第七章立體幾何授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第303頁[A組基礎(chǔ)保分練]1．已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1-ABC1A.eq\f(\r(3),12) B．eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D．eq\f(\r(6),4)答案：A2．如圖，圓柱的底面半徑為1，平面ABCD為圓柱的軸截面，從A點(diǎn)開始，沿著圓柱的側(cè)面拉一條繩子到C點(diǎn)，若繩子的最短長度為3π，則該圓柱的側(cè)面積為()A．4eq\r(2)π2 B．2eq\r(2)π2C．5eq\r(2)π2 D．4π2答案：A3．用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面圓面積為π，則球的表面積為()A．8eq\r(2)π B．4eq\r(2)πC．8π D．4π答案：C4．如果三個球的半徑之比是1∶2∶3，那么最大球的表面積是其余兩個球的表面積之和的()A.eq\f(5,9)倍 B．eq\f(9,5)倍C．2倍 D．3倍解析：設(shè)小球半徑為1，則大球的表面積S大＝36π，S?。玈中＝20π，eq\f(36π,20π)＝eq\f(9,5).答案：B5．(西安模擬)已知三棱錐S-ABC中，∠SAB＝∠ABC＝eq\f(π,2)，SB＝4，SC＝2eq\r(13)，AB＝2，BC＝6，則三棱錐S-ABC的體積是()A．4 B．6C．4eq\r(3) D．6eq\r(3)解析：由∠ABC＝eq\f(π,2)，AB＝2，BC＝6，得AC＝2eq\r(10).由∠SAB＝eq\f(π,2)，AB＝2，SB＝4，得SA＝2eq\r(3)，則SA2＋AC2＝SC2，得SA⊥AC，又SA⊥AB，所以SA⊥平面ABC.所以三棱錐S-ABC的體積為eq\f(1,3)S△ABC·SA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×6×2eq\r(3)＝4eq\r(3).答案：C6．(石家莊摸底)已知正三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，棱錐的底面是邊長為2eq\r(3)的正三角形，側(cè)棱長為2eq\r(5)，則球O的表面積為()A．25π B．20πC．16π D．30π解析：如圖，延長SO交球O于點(diǎn)D，設(shè)△ABC的外心為E，連接AE，AD，由正弦定理得2AE＝eq\f(2\r(3),sin60°)＝4，∴AE＝2，易知SE⊥平面ABC，由勾股定理可知，三棱錐S-ABC的高SE＝eq\r(SA2－AE2)＝eq\r(2\r(5)2－22)＝4，由于點(diǎn)A是以SD為直徑的球O上一點(diǎn)，∴∠SAD＝90°，由射影定理可知，球O的直徑2R＝SD＝eq\f(SA2,SE)＝5，因此，球O的表面積為4πR2＝π×(2R)2＝25π.答案：A7．一個球的表面積是16π，那么這個球的體積為________．答案：eq\f(32,3)π8.如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，表面積為S1，球O的體積為V2，表面積為S2，則eq\f(V1,V2)的值是________，eq\f(S1,S2)＝________.解析：設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R，則由題設(shè)可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R，高為2R，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2)，eq\f(S1,S2)＝eq\f(2πR·2R＋2πR2,4πR2)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)eq\f(3,2)9．如圖，在底面半徑為2，母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為eq\r(3)的圓柱，求圓柱的表面積．解析：如圖所示，設(shè)圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為r，表面積為S.則R＝OC＝2，AC＝4，AO＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).易知△AEB∽△AOC，所以eq\f(AE,AO)＝eq\f(EB,OC)，即eq\f(\r(3),2\r(3）＝eq\f(r,2)，所以r＝1，S底＝2πr2＝2π，S側(cè)＝2πr·h＝2eq\r(3)π.所以S＝S底＋S側(cè)＝2π＋2eq\r(3)π＝(2＋2eq\r(3))π.10.如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，△ABC為等邊三角形，AA′⊥平面ABC，AB＝3，AA′＝4，M為AA′的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC′到M的最短路線長為eq\r(29)，設(shè)這條最短路線與CC′的交點(diǎn)為N，求：(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長；(2)PC與NC的長；(3)三棱錐C-MNP的體積．解析：(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖為一邊長分別為4和9的矩形，故對角線長為eq\r(42＋92)＝eq\r(97).(2)將該三棱柱的側(cè)面沿棱BB′展開，如圖所示．設(shè)PC＝x，則MP2＝MA2＋(AC＋x)2.∵M(jìn)P＝eq\r(29)，MA＝2，AC＝3，∴x＝2，即PC＝2.又∵NC∥AM，故eq\f(PC,PA)＝eq\f(NC,AM)，即eq\f(2,5)＝eq\f(NC,2)，∴NC＝eq\f(4,5).(3)S△PCN＝eq\f(1,2)×CP×CN＝eq\f(1,2)×2×eq\f(4,5)＝eq\f(4,5).在三棱錐M-PCN中，M到平面PCN的距離，即h＝eq\f(\r(3),2)×3＝eq\f(3\r(3),2).∴VC-MNP＝VM-PCN＝eq\f(1,3)·h·S△PCN＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)×eq\f(4,5)＝eq\f(2\r(3),5).[B組能力提升練]1．(青島檢測)已知球O與各棱長均為4的四面體的各棱都相切，則球O的表面積為()A．8π B．eq\f(8\r(2),3)πC．32π D．24π答案：A2.(江西宜春質(zhì)監(jiān))如圖所示的糧倉可近似看作一個圓錐和圓臺的組合體，且圓錐的底面圓與圓臺的較大底面圓重合．已知圓臺的較小底面圓的半徑為1，圓錐與圓臺的高分別為eq\r(5)－1和3，則此組合體外接球的表面積是()A．16π B．20πC．24π D．28π解析：設(shè)外接球半徑為R，球心為O，圓臺較小底面圓的圓心為O1，則OOeq\o\al(2,1)＋12＝R2，而OO1＝eq\r(5)－1＋3－R，故R2＝1＋(eq\r(5)＋2－R)2，解得R＝eq\r(5)，此組合體外接球的表面積S＝4πR2＝20π.答案：B3．(多選題)(山東濟(jì)南模擬)已知圓錐的頂點(diǎn)為P，母線長為2，底面半徑為eq\r(3)，A，B為底面圓周上兩個動點(diǎn)(A與B不重合)，則下列說法正確的是()A．圓錐的體積為πB．三角形PAB為等腰三角形C．三角形PAB面積的最大值為eq\r(3)D．直線PA與圓錐底面所成角的大小為eq\f(π,6)解析：如圖所示，點(diǎn)O為點(diǎn)P在圓錐底面上的射影，連接OA，OB.PO＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，圓錐的體積V＝eq\f(1,3)×π×(eq\r(3))2×1＝π，A正確；PA＝PB＝2，B正確；易知直線PA與圓錐底面所成的角為∠PAO＝eq\f(π,6)，D正確；取AB中點(diǎn)C，連接PC，設(shè)∠PAC＝θ，則θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2）)，S△PAB＝2sinθ·2cosθ＝2sin2θ，當(dāng)θ＝eq\f(π,4)時，△PAB面積取得最大值2，C錯誤．答案：ABD4.如圖是一個實(shí)心金屬幾何體的直觀圖，它的中間是高l為eq\f(61,24)的圓柱，上、下兩端均是半徑r為2的半球，若將該實(shí)心金屬幾何體在熔爐中高溫熔化(不考慮過程中的原料損失)，熔成一個實(shí)心球，則該球的直徑為()A．3 B．4C．5 D．6答案：C5．(多選題)已知A，B，C三點(diǎn)均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距離等于球半徑的eq\f(1,3)，則下列結(jié)論正確的是()A．球O的表面積為6πB．球O的內(nèi)接正方體的棱長為1C．球O的外切正方體的棱長為eq\f(4,3)D．球O的內(nèi)接正四面體的棱長為2解析：設(shè)球O的半徑為r，△ABC的外接圓圓心為O′，半徑為R.易得R＝eq\f(2\r(3),3).因?yàn)榍蛐腛到平面ABC的距離等于球O半徑的eq\f(1,3)，所以r2－eq\f(1,9)r2＝eq\f(4,3)，得r2＝eq\f(3,2).所以球O的表面積S＝4πr2＝4π×eq\f(3,2)＝6π，選項(xiàng)A正確；球O的內(nèi)接正方體的棱長a滿足eq\r(3)a＝2r，顯然選項(xiàng)B不正確；球O的外切正方體的棱長b滿足b＝2r，顯然選項(xiàng)C不正確；球O的內(nèi)接正四面體的棱長c滿足c＝eq\f(2\r(6),3)r＝eq\f(2\r(6),3)×eq\f(\r(6),2)＝2，選項(xiàng)D正確．答案：AD6．(東北三省四市聯(lián)考)如圖所示，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O.剪去△AOB，將剩余部分沿OC，OD折疊，使OA，OB重合，則以A(B)，C，D，O為頂點(diǎn)的四面體的外接球的體積為()A．8eq\r(6)π B．24πC.eq\r(6)π D．48π解析：翻折后的幾何體為底面邊長為4，側(cè)棱長為2eq\r(2)的正三棱錐O-ACD，如圖所示，取CD的中點(diǎn)E，連接AE，作OF⊥平面ACD，交AE于F，則F是△ACD的重心，由題意知AE＝eq\r(16－4)＝2eq\r(3)，AF＝eq\f(2,3)AE＝eq\f(4\r(3),3)，OF＝eq\r(2\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3）)2)＝eq\f(2\r(6),3).設(shè)G為四面體的外接球的球心，球的半徑為R，則G在直線OF上，連接AG，則OG＝AG＝R，由AG2＝AF2＋GF2，得R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3）)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),3)－R）2，解得R＝eq\r(6)，所以以A(B)，C，D，O為頂點(diǎn)的四面體的外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝8eq\r(6)π.答案：A[C組創(chuàng)新應(yīng)用練]1．(濟(jì)寧模擬)張衡是中國東漢時期偉大的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)得出圓周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱錐A-BCD的每個頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝eq\r(3)，BC＝2，利用張衡的結(jié)論可得球O的表面積為()A．30 B．10eq\r(10)C．33 D．12eq\r(10)答案：B2．已知四面體ABCD內(nèi)接于半徑為R的球O內(nèi)，BC＝eq\r(3)AB＝3eq\r(3)，∠BAC＝eq\f(2π,3)，若球心O到平面ABC的距離為eq\f(R,2)，則四面體ABCD體積的最大值為()A．2eq\r(3) B．eq\r(3)C.eq\f(29,4) D．eq\f(27,4)解析：設(shè)△ABC外接圓的圓心為O′，半徑為r，則eq\f(3\r(3),sin\f(2π,3）＝2r，得r＝3.連接OO′，BO′，OB，則R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2）)2＋32，得R＝2eq\r(3).易知當(dāng)點(diǎn)D到平面ABC的距離為eq\f(3,2)R時，四面