高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)高等數(shù)學(xué)A（1）第十講函數(shù)的連續(xù)性授課教師：第三章函數(shù)的連續(xù)性本章學(xué)習(xí)要求：理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)以及在區(qū)間上連續(xù)的概念，會判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。了解基本初等函數(shù)和初等函數(shù)的連續(xù)性以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（介值定理、最值定理）。第三章函數(shù)的連續(xù)性第一、二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)一、連續(xù)函數(shù)的概念二.函數(shù)的間斷點(diǎn)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算及其基本性質(zhì)四.初等函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的概念極限形式增量形式設(shè)f

(x)在

U(x0)內(nèi)有定義,

若則稱函數(shù)f

(x)在點(diǎn)

x0處是連續(xù)的.1.函數(shù)連續(xù)性的定義(極限形式)

可減弱：x0為聚點(diǎn)

函數(shù)的連續(xù)性是一個(gè)局部性的概念,是逐點(diǎn)定義的.定義是整個(gè)鄰域函數(shù)

f

(x)在點(diǎn)

x0處連續(xù),應(yīng)該滿足以下三點(diǎn)：(1)f(x)在

U(x0)內(nèi)有定義

(包括在點(diǎn)

x0處有定義)(極限值等于函數(shù)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值)函數(shù)y=x2在點(diǎn)

x=0處是否連續(xù)

?

函數(shù)

y=x2在點(diǎn)

x=0處連續(xù).又且y=x2在

U(0)內(nèi)有定義,例1解

函數(shù)的連續(xù)性是通過極限定義的,當(dāng)然可以運(yùn)用《

》語言描述它.2.連續(xù)性的《－語言》形式設(shè)函數(shù)f(x)

在

U(x0)內(nèi)有定義.,若,當(dāng)|xx0|<時(shí),有則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0處是連續(xù)的.|

f(x)f

(x0)|<成立,定義3.連續(xù)性概念的增量形式在某過程中,變量u的終值

u2與它的初值

u1的差

u2u1,稱為變量

u在

u1處的增量,

記為u=u2－u1.定義u是一個(gè)整體記號,它可以取正值、負(fù)值或零.有時(shí)我們也稱

u為變量

u在

u1處的差分.

設(shè)函數(shù)f(x)在

U(x0)內(nèi)有定義,xU(x0),則稱x=xx0為自變量

x在

x0點(diǎn)處的增量.=f

(x0+

x)

f

(x0).y=f

(x)

f

(x0)xyOx0xxyy=f

(x)此時(shí),

x=x0+x,相應(yīng)地,函數(shù)在點(diǎn)

x0點(diǎn)處有增量

y,且

連續(xù)性概念的增量形式則稱f(x)在點(diǎn)

x0處連續(xù).設(shè)f

(x)在

U(x0)內(nèi)有定義.若定義自變量的增量趨于零時(shí),函數(shù)的增量也趨于零.4.函數(shù)的左、右連續(xù)性設(shè)函數(shù)f

(x)在

[x0,x0+)內(nèi)有定義.若則稱f

(x)在

x0點(diǎn)處右連續(xù).設(shè)函數(shù)f(x)在

(x0–,x0]內(nèi)有定義.若則稱f

(x)在

x0點(diǎn)處左連續(xù).其中,為任意常數(shù).定義

函數(shù)在點(diǎn)x0

連續(xù),等價(jià)于它在點(diǎn)x0

既左連續(xù)又右連續(xù).定理討論y=|x|,x()在點(diǎn)

x=0處

y=|x|在點(diǎn)

x=0處連續(xù).xyy=|x|O的連續(xù)性.例2解討論y=sgnx在點(diǎn)

x=0處的連續(xù)性.sgnx＝1, x>0,sgnx|x=0=sgn0=0故符號函數(shù)

y=sgnx在點(diǎn)

x=0處不連續(xù).0, x=0,1, x<0.例3解討論函數(shù)f

(x)=x2,

x

1,在x=1處的連續(xù)性.函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=1處不連續(xù).故函數(shù)f

(x)在點(diǎn)x=1處是左連續(xù)的.x+1,x

>1,但由于例4解5.函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性設(shè)函數(shù)f

(x)在開區(qū)間

(a,

b)內(nèi)有定義.若

x0(a,

b),f(x)在點(diǎn)

x0處連續(xù),則稱f

(x)在開區(qū)間

(a,

b)內(nèi)連續(xù),記為f(x)C((a,b)).定義若f(x)C((a,b)),且f(x)在

x=a處右連續(xù),在端點(diǎn)

x=b處左連續(xù),則稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間

[a,b]上連續(xù),記為f(x)C([a,b]).對半開閉區(qū)間和無窮區(qū)間可類似定義連續(xù)性定義一般地,如果函數(shù)f(x)在區(qū)間

I上連續(xù),則記為

f(x)C(I).例5介紹李普希茨(Lipschitz)連續(xù)性、赫爾德(h?lder)連續(xù)性.二.函數(shù)的間斷點(diǎn)

通常將函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)叫做函數(shù)的間斷點(diǎn).函數(shù)

f

(x)在點(diǎn)

x0處連續(xù),應(yīng)該滿足以下三點(diǎn)：(1)f(x)在

U(x0)內(nèi)有定義

(包括在點(diǎn)

x0處有定義)(極限值等于函數(shù)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值)(1)f

(x)在

x0處無定義.1.函數(shù)間斷點(diǎn)的定義滿足下述三個(gè)條件中的任何一個(gè),則稱函數(shù)

f

(x)若函數(shù)f

(x)在內(nèi)有定義,且在點(diǎn)

x0處在點(diǎn)

x0處間斷,點(diǎn)

x0稱為函數(shù)

f

(x)的一個(gè)間斷點(diǎn)：定義求函數(shù)間斷點(diǎn)的途徑:(1)f

(x)在

x0處無定義,但f

(x)在內(nèi)有定義.(2)中至少有一個(gè)不存在.(3)存在,但不相等.(4)但

a

f

(x0

).2.函數(shù)間斷點(diǎn)的分類

函數(shù)的間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)跳躍可去無窮振蕩其它(1)

第一類間斷點(diǎn)若x0為函數(shù)

f

(x)的一個(gè)間斷點(diǎn),且f

(x)的第一類間斷點(diǎn).則稱

x0為函數(shù)定義討論函數(shù)f

(x)=x+1 x

>0sinx

x

<0在x=0處的連續(xù)性.yxO1y=sinxy＝x+1

由圖可知,函數(shù)在點(diǎn)x0處間斷.例6故x=0是

f

(x)的第一類間斷點(diǎn).

將左、右極限存在但不相等的間斷點(diǎn),

稱為函數(shù)的跳躍型間斷點(diǎn).解討論函數(shù)在x=1無定義,故x=1為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn).x=1為函數(shù)的間斷點(diǎn).yxO11P(1,2)y＝

x+1

進(jìn)一步分析該間斷點(diǎn)的特點(diǎn).例7解補(bǔ)充定義則函數(shù)f*(x)

在

x=1連續(xù).f*

(x)

=2x=1即定義分析這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).處函數(shù)值后,可得到一個(gè)新的連續(xù)函數(shù),故將在且相等,即極限存在,經(jīng)過補(bǔ)充定義間斷點(diǎn)這個(gè)間斷點(diǎn)的特點(diǎn)是該處的左、右極限存

補(bǔ)充定義f*

(x)

=,x=x0

跳躍型間斷點(diǎn)

可去間斷點(diǎn)

第一類間斷點(diǎn)

左右極限存在

極限不相等

極限相等、補(bǔ)充定義(2)第二類間斷點(diǎn)

凡不屬于第一類的間斷點(diǎn),

稱為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn).這算定義嗎？定義即左右極限至少有一個(gè)不存在的點(diǎn).討論函數(shù)xyO在x

=0無定義,x

=0為函數(shù)的間斷點(diǎn),故

x

=0為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn).所以稱它為無窮間斷點(diǎn).由于例8解在x

=0處無定義,又不存在,故x=0為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn).

看看該函數(shù)的圖形.例9解O11xy

無窮型間斷點(diǎn)

其它間斷點(diǎn)

第二類間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在左右極限至少有一個(gè)為無窮

振蕩型間斷點(diǎn)

左右極限至少有一個(gè)振蕩連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算及其基本性質(zhì)回憶函數(shù)極限的四則運(yùn)算則1.連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算

設(shè)函數(shù)f(x)、g(x),fi(x)在點(diǎn)

x0處連續(xù),則即

有限個(gè)在點(diǎn)x0

處連續(xù)函數(shù)的和仍是一個(gè)在點(diǎn)x0處連續(xù)的函數(shù).即(2)有限個(gè)在點(diǎn)x0處連續(xù)的函數(shù)之積仍是一個(gè)在點(diǎn)x0處的連續(xù)函數(shù).即(3)兩個(gè)在點(diǎn)x0處連續(xù)函數(shù)的商,當(dāng)分母不為零時(shí),仍是一個(gè)在點(diǎn)x0處連續(xù)函數(shù).即2.幾個(gè)重要定理

這些定理與極限中的定理類似xyy=f(x)y=|f(x)|O若f

(x)在區(qū)間I上連續(xù),則|

f

(x)|仍在I上連續(xù).定理1

該定理的逆命題不成立.例如,f(x)=1,x為有理數(shù),1,x為無理數(shù).注意：例10證若函數(shù)f

(x)在點(diǎn)

x0連續(xù),且f

(x0)>0,(或f

(x0)<0),則必

>0,使當(dāng)xU(x0,)時(shí),有f(x)>0(或

f(x)<0).定理2(保號性定理)反函數(shù)的連續(xù)性

y

=f

－1(x)的圖形只是

y=f

(x)的圖形繞直線y=x

翻轉(zhuǎn)

180o

而成,故單調(diào)性、連續(xù)性仍保持.從幾何上看:x=f

－1(y)與y=f

(x)的圖形相同,連續(xù)性保持.從而,單調(diào)性、設(shè)函數(shù)y=f

(x)在區(qū)間I上嚴(yán)格單調(diào)增加(減少)且連續(xù),

則其反函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間

I*={y|y=f(x),xI}上嚴(yán)格單調(diào)增加

(減少)

且連續(xù).定理3(反函數(shù)連續(xù)性定理)xy11Oxy11O例11討論復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性如果

y=f(u)在

u0處連續(xù),則

,當(dāng)

|uu0|<時(shí),有

|f(u)

f

(u0)|<再假設(shè)u=(x),且在x0處連續(xù),即亦即|u

u0|=|(x)

(x0)|<

故對上面的

,

,當(dāng)

|x

x0|<時(shí),

有則

,當(dāng)

|x

x0|<

時(shí),|u

u0|=|(x)

(x0)|<

且有（假設(shè)可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)）|f(u)

f(u0)|＝|f((x))f((x0))|<

有上面的推導(dǎo),你想到了什么？

是關(guān)于復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理？

怎么寫出以上推導(dǎo)的結(jié)論?自己想一想,動(dòng)手寫一下.設(shè)函數(shù)u=(x)在點(diǎn)

x0處連續(xù),且u0

=

(x0),函數(shù)

y=f(u)在

u0處連續(xù).若復(fù)合函數(shù)y=f((x))在

U(x0)內(nèi)則

y=f((x))在

x0點(diǎn)處連續(xù).有定義,

這個(gè)條件有必要嗎？定理4(復(fù)合函數(shù)連續(xù)性定理)u=cosx1是在定義域內(nèi)的定義域是一個(gè)孤立點(diǎn)集D={x|x=2k,kZ