專題04平面向量問題【高考真題】TOC\o"1-5"\h\z.(2022?全國乙理)已知向量。，力滿足|。|=1,|臼=小，|。一2b|=3,則。?力=( )A.-2 B.-1 C.1 D.2.答案C解析V\a~2*|2=|a|2~4ab+4\b\2,又|四=小，|°一2臼=3,：.ab=l.故選C..(2022?全國乙文)己知向量。=(2,1),5=(—2,4),則|。一"=( )A.2 B.3 C.4 D.5.答案D解析因為。-6=(4,—3),,所以|0一。|=5.故選D..(2022?全國甲理)設(shè)向量。，力的夾角的余弦值為;，且⑷=1,|臼=3,則(2a+))b=..答案11解析設(shè)。，。的夾角為仇因為a與力的夾角的余弦值為:，即cose=g,又|a|=l,|fe|=3,所以a協(xié)=|。|制8§。=1,所以(2。+。)8=2。0+固2=11.故答案為11..(2022?全國甲文)己知向量。=(m，3),b=(l,6+1),若aJ_b,則m=.3 3 3.答案一無解析由題意知。仍=m+3(m+1)=0,解得〃】=一：,故答案為一元..(2022?新高考I)在△ABC中，點。在邊AB上，BD=2DA.記曰=m，CD=n,則無=( )A.3m-In B.—2m+3n.A.3m-In B.—2m+3n.答案B解析因為點。在邊A8上,所以曲=3加一28=3〃-2?1=—2小~1~~?2~■*,1-爪子定理如圖1,CD=t，CA+-^CB,，,公D A圖1 圖2-n.沒答案..(2022?新高考11)已知向量a=(3,4),1A.-6 B.-56.答案C解析c=(3+r,4),cos<a,7.(2022?北京)在△ABC中,AC=3,B<C.3m+2n D.2m+3nBD=2DA,所以礪=2而，即db-E=2(五一E),-3n.故選B.斤以E=3詼-2之=3"—2m=-2/n+3”.故選B.一如圖2,CA=2CD+2CB,所以屈=1之一①=%?)=(1,0),c=a+tb,若v。，c>=vb,c>,則，=( )C.5 D.6一3+3/+163+f.zs 、*c>—cos<b>c>,即51cl—用，解仔f—5,故選C.C=4,ZC=90°,尸為△ABC所在平面內(nèi)的動點，且PC=1,則布?P8的取值范圍是()A.[—5,3] B.[—3,5] C.[—6,4] D.[—4,6]5437.答案D解析依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則C(0,0),A(3,0),B(0,4),543.平面向量基本定理如果乃，C2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量。，有且只有一對實數(shù)Al，22，使0=九0|+42。2.若為，C2不共線,我們把｛?，?2｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底..向量。與力的夾角已知兩個非零向量。，b,。是平面上的任意一點，作OB=b,則NAO3=0（0《e〈兀）叫做向量。與b的夾角.當(dāng)夕=0時，。與b同向;當(dāng)。=兀時，a與b反向.如果。與b的夾角是看我們說。與b垂直，記作”_Lb.3.平面向量的數(shù)量積⑴若。,人為非零向量，夾角為仇則〃力=1。皿cos包（2）設(shè)a=（xi，yD，6=（x2，”），則。山=陽口z+y*2..兩個非零向量平行、垂直的充要條件

若a=(xi，力)，b=(X2,”)，則(\)a//b^a=}.b(b^O)<=>xiV2~X2Vi=0.(2)aA.b^a-b=0<=>xiX2+yiV2—0..利用數(shù)量積求長度⑴若a=(x,y),則⑷二/^:山^+優(yōu)(2)若A(x”yi),8(x2，竺)，則|AB|=N(X2—xi)2+&2—yi)2.X1X2+.V1.V2、才+X1X2+.V1.V2、才+為、品+比設(shè)a,/＞為非零向量，若a=（xi，yi）,b=（X2,竺），0為a與b的夾角，則cos@=而而【常用結(jié)論】I.“爪”子定理AB,形式I：在“BC中,。是BC上的點,如果質(zhì)f,\DC\=n,則祖嵩及+痣;河，其中病,AB,上的點,的中點,形式2：在AABC中，。是BC且防=入比，則病=法亡+（1一九）初，其中病，AB,公知二可求一.特別地，若￡）為線段BC則力=/（/+上的點,的中點,形式1與形式2中AC與AB的系數(shù)的記憶可總結(jié)為：對面的女孩看過來（歌名，原唱任賢齊）2,極化恒等式三角形模式如圖，在aABC中，設(shè)。為BC的中點，則感?祀=|AOF-18。|2.三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問題都是用它解決.B ? C記憶：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差.【同類問題】題型一向量的線性運算（2015?全國I）設(shè)。為AABC所在平面內(nèi)一點，BC=3CD,則（）B.AD=|aB—tACA.AD=—B.AD=|aB—tACC.AD=^AB+^AC D.AD=^AB-^AC.答案A解析AD=AC+cb=AC+^BC=AC+^（AC—AB）=:^AC—^AB=—\iAB+^AC,故選A.（2014?全國I）設(shè)。，E,尸分別為^ABC的三邊8C,CA,AB的中點，則或+后=（ ）A.AD B.xAD C.BC D.tBC2.答案A解析EB+FC=^（Ah+CB）+1（AC+BC）=^（AB+AC）=A［）,故選A.（2018?全國I）在"BC中，AO為BC邊上的中線，E為AO的中點，則就=（ ）A.^Ah—^AtB.1祀 C. D.；勘+1?祀.答案A解析YE是4。的中點，二或=一/?，...筋=或+部=一步力+荏，又知。是BC的中點，工無力=斗巧為+祀），因此或=—；（?+祀）+初=熱力一；祀..在平行四邊形ABCO中，E,尸分別是8C,CZ）的中點，OE交4F于”，記霜，就分別為a,b,則通=().答案B解析如圖，過點尸作8c的平行線交于G,則G是。E的中點，且比'=；反?=：訛，G^—zAb,易知△4//￡>s/\p//g,從而存,=；油，油=弓刀；#=初+所，=占+%,油=氐3+；”）- J / J\ //2 4=尹+手>,故選B.5.（多選）在A4BC中，D,E,尸分別是邊BC,CA,AB的中點，AD,BE,CF交于點G,則（）A.肆=界一顯 B.旗=—成+我 C.Ab+Bk=FtD.GA+G^+Gt=05.答案CD解析如圖，因為點。，E,尸分別是邊8C,CA,AB的中點，所以時=；在=-；就，故A不正確；就=就+段=病+5夙=炭+5（荏+而）=求-5就一"^=—5花+5比，故B不正確；忌=祀一#=與）+皮+眉=m+；反H■成=中+建+成=通+聞+就+中=中+屏:，故C正確；由題意知，點G為“8。的重心，所以北/+尻i+^:&=冢力+彳反&+式卞=#<3（/磅+不力+鏟3（或21_+由+?<2（荏+K）=o,即源+加+求=0,故D正確.故選CD.A-XB.3-4

-yA-XB.3-4

-y1-4-C3-4

=XD.6.如圖，在AOAB中，尸為線段A8上的一點，Op^xOA+yOi,且臚=1y=Z, ,__? _a 2—?—?2—?—?2?.答案A解析由題意知尾而+而又徐=2次，所以碣而+可位=為+.(而一面=可而十J ?7 ?71-1-32.(2013?江蘇)設(shè)O,E分別是AABC的邊AB,BC上的點，AD=^AB,BE=]BC.若晟=小屈+入2配l(4,幻為實數(shù))，則九+及的值為.1 _ 1 2 1 2 1 ? 1.答案5解析由題意，得加=9+就=不/話灰'=]露+?祀一砧)=—%輻+,&，則九=一4,2 122=不即&+，2=5?.如圖，在AABC中，勸=各&，前=g時,若#=抑+"祀，則2+"的值為()C4-9

B.8-3C4-3

4-9

B.8-3C4-3

D.答案A解析#=初+腫=霜+界力=屈+；(廢)一屈)=弓顯+(叼祀=手顯正'.因為+〃祀,所以』=|,//=1,則)+〃='!+'=*已知在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=\,AC=2,。是AA8C內(nèi)一點，且N￡)A8=60。，設(shè)力=了+fiAt(A,"GR),則「=( )A.邛3 B.坐 C.3 D.2小答案A解析如圖，以A為原點，A8所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則B點的坐標(biāo)為(1,0),C點的坐標(biāo)為(0,2),因為N￡)AB=60。，所以設(shè)。點的坐標(biāo)為(m,小"?)(//()).歷=(〃?，巾加)=源為+/￡正=以1,0)+〃(0,2)=(7,2"),貝1J 且〃=坐〃?，所以彳=43.

0A與皮的夾角為a,（2017?江蘇）如圖，在同一個平面內(nèi)，向量蘇，OB,歷的模分別為1,1,巾0A與皮的夾角為a,—>—> —> —> —?且tana=7,08與0C的夾角為45°.若0C=m0A+n0B(m,〃GR),則加+〃=7,a￡(0,；解析以O(shè)為坐標(biāo)原點，04所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則7,a￡(0,；7 ? , 1 > 7 7yc=|OC|sin 即.又刖+45。）=赤臉一赤喻3 45,sin(a+45°)=5?,得sina=5^^,cosa=5' > 7 7yc=|OC|sin 即.又刖+45。）=赤臉一赤喻3 45,sin(a+45°)=5?（一5,,），由愛（一5,,），由愛=用/+〃靈可得5〃?=不745=5n,57所以用+〃=^+^=3?則沖=|加|cos(a+450)=一5,沖=|加|sin(a+45°)=],即B(題型二平面向量的平行與垂直.已知向量4=(1,2),b=(2,-2),c=(l,2).若，〃(2"+力，則％=.11.答案2解析由題意得2a+b=(4,2),因為c=(l,A),c//(2a+b),所以41-2=0,解得7=彳.(2018?全國III)已知向量a=(l,2),6=(2,-2),c=(L2).若<?〃(2。+6),則>=..答案m解析2。+力=(4,2),因為c=(l,2),且。〃(2。+6),所以1x2=47,即TOC\o"1-5"\h\z.已知向量a=(2,4), 1),c=(2,3),若。+助與c共線，則實數(shù)%=( )2 2 3 3A.§ B.一§ C.§ D.一§.答案B解析解法一：a+勸=(2—九4+力，c=(2,3),因為a+勸與c共線，所以必定存在唯(2-A=2/i, |//=5'一實數(shù)〃，使得a+勸=〃c,所以一.、解得< .14+2=3〃， L=_22解法二：a+M=(2—X,4+z),c=(2,3),由。+勸與c共線可知3(2—z)=2(4+2),得4=一亍

"7.已知向量。=（2,3）,6=（—1,2）,若用。+成與。一3力共線，則［=.1 73.答案一§解析由二所以。與b不共線，又。-3。=（2,3）—3（—1,2）=（5,—3）知.那么當(dāng)〃喊+帥與。一3萬共線時，有牛=’4，即得［=一：.—3 nj已知O為坐標(biāo)原點，點A（6,3）,若點尸在直線OA上，且|而|=；|麗|,P是08的中點，則點8的坐標(biāo)為.答案（4,2）或（一12,-6）解析?.?點P在直線。4上，.?.辦〃屬，又辦|=g間I，；?辦=±1或，設(shè)點P(m,n),^5=(6—771,3-n）.①若芬=設(shè)點P(m,n),^5=(6—771,3-n）.①若芬=：可，貝或5，〃）=』6一m3—〃），/."7=宓一m,3f團=2,n=1,?.?。是。8的中點，...8（4,2）.②若/=一（可，則（布,〃)=1(6-zn,3—，），〃=一5一〃,"?=-6,AP(-6,-3),???「是08的中點，Jn=-3,3(—12,—6).綜上所述，點8的坐標(biāo)為（4,2)或(一12,—6).16.a+2b2a+ba~2b2a-b16.a+2b2a+ba~2b2a-b（2020?全國H）已知單位向量0,方的夾角為60。，則在下列向量中，與b垂直的是（）答案D解析由題意得|。|=步|=1,設(shè)。，〃的夾角為6=60。，故。心=|a||b|cos8=；.對A項，（a+2b)b=ab+2b2=^+2=^0；對B項，(2a+b)-b=2ab+b2=2X^+1=2^0；對C項，(a—2b}b=a-ft—2fc2=^—2=—2^0；對D項，(2a—b)-b=2a-b—l>i=2'X^—1=0.(2021?全國乙)己知向量a=(l,3),6=(3,4),若(。一勸)_L"貝317.答案j解析方法一。一勸=（1一3九3一織），:（a一勸）J_b,二（。一"）協(xié)=0,即（1一3九3—42＞（3,4）=0,3—94+12—16A=0,解得方法二由（a—M）_L"方可知，（〃一勸）心=0,即。?力一動2=0,從而a=第=與5*^=1|=,.（2020?全國U）已知單位向量a,b的夾角為45。,履一6與。垂直，則％=.18.答案坐解析由題意知（履-6）?a=0,即a=0.因為a,6為單位向量，且夾角為45°,所以AXl-ixiX坐=0,解得4=乎.（2018?北京）設(shè)向量a=（l,0）, m）.若a3）,則m=.

19.答案一1解析由題意得，〃以一一⑼，根據(jù)向量垂直的充要條件可得lx（〃?+l）+Ox（一zn）=O,所以m=—1.（2017?全國I）已知向量a=（—1,2）,b=（m,1）.若向量a+〃與0垂直，則機=.20.答案7解析因為。+。=（加一1,3）,與〃垂直，所以（"?-l）X（-l）+3X2=0,解得加=7.題型三面向■數(shù)量積（2012?浙江）在AABC中，M是BC的中點，AM=3,BC=10,則力?祀=.21.答案一16解析因為M是8c的中點，由極化恒等式得：荏?祀=依陷2—580|2=9一1xl00=一16.線段OC的中點，則辦.成C.1 D.-122.如圖，4AOB為直角三角形,OA=1線段OC的中點，則辦.成C.1 D.-1取A。中點Q,連接PQ,APdP=^PO=PQ1-AQ1=^-^=17623.如圖所示，A8是圓。的直徑，P是A8上的點，M,N是直徑AB上關(guān)于點O對稱的兩點，且AB=6,MN=4,則麗?俞=(MN=4,則麗?俞=( )B.7C.5D.323.答案C解析連接AP,8P,則前=司+啟，麗=麗+前=期一篇，所以聞/.麗=（謖+浦）?（兩

-AM)=RAPB-'^AM+AMPB-\AM\2=-'^AM+AMPB-\AM\2=AMAB-\AM\2=}x6-]=5.24.（2016?江蘇）如圖，在A48C中，。是BC的中點，E,尸是4。上的兩個三等分點.bAcA=4,bPcP=-1.則就?&：的值為=-1.則就?&：的值為3〃.根據(jù)向量的極化恒極化恒等式法設(shè)8O=￡）C=，”，AE=EF=FD=n則AD=等式，有荏?〃=而一彷^勿?一小2=4,祥.武=市一用=曰一向=一\.聯(lián)立解得n2=l，nroTOC\o"1-5"\h\z]4 7 7=V.因此說?反'-協(xié)』4”2-m2=?.即就.日=石.O O O坐標(biāo)法以直線8c為x軸，過點。且垂直于8c的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系wy,如圖：設(shè)A(3a,3b),B(-c,0),C(-c,0),則有E(2a,2b),F(a,b)赫氐=(3a+c,3b)(3a-c,5 13\o"CurrentDocument"3b)=9a2—c2-Jr9b2=4Bp-CF=(a+c,b)(a—c,b)=a2-c1+b2=—\t則”2+人=不，c2=vBkcko o, * 7=(2〃-c,2b)(2a—ct2b)=4a2—(r+4b2=^.4為一於4為一於36前2一任基向量BAcA=(DA-oS)(oX-Dt)=AZ7A2Rk2 C [a4筋一淤\6Ft2-Bt278,差@=(赤一而份-5t)= =-l,因此稱4筋一淤\6Ft2-Bt278,25.答案25.答案4IUUULIU.在梯形ABCO中，滿足AO〃BC,AD=\,BC=3,A^Dt=2,則證?防的值為解析過A點作AE平行于OC,交BC于E,取8E中點F,連接AF,過。點作￡)”平行LMJUUUUUUUL1L1U LH4U于AC,交8c延長線于H,E為8”中點，連接DE,AB-DC=ABAE=AF2-BF2=AF2-1=2,AC-BD=-DB-DH=BE2—DE：=4-DE2,又FE=BE-BF=1,AD//BC,則四邊形ADE尸為平行四邊形，AF=DE,ACBD26.在三角形ABC中，。為48中點，ZC=90°,AC=4,BC=3,E,尸分別為BC,AC上的動點，且EF=\,則成?而最小值為..答案Y解析設(shè)EF的中點為M,連接CM,則同玲即點M在如圖所示的圓瓠上，則成肝=|DX/|2-|E^2=|DXf|2-|>||CD|-1|2-1=y.

B（2017?全國II）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一B點，則麗.（麗+曲的最小值是（）A.—2B.D.-1圖①書),27.答案B解析解析法6(-1,0),C.則可=（—x,小-y）,Pi=（-l-x,-y）,Pt=（\~x,-y）,...可?（聞+亦=（.x,y[3-y）-（-2x,―2丫）=2（/+9—小丫）=2/+（y—坐）-當(dāng)且僅當(dāng)x=O,y=坐時，可.（彷B.D.-1圖①書),27.答案B解析解析法6(-1,0),C.幾何法如圖②所示，彷+元'=2前（。為BC的中點），則可?（防+宿=2可?可）.要使用?的最小，則可與用方向相反，即點P在線段40上，則（2用?協(xié)）min=-2|可||用問題轉(zhuǎn)化為求同||曲的最大值.又當(dāng)點P在線段AD上時，網(wǎng)|+|麗=瓦＞|=2普=小，聞聞區(qū)（網(wǎng)；幽）3 3 3=不.,.[^(^+^t)]min=(2fl4P&)min=—2X-=—故選B.極化恒等式法設(shè)BC的中點為O,AO的中點為M,連接OP, ...可?（國+能）=2劭?耳=2|麗1 3 3F—手彷|2=2伊”|2一於一夏.當(dāng)且僅當(dāng)M與。重合時取等號.28.已知正三角形4BC內(nèi)接于半徑為2的圓。，點P是圓。上的一個動點,

則可.聞的取值范圍是.28.答案［-2,6］解析取AB的中點O,連接CD,因為三角形ABC為正三角形，所以。為三角形48c的重心，。在CD上，且OC=2O￡>=2,所以。=3,AB=24.又由極化恒等式得：可?聞=|PD|2-1|AB|2=|PD|2-3,因為P在圓。上，所以當(dāng)尸在點C處時，IP/Y3,當(dāng)P在CO的延長線29.如圖，設(shè)A,B是半徑為2的圓。上的兩個動點，點C為A。中點，則動的，3]B.[1,3]C.[-3,-1]29.答案A解析建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，可得0(0,0),A(—2,0),C(-l,0),設(shè)29.如圖，設(shè)A,B是半徑為2的圓。上的兩個動點，點C為A。中點，則動的，3]B.[1,3]C.[-3,-1]29.答案A解析建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，可得0(0,0),A(—2,0),C(-l,0),設(shè)B(2cos仇0).(2cos3+1,2sin<9)=2cos(9