).因f(n)(x)=ex,n=1,2,3,,

f(n)(0)=e0=1,于是f(x)=ex在x=0的麥克勞林級數(shù)為:其中0<<1=0,所以ex=1+x+<x<+.收斂區(qū)間為:(,+)解例1將f(x)=ex在展開成x的冪級數(shù).因f7二項展開式++nxn1+xn(1+x)n=1+nx+(1+x)=1+x+?二項展開式++nxn1+xn(1+x)n=1+n8解例3

將f(x)=(1+x

)展開成x的冪級數(shù).n=0,1,2,,

f(n)(0)=(1)(2)(n+1)=1,得[(1+x)](n)

=(1)(2)(n+1)(1+x)(n)

,注意:當x=1時,級數(shù)的收斂性與的取值有關(guān).

1,收斂區(qū)間為:(1,1).1<<0,收斂區(qū)間為:(1,1].>0,收斂區(qū)間為:[1,1].所以(1+x)的泰勒級數(shù)的收斂區(qū)間是(1,1),解例3將f(x)=(1+x)展開成x的冪級數(shù).9x(1,1)(1+x)=1+x+牛頓二項式展開式二、間接展開法根據(jù)唯一性,利用常見展開式、等比級數(shù)的和及冪級數(shù)的性質(zhì)等,通過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導,逐項積分等方法,求展開式.當=

1時,x(1,1).=1x+x2x3+···+(1)nxn+···x(1,1)(1+x)=1+x+牛頓二項式展開式二10解例6

將f(x)=cosx

展開成x的冪級數(shù).因(sinx)=cosx

,又

x(,+).

x(,+).對上式逐項求導得解例6將f(x)=cosx展開成x的冪級數(shù).因(11解例10

將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).因為x(,+).所以x(,+).解例10將函數(shù)展開12解例5

將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù).(1)x(1,1).=1x+x2x3+···+(1)nxn+···因為(2)arctanx(1)以x2

代替上式中的

x

,=1x2+x4x6+···+(1)nx2n+···x(1,1).(2)因0xarctanx對上式逐項積分0x(1)nt2n解例5將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù).(1)x(1,113x[1,1].arctanxarctanx當x=1時,為交錯級數(shù),收斂,當x=1時,為交錯級數(shù),收斂,所以,arctan1

=x[1,1].arctanxarctanx當x=14解例1*

將函數(shù)ln(1+x)展開成x的冪級數(shù).x(1,1).=1x+x2x3+···+(1)nxn+···因為又0xln(1+x)對上式逐項積分0x(1)ntn解例1*將函數(shù)ln(1+x)展開成x的冪級數(shù).x(115x(1,1].ln(1+x)當x=1時,為發(fā)散,當x=1時,為交錯級數(shù),收斂,所以,ln(1+x)ln2=x(1,1].ln(1+x)當x=1時,為發(fā)散16例7

將函數(shù)f(x)=展開x的冪級數(shù).解因為

x(,+).

x(,+).以

代替上式中的

x

,例7將函數(shù)f(x)=展開x的冪級數(shù).17解例2*

將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).因為x(,+).所以x(,+).四則運算解例2*將函數(shù)展開成x的冪18因為

x(,+).所以

x(,+).解例8

將函數(shù)sin2

x展開成x的冪級數(shù).又因為x(,+).所以x(,+).解例19解例11將函數(shù)分別在x=0和x=2處展開成冪級數(shù).因為x(1,1).所以(1)由得收斂區(qū)間為:x(5,5).解例11將函數(shù)分別在x=0和x=2處展20(2)由得收斂區(qū)間為:x(1,5).x(1,1).(2)由得收斂區(qū)間為:x(1,5).x(1,21解例9將函數(shù)展開成x冪級數(shù).x(1,1).x(2,2).收斂區(qū)間為:x(1,1).解例9將函數(shù)22解例12

將函數(shù)lnx展開成(x1)

的冪級數(shù).x(1,1].因為而lnx=ln(1+x1)

得收斂區(qū)間為:x(0,2].由1<x11,

解例12將函數(shù)lnx展開成(x1)的冪級數(shù).x23解例3*

將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).()]x(1,1]x(1,1).x[1,1)解例3*將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).(24解2例3*

將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).0x

f(x)=對上式逐項積分得因f(0)=0,

x(1,1).解2例3*將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).0xf(x)=25

x(1,1).

x(1,1].x(,+).1幾何級數(shù)2345三、常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)x(,+).x(,+).x(1,1).x(1,1].x(,+26

x(1,1).

x[1,1].x(1,1).x[1,1].27四、小結(jié)1.如何求函數(shù)的泰勒級數(shù);2.泰勒級數(shù)收斂于函數(shù)的條件;3.函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法.四、小結(jié)1.如何求函數(shù)的泰勒級數(shù);2.泰勒級數(shù)收斂于函數(shù)28

x(1,1).

x(,+).

x(,+).

x(,+).

x(1,1].

x(1,1).3.常見函數(shù)的冪級數(shù)展開式x(1,1).x(,+).x(,29其中定理1(泰勒中值定理)若函數(shù)f(x)在x0點的某鄰域U(x0)內(nèi)具有直到n+1階連續(xù)導數(shù),則當x取U(x0)內(nèi)任何值時,f(x)可按(xx0)的方冪展開為f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+(在x0與x之間)+Rn(x)公式(1)稱為函數(shù)f(x)在x0處的泰勒公式.(1)

Rn(x)稱為拉格朗日(Lagrange)余項.泰勒系數(shù)k=0,1,2,

···,n是唯一的.一、泰勒公式其中定理1(泰勒中值定理)若函數(shù)f(x)在x0點的某鄰30定義如果函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)是存在任意階導數(shù),則冪級數(shù)稱為函數(shù)f(x)在x0處的泰勒級數(shù).=f(x0)+f(x0)(xx0)二、泰勒級數(shù)稱為函數(shù)f(x)的麥克勞林級數(shù).定義如果函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)是存在任意階導數(shù),31sinx

=

x(,+).(1<x<1)=1+x+x2+···+xn+···定理2

f(x)在x0點的泰勒級數(shù)在UR

(x0)內(nèi)收斂于f(x)

在UR

(x0)內(nèi),Rn(x)0.

x(,+).sinx=x(,+).(1<x<1)=32

1,收斂區(qū)間為:(1,1).1<<0,收斂區(qū)間為:(1,1].>0,收斂區(qū)間為:[1,1].1<x<11,收斂區(qū)間為:(1,1).1<<33§7.7初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式一、直接法(泰勒級數(shù)法)二、間接法三、常見函數(shù)的冪級數(shù)展開式§7.7初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式一、直接法(泰勒級數(shù)法34步驟:(1)求f(n)(x),n=0,1,2,

(2)計算an,

n=0,1,2,

(4)討論?并求出其收斂區(qū)間.(3)寫出冪級數(shù)利用泰勒公式或麥克勞林公式將f(x)展開為冪級數(shù)若為0,則冪級數(shù)在此收斂區(qū)間內(nèi)等于函數(shù)

f(x);若不為0,則冪級數(shù)雖然收斂,但它的和不是f(x).一、直接法(泰勒級數(shù)法)步驟:(1)求f(n)(x),n=0,1,2,35解例1

將f(x)=ex在展開成x的冪級數(shù).因f(n)(x)=ex,n=1,2,3,,

f(n)(0)=e0=1,于是f(x)=ex在x=0的麥克勞林級數(shù)為:其中0<<1=0,所以ex=1+x+<x<+.收斂區(qū)間為:(,+)解例1將f(x)=ex在展開成x的冪級數(shù).因f36二項展開式++nxn1+xn(1+x)n=1+nx+(1+x)=1+x+?二項展開式++nxn1+xn(1+x)n=1+n37解例3

將f(x)=(1+x

)展開成x的冪級數(shù).n=0,1,2,,

f(n)(0)=(1)(2)(n+1)=1,得[(1+x)](n)

=(1)(2)(n+1)(1+x)(n)

,注意:當x=1時,級數(shù)的收斂性與的取值有關(guān).

1,收斂區(qū)間為:(1,1).1<<0,收斂區(qū)間為:(1,1].>0,收斂區(qū)間為:[1,1].所以(1+x)的泰勒級數(shù)的收斂區(qū)間是(1,1),解例3將f(x)=(1+x)展開成x的冪級數(shù).38x(1,1)(1+x)=1+x+牛頓二項式展開式二、間接展開法根據(jù)唯一性,利用常見展開式、等比級數(shù)的和及冪級數(shù)的性質(zhì)等,通過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導,逐項積分等方法,求展開式.當=

1時,x(1,1).=1x+x2x3+···+(1)nxn+···x(1,1)(1+x)=1+x+牛頓二項式展開式二39解例6

將f(x)=cosx

展開成x的冪級數(shù).因(sinx)=cosx

,又

x(,+).

x(,+).對上式逐項求導得解例6將f(x)=cosx展開成x的冪級數(shù).因(40解例10

將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).因為x(,+).所以x(,+).解例10將函數(shù)展開41解例5

將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù).(1)x(1,1).=1x+x2x3+···+(1)nxn+···因為(2)arctanx(1)以x2

代替上式中的

x

,=1x2+x4x6+···+(1)nx2n+···x(1,1).(2)因0xarctanx對上式逐項積分0x(1)nt2n解例5將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù).(1)x(1,142x[1,1].arctanxarctanx當x=1時,為交錯級數(shù),收斂,當x=1時,為交錯級數(shù),收斂,所以,arctan1

=x[1,1].arctanxarctanx當x=43解例1*

將函數(shù)ln(1+x)展開成x的冪級數(shù).x(1,1).=1x+x2x3+···+(1)nxn+···因為又0xln(1+x)對上式逐項積分0x(1)ntn解例1*將函數(shù)ln(1+x)展開成x的冪級數(shù).x(144x(1,1].ln(1+x)當x=1時,為發(fā)散,當x=1時,為交錯級數(shù),收斂,所以,ln(1+x)ln2=x(1,1].ln(1+x)當x=1時,為發(fā)散45例7

將函數(shù)f(x)=展開x的冪級數(shù).解因為

x(,+).

x(,+).以

代替上式中的

x

,例7將函數(shù)f(x)=展開x的冪級數(shù).46解例2*

將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).因為x(,+).所以x(,+).四則運算解例2*將函數(shù)展開成x的冪47因為

x(,+).所以

x(,+).解例8

將函數(shù)sin2

x展開成x的冪級數(shù).又因為x(,+).所以x(,+).解例48解例11將函數(shù)分別在x=0和x=2處展開成冪級數(shù).因為x(1,1).所以(1)由得收斂區(qū)間為:x(5,5).解例11將函數(shù)分別在x=0和x=2處展49(2)由得收斂區(qū)間為:x(1,5).x(1,1).(2)由得收斂區(qū)間為:x(1,5).x(1,50解例9將函數(shù)展開成x冪級數(shù).x(1