a1第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析自動(dòng)控制理論普通高等教育“十一五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材a1第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析自動(dòng)控制理論普通高等教育“十一五a2典型輸入信號(hào)。條件：1能反映實(shí)際輸入；2在形式上盡可能簡(jiǎn)單，便于分析；3使系統(tǒng)運(yùn)行在最不利的工作狀態(tài)。tf(t)01考查系統(tǒng)對(duì)恒值信號(hào)的跟蹤能力第一節(jié)典型的測(cè)試信號(hào)a2典型輸入信號(hào)。tf(t)01考查系統(tǒng)對(duì)恒值信號(hào)的跟蹤a3R=1，稱單位斜坡函數(shù),記為t，

2.斜坡函數(shù)（等速度函數(shù)）

tf(t)0考查系統(tǒng)對(duì)勻速信號(hào)的跟蹤能力a3R=1，稱單位斜坡函數(shù),記為t，2.a4

3.拋物線函數(shù)（等加速度函數(shù)）R=1，稱單位拋物線函數(shù),記為tf(t)0考查系統(tǒng)的機(jī)動(dòng)跟蹤能力a43.拋物線函數(shù)（等加速度函數(shù)）R=1，稱單位拋物線函a5

4.脈沖函數(shù)具有左圖形狀的信號(hào)被稱為矩型脈動(dòng)信號(hào),其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:由圖可見(jiàn),脈動(dòng)信號(hào)的面積為R.當(dāng)脈動(dòng)信號(hào)的寬度時(shí),其高度為,但面積乃為R.把寬度時(shí)的矩型脈動(dòng)信號(hào)定義為脈沖信號(hào),而其面積R稱為脈沖信號(hào)的脈沖強(qiáng)度.a54.脈沖函數(shù)具有左圖形狀的信號(hào)被稱為矩型脈動(dòng)信號(hào),a6當(dāng)R=1時(shí),叫做單位脈沖信號(hào),用

其數(shù)學(xué)表達(dá)式為而其面積為:單位脈沖信號(hào)用下圖表示:強(qiáng)度不為1而為R的脈沖信號(hào)用表示.表示,考查系統(tǒng)在脈沖擾動(dòng)下的恢復(fù)情況a6當(dāng)R=1時(shí),叫做單位脈沖信號(hào),用其數(shù)學(xué)表達(dá)a7

各函數(shù)間關(guān)系：（5）正弦函數(shù)a7各函數(shù)間關(guān)系：（5）正弦函數(shù)a8補(bǔ)充：時(shí)域性能指標(biāo)c(t)=ct(t)+css(t)=暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

1.暫態(tài)性能指標(biāo)

圖3－2a8補(bǔ)充：時(shí)域性能指標(biāo)c(t)=ct(t)+css(a9(1)延遲時(shí)間td：c(t)從0到0.5c(∞)的時(shí)間。(2)上升時(shí)間tr：c(t)第一次達(dá)到c(∞)的時(shí)間。無(wú)超調(diào)時(shí),c(t)從0.1c(∞)到0.9c(∞)的時(shí)間。(3)峰值時(shí)間tp：c(t)到達(dá)第一個(gè)峰值的時(shí)間(4)調(diào)節(jié)時(shí)間ts：c(t)衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過(guò)±2%或±5%所需的時(shí)間。通常該偏差范圍稱作誤差帶,用符號(hào)△表示，即△

=2%或△

=5%

。(5)超調(diào)量：c(t)最大峰值偏離穩(wěn)態(tài)值的部分，常用百分?jǐn)?shù)表示，描述的系統(tǒng)的平穩(wěn)性。a9(1)延遲時(shí)間td：c(t)從0到0.5c(∞)的時(shí)間a102.穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)

穩(wěn)態(tài)誤差ess：穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值。即最后一節(jié)細(xì)講。a102.穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)最后一節(jié)細(xì)講。a11凡是可用一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。T＝RC，時(shí)間常數(shù)。其典型傳遞函數(shù)及結(jié)構(gòu)圖為：第二節(jié)一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)RC

r(t)c(t)1Ts﹣+R(s)C(s)1Ts+1R(s)C(s)一、數(shù)學(xué)模型a11凡是可用一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。T＝RCa12tc(t)

０T

2T3T4T

當(dāng)輸入信號(hào)r(t)=1(t)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)稱作其單位階躍響應(yīng)。二、單位階躍響應(yīng)

響應(yīng)曲線在[0，）的時(shí)間區(qū)間中始終不會(huì)超過(guò)其穩(wěn)態(tài)值，把這樣的響應(yīng)稱為非周期響應(yīng)。無(wú)振蕩0.6320.950.9820.8651.0a12tc(t)０T2T3Ta13一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)

一階系統(tǒng)響應(yīng)具備兩個(gè)重要的特點(diǎn)：①可以用時(shí)間常數(shù)T去度量系統(tǒng)輸出量的數(shù)值。②響應(yīng)曲線的初始斜率等于1/T。

０T

2T3T4T

tc(t)0.6320.950.9820.8651.0T反映了系統(tǒng)的慣性。T越小慣性越小，響應(yīng)快！T越大，慣性越大，響應(yīng)慢。a13一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)一階系統(tǒng)響應(yīng)具備兩個(gè)重要a14三、單位斜坡響應(yīng)

[r(t)=t]tc(t)0r(t)=tc(t)=t﹣T+Te﹣t/T

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是一個(gè)與輸入斜坡函數(shù)斜率相同但在時(shí)間上遲后了一個(gè)時(shí)間常數(shù)T的斜坡函數(shù)。TT穩(wěn)態(tài)分量（跟蹤項(xiàng)+常值）暫態(tài)分量a14三、單位斜坡響應(yīng)[r(t)=t]tc(ta15

表明過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后，其穩(wěn)態(tài)輸出與單位斜坡輸入之間，在位置上仍有誤差，一般叫做跟蹤誤差。比較階躍響應(yīng)曲線和斜坡響應(yīng)曲線：

在階躍響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而減小，最終趨于0，而在初始狀態(tài)下，位置誤差最大，響應(yīng)曲線的斜率也最大；無(wú)差跟蹤

在斜坡響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而增大，最終趨于常值T，在初始狀態(tài)下，位置誤差和響應(yīng)曲線的斜率均等于0。有差跟蹤。

0tc(t)1.0tc(t)0r(t)=tTTa15表明過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后，其穩(wěn)態(tài)輸出與單位斜坡a16四、單位脈沖響應(yīng)

[R(s)=1]

它恰是系統(tǒng)的閉環(huán)傳函，這時(shí)輸出稱為脈沖（沖激）響應(yīng)函數(shù)，以h(t)標(biāo)志。

求系統(tǒng)閉環(huán)傳函提供了實(shí)驗(yàn)方法，以單位脈沖輸入信號(hào)作用于系統(tǒng)，測(cè)定出系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，可以得到閉環(huán)傳遞函數(shù)。對(duì)應(yīng)T2T3Tth(t)01/T0.368/T0.135/T0.05/Ta16四、單位脈沖響應(yīng)[R(s)=1]它恰是系統(tǒng)a17線性定常系統(tǒng)的重要性質(zhì)

2.在零初始條件下，當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)為原來(lái)輸入信號(hào)時(shí)間的積分時(shí)，系統(tǒng)的輸出則為原來(lái)輸出對(duì)時(shí)間的積分，積分常數(shù)由零初始條件決定。

1.當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)為原來(lái)輸入信號(hào)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，這時(shí)系統(tǒng)的輸出則為原來(lái)輸出的導(dǎo)數(shù)。a17線性定常系統(tǒng)的重要性質(zhì)2.在零初始條a18例：已知一階元件的傳遞函數(shù)為K0G

(s)KHrC(s)–,今系統(tǒng)采用負(fù)反饋的辦法將過(guò)渡時(shí)間ts減小為原來(lái)的0.1倍，并保證總放大系數(shù)不變，求K0,KHa18例：已知一階元件的傳遞函數(shù)為K0G(s)KHrC(sa19解：a19解：a20a20a21一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型標(biāo)準(zhǔn)化二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為：

閉環(huán)傳遞函數(shù)為

二階系統(tǒng)有兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)ξ(阻尼比)和n(無(wú)阻尼振蕩頻率)

。二階系統(tǒng)的性能分析和描述，都是用這兩個(gè)參數(shù)表示的。第三節(jié)二階系統(tǒng)的時(shí)域分析s(s+2ξn)R(s)C(s)n2

﹣+開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為a21一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型閉環(huán)傳遞函數(shù)為二a22微分方程式為：

對(duì)于不同的二階系統(tǒng)，阻尼比和無(wú)阻尼振蕩頻率的含義是不同的。

例如:RLC電路RCr(t)c(t)La22微分方程式為：對(duì)于不同的二階系統(tǒng)，阻尼a23

j

0二、二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，即

s2+2ξns+n2=0其兩個(gè)特征根為：

上述二階系統(tǒng)的特征根表達(dá)式中，隨著阻尼比ξ

的不同取值，特征根有不同類型的值，或者說(shuō)在s平面上有不同的分布規(guī)律。分述如下：s1s2ξ>1時(shí)，特征根為一對(duì)不等值的負(fù)實(shí)根，位于s平面的負(fù)實(shí)軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為過(guò)阻尼的。a23j0二、二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)二階系統(tǒng)的a24(3)

0<ξ

<1

時(shí)，特征根為一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，位于s平面的左半平面上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為欠阻尼的。(2)ξ=1時(shí)，特征根為一對(duì)等值的負(fù)實(shí)根，位于s平面的負(fù)實(shí)軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為臨界阻尼的。

j

0s1=s2=

nns1s2

jd

ξn

j

0a24(3)0<ξ<1時(shí)，特征根為一對(duì)具有負(fù)實(shí)部a25

j

0

(4)ξ=0時(shí)，特征根為一對(duì)幅值相等的虛根，位于s平面的虛軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為無(wú)阻尼的等幅振蕩過(guò)程。

jn

j

0

(5)ξ<0時(shí)，特征根位于s平面的右半平面，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為幅值隨時(shí)間增加而發(fā)散。s1s2a25j0(4)ξ=0時(shí)，特征根為a26

j

0s1s2

j

0s1=s2ns1s2

jd

ξn

j

0

j

0

jn

阻尼比取不同值時(shí)，二階系統(tǒng)根的分布ξ>1ξ=10<ξ<1ξ=0a26j0s1s2j0s1=a27三、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由式，其輸出的拉氏變換為式中s1，s2是系統(tǒng)的兩個(gè)閉環(huán)特征根。

對(duì)上式兩端取拉氏反變換，可以求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達(dá)式。阻尼比在不同的范圍內(nèi)取值時(shí)，二階系統(tǒng)的特征根在s平面上的位置不同，二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)對(duì)應(yīng)有不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。下面分別加以討論。a27三、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由式，其輸出的拉氏變換為式中a281、欠阻尼情況0<ξ<1

j

ns1s2

jd

ξn0（1）、單位階躍響應(yīng)查表可得：a281、欠阻尼情況0<ξ<1jns1sa29

欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由兩部分組成：穩(wěn)態(tài)分量為1，表明系統(tǒng)在1(t)作用下不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差；瞬態(tài)響應(yīng)是阻尼正弦項(xiàng)，其振蕩頻率為阻尼振蕩頻率ωd，而其幅值則按指數(shù)曲線衰減，兩者均由參數(shù)ξ

和n決定。c(t)t01衰減振蕩

(2)響應(yīng)曲線a29欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由兩部分a30Mp（3）動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)

常用tr

,

tp

,Mp

,

ts

四個(gè)性能指標(biāo)來(lái)衡量瞬態(tài)響應(yīng)的好壞。

c(t)t010.50.05或0.02tr

tp

tstda30Mp（3）動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)常用tr,tp,a31①上升時(shí)間tr

：從零上升至第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間，是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。tr越小，響應(yīng)越快。②峰值時(shí)間tp：響應(yīng)超過(guò)穩(wěn)態(tài)值，到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。a31①上升時(shí)間tr：從零上升至第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間a32③超調(diào)量Mp：響應(yīng)曲線偏離階躍曲線最大值，用百分比表示。a32③超調(diào)量Mp：響應(yīng)曲線偏離階躍曲線最大值，用百分比表示a33Mp只是ξ

的函數(shù)，其大小與自然頻率ωn無(wú)關(guān)。ξ

Mp④調(diào)節(jié)時(shí)間ts

：響應(yīng)曲線衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過(guò)5%所需要的時(shí)間。

工程上，當(dāng)0.1<ξ

<0.9

時(shí)，通常用下列二式近似計(jì)算調(diào)節(jié)時(shí)間。△=5%c(∞)△=2%c(∞)a33Mp只是ξ的函數(shù)，其大小與自然頻率ωn無(wú)a34⑤延遲時(shí)間td

：從零第一次上升至穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時(shí)間。a34⑤延遲時(shí)間td：從零第一次上升至穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時(shí)a35總結(jié)：各性能指標(biāo)之間是有矛盾的。

(1)ωn

一定，使trtp

ξ

使ts

ξ

(ξ

一定范圍)必須必須必須(2)ξ

一定，使

trtpts

ωn

(3)ξ

Mp

只由ξ

決定必有a35總結(jié)：各性能指標(biāo)之間是有矛盾的。(1)ωn一定，a36例3-1單位負(fù)反饋隨動(dòng)系統(tǒng)如圖所示(1)確定系統(tǒng)的阻尼比和無(wú)阻尼自然頻率。(2)若K=16(rad/s)、T=0.25(s)，試計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。解:(1)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為與典型二階系統(tǒng)比較可得：K/T=n21/T=2ns(Ts+1)R(s)C(s)K﹣+a36例3-1單位負(fù)反饋隨動(dòng)系統(tǒng)如圖所示(1)確定系統(tǒng)的a37(2)K=16，T=0.25時(shí)(=0.05)K/T=n21/T=2na37(2)K=16，T=0.25時(shí)(=0.0a38例3-2已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試求系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。

解：由系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，直接求出超調(diào)量和峰值時(shí)間。

Mp=30%tp=0.1求解上述二式，得到=0.357，n=33.65(rad/s)。于是二階系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為1c(t)t01.30.1a38例3-2已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示a39(2)無(wú)阻尼情況ξ=0c(t)t0等幅振蕩a39(2)無(wú)阻尼情況ξ=0c(t)t0等幅振蕩a40（3）臨界阻尼情況ξ=1

s1,2=n

此時(shí)響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為1的非周期上升過(guò)程，其變化率t=0，變化率為0；t>0變化率為正，c(t)單調(diào)上升；

t→∞

，變化率趨于0。整個(gè)過(guò)程不出現(xiàn)振蕩，無(wú)超調(diào)，穩(wěn)態(tài)誤差＝0。tc(t)01a40（3）臨界阻尼情況ξ=1此時(shí)響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為1a41（4）過(guò)阻尼情況ξ>1

響應(yīng)特性包含兩個(gè)單調(diào)衰減的指數(shù)項(xiàng)，且它們的代數(shù)和不會(huì)超過(guò)1，因而響應(yīng)是非振蕩的。調(diào)節(jié)速度慢。（不同于一階系統(tǒng)）

0tc(t)1.0tsa41（4）過(guò)阻尼情況ξ>1響應(yīng)特性包含兩個(gè)a42（5）不穩(wěn)定系統(tǒng)

ξ<0，不討論總結(jié)：

1）ξ<0時(shí)，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；

2）ξ>＝1時(shí)，響應(yīng)與一階系統(tǒng)相似，無(wú)超調(diào)，但調(diào)節(jié)速度慢；

3）ξ＝0時(shí)，無(wú)過(guò)渡過(guò)程，直接進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，響應(yīng)等幅振蕩；

4）0<ξ<1時(shí)，響應(yīng)有超調(diào)，但上升速度快，調(diào)節(jié)時(shí)間短，合理ξ選擇可使既快又平穩(wěn)，工程上把ξ＝0.707的二階系統(tǒng)稱為二階最優(yōu)系統(tǒng)；a42（5）不穩(wěn)定系統(tǒng)ξ<0，不討論總結(jié)：a43G(s)，H(s)

一般是復(fù)變量s的多項(xiàng)式之比，故上式可記為第四節(jié)高階系統(tǒng)的時(shí)域分析一、高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖所示。其閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)a43G(s)，H(s)一般是復(fù)變量s的多項(xiàng)式之比，故上a44

式中0<ξ

k<1

。即系統(tǒng)有q

個(gè)實(shí)極點(diǎn)和r

對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。稱為系統(tǒng)閉環(huán)特征根，或閉環(huán)極點(diǎn)。

根據(jù)能量的有限性，分子多項(xiàng)式的階次m不高于分母多項(xiàng)式的階次n。對(duì)上式進(jìn)行因式分解，可以表示為a44式中0<ξk<1。即系統(tǒng)有q個(gè)實(shí)極a45

取拉氏反變換，并設(shè)全部初始條件為零，得到系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的時(shí)間表達(dá)式：

于是，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換：式中；k

=arccosξ

k

；Ak、Bk是與C(s)在對(duì)應(yīng)閉環(huán)極點(diǎn)上的留數(shù)有關(guān)的常數(shù)。a45取拉氏反變換，并設(shè)全部初始條件為零，得到系統(tǒng)單a46

上式表明，如果系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的各暫態(tài)分量都將隨時(shí)間的增長(zhǎng)而趨近于零，這時(shí)稱高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的。二、閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)

1）高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)各分量的衰減快慢由pi，ξkn決定，也即閉環(huán)極點(diǎn)負(fù)實(shí)部的絕對(duì)值越大，相應(yīng)的分量衰減越快。

2）各分量所對(duì)應(yīng)的系數(shù)由系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布決定。

3）系統(tǒng)的零極點(diǎn)共同決定了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀。a46上式表明，如果系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)a474）對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的極點(diǎn)，稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。

條件：

1距離s平面虛軸較近，且周?chē)鷽](méi)有其它的閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)；對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量衰減緩慢，起主要作用。不會(huì)構(gòu)成閉環(huán)偶極子，產(chǎn)生零極點(diǎn)相消現(xiàn)象。

2其實(shí)部的絕對(duì)值比其它極點(diǎn)小5倍以上。

應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，可以把一些高階系統(tǒng)近似為一階或二階系統(tǒng)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的近似評(píng)估。一般情況，高階系統(tǒng)具有振蕩性，所以主導(dǎo)極點(diǎn)常常是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。找到了一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能就可以應(yīng)用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來(lái)近似估計(jì)。a474）對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的極點(diǎn)，稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。a48穩(wěn)定性是對(duì)系統(tǒng)的基本要求，探討系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施。一穩(wěn)定的概念和定義

如果系統(tǒng)受到擾動(dòng)，當(dāng)擾動(dòng)取消后，系統(tǒng)都能初始平衡狀態(tài)，則這種系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)；

線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義如下：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動(dòng)(t)的影響下，其過(guò)渡過(guò)程隨著時(shí)間的推移逐漸衰減并趨向于零，則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定。反之，則為不穩(wěn)定。

第五節(jié)線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性a48穩(wěn)定性是對(duì)系統(tǒng)的基本要求，探討系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，提出保證a49二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)自身固有特性，而與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。根據(jù)定義輸入擾動(dòng)(t)，設(shè)擾動(dòng)響應(yīng)為Cn(t)。如果當(dāng)t→∞時(shí)，Cn(t)收斂到原來(lái)的平衡點(diǎn)，即有那么，線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。a49二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件那么，線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。a50

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負(fù)實(shí)部，或者說(shuō)，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均位于s左半平面（不包括虛軸）。

根據(jù)穩(wěn)定的充要條件決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須知道系統(tǒng)特征根的全部符號(hào)。如果能解出全部根，則立即可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。然而對(duì)于高階系統(tǒng)，求根的工作量很大，常常希望使用一種直接判斷根是否全在s左半平面的代替方法，后面就介紹勞斯代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。

不失一般性，設(shè)n階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為a50線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程a51三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：設(shè)線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

式中，si（i=1,2,,

n）是系統(tǒng)的n個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。根據(jù)代數(shù)方程的基本理論（韋達(dá)定理），下列關(guān)系式成立：a51三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件式中，si（i=1a52

從上式可以導(dǎo)出，系統(tǒng)特征根都具有負(fù)實(shí)部的必要條件為：aiaj>0(i,j=1,2,,

n)即，閉環(huán)特征方程各項(xiàng)同號(hào)且不缺項(xiàng)。如果特征方程不滿足上式的條件，系統(tǒng)必然非漸近穩(wěn)定。但滿足上式，還不能確定一定是穩(wěn)定的，因?yàn)樯鲜絻H是必要條件。下面講解勞斯穩(wěn)定判據(jù)。

必要條件只起否定作用,也即只要不滿足必要條件,系統(tǒng)必不穩(wěn)定,必要條件不起保證作用,也即滿足必要條件,系統(tǒng)不一定穩(wěn)定.a52從上式可以導(dǎo)出，系統(tǒng)特征根都具有負(fù)實(shí)部a53一、勞斯判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：特征方程式的全部系數(shù)為正，且由該方程式作出的勞斯表中第一列全部元素都為正。若不滿足，則不穩(wěn)定。并且勞斯表中第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)，等于相應(yīng)特征方程式位于右半s平面上根的個(gè)數(shù)。第六節(jié)勞斯穩(wěn)定判據(jù)a53一、勞斯判據(jù)第六節(jié)勞斯穩(wěn)定判據(jù)a54表中：1）最左一列元素按s的冪次排列，由高到低，只起標(biāo)識(shí)作用，不參與計(jì)算。

2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。

3）從第三行起各元素，是根據(jù)前二行的元素計(jì)算得到。a0

a2a4…a1

a3a5…b1

b2b3…┋…ansnsn?1

sn?2

┋s1

s0

勞斯表的構(gòu)造：a54表中：1）最左一列元素按s的冪次排列，由高到低，只起a55

二.勞斯判據(jù)的應(yīng)用

1、判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性

例3-3

設(shè)有下列特征方程D(s)=s4+2s3+

3s2+4s+5=0，試用勞斯判據(jù)判別該特征方程的正實(shí)部根的數(shù)目。解：勞斯表第一列元素符號(hào)改變了2次，∴系統(tǒng)不穩(wěn)定，且s右半平面有2個(gè)根。s4s3s2s1s0135246155a55二.勞斯判據(jù)的應(yīng)用第一列元素符號(hào)改變了2次，∴a56例3-4系統(tǒng)的特征方程為

D(s)=s33s+2=0試用勞斯判據(jù)確定正實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)。解：系統(tǒng)的勞斯表為第一種特殊情況：勞斯表中某行的第一列元素為零，而其余各項(xiàng)不為零，或不全為零。對(duì)此情況，可作如下處理：s3s2s1s01302∞①用一個(gè)很小的正數(shù)ε來(lái)代替第一列為零的項(xiàng)，從而使勞斯表繼續(xù)下去。②可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可為任意正數(shù)，再對(duì)新的特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)。a56例3-4系統(tǒng)的特征方程為第一種特殊情況：勞斯表中某a57∵ε→0+時(shí)，b1<0，勞斯表中第一列元素符號(hào)改變了兩次∴系統(tǒng)有兩個(gè)正根，不穩(wěn)定。

用（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程為：

D1(s)

=D(s)(s+3)=s4+

3s3

3s2

7s+6=0s3s2s1s0130(ε)22s4s3s2s1s0136372/36206會(huì)得到相同的判斷結(jié)果a57∵ε→0+時(shí)，b1<0，勞斯表中第一列元素符號(hào)改變了a58例3-5

設(shè)某線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

D(s)=s4+

s3

3s2

s+2=0

試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解:該系統(tǒng)的勞斯表如下第二種特殊情況：勞斯表中某行元素全為零。此時(shí)，特征方程中存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根（實(shí)根，共軛虛根或共軛復(fù)數(shù)根）。對(duì)此情況，可作如下處理：s4s3s2s1s0132112200a58例3-5設(shè)某線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為第二種特殊情況a59

由于勞斯表中第一列元素的符號(hào)改變了兩次，∴系統(tǒng)有兩個(gè)正根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。通過(guò)解輔助方程可求出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根：

s1=1和s2=1

。對(duì)本例題，可用長(zhǎng)除法求出另二個(gè)根，分別為s3=1和s4=2

。

用全零行的上一行的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)輔助方程，對(duì)輔助方程求導(dǎo)，用所得方程的系數(shù)代替全零行，繼續(xù)勞斯表。s4s3s2s1s01321122

42F(s)=2s2+2F(s)=4sa59由于勞斯表中第一列元素的符號(hào)改變了兩次，a602、分析參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響例3-6

已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍。

解：系統(tǒng)特征方程式s3+3s2+2s+K=0要使系統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯表中第一列元素均大于零。0<K<6s3s2s1s012

3K(6K)/3Ks(s+1)(s+2)R(s)C(s)

K﹣+a602、分析參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響解：系統(tǒng)特征a613、確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性

例3-7

檢驗(yàn)多項(xiàng)式2s3+10s2+13s+4=0是否有根在s右半平面，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在垂直線s

=1的右邊？解：1)

勞斯表中第一列元素均為正∴系統(tǒng)在s右半平面沒(méi)有根，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

2)令s1

=s+1坐標(biāo)平移，得新特征方程為

2

s13+4

s12

s1

1=0s3s2s1s0213

10412.24-1sS1a613、確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性例3-7檢驗(yàn)a62

勞斯表中第一列元素不全為正，且第一列元素符號(hào)改變了一次，故系統(tǒng)在s1右半平面有一個(gè)根。因此，系統(tǒng)在垂直線s=1的右邊有一個(gè)根。s13s12s11s1021410.51a62勞斯表中第一列元素不全為正，且第一列元素a63第七節(jié)線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差一、誤差的基本概念

1.誤差的定義誤差的定義有兩種：①?gòu)南到y(tǒng)輸入端定義，它等于系統(tǒng)的輸入信號(hào)與反饋信號(hào)之差，即

E(s)=R(s)B(s)

②從系統(tǒng)輸出端定義，它定義為系統(tǒng)輸出量的期望值與實(shí)際值之差。E′(s)=R′(s)

C(s)

R′(s)：輸出的期望值G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)B(s)a63第七節(jié)線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差一、誤差的基本概念a64

由此可見(jiàn)，從系統(tǒng)輸入端定義的穩(wěn)態(tài)誤差，可以直接或間接地表示從系統(tǒng)輸出端定義的穩(wěn)態(tài)誤差。2.兩種定義的關(guān)系對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，兩種定義是一致的。

3.穩(wěn)態(tài)誤差ess：誤差的終值4.終值定理法

終值定理的條件：除原點(diǎn)外，在虛軸及s平面的右半平面無(wú)極點(diǎn)。a64由此可見(jiàn)，從系統(tǒng)輸入端定義的穩(wěn)態(tài)誤差，可a65例3-8設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函為：

當(dāng)r(t)=t2/2R(s)=1/s3試求當(dāng)輸入信號(hào)分別為r(t)=t2/2，r(t)=1(t)，

r(t)=t

，

r(t)=sinωt時(shí)，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：a65例3-8設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函為：當(dāng)r(a66(2)

當(dāng)r(t)=1(t)R(s)=1/s(3)當(dāng)r(t)=t

R(s)=1/s2a66(2)當(dāng)r(t)=1(t)R(s)a67(4)當(dāng)r(t)=sinωt

R(s)=ω/(s2+ω2)終值定理的條件不成立！

終值定理的條件：除原點(diǎn)外，在虛軸及s平面的右半平面無(wú)極點(diǎn)。a67(4)當(dāng)r(t)=sinωtR(s)a68二、給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差(靜態(tài)誤差系數(shù)法)不失一般性，閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可寫(xiě)為：υ

=0

稱為0型系統(tǒng)；υ

=1稱為Ⅰ型系統(tǒng)；υ

=2稱為Ⅱ型系統(tǒng)。等等在一般情況下，系統(tǒng)誤差的拉氏變換為：a68二、給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差(靜態(tài)誤差系數(shù)法)不失一般性a691.階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差令稱為系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)

0型系統(tǒng)：Kp

=

Kess=

A/(1+K)Ⅰ型及Ⅰ型以上系統(tǒng)：Kp

=∞

ess=0a691.階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差令稱為系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差a702.斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差令靜態(tài)速度誤差系數(shù)

0型系統(tǒng)：Kv

=0ess=∞，0型系統(tǒng)無(wú)法跟蹤斜坡輸入

Ⅰ型系統(tǒng)：Kv

=

Kess=

A/K，有差跟蹤Ⅱ型及Ⅱ型以上系統(tǒng)：Kv

=∞

ess=0，無(wú)差跟蹤a702.斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差令靜態(tài)速度誤差系數(shù)a713.加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差令靜態(tài)加速度誤差系數(shù)

0型系統(tǒng)：Ka=0ess=∞Ⅰ型系統(tǒng)：Ka

=0ess=∞Ⅱ型系統(tǒng)：Ka

=

Kess=

A/KⅢ型及Ⅲ型以上系統(tǒng)：Ka

=∞

ess=0a713.加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差令靜態(tài)加速度誤差系數(shù)a72階躍、斜坡、加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差r(t)=At2/2r(t)=Atr(t)=A·1(t)靜態(tài)誤差系數(shù)系統(tǒng)型別ess=A/Ka

ess=A/Kv

ess=A/(1+Kp)

KpKvKaυ∞∞A/(1+K

)

K

0

00∞A/K

00

∞∞

K2A/K

0

∞

K

01a72階躍、斜坡、加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差r(t)=At2a73例3-9

已知兩個(gè)系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)參考輸入

r(t)=4+6t+3t2，試分別求出兩個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解：圖（a），Ⅰ型系統(tǒng)

Kp=∞，Kv=10/4

，Ka=0圖（b），Ⅱ型系統(tǒng)Kp=∞，Kv=∞

，Ka=10/410s(s+4)R(s)C(s)E(s)（a）﹣+10(s+1)s2(s+4)R(s)C(s)E(s)（b）﹣+a73例3-9已知兩個(gè)系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)參考輸入解：圖a74三、擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

所有的控制系統(tǒng)除承受輸入信號(hào)作用外，還經(jīng)常處于各種擾動(dòng)作用之下。因此，系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差數(shù)值，反映了系統(tǒng)的抗干擾能力。

計(jì)算系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，同樣可以采用終值定理法。

例3-10控制系統(tǒng)如圖G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)D(s)++a74三、擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差G1(s)R(s)C(s)﹣a75H(s)=1，G1(s)=K1，G2(s)=K2/s(Ts+1)試求系統(tǒng)在單位階躍給定和單位階躍擾動(dòng)共同作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。解：（1）單位階躍給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差:系統(tǒng)是Ⅰ型系統(tǒng)：Kp

=∞

essr=0

（2）單位階躍擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)誤差的拉氏變換為

K1R(s)C(s)﹣+E(s)K2

s(Ts+1)D(s)++a75H(s)=1，G1(s)=K1，G2(s)=K2/a76

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，且滿足終值定理的使用條件。擾動(dòng)單獨(dú)作用時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差為

（3）根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)在單位階躍給定和單位階躍擾動(dòng)共同作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為a76系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，且滿足終值定理的使用條件。擾動(dòng)單a77四、提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的方法

上面的分析和例題可知：通過(guò)調(diào)整系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，可以提高系統(tǒng)精度，比如：增加積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)或增大開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)；但積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)一般不能超過(guò)2個(gè)，K也不能任意擴(kuò)大，否則會(huì)造成動(dòng)態(tài)品質(zhì)變差，甚至造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。

解決的辦法是引入與給定或擾動(dòng)作用有關(guān)的附加控制作用，構(gòu)成復(fù)合控制系統(tǒng)。例3-8控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。圖中試確定補(bǔ)償通道的傳遞函數(shù)，使系統(tǒng)在單位斜坡給定作用下無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。a77四、提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的方法上面的分析和例題可a78Gb(s)R(s)C(s)﹣+E(s)G

(s)++解：系統(tǒng)誤差的拉氏變換為(根據(jù)梅遜公式)a78Gb(s)R(s)C(s)﹣+E(s)G(s)++解a791基本知識(shí)點(diǎn)

A各階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及典型階躍輸入下的時(shí)域響應(yīng)的特點(diǎn)，特別是二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算p106；

B勞斯穩(wěn)定判據(jù)p121；

C穩(wěn)態(tài)誤差的定義及計(jì)算！p126；

D改善動(dòng)態(tài)性能及提高精度的措施p129；第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法a791基本知識(shí)點(diǎn)第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法a802有關(guān)例題a802有關(guān)例題a81二、設(shè)某系統(tǒng)的特征方程式為，求其特征根，并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。a81二、設(shè)某系統(tǒng)的特征方程式為，求其特征根，并判斷系統(tǒng)a82三、控制系統(tǒng)方塊圖如圖所示：a82三、控制系統(tǒng)方塊圖如圖所示：a83四、(10分)在如圖所示的系統(tǒng)中,、n(t)=4t。求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

a83四、(10分)在如圖所示的系統(tǒng)中,、n(t)=4t。a84a84a85a85a86第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析自動(dòng)控制理論普通高等教育“十一五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材a1第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析自動(dòng)控制理論普通高等教育“十一五a87典型輸入信號(hào)。條件：1能反映實(shí)際輸入；2在形式上盡可能簡(jiǎn)單，便于分析；3使系統(tǒng)運(yùn)行在最不利的工作狀態(tài)。tf(t)01考查系統(tǒng)對(duì)恒值信號(hào)的跟蹤能力第一節(jié)典型的測(cè)試信號(hào)a2典型輸入信號(hào)。tf(t)01考查系統(tǒng)對(duì)恒值信號(hào)的跟蹤a88R=1，稱單位斜坡函數(shù),記為t，

2.斜坡函數(shù)（等速度函數(shù)）

tf(t)0考查系統(tǒng)對(duì)勻速信號(hào)的跟蹤能力a3R=1，稱單位斜坡函數(shù),記為t，2.a89

3.拋物線函數(shù)（等加速度函數(shù)）R=1，稱單位拋物線函數(shù),記為tf(t)0考查系統(tǒng)的機(jī)動(dòng)跟蹤能力a43.拋物線函數(shù)（等加速度函數(shù)）R=1，稱單位拋物線函a90

4.脈沖函數(shù)具有左圖形狀的信號(hào)被稱為矩型脈動(dòng)信號(hào),其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:由圖可見(jiàn),脈動(dòng)信號(hào)的面積為R.當(dāng)脈動(dòng)信號(hào)的寬度時(shí),其高度為,但面積乃為R.把寬度時(shí)的矩型脈動(dòng)信號(hào)定義為脈沖信號(hào),而其面積R稱為脈沖信號(hào)的脈沖強(qiáng)度.a54.脈沖函數(shù)具有左圖形狀的信號(hào)被稱為矩型脈動(dòng)信號(hào),a91當(dāng)R=1時(shí),叫做單位脈沖信號(hào),用

其數(shù)學(xué)表達(dá)式為而其面積為:單位脈沖信號(hào)用下圖表示:強(qiáng)度不為1而為R的脈沖信號(hào)用表示.表示,考查系統(tǒng)在脈沖擾動(dòng)下的恢復(fù)情況a6當(dāng)R=1時(shí),叫做單位脈沖信號(hào),用其數(shù)學(xué)表達(dá)a92

各函數(shù)間關(guān)系：（5）正弦函數(shù)a7各函數(shù)間關(guān)系：（5）正弦函數(shù)a93補(bǔ)充：時(shí)域性能指標(biāo)c(t)=ct(t)+css(t)=暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

1.暫態(tài)性能指標(biāo)

圖3－2a8補(bǔ)充：時(shí)域性能指標(biāo)c(t)=ct(t)+css(a94(1)延遲時(shí)間td：c(t)從0到0.5c(∞)的時(shí)間。(2)上升時(shí)間tr：c(t)第一次達(dá)到c(∞)的時(shí)間。無(wú)超調(diào)時(shí),c(t)從0.1c(∞)到0.9c(∞)的時(shí)間。(3)峰值時(shí)間tp：c(t)到達(dá)第一個(gè)峰值的時(shí)間(4)調(diào)節(jié)時(shí)間ts：c(t)衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過(guò)±2%或±5%所需的時(shí)間。通常該偏差范圍稱作誤差帶,用符號(hào)△表示，即△

=2%或△

=5%

。(5)超調(diào)量：c(t)最大峰值偏離穩(wěn)態(tài)值的部分，常用百分?jǐn)?shù)表示，描述的系統(tǒng)的平穩(wěn)性。a9(1)延遲時(shí)間td：c(t)從0到0.5c(∞)的時(shí)間a952.穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)

穩(wěn)態(tài)誤差ess：穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值。即最后一節(jié)細(xì)講。a102.穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)最后一節(jié)細(xì)講。a96凡是可用一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。T＝RC，時(shí)間常數(shù)。其典型傳遞函數(shù)及結(jié)構(gòu)圖為：第二節(jié)一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)RC

r(t)c(t)1Ts﹣+R(s)C(s)1Ts+1R(s)C(s)一、數(shù)學(xué)模型a11凡是可用一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。T＝RCa97tc(t)

０T

2T3T4T

當(dāng)輸入信號(hào)r(t)=1(t)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)稱作其單位階躍響應(yīng)。二、單位階躍響應(yīng)

響應(yīng)曲線在[0，）的時(shí)間區(qū)間中始終不會(huì)超過(guò)其穩(wěn)態(tài)值，把這樣的響應(yīng)稱為非周期響應(yīng)。無(wú)振蕩0.6320.950.9820.8651.0a12tc(t)０T2T3Ta98一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)

一階系統(tǒng)響應(yīng)具備兩個(gè)重要的特點(diǎn)：①可以用時(shí)間常數(shù)T去度量系統(tǒng)輸出量的數(shù)值。②響應(yīng)曲線的初始斜率等于1/T。

０T

2T3T4T

tc(t)0.6320.950.9820.8651.0T反映了系統(tǒng)的慣性。T越小慣性越小，響應(yīng)快！T越大，慣性越大，響應(yīng)慢。a13一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)一階系統(tǒng)響應(yīng)具備兩個(gè)重要a99三、單位斜坡響應(yīng)

[r(t)=t]tc(t)0r(t)=tc(t)=t﹣T+Te﹣t/T

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是一個(gè)與輸入斜坡函數(shù)斜率相同但在時(shí)間上遲后了一個(gè)時(shí)間常數(shù)T的斜坡函數(shù)。TT穩(wěn)態(tài)分量（跟蹤項(xiàng)+常值）暫態(tài)分量a14三、單位斜坡響應(yīng)[r(t)=t]tc(ta100

表明過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后，其穩(wěn)態(tài)輸出與單位斜坡輸入之間，在位置上仍有誤差，一般叫做跟蹤誤差。比較階躍響應(yīng)曲線和斜坡響應(yīng)曲線：

在階躍響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而減小，最終趨于0，而在初始狀態(tài)下，位置誤差最大，響應(yīng)曲線的斜率也最大；無(wú)差跟蹤

在斜坡響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而增大，最終趨于常值T，在初始狀態(tài)下，位置誤差和響應(yīng)曲線的斜率均等于0。有差跟蹤。

0tc(t)1.0tc(t)0r(t)=tTTa15表明過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后，其穩(wěn)態(tài)輸出與單位斜坡a101四、單位脈沖響應(yīng)

[R(s)=1]

它恰是系統(tǒng)的閉環(huán)傳函，這時(shí)輸出稱為脈沖（沖激）響應(yīng)函數(shù)，以h(t)標(biāo)志。

求系統(tǒng)閉環(huán)傳函提供了實(shí)驗(yàn)方法，以單位脈沖輸入信號(hào)作用于系統(tǒng)，測(cè)定出系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，可以得到閉環(huán)傳遞函數(shù)。對(duì)應(yīng)T2T3Tth(t)01/T0.368/T0.135/T0.05/Ta16四、單位脈沖響應(yīng)[R(s)=1]它恰是系統(tǒng)a102線性定常系統(tǒng)的重要性質(zhì)

2.在零初始條件下，當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)為原來(lái)輸入信號(hào)時(shí)間的積分時(shí)，系統(tǒng)的輸出則為原來(lái)輸出對(duì)時(shí)間的積分，積分常數(shù)由零初始條件決定。

1.當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)為原來(lái)輸入信號(hào)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，這時(shí)系統(tǒng)的輸出則為原來(lái)輸出的導(dǎo)數(shù)。a17線性定常系統(tǒng)的重要性質(zhì)2.在零初始條a103例：已知一階元件的傳遞函數(shù)為K0G

(s)KHrC(s)–,今系統(tǒng)采用負(fù)反饋的辦法將過(guò)渡時(shí)間ts減小為原來(lái)的0.1倍，并保證總放大系數(shù)不變，求K0,KHa18例：已知一階元件的傳遞函數(shù)為K0G(s)KHrC(sa104解：a19解：a105a20a106一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型標(biāo)準(zhǔn)化二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為：

閉環(huán)傳遞函數(shù)為

二階系統(tǒng)有兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)ξ(阻尼比)和n(無(wú)阻尼振蕩頻率)

。二階系統(tǒng)的性能分析和描述，都是用這兩個(gè)參數(shù)表示的。第三節(jié)二階系統(tǒng)的時(shí)域分析s(s+2ξn)R(s)C(s)n2

﹣+開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為a21一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型閉環(huán)傳遞函數(shù)為二a107微分方程式為：

對(duì)于不同的二階系統(tǒng)，阻尼比和無(wú)阻尼振蕩頻率的含義是不同的。

例如:RLC電路RCr(t)c(t)La22微分方程式為：對(duì)于不同的二階系統(tǒng)，阻尼a108

j

0二、二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，即

s2+2ξns+n2=0其兩個(gè)特征根為：

上述二階系統(tǒng)的特征根表達(dá)式中，隨著阻尼比ξ

的不同取值，特征根有不同類型的值，或者說(shuō)在s平面上有不同的分布規(guī)律。分述如下：s1s2ξ>1時(shí)，特征根為一對(duì)不等值的負(fù)實(shí)根，位于s平面的負(fù)實(shí)軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為過(guò)阻尼的。a23j0二、二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)二階系統(tǒng)的a109(3)

0<ξ

<1

時(shí)，特征根為一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，位于s平面的左半平面上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為欠阻尼的。(2)ξ=1時(shí)，特征根為一對(duì)等值的負(fù)實(shí)根，位于s平面的負(fù)實(shí)軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為臨界阻尼的。

j

0s1=s2=

nns1s2

jd

ξn

j

0a24(3)0<ξ<1時(shí)，特征根為一對(duì)具有負(fù)實(shí)部a110

j

0

(4)ξ=0時(shí)，特征根為一對(duì)幅值相等的虛根，位于s平面的虛軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為無(wú)阻尼的等幅振蕩過(guò)程。

jn

j

0

(5)ξ<0時(shí)，特征根位于s平面的右半平面，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為幅值隨時(shí)間增加而發(fā)散。s1s2a25j0(4)ξ=0時(shí)，特征根為a111

j

0s1s2

j

0s1=s2ns1s2

jd

ξn

j

0

j

0

jn

阻尼比取不同值時(shí)，二階系統(tǒng)根的分布ξ>1ξ=10<ξ<1ξ=0a26j0s1s2j0s1=a112三、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由式，其輸出的拉氏變換為式中s1，s2是系統(tǒng)的兩個(gè)閉環(huán)特征根。

對(duì)上式兩端取拉氏反變換，可以求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達(dá)式。阻尼比在不同的范圍內(nèi)取值時(shí)，二階系統(tǒng)的特征根在s平面上的位置不同，二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)對(duì)應(yīng)有不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。下面分別加以討論。a27三、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由式，其輸出的拉氏變換為式中a1131、欠阻尼情況0<ξ<1

j

ns1s2

jd

ξn0（1）、單位階躍響應(yīng)查表可得：a281、欠阻尼情況0<ξ<1jns1sa114

欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由兩部分組成：穩(wěn)態(tài)分量為1，表明系統(tǒng)在1(t)作用下不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差；瞬態(tài)響應(yīng)是阻尼正弦項(xiàng)，其振蕩頻率為阻尼振蕩頻率ωd，而其幅值則按指數(shù)曲線衰減，兩者均由參數(shù)ξ

和n決定。c(t)t01衰減振蕩

(2)響應(yīng)曲線a29欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由兩部分a115Mp（3）動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)

常用tr

,

tp

,Mp

,

ts

四個(gè)性能指標(biāo)來(lái)衡量瞬態(tài)響應(yīng)的好壞。

c(t)t010.50.05或0.02tr

tp

tstda30Mp（3）動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)常用tr,tp,a116①上升時(shí)間tr

：從零上升至第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間，是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。tr越小，響應(yīng)越快。②峰值時(shí)間tp：響應(yīng)超過(guò)穩(wěn)態(tài)值，到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。a31①上升時(shí)間tr：從零上升至第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間a117③超調(diào)量Mp：響應(yīng)曲線偏離階躍曲線最大值，用百分比表示。a32③超調(diào)量Mp：響應(yīng)曲線偏離階躍曲線最大值，用百分比表示a118Mp只是ξ

的函數(shù)，其大小與自然頻率ωn無(wú)關(guān)。ξ

Mp④調(diào)節(jié)時(shí)間ts

：響應(yīng)曲線衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過(guò)5%所需要的時(shí)間。

工程上，當(dāng)0.1<ξ

<0.9

時(shí)，通常用下列二式近似計(jì)算調(diào)節(jié)時(shí)間?！?5%c(∞)△=2%c(∞)a33Mp只是ξ的函數(shù)，其大小與自然頻率ωn無(wú)a119⑤延遲時(shí)間td

：從零第一次上升至穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時(shí)間。a34⑤延遲時(shí)間td：從零第一次上升至穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時(shí)a120總結(jié)：各性能指標(biāo)之間是有矛盾的。

(1)ωn

一定，使trtp

ξ

使ts

ξ

(ξ

一定范圍)必須必須必須(2)ξ

一定，使

trtpts

ωn

(3)ξ

Mp

只由ξ

決定必有a35總結(jié)：各性能指標(biāo)之間是有矛盾的。(1)ωn一定，a121例3-1單位負(fù)反饋隨動(dòng)系統(tǒng)如圖所示(1)確定系統(tǒng)的阻尼比和無(wú)阻尼自然頻率。(2)若K=16(rad/s)、T=0.25(s)，試計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。解:(1)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為與典型二階系統(tǒng)比較可得：K/T=n21/T=2ns(Ts+1)R(s)C(s)K﹣+a36例3-1單位負(fù)反饋隨動(dòng)系統(tǒng)如圖所示(1)確定系統(tǒng)的a122(2)K=16，T=0.25時(shí)(=0.05)K/T=n21/T=2na37(2)K=16，T=0.25時(shí)(=0.0a123例3-2已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試求系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。

解：由系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，直接求出超調(diào)量和峰值時(shí)間。

Mp=30%tp=0.1求解上述二式，得到=0.357，n=33.65(rad/s)。于是二階系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為1c(t)t01.30.1a38例3-2已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示a124(2)無(wú)阻尼情況ξ=0c(t)t0等幅振蕩a39(2)無(wú)阻尼情況ξ=0c(t)t0等幅振蕩a125（3）臨界阻尼情況ξ=1

s1,2=n

此時(shí)響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為1的非周期上升過(guò)程，其變化率t=0，變化率為0；t>0變化率為正，c(t)單調(diào)上升；

t→∞

，變化率趨于0。整個(gè)過(guò)程不出現(xiàn)振蕩，無(wú)超調(diào)，穩(wěn)態(tài)誤差＝0。tc(t)01a40（3）臨界阻尼情況ξ=1此時(shí)響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為1a126（4）過(guò)阻尼情況ξ>1

響應(yīng)特性包含兩個(gè)單調(diào)衰減的指數(shù)項(xiàng)，且它們的代數(shù)和不會(huì)超過(guò)1，因而響應(yīng)是非振蕩的。調(diào)節(jié)速度慢。（不同于一階系統(tǒng)）

0tc(t)1.0tsa41（4）過(guò)阻尼情況ξ>1響應(yīng)特性包含兩個(gè)a127（5）不穩(wěn)定系統(tǒng)

ξ<0，不討論總結(jié)：

1）ξ<0時(shí)，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；

2）ξ>＝1時(shí)，響應(yīng)與一階系統(tǒng)相似，無(wú)超調(diào)，但調(diào)節(jié)速度慢；

3）ξ＝0時(shí)，無(wú)過(guò)渡過(guò)程，直接進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，響應(yīng)等幅振蕩；

4）0<ξ<1時(shí)，響應(yīng)有超調(diào)，但上升速度快，調(diào)節(jié)時(shí)間短，合理ξ選擇可使既快又平穩(wěn)，工程上把ξ＝0.707的二階系統(tǒng)稱為二階最優(yōu)系統(tǒng)；a42（5）不穩(wěn)定系統(tǒng)ξ<0，不討論總結(jié)：a128G(s)，H(s)

一般是復(fù)變量s的多項(xiàng)式之比，故上式可記為第四節(jié)高階系統(tǒng)的時(shí)域分析一、高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖所示。其閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)a43G(s)，H(s)一般是復(fù)變量s的多項(xiàng)式之比，故上a129

式中0<ξ

k<1

。即系統(tǒng)有q

個(gè)實(shí)極點(diǎn)和r

對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。稱為系統(tǒng)閉環(huán)特征根，或閉環(huán)極點(diǎn)。

根據(jù)能量的有限性，分子多項(xiàng)式的階次m不高于分母多項(xiàng)式的階次n。對(duì)上式進(jìn)行因式分解，可以表示為a44式中0<ξk<1。即系統(tǒng)有q個(gè)實(shí)極a130

取拉氏反變換，并設(shè)全部初始條件為零，得到系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的時(shí)間表達(dá)式：

于是，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換：式中；k

=arccosξ

k

；Ak、Bk是與C(s)在對(duì)應(yīng)閉環(huán)極點(diǎn)上的留數(shù)有關(guān)的常數(shù)。a45取拉氏反變換，并設(shè)全部初始條件為零，得到系統(tǒng)單a131

上式表明，如果系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的各暫態(tài)分量都將隨時(shí)間的增長(zhǎng)而趨近于零，這時(shí)稱高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的。二、閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)

1）高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)各分量的衰減快慢由pi，ξkn決定，也即閉環(huán)極點(diǎn)負(fù)實(shí)部的絕對(duì)值越大，相應(yīng)的分量衰減越快。

2）各分量所對(duì)應(yīng)的系數(shù)由系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布決定。

3）系統(tǒng)的零極點(diǎn)共同決定了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀。a46上式表明，如果系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)a1324）對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的極點(diǎn)，稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。

條件：

1距離s平面虛軸較近，且周?chē)鷽](méi)有其它的閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)；對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量衰減緩慢，起主要作用。不會(huì)構(gòu)成閉環(huán)偶極子，產(chǎn)生零極點(diǎn)相消現(xiàn)象。

2其實(shí)部的絕對(duì)值比其它極點(diǎn)小5倍以上。

應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，可以把一些高階系統(tǒng)近似為一階或二階系統(tǒng)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的近似評(píng)估。一般情況，高階系統(tǒng)具有振蕩性，所以主導(dǎo)極點(diǎn)常常是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。找到了一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能就可以應(yīng)用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來(lái)近似估計(jì)。a474）對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的極點(diǎn)，稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。a133穩(wěn)定性是對(duì)系統(tǒng)的基本要求，探討系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施。一穩(wěn)定的概念和定義

如果系統(tǒng)受到擾動(dòng)，當(dāng)擾動(dòng)取消后，系統(tǒng)都能初始平衡狀態(tài)，則這種系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)；

線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義如下：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動(dòng)(t)的影響下，其過(guò)渡過(guò)程隨著時(shí)間的推移逐漸衰減并趨向于零，則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定。反之，則為不穩(wěn)定。

第五節(jié)線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性a48穩(wěn)定性是對(duì)系統(tǒng)的基本要求，探討系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，提出保證a134二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)自身固有特性，而與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。根據(jù)定義輸入擾動(dòng)(t)，設(shè)擾動(dòng)響應(yīng)為Cn(t)。如果當(dāng)t→∞時(shí)，Cn(t)收斂到原來(lái)的平衡點(diǎn)，即有那么，線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。a49二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件那么，線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。a135

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負(fù)實(shí)部，或者說(shuō)，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均位于s左半平面（不包括虛軸）。

根據(jù)穩(wěn)定的充要條件決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須知道系統(tǒng)特征根的全部符號(hào)。如果能解出全部根，則立即可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。然而對(duì)于高階系統(tǒng)，求根的工作量很大，常常希望使用一種直接判斷根是否全在s左半平面的代替方法，后面就介紹勞斯代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。

不失一般性，設(shè)n階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為a50線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程a136三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：設(shè)線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

式中，si（i=1,2,,

n）是系統(tǒng)的n個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。根據(jù)代數(shù)方程的基本理論（韋達(dá)定理），下列關(guān)系式成立：a51三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件式中，si（i=1a137

從上式可以導(dǎo)出，系統(tǒng)特征根都具有負(fù)實(shí)部的必要條件為：aiaj>0(i,j=1,2,,

n)即，閉環(huán)特征方程各項(xiàng)同號(hào)且不缺項(xiàng)。如果特征方程不滿足上式的條件，系統(tǒng)必然非漸近穩(wěn)定。但滿足上式，還不能確定一定是穩(wěn)定的，因?yàn)樯鲜絻H是必要條件。下面講解勞斯穩(wěn)定判據(jù)。

必要條件只起否定作用,也即只要不滿足必要條件,系統(tǒng)必不穩(wěn)定,必要條件不起保證作用,也即滿足必要條件,系統(tǒng)不一定穩(wěn)定.a52從上式可以導(dǎo)出，系統(tǒng)特征根都具有負(fù)實(shí)部a138一、勞斯判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：特征方程式的全部系數(shù)為正，且由該方程式作出的勞斯表中第一列全部元素都為正。若不滿足，則不穩(wěn)定。并且勞斯表中第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)，等于相應(yīng)特征方程式位于右半s平面上根的個(gè)數(shù)。第六節(jié)勞斯穩(wěn)定判據(jù)a53一、勞斯判據(jù)第六節(jié)勞斯穩(wěn)定判據(jù)a139表中：1）最左一列元素按s的冪次排列，由高到低，只起標(biāo)識(shí)作用，不參與計(jì)算。

2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。

3）從第三行起各元素，是根據(jù)前二行的元素計(jì)算得到。a0

a2a4…a1