考點(diǎn)三十三 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系知識(shí)梳理.平面的概念數(shù)學(xué)中的平面是一個(gè)不加定義的原始概念，常見的桌面、黑板面、海平面都給我們平面的形象.幾何里所說的平面就是從這樣的一些物體抽象出來的，平面是無限延展的，沒有厚度，也沒有大小、輕重之分..空間中的四個(gè)公理及其推論公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論1：經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有與一個(gè)平面.推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行..等角定理空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)..直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類(2)異面宜線所成的角①定義：過空間任意一點(diǎn)尸分別引兩條異面直線a,b的平行線八，l2(a//lx，b//l2),這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線。，人所成的角.②范圍：(0，.5.空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系圖形語言符號語言公共點(diǎn)直線與面相交aC\a=A1個(gè)平行a//a0個(gè)在平面內(nèi)ac.a無數(shù)個(gè)平面與平行a//p0個(gè)相交aC0=l無數(shù)個(gè)面典例剖析題型一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用例1在下列命題中，不號公理的是.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線答案①解析由立體幾何基本知識(shí)知，②項(xiàng)為公理2,C項(xiàng)為公理1,④項(xiàng)為公理3,①項(xiàng)不是公理.變式訓(xùn)練下列結(jié)論正確的是.①經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面②經(jīng)過兩條相交直線，可以確定一個(gè)平面③經(jīng)過兩條平行直線，可以確定一個(gè)平面④經(jīng)過空間任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面答案3個(gè)解析當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)不能確定平面，故④不正確，①②③正確.解題要點(diǎn)三點(diǎn)不一定確定一個(gè)平面.當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可確定無數(shù)個(gè)平面.題型二空間直線的位置關(guān)系例2正方體AG中，E、尸分別是線段BC、CA的中點(diǎn)，則直線48與直線E尸的位置關(guān)系是.答案相交解析如圖所示，直線4出與直線外一點(diǎn)E確定的平面為ABC。，EFU平面48c且兩直線不平行，故兩直線相交.變式訓(xùn)練如圖是正四面體（各面均為正三角形）的平面展開圖，G、H、M、N分別為OE、BE、EF、EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，①GH與EF平行； ②BD與MN為異面直線；③G”與MN成60。角； ④。E與MN垂直.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號是.答案②③④解析還原成正四面體知G”與E尸為異面直線，8。與MN為異面直線，G”與MN成60。角，DE1.MN.解題要點(diǎn)1.空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：平行，相交和異面，要正確理解異面直線“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”的含義，不要理解成“不在同一個(gè)平面內(nèi)”..對于較復(fù)雜幾何體的線面關(guān)系判定問題，應(yīng)注意借助圖形，考察各點(diǎn)、線在空間中的相對位置..正四面體的特性：對棱都異面且互相垂直，記住這個(gè)特性有助于快速解題.題型三異面直線判定問題例3如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段A8,CD,EF,G”在原正方體中互為異面直線的對數(shù)為.答案3解析AB,CD,EF和G”在原正方體中如圖所示，顯然AB與CO,EF與GH,AB與G"都是異面直線，而AB與EF相交，C。與GH相交，CO與EF平行.故互為異面的直線有且只有三對.變式訓(xùn)練若直線/不平行于平面a,且?a,則.a內(nèi)的所有直線與/異面a內(nèi)不存在與/平行的直線a內(nèi)存在唯一的直線與/平行a內(nèi)的直線與/都相交答案②解析依題意，直線Sa=A（如圖）.a內(nèi)的直線若經(jīng)過點(diǎn)A,則與直線/相交；若不經(jīng)過點(diǎn)A,則與直線/是異面直線，故選②.解題要點(diǎn)判定異面直線有以下異面直線判定定理:平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的連線,與此平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.另外判定兩條直線異面，還可依據(jù)：①定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線；②既不平行也不相交的兩條直線是異面直線。題型四異面直線所成角的求解例4已知正方體ABC。一AiBCQi中，E、尸分別為8團(tuán)、CG的中點(diǎn)，那么異面直線AE與所成角的余弦值為.答案1解析如圖，連接OF,因?yàn)镺F與4E平行，所以NOE5即為異面直線AE與AF所成角的平面角，設(shè)正方體的棱長為2,長為2,則/7)i=FO=4,由余弦定理得cS皿="堪；「35-變式訓(xùn)練直三棱柱A8C-A181G中，若N8AC=90。，A8=AC=AA”則異面直線84與4G所成的角等于.答案60°解析如圖，可補(bǔ)成一個(gè)正方體,：.AC\//BD\,：.BA\與AG所成角的大小為乙4山。i.又易知△A］。為正三角形，...乙4iBDi=60。.即84與AG成60。的角.解題要點(diǎn)求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過平行移動(dòng)直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決.根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無關(guān),往往可以選在其中一條直線上(線面的端點(diǎn)或中點(diǎn))利用三角形求解.當(dāng)堂練習(xí)1.下列四個(gè)結(jié)論：(1)兩條直線都和同一個(gè)平面平行，則這兩條直線平行.(2)兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線平行.(3)兩條宜線都和第三條直線垂直，則這兩條直線平行.(4)一條直線和一個(gè)平面內(nèi)無數(shù)條直線沒有公共點(diǎn)，則這條直線和這個(gè)平面平行.其中正確的個(gè)數(shù)為.答案0解析對(1),兩條直線都和同一個(gè)平面平行，這兩條直線三種位置關(guān)系都有可能；對(2),兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線平行或異面；對(3),兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線三種位置關(guān)系都有可能；對(4),一條直線和一個(gè)平面內(nèi)無數(shù)條直線沒有公共點(diǎn)，則這條直線也可在這個(gè)平面內(nèi)..以下命題正確的是.①兩個(gè)平面可以只有一個(gè)交點(diǎn)②一條直線與一個(gè)平面最多有一個(gè)公共點(diǎn)③兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，它們可能相交⑤兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，它們一定重合答案③解析對于①，兩個(gè)平面有一個(gè)交點(diǎn)就有過這個(gè)點(diǎn)的公共直線，故①錯(cuò).對于②，直線在平面內(nèi)時(shí)，可以有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).對于④，當(dāng)三個(gè)公共點(diǎn)在同一直線上時(shí)，兩平面相交，故④錯(cuò)..正方體中，E,尸分別是線段Ci。，BC的中點(diǎn)，則直線48與直線E/的位置關(guān)系是.答案相交解析直線48與直線外一點(diǎn)E確定的平面為AiBCA，EFu平面AdCDi，且兩直線不平行，故兩直線相交..若兩條直線和一個(gè)平面相交成等角，則這兩條直線的位置關(guān)系是.答案平行、異面或相交解析當(dāng)平行、異面或相交時(shí)，均有兩條直線和一個(gè)平面相交成等角的情況出現(xiàn)..三個(gè)平面兩兩相交，則交線條數(shù)為.答案1或3課后作業(yè)一、填空題1.四個(gè)命題：(1)空間三條直線兩兩平行，則三條直線可確定三個(gè)平面；(2)空間三點(diǎn)可確定一個(gè)平面；(3)空間一點(diǎn)和一條直線可確定一個(gè)平面；(4)4與B兩點(diǎn)到直線/距離相等，則直線/和AB確定一個(gè)平面.其中正確命題的個(gè)數(shù)為.答案。個(gè)解析(1)若三條直線在同一個(gè)平面內(nèi)，則確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；(2)若三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上則不能確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；(3)空間上一點(diǎn)若在直線上，則不能確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；(4)若過A、B兩點(diǎn)的直線與直線/異面正方體的棱與底面的對角線異面A、B兩點(diǎn)為兩頂點(diǎn))，不能確定一個(gè)平面.2.給定四個(gè)命題：(1)一平面的面積可以等于100cm3；(2)平面是矩形或平行四邊形形狀：(3)鋪得很平的一張白紙是一個(gè)平面；(4)20個(gè)平面重合在一起比一個(gè)平面厚20倍，其中正確的有.答案0解析根據(jù)平面的概念知，四個(gè)命題都不正確..對于空間中的兩條直線，“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點(diǎn)”的 條件答案充分不必要解析???兩條直線為異面直線=這兩條直線沒有公共點(diǎn)，反之，當(dāng)兩條直線沒有公共點(diǎn)時(shí)，未必是異面直線，“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點(diǎn)”的充分不必要條件..已知異面直線小6分別在平面a,夕內(nèi)，且aCQ=c,那么直線c一定.（填序號）①與m人都相交②只能與a，%中的一條相交③至少與a,〃中的一條相交④與a,6都平行答案③解析若c與a,b都不相交，則c與a,8都平行，則a〃占與a,/?異面相矛盾..若12,/3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是.（填序號）①/」/2，l2±h=＞li//h②/2〃/3=/」，3③l\//h.//b=l\，，2，，3共面@/|＞，2，，3共點(diǎn)=/|，，2,，3共面答案②解析當(dāng)，2~L/3時(shí)，八與八也可能相交或異面，故①不正確；h.〃h=h1h，故②正確；當(dāng)/1〃/2〃/3時(shí)，/l，h，/3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故③不正確；/1，12,，3共點(diǎn)時(shí)，/1,11＞，3未必共面，如正方體中從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，故④不正確..設(shè)尸表示一個(gè)點(diǎn)，a,〃表示兩條直線，a,4表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是.（填序號）①PGa,PCa=aUa； ?adb=P,6U片aU￡；@a//b,aUa,PGb,PRa=bUg ④aA夕=b,P&a,PGfJnPGb.答案③④解析當(dāng)aCa=P時(shí)，PGa,PGa,但Ha,，①錯(cuò)；時(shí)，②錯(cuò)；如圖，'：a//b,PGb,：.P^a.由直線。與點(diǎn)P確定唯一平面a.又a〃6,由a與6確定唯一平面夕，但夕經(jīng)過直線a與點(diǎn)P,力與a重合，.，.bUa,故③正確;兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上，故④正確..若兩個(gè)平面互相平行，則分別在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線.答案平行或異面解析兩平行平面內(nèi)的直線可能平行，也可能異面，就是不可能相交..一個(gè)正方體的展開圖如圖所示，A、B、C、。為原正方體的頂點(diǎn)，則在原來的正方體中.（填序號）.@AB//CD ②A8與C￡＞相交?ABLCD ④AB與C￡）所成的角為60。答案④解析如圖，把展開圖中的各正方形按圖（㈤所示的方式分別作為正方體的前、后、左、右、上、下面還原，得到圖（b）所示的直觀圖，可見選項(xiàng)①、②、③不正確....正確選項(xiàng)為④.圖（%）中，DE//AB,NCQE為AB與8所成的角，ACDE為等邊三角形,：.ZCDE=60°..如圖，在正方體ABC。-AiBiGQi中，M、N分別為棱GA、GC的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與CG是相交直線； ②直線AM與8N是平行直線；③直線BN與MBi是異面直線； ④直線AM與05是異面直線.其中正確的結(jié)論為（注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上）.答案③④解析直線AM與CG是異面直線，直線AM與8N也是異面直線，故①②錯(cuò)誤..如圖，在正方體ABCDAiBiGOi中，M、N分別是棱C。、CG的中點(diǎn)，則異面直線AiM與DN所成的角的大小是.答案90°解析如圖所示，取CN的中點(diǎn)K,連接MK,則為△CCN的中位線，所以MK〃DN.所以N4MK為異面直線AiM與。N所成的角（或其補(bǔ)角）.連接AiG，AM.設(shè)正方體棱長為4,則AiK=\/（4■揚(yáng)2+32=相,MK=/n=%42+22=鄧,AtM=y]42+42+22=6,故4”+用心=人|心，即N4MK=90。..如圖所示，4BCD4iBiGQi是長方體，AAj=a,ZBAB]=ZB\AiCi=30°,則AB與AiG所成的角為，AAi與8C所成的角為.答案30。45°解析 二/BACj是AB與A￡所成的角，與AiG所成的角為的。.,.?A4〃B8i，.,./BBiC是A4與81c所成的角，由已知條件可以得出8S=a,ABl=AlCl=2a,AB=^a,，BiG=BC=a....四邊形BBiGC是正方形，/.ZBB,C=45°.二、解答題.直三棱柱4BC—AiBiG中，若NB4C=90。，AB=AC=AAi,求異面直線B4與AG所成的角.解