第七章控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型及其轉(zhuǎn)換

在線性系統(tǒng)中，常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程模型、傳遞函數(shù)模型、狀態(tài)空間模型以及零極點(diǎn)模型等。不同的模型應(yīng)用于不同的場合。掌握模型間的轉(zhuǎn)換才能靈活應(yīng)用各種數(shù)學(xué)模型。本章將主要介紹系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型及轉(zhuǎn)換、系統(tǒng)環(huán)節(jié)模型的連接及標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)等內(nèi)容。7.1控制系統(tǒng)類型1連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)2線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)3時(shí)變系統(tǒng)和定常（時(shí)不變）系統(tǒng)4確定性系統(tǒng)和隨機(jī)系統(tǒng)7.2控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型7.2.1連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型1．系統(tǒng)微分方程形式模型對于線性定常系統(tǒng)單入單出(簡稱SISO)系統(tǒng)，可用以下方程描述：2．系統(tǒng)傳遞函數(shù)形式模型

輸出拉氏變換與輸入拉氏變換之比，即為單輸入－單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量可以分別定義如下這里分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量中的系數(shù)均按s的降冪排列。用printsys,tf來建立傳遞函數(shù)的系統(tǒng)模型，其基本格式為例，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下，利用MATLAB建立其相應(yīng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)模型。運(yùn)行命令結(jié)果為（注：printsys只能在命令窗口中顯示模型，不能將模型輸入到workspace中）num=5*[203];den=conv(conv(conv([100],[31]),conv([12],[12])),[5038]);printsys(num,den,'s');tf(num,den)3．系統(tǒng)的零極點(diǎn)（ZPK）形式模型在MATLAB中零極點(diǎn)可以分別定義為使用zpk()函數(shù)建立零極點(diǎn)形式的系統(tǒng)模型，其基本格式為如果已知傳遞函數(shù)，可按以下方法求得z和p例：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下應(yīng)用Matlab語言建立系統(tǒng)的零極點(diǎn)形式模型。運(yùn)行命令結(jié)果為z=[-4];p=[-1-2-3];k=5;sys=zpk(z,p,k)4．系統(tǒng)的部分分式形式傳遞函數(shù)也可以表示成為部分分式或留數(shù)形式，如下式例，寫出以下傳遞函數(shù)的部分分式形式運(yùn)行命令結(jié)果為這表示residue余數(shù)5．系統(tǒng)的狀態(tài)空間（statespace）模型在MATLAB中建立系統(tǒng)模型的基本格式例：某線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下，請輸入到MATLAB的workspace中去。運(yùn)行命令結(jié)果為7.2.2離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型通常可以用差分方程、脈沖傳遞函數(shù)（或Z傳遞函數(shù)）、狀態(tài)空間表達(dá)式三種形式對系統(tǒng)加以描述。1．系統(tǒng)差分方程形式模型2．系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型這里分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量中的系數(shù)仍按Z的降冪排列。函數(shù)tf()也可建立脈沖傳遞函數(shù)的系統(tǒng)模型，其基本格式為其中，Ts為系統(tǒng)采樣周期。對于離散系統(tǒng)，也可以用zpk()函數(shù)建立零極點(diǎn)模型，基本格式為3．系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型在MATLAB中建立系統(tǒng)模型的基本格式printsys(num,den,'z')例,假設(shè)某離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為采樣周期為T=0.1秒，將其輸入到MATLAB的workspace中，并且繪制零、極點(diǎn)分布圖。并且將該離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間表達(dá)式。再輸入輸入下列語句運(yùn)行結(jié)果為num=[0.310.570.380.89];den=[13.233.982.220.47];Gyu=tf(num,den,0.1)計(jì)算機(jī)繪制出零極點(diǎn)分布圖pzmap再輸入得到7.2.3系統(tǒng)模型參數(shù)的獲取對于連續(xù)系統(tǒng)，調(diào)用格式為對于離散系統(tǒng)，調(diào)用格式為‘V’表示返回的數(shù)據(jù)行向量，只適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。7.3系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)換7.3.1系統(tǒng)模型向狀態(tài)方程形式轉(zhuǎn)換直接利用MATLAB函數(shù)實(shí)現(xiàn)所需要的系統(tǒng)模型向狀態(tài)方程的轉(zhuǎn)換，基本格式為（注意：在英語中，‘2’和‘to’諧音）【例4-2】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下，應(yīng)用MATLAB的函數(shù)將其轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程形式的模型?？梢詫⑷我饩€性定常系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程MATLAB求解m文件如下：運(yùn)行結(jié)果為num=[1224020];den=[24622];[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)7.3.2系統(tǒng)模型向傳遞函數(shù)形式轉(zhuǎn)換1．狀態(tài)空間模型向傳遞函數(shù)形式轉(zhuǎn)換MATLAB提供了函數(shù)ss2tf()實(shí)現(xiàn)將狀態(tài)空間方程轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式，基本格式為 其中，iu用于指定變換所使用的輸入量。還可以采用下面的方式，即【例7-3】某線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下，求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。編寫m文件如下：運(yùn)行結(jié)果為A=[010;001;-10-17-8];B=[0;0;1];C=[561];D=0;[num,den]=ss2tf(A,B,C,D);G=tf(num,den)例，某線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下，求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。輸入并且運(yùn)行以下程序計(jì)算機(jī)輸出：計(jì)算機(jī)輸出的計(jì)算結(jié)果表明，傳遞函數(shù)矩陣為2．零極點(diǎn)增益模型向傳遞函數(shù)形式轉(zhuǎn)換其基本格式7.3.3系統(tǒng)模型向零極點(diǎn)形式轉(zhuǎn)換MATLAB提供了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)模型向零極點(diǎn)形式轉(zhuǎn)換的函數(shù)，其基本格式為或【例7-4】對于例4-3題中的線性定常系統(tǒng)，將其轉(zhuǎn)換為zpk形式編寫m文件如下運(yùn)行結(jié)果為例，某線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下，將其轉(zhuǎn)換成ZPK形式輸入并且運(yùn)行以下程序計(jì)算機(jī)輸出：計(jì)算機(jī)輸出的計(jì)算結(jié)果表明，傳遞函數(shù)矩陣的ZPK形式為7.3.4傳遞函數(shù)形式與部分分式形式的轉(zhuǎn)換MATLAB提供函數(shù)residue()實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)留數(shù)的求取，其基本格式為【例7-5】某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下，求它的部分分式形式。編寫m文件如下運(yùn)行結(jié)果為表示如果此時(shí)在命令窗口中輸入則計(jì)算機(jī)返回可見，residue()函數(shù)，既可以將傳遞函數(shù)形式轉(zhuǎn)換成部分分式形式，也可以將部分分式形式轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)形式。7.3.5連續(xù)和離散系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換如果對離散化處理結(jié)果提出具體的轉(zhuǎn)換方式要求，則可以采用c2d或c2dm函數(shù)進(jìn)行，基本格式為(其中，Gc表示連續(xù)系統(tǒng)模型，Ts表示系統(tǒng)采樣周期，method指定轉(zhuǎn)換方式?！皕oh”表示采用零階保持器；“foh”表示采用一階保持器。)【例4-6】某連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下，采用零階保持器將其離散化，設(shè)采樣周期為0.1秒，求離散化的系統(tǒng)方程。編寫m文件如下運(yùn)行結(jié)果為計(jì)算結(jié)果表示離散化后的系統(tǒng)方程為[Ad,Bd,Cd,Dd]=C2DM(A,B,C,D,Ts,'method')[NUMd,DENd]=C2DM(NUM,DEN,Ts,'method')SYSD=C2D(SYSC,Ts,METHOD)A=[010;001;-10-17-8];B=[0;0;1];C=[561];D=0;[Ad,Bd,Cd,Dd]=c2dm(A,B,C,D,0.1)模型轉(zhuǎn)換的函數(shù)小結(jié)residue：傳遞函數(shù)模型與部分分式模型互換ss2tf：狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型ss2zp：狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型tf2ss：傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型tf2zp：傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型zp2ss：零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型zp2tf：零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型狀態(tài)空間SS傳遞函數(shù)tf零極點(diǎn)ZP極點(diǎn)留數(shù)ss2tftf2sszp2ssss2zpzp2tftf2zpresiduess2ssSYS=SS2SS(SYS,T)performsthesimilaritytransformationz=Txonthestatevectorxofthestate-spacemodelSYS.Theresultingstate-spacemodelisdescribedby:

.-1z=[TAT]z+[TB]u-1y=[CT]z+Du

or,inthedescriptorcase,

-1.-1[TET]z=[TAT]z+[TB]u-1y=[CT]z+Du.

SS2SSisapplicabletobothcontinuous-anddiscrete-timemodels.ForLTIarraysSYS,thetransformationTisperformedoneachindividualmodelinthearray.7.4控制系統(tǒng)模型的連接

系統(tǒng)模型連接的方式主要有串聯(lián)、并聯(lián)、反饋等形式。MATLAB提供了模型連接函數(shù)。7.4.1模型串聯(lián)對于SISO系統(tǒng)，其基本格式為對于MIMO系統(tǒng)，其基本格式為7.4.2模型并聯(lián)對于SISO系統(tǒng)，其基本格式為對于MIMO系統(tǒng)，其基本格式為in1,in2指定了相連接的輸入端。out1,out2指定了進(jìn)行信號相加的輸出端。DenosExampleConsiderastate-spacesystemsys1withfiveinputsandfouroutputsandanothersystemsys2withtwoinputsandthreeoutputs.Connectthetwosystemsinseriesbyconnectingoutputs2and4ofsys1withinputs1and2ofsys2.outputs1=[24];inputs2=[12];sys=series(sys1,sys2,outputs1,inputs2)7.4.3反饋連接對于SISO系統(tǒng)，其基本格式為其中，sign缺省時(shí)即為負(fù)反饋，sign=1時(shí)為正反饋。對于MIMO系統(tǒng)，其基本格式為其中，feedin為sys1的輸入向量，用來指定sys1的哪些輸入與反饋環(huán)節(jié)相連接；feedout為sys1的輸出向量，用來指定sys1的哪些輸出端用于反饋?！纠?-7】已知系統(tǒng)如圖所示，利用MATLAB求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。

其中sys1:，；sys2:編寫m文件如下計(jì)算機(jī)的運(yùn)行結(jié)果為表示該反饋系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為7.5系統(tǒng)模型的實(shí)現(xiàn)

根據(jù)狀態(tài)空間表達(dá)形式不同，系統(tǒng)狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)可分為：能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，能觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，對角線標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，約旦標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。設(shè)系統(tǒng)的微分方程為設(shè)狀態(tài)變量為寫成狀態(tài)空間表達(dá)式形式為能控標(biāo)準(zhǔn)型如果系統(tǒng)微分方程為兩邊進(jìn)行拉氏變換，得到傳遞函數(shù)引入輔助變量z以及返回到微分方程形式：選擇狀態(tài)變量如下：┆寫成矩陣形式【例7-8】已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下，求線性變換，將其變換成能控標(biāo)準(zhǔn)形。編寫并運(yùn)行以下m文件運(yùn)行結(jié)果為計(jì)算變換矩陣輸入以下語句計(jì)算結(jié)果為計(jì)算出能控標(biāo)準(zhǔn)形，輸入以下語句計(jì)算結(jié)果為表明經(jīng)過線性變換以后的系統(tǒng)方程為