高中數學三角常見習題類型及解法高考試題中的三角函數題相對比較傳統(tǒng)，難度較低，位置靠前，重點突出。因此，在復習過程中既要注重三角知識的基礎性，突出三角函數的圖象、周期性、單調性、奇偶性、對稱性等性質。以及化簡、求值和最值等重點內容的復習，又要注重三角知識的工具性，突出三角與代數、幾何、向量的綜合聯系，以及三角知識的應用意識。一、知識整合1．熟練掌握三角變換的所有公式，理解每個公式的意義，應用特點，常規(guī)使用方法等；熟悉三角變換常用的方法——化弦法，降冪法，角的變換法等；并能應用這些方法進行三角函數式的求值、化簡、證明；掌握三角變換公式在三角形中應用的特點，并能結合三角形的公式解決一些實際問題．2．熟練掌握正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數的性質，并能用它研究復合函數的性質；熟練掌握正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數圖象的形狀、特點，并會用五點畫出函數的圖象；理解圖象平移變換、伸縮變換的意義，并會用這兩種變換研究函數圖象的變化．高考考點分析主要以選擇題和解答題的形式出現。主要考察內容按綜合難度分，我認為有以下幾個層次：第一層次：通過誘導公式和倍角公式的簡單運用，解決有關三角函數基本性質的問題。如判斷符號、求值、求周期、判斷奇偶性等。第二層次：三角函數公式變形中的某些常用技巧的運用。如輔助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三層次：充分利用三角函數作為一種特殊函數的圖象及周期性、奇偶性、單調性、有界性等特殊性質，解決較復雜的函數問題。如分段函數值，求復合函數值域等。三、方法技巧1.三角函數恒等變形的基本策略。（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。（2）項的分拆與角的配湊。如分拆項：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配湊角：α=（α+β）－β，β=－等。（3）降次與升次。（4）化弦（切）法。（4）引入輔助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan=確定。2.證明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式進行化名，化角，改變運算結構，使等式兩邊化為同一形式。（2）證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數學歸納法。3.證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數的單調性，利用正、余弦函數的有界性，利用單位圓三角函數線及判別法等。4.解答三角高考題的策略。（1）發(fā)現差異：觀察角、函數運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”。（2）尋找聯系：運用相關公式，找出差異之間的內在聯系。（3）合理轉化：選擇恰當的公式，促使差異的轉化。四、例題分析題型（1）求值：例：已知，求（1）；（2）的值.解：（1）；(2).說明：利用齊次式的結構特點（如果不具備，通過構造的辦法得到），進行弦、切互化，就會使解題過程簡化。題型（2）值域，周期，對稱，平移，單調區(qū)間等例：求函數的值域。解：設，則原函數可化為，因為，所以當時，，當時，，所以，函數的值域為。例：已知函數。（1）求的最小正周期、的最大值及此時x的集合；（2）證明：函數的圖像關于直線對稱。解：(1)所以的最小正周期，因為，所以，當，即時，最大值為；(2)證明：欲證明函數的圖像關于直線對稱，只要證明對任意，有成立，因為，，所以成立，從而函數的圖像關于直線對稱。例：已知函數f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,xR.(1)求函數f(x)的最小正周期和單調增區(qū)間;(2)函數f(x)的圖象可以由函數y=sin2x(x∈R)的圖象經過怎樣的變換得到?【解析】:(1)的最小正周期由題意得 即的單調增區(qū)間為(2)先把圖象上所有點向左平移個單位長度,得到的圖象,再把所得圖象上所有的點向上平移個單位長度,就得到的圖象?例：已知函數y=cos2x+sinx·cosx+1（x∈R）,（1）當函數y取得最大值時，求自變量x的集合；（2）該函數的圖像可由y=sinx(x∈R)的圖像經過怎樣的平移和伸縮變換得到？解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1=(2cos2x－1)++（2sinx·cosx）+1=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+=sin(2x+)+所以y取最大值時，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即x=+kπ,（k∈Z）。所以當函數y取最大值時，自變量x的集合為{x|x=+kπ,k∈Z}（2）將函數y=sinx依次進行如下變換：（i）把函數y=sinx的圖像向左平移，得到函數y=sin(x+)的圖像；（ii）把得到的圖像上各點橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到函數y=sin(2x+)的圖像；（iii）把得到的圖像上各點縱坐標縮短到原來的倍（橫坐標不變），得到函數y=sin(2x+)的圖像；（iv）把得到的圖像向上平移個單位長度，得到函數y=sin(2x+)+的圖像。綜上得到y(tǒng)=cos2x+sinxcosx+1的圖像。說明：本題是2000年全國高考試題，屬中檔偏容易題，主要考查三角函數的圖像和性質。這類題一般有兩種解法：一是化成關于sinx,cosx的齊次式，降冪后最終化成y=sin(ωx+)+k的形式，二是化成某一個三角函數的二次三項式。本題（1）還可以解法如下：當cosx=0時，y=1；當cosx≠0時，y=+1=+1化簡得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3)≥0,解之得：≤y≤∴ymax=，此時對應自變量x的值集為{x|x=kπ+,k∈Z}題型（3）通過已知條件求解析式例：已知函數(其中)的圖象與x軸的交點中,相鄰兩個交點之間的距離為,且圖象上一個最低點為.(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)當,求的值域.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】：(1)由最低點為得A=2.由x軸上相鄰的兩個交點之間的距離為得=,即,由點在圖像上的故又(2)當=,即時,取得最大值2;當即時,取得最小值-1,故的值域為[-1,2]題型（4）正弦，余弦的綜合題例：在中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且，(1)求的值；(2)若，且a=c，求的面積。解：(1)由正弦定理及，有，即，所以，又因為，，所以，因為，所以，又，所以。(2)在中，由余弦定理可得，又，所以有，所以的面積為。例：在，已知，求角A，B，C的大小。解：設由得，所以又因此由得，于是所以，，因此，既由A=知，所以，，從而或，既或故或。題型（5）向量綜合題例7．已知向量，且，(1)求函數的表達式；(2)若，求的最大值與最小值。解：(1)，，，又，所以，所以，即；(2)由(1)可得，令導數，解得，列表如下：t－1(－1，1)1(1，3)導數0－0+極大值遞減極小值遞增而所以。例：已知向量，求的值；(2)若的值。解：(1)因為所以又因為，所以，即；(2)，又因為，所以，，所以，所以例：平面直角坐標系有點求向量和的夾角的余弦用表示的函數；求的最值.解：（1），即（2），又，，，.例：在中,已知內角A．B．C所對的邊分別為a、b、c,向量,,且?(I)求銳角B的大小;(II)如果,求的面積的最大值?【解析】:(1)2sinB(2cos2EQ\f(B,2)-1)=-EQ\r(3)cos2B2sinBcosB=-EQ\r(3)cos2Btan2B=-EQ\r(3) ∵0<2B<π,∴2B=EQ\f(2π,3),∴銳角B=EQ\f(π,3) (2)由tan2B=-EQ\r(3)B=EQ\f(π,3)或EQ\f(5π,6)①當B=EQ\f(π,3)時,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(當且僅當a=c=2時等號成立) ∵△ABC的面積S△ABC=EQ\f(1,2)acsinB=EQ\f(\r(3),4)ac≤EQ\r(3)∴△ABC的面積最大值為EQ\r(3) ②當B=EQ\f(5π,6)時,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2+EQ\r(3)ac≥2ac+EQ\r(3)ac=(2+EQ\r(3))ac(當且僅當a=c=EQ\r(6)-EQ\r(2)時等號成立)∴ac≤4(2-EQ\r(3)) ∵△ABC的面積S△ABC=EQ\f(1,2)acsinB=EQ\f(1,4)ac≤2-EQ\r(3)說明：三角函數與向量之間的聯系很緊密，解題時要時刻注意。題型（6）三角實際應用例：甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行,速度為15浬/小時,在甲船從A島出發(fā)的同時,乙船從A島正南40浬處的B島出發(fā),朝北偏東θ(的方向作勻速直線航行,速度為10浬/小時.(如圖所示)(Ⅰ)求出發(fā)后3小時兩船相距多少浬?(Ⅱ)求兩船出發(fā)后多長時間相距最近?最近距離為多少浬?【解析】:以A為原點,BA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系.設在t時刻甲、乙兩船分別在P(x1,y1)Q(x2,y2).(I)令,P、Q兩點的坐標分別為(45,45),(30,20).即兩船出發(fā)后3小時時,相距鋰(II)由(I)的解法過程易知:∴當且僅當t=4時,|PQ|的最小值為20即兩船出發(fā)4小時時,相距20海里為兩船最近距離.例：在一個特定時段內，以點E為中心的7海里以內海域被設為警戒水域.。點E正北55海里處有一個雷達觀測站A。.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東且與點A相距40海里的位置B，經過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東+(其中sin=，)且與點A相距10海里的位置C.（I）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）;（II）若該船不改變航行方向繼續(xù)行