2022-2023學年九上數(shù)學期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，點E為菱形ABCD邊上的一個動點，并延A→B→C→D的路徑移動，設(shè)點E經(jīng)過的路徑長為x，△ADE的面積為y，則下列圖象能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）A． B．C． D．2．把一副三角板如圖（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝41°，∠D＝30°，斜邊AB＝4，CD＝1．把三角板DCE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)11°得到△D1CE1（如圖2），此時AB與CD1交于點O，則線段AD1的長度為（）A． B． C． D．43．若反比例函數(shù)的圖象過點A（5，3），則下面各點也在該反比例函數(shù)圖象上的是（）A．（5，-3） B．（-5，3） C．（2，6） D．（3，5）4．若拋物線y＝ax2+2x﹣10的對稱軸是直線x＝﹣2，則a的值為（）A．2 B．1 C．-0.5 D．0.55．如圖，傳送帶和地面成一斜坡，它把物體從地面送到離地面5米高的地方，物體所經(jīng)過路程是13米，那么斜坡的坡度為（）A．1：2.6 B．1: C．1：2.4 D．1:6．如圖，已知ΔABC~ΔADB，點D是AC的中點，AC=4，則AB的長為()A．2 B．4 C．22 D．7．下列命題是真命題的個數(shù)是（）．①64的平方根是；②，則；③三角形三條內(nèi)角平分線交于一點，此點到三角形三邊的距離相等；④三角形三邊的垂直平分線交于一點．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．在平面直角坐標系xOy中，以點(－3，4)為圓心，4為半徑的圓()A．與x軸相交，與y軸相切 B．與x軸相離，與y軸相交C．與x軸相切，與y軸相交 D．與x軸相切，與y軸相離9．如圖，為外一點，分別切于點切于點且分別交于點，若，則的周長為（）A． B． C． D．10．已知反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．如圖，排球運動員站在點O處練習發(fā)球，將球從O點正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點，其運行的高度y（m）與運行的水平距離x（m）滿足關(guān)系式y(tǒng)＝a（x﹣k）2+h．已知球與D點的水平距離為6m時，達到最高2.6m，球網(wǎng)與D點的水平距離為9m．高度為2.43m，球場的邊界距O點的水平距離為18m，則下列判斷正確的是（）A．球不會過網(wǎng) B．球會過球網(wǎng)但不會出界C．球會過球網(wǎng)并會出界 D．無法確定12．下列四個三角形，與左圖中的三角形相似的是（）．A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．定義：在平面直角坐標系中，我們將函數(shù)的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的新曲線稱為“逆旋拋物線”.（1）如圖①，己知點，在函數(shù)的圖象上，拋物線的頂點為，若上三點、、是、、旋轉(zhuǎn)后的對應點，連結(jié)，、，則__________；（2）如圖②，逆旋拋物線與直線相交于點、，則__________．14．在一個不透明的盒子中裝有紅、白兩種除顏色外完全相同的球，其中有a個白球和4個紅球，若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回盒子．通過大量重復試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則a的值約為_____．15．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且滿足，連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD、DE，若CF=2，AF=1．給出下列結(jié)論：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4．其中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號）．16．將三角形紙片(△ABC)按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B′，折痕為EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以點B′，F(xiàn)，C為頂點的三角形與△ABC相似，則BF的長度是_________．17．如圖，把△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)35°，得到△A’B’C，A’B’交AC于點D，若∠A’DC=90°，則∠A=°.18．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，的每個頂點都在格點上，則_____.三、解答題（共78分）19．（8分）已知二次函數(shù)y1＝x2﹣2x﹣3，一次函數(shù)y2＝x﹣1．（1）在同一坐標系中，畫出這兩個函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)圖形，求滿足y1＞y2的x的取值范圍．20．（8分）在平面直角坐標系中（如圖），已知二次函數(shù)（其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的圖像經(jīng)過點A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0），聯(lián)結(jié)AB、AC．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）點D是線段AC上的一點，聯(lián)結(jié)BD，如果，求tan∠DBC的值；（3）如果點E在該二次函數(shù)圖像的對稱軸上，當AC平分∠BAE時，求點E的坐標．21．（8分）已知反比例函數(shù)為常數(shù)，）的圖象經(jīng)過兩點．(1)求該反比例函數(shù)的解析式和的值；(2)當時，求的取值范圍；(3)若為直線上的一個動點，當最小時，求點的坐標．22．（10分）已知拋物線y＝kx2+（1﹣2k）x+1﹣3k與x軸有兩個不同的交點A、B．（1）求k的取值范圍；（2）證明該拋物線一定經(jīng)過非坐標軸上的一點M，并求出點M的坐標；（3）當＜k≤8時，由（2）求出的點M和點A，B構(gòu)成的△ABM的面積是否有最值？若有，求出該最值及相對應的k值．23．（10分）如圖，在中，弦垂直于直徑，垂足為，連結(jié)，將沿翻轉(zhuǎn)得到，直線與直線相交于點．（1）求證：是的切線；（2）若為的中點，①求證：四邊形是菱形；②若，求的半徑長．24．（10分）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=30°，將AC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得AE，連接BE，CE．（1）求證：△ADC≌△ABE；（2）求證：（3）若AB=2，點Q在四邊形ABCD內(nèi)部運動，且滿足，直接寫出點Q運動路徑的長度．25．（12分）對于平面直角坐標系中的兩個圖形K1和K2，給出如下定義：點G為圖形K1上任意一點，點H為K2圖形上任意一點，如果G，H兩點間的距離有最小值，則稱這個最小值為圖形K1和K2的“近距離”。如圖1，已知△ABC，A（-1，-8），B（9,2），C（-1,2），邊長為的正方形PQMN，對角線NQ平行于x軸或落在x軸上．（1）填空：①原點O與線段BC的“近距離”為；②如圖1，正方形PQMN在△ABC內(nèi)，中心O’坐標為（m，0），若正方形PQMN與△ABC的邊界的“近距離”為1，則m的取值范圍為；（2）已知拋物線C：，且-1≤x≤9，若拋物線C與△ABC的“近距離”為1，求a的值；（3）如圖2，已知點D為線段AB上一點，且D（5，-2），將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0o<α≤180o），將旋轉(zhuǎn)中的△ABC記為△AB’C’，連接DB’，點E為DB’的中點，當正方形PQMN中心O’坐標為（5，-6），直接寫出在整個旋轉(zhuǎn)過程中點E運動形成的圖形與正方形PQMN的“近距離”．26．2019年鞍山市出現(xiàn)了豬肉價格大幅上漲的情況，經(jīng)過對我市某豬肉經(jīng)銷商的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當豬肉售價為60元/千克時，每天可以銷售80千克，日銷售利潤為1600元（不考慮其他因素對利潤的影響）：售價每上漲1元，則每天少售出2千克；若設(shè)豬肉售價為x元/千克，日銷售量為y千克．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）若物價管理部門規(guī)定豬肉價格不高于68元/千克，當售價是多少元/千克時，日銷售利潤最大，最大利潤是多少元．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【解析】點E沿A→B運動，△ADE的面積逐漸變大；點E沿B→C移動，△ADE的面積不變；點E沿C→D的路徑移動，△ADE的面積逐漸減?。蔬xD.點睛：本題考查函數(shù)的圖象.分三段依次考慮△ADE的面積變化情況是解題的關(guān)鍵.2、A【解析】試題分析：由題意易知：∠CAB=41°，∠ACD=30°．若旋轉(zhuǎn)角度為11°，則∠ACO=30°+11°=41°．∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．在等腰Rt△ABC中，AB=4，則AO=OC=2．在Rt△AOD1中，OD1=CD1-OC=3，由勾股定理得：AD1=．故選A.考點:1.旋轉(zhuǎn)；2.勾股定理.3、D【解析】先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，然后將各選項的點代入驗證即可.【詳解】將點代入得：，解得則反比例函數(shù)為：A、令，代入得，此項不符題意B、令，代入得，此項不符題意C、令，代入得，此項不符題意D、令，代入得，此項符合題意故選：D.【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、以及確定某點是否在函數(shù)上，依據(jù)題意求出反比例函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.4、D【分析】根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸方程得到，然后求出a即可．【詳解】解：∵拋物線y＝ax2+2x﹣10的對稱軸是直線x＝﹣2，∴，∴；故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當a＞0；對稱軸為直線；拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）；當b2-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0，拋物線與x軸有一個交點；當b2-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點．5、C【解析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，由坡度的定義可知，坡度等于坡角對邊與鄰邊的比值，根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)可以得到坡度，本題得以解決．【詳解】如圖據(jù)題意得;AB=13、AC=5，則BC=,∴斜坡的坡度i=tan∠ABC==1∶2.4,故選C.6、C【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式求解即可．【詳解】解：∵點D是AC的中點，AC=4，，

∴AD=2，

∵ΔABC~ΔADB，

∴AD∴2∴AB=22，

故選C【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，能夠根據(jù)相似三角形列出比例式是解答本題的關(guān)鍵，難度不大．7、C【分析】分別根據(jù)平方根、等式性質(zhì)、三角形角平分線、線段垂直平分線性質(zhì)進行分析即可.【詳解】①64的平方根是，正確，是真命題；②，則不一定，可能；故錯誤；③根據(jù)角平分線性質(zhì)，三角形三條內(nèi)角平分線交于一點，此點到三角形三邊的距離相等；是真命題；④根據(jù)三角形外心定義，三角形三邊的垂直平分線交于一點，是真命題；故選：C【點睛】考核知識點：命題的真假.理解平方根、等式性質(zhì)、三角形角平分線、線段垂直平分線性質(zhì)是關(guān)鍵.8、C【解析】分析：首先畫出圖形，根據(jù)點的坐標得到圓心到X軸的距離是4，到Y(jié)軸的距離是3，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可求出答案．解答：解：圓心到X軸的距離是4，到y(tǒng)軸的距離是3，4=4，3＜4，∴圓與x軸相切，與y軸相交，故選C．9、C【分析】根據(jù)切線長定理得到PB=PA、CA=CE，DE=DB，根據(jù)三角形的周長公式計算即可．【詳解】解：∵PA、PB分別切⊙O于點A、B，

∴PB=PA=4，

∵CD切⊙O于點E且分別交PA、PB于點C，D，

∴CA=CE，DE=DB，

∴△PCD的周長=PC+PD+CD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=8，

故選：C．【點睛】本題考查的是切線長定理的應用，切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角．10、D【分析】由題意根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可確定的符號，進行計算從而求解．【詳解】解：因為反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，所以，解得.故選：D.【點睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，注意掌握反比例函數(shù)，當k＞0時，反比例函數(shù)圖象在一、三象限；當k＜0時，反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)．11、C【解析】分析：（1）將點A(0,2)代入求出a的值；分別求出x=9和x=18時的函數(shù)值，再分別與2.43、0比較大小可得．詳解：根據(jù)題意,將點A(0,2)代入得：36a+2.6=2，解得：∴y與x的關(guān)系式為當x=9時,∴球能過球網(wǎng)，當x=18時,∴球會出界.故選C.點睛：考查二次函數(shù)的應用題，求范圍的問題，可以利用臨界點法求出自變量的值，根據(jù)題意確定范圍.12、B【分析】本題主要應用兩三角形相似的判定定理，三邊對應成比例，做題即可．【詳解】解：設(shè)單位正方形的邊長為1，給出的三角形三邊長分別為，，．

A、三角形三邊分別是2，，3，與給出的三角形的各邊不成比例，故A選項錯誤；

B、三角形三邊2，4，，與給出的三角形的各邊成比例，故B選項正確；C、三角形三邊2，3，，與給出的三角形的各邊不成比例，故C選項錯誤；D、三角形三邊，，4，與給出的三角形的各邊不成正比例，故D選項錯誤．

故選：B．【點睛】此題考查了相似三角形的判定，注意三邊對應成比例的兩三角形相似．二、填空題（每題4分，共24分）13、3；【分析】（1）求出點A、B的坐標，再根據(jù)割補法求△ABC的面積即可得到；

（2）將旋轉(zhuǎn)后的MN和拋物線旋轉(zhuǎn)到之前的狀態(tài)，求出直線解析式及交點坐標，利用割補法求面積即可．【詳解】解：（1）在上，令x=0，解得y=2，所以C（0，2），OC=2，將，代入，解得a=3，b=2，∴，，設(shè)，的直線解析式為，則，解得，直線AB解析式為，令x=0，解得，y=4，即OD=4，∴，∴（2）如圖，由旋轉(zhuǎn)知，，，∴，，直線，令，得∴∴∴【點睛】此題考查了二次函數(shù)與幾何問題相結(jié)合的問題，將三角形的面積轉(zhuǎn)化為解題關(guān)鍵．14、1【分析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右得到比例關(guān)系，列出方程求解即可．【詳解】解：由題意可得，×100%＝20%，解得，a＝1，經(jīng)檢驗a=1是方程的根，故答案為：1．【點睛】本題主要考查的是頻率和概率問題，此類問題是中考?？嫉闹R點，所以掌握頻率和概率是解題的關(guān)鍵.15、①②④．【解析】①∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴，DG=CG，∴∠ADF=∠AED，∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED，故①正確；②∵=，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG=CG﹣CF=2，故②正確；③∵AF=1，F(xiàn)G=2，∴AG==，∴在Rt△AGD中，tan∠ADG==，∴tan∠E=，故③錯誤；④∵DF=DG+FG=6，AD==，∴S△ADF=DF?AG=×6×，∵△ADF∽△AED，∴，∴=，∴S△AED=，∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=；故④正確．故答案為①②④．16、2或【分析】設(shè)BF=，根據(jù)折疊的性質(zhì)用x表示出B′F和FC，然后分兩種情況進行討論（1）△B′FC∽△ABC和△B′FC∽△BAC，最后根據(jù)兩三角形相似對應邊成比例即可求解．【詳解】設(shè)BF=，則由折疊的性質(zhì)可知：B′F=，F(xiàn)C=，（1）當△B′FC∽△ABC時，有，即：，解得：；（2）當△B′FC∽△BAC時，有，即：，解得：；綜上所述，可知：若以點B′，F(xiàn)，C為頂點的三角形與△ABC相似，則BF的長度是2或故答案為2或．【點睛】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，解本題時，由于題目中沒有指明△B′FC和△ABC相似時頂點的對應關(guān)系，所以根據(jù)∠C是兩三角形的公共角可知，需分：（1）△B′FC∽△ABC；（2）△B′FC∽△BAC；兩種情況分別進行討論，不要忽略了其中任何一種．17、55.【詳解】試題分析：∵把△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)35°，得到△A’B’C∴∠ACA’=35°，∠A=∠A’，.∵∠A’DC=90°，∴∠A’=55°.∴∠A=55°.考點：1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2.直角三角形兩銳角的關(guān)系.18、2【分析】如圖，取格點E，連接EC．利用勾股定理的逆定理證明∠AEC=90°即可解決問題．【詳解】解：如圖，取格點E，連接EC．易知AE=，∴AC2=AE2+EC2，∴∠AEC=90°，∴tan∠BAC=.【點睛】本題考查解直角三角形，勾股定理以及逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．三、解答題（共78分）19、（1）見解析；（2）x＜或x＞．【分析】（1）利用描點法畫出兩函數(shù)圖象；（2）設(shè)二次函數(shù)y1＝x2﹣2x﹣3的圖象與一次函數(shù)y2＝x﹣1的圖象相交于A、B兩點，如圖，通過解方程x2﹣2x﹣3＝x﹣1得A點和B點的橫坐標，然后結(jié)合函數(shù)圖象，寫出拋物線在直線上方所對應的自變量的范圍即可．【詳解】解：（1）列表如下：xy﹣2﹣101234y150﹣3﹣4﹣305y2﹣10這兩個函數(shù)的圖象，如圖，（2）設(shè)二次函數(shù)y1＝x2﹣2x﹣3的圖象與一次函數(shù)y2＝x﹣1的圖象相交于A、B兩點，如圖，令y1＝y(tǒng)2，得x2﹣2x﹣3＝x﹣1，整理得x2﹣3x﹣2＝0，解得x1＝，x2＝，∴A點和B點的橫坐標分別為，，∴當x＜或x＞，∴y1＞y2，即滿足不等式y(tǒng)1＞y2的x的取值范圍為x＜或x＞．【點睛】本題主要考察二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖形，解題關(guān)鍵是熟練掌握計算法則.20、（1）；（2）；（3）E（2，）【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法，把A、B、C三點代入解析式，即可得到答案；（2）過點D作DH⊥BC于H，在△ABC中，設(shè)AC邊上的高為h，利用面積的比得到，然后求出DH和BH，即可得到答案；（3）延長AE至x軸，與x軸交于點F，先證明△OAB∽△OFA，求出點F的坐標，然后求出直線AF的方程，即可求出點E的坐標.【詳解】解：（1）將A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入得，解得，∴此拋物線的表達式是：．（2）過點D作DH⊥BC于H，在△ABC中，設(shè)AC邊上的高為h，則，又∵DH//y軸，∴．∵OA=OC=3，則∠ACO=45°，∴△CDH為等腰直角三角形，∴．∴．∴tan∠DBC=.（3）延長AE至x軸，與x軸交于點F，∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC∠BAC=45°∠BAC，∠OFA=∠OCA∠FAC=45°∠FAC，∵∠BAC=∠FAC，∴∠OAB=∠OFA．∴△OAB∽△OFA，∴．∴OF=9，即F（9，0）；設(shè)直線AF的解析式為y=kx+b（k≠0），可得，解得，∴直線AF的解析式為：，將x=2代入直線AF的解析式得：，∴E（2，）.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以及正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形.21、（1）；（2）當時，的取值范圍是；（3）點的坐標為．【分析】(1)把點A坐標直接代入可求k值，得出函數(shù)解析式，再把自變量-6代入解析式可得出n的值(2)根據(jù)k的值可確定函數(shù)經(jīng)過的象限，在一、三象限，在每個象限內(nèi)隨的增大而減小，當x=-1時，y=-3，從而可求出y的取值范圍(3)作點A關(guān)于y=x的對稱點，連接，線段，由，B的坐標求出直線的解析式，最后根據(jù)兩直線解析式求出點M的坐標.【詳解】解：（Ⅰ）把代入得，反比例函數(shù)解析式為；把代入得，解得；(2)，圖象在一、三象限，在每個象限內(nèi)隨的增大而減小，把代入得，當時，的取值范圍是；(3)作點關(guān)于直線的對稱點為，則，連接，交直線于點，此時，，是的最小值，設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，由，解得，點的坐標為．【點睛】本題是一道關(guān)于反比例函數(shù)的綜合題目，考查的知識點有反比例函數(shù)的性質(zhì)，解二元一次方程組，利用點對稱求最短距離等，綜合性較強.22、（1）且；（2）見解析，M(3,4)；（3）△ABM的面積有最大值，【分析】（1）根據(jù)題意得出△=（1-2k）2-4×k×（1-3k）=（1-4k）2＞0，得出1-4k≠0，解不等式即可；

（2）y=k（x2-2x-3）+x+1，故只要x2-2x-3=0，那么y的值便與k無關(guān)，解得x=3或x=-1（舍去，此時y=0，在坐標軸上），故定點為（3，4）；

（3）由|AB|=|xA-xB|得出|AB|=||，由已知條件得出，得出0＜||≤，因此|AB|最大時，||=，解方程即可得到結(jié)果.【詳解】解：（1）當時，函數(shù)為一次函數(shù)，不符合題意，舍去；當時，拋物線與軸相交于不同的兩點、，△，，，∴k的取值范圍為且；（2）證明：拋物線，，拋物線過定點說明在這一點與k無關(guān)，顯然當時，與k無關(guān)，解得：或，當時，，定點坐標為；當時，，定點坐標為，∴M不在坐標軸上，；（3），，，，，，最大時，，解得：，或（舍去），當時，有最大值，此時的面積最大，沒有最小值，則面積最大為：．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，根的判別式以及最值問題等知識；本題難度較大，根據(jù)題意得出點M的坐標是解決問題的關(guān)鍵．23、（1）見解析；（2）①見解析，②1【分析】（1）連接OC，由OA=OC得∠OAC=∠OCA，結(jié)合折疊的性質(zhì)得∠OCA=∠FAC，于是可判斷OC∥AF，然后根據(jù)切線的性質(zhì)得直線FC與⊙O相切；（2）①連接OD、BD，利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可證得CB=OC=OD=BD，再根據(jù)菱形的判定定理即可判定；②首先證明△OBC是等邊三角形，在Rt△OCE中，根據(jù)，構(gòu)建方程即可解決問題；【詳解】（1）如圖，連接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，由翻折的性質(zhì)，有∠OAC=∠FAC，∠AEC=∠AFC=90°，∴∠FAC=∠OCA，∴∥AF，∴∠OCG=∠AFC=90°，故FG是⊙O的切線；（2）①如圖，連接OD、BD，∵CD垂直于直徑AB，∴OC=OD，BC=BD，又∵B為OG的中點，∴，∴CB=OB，又∵OB=OC，∴CB=OC，則有CB=OC=OD=BD，故四邊形OCBD是菱形；②由①知，△OBC是等邊三角形，∵CD垂直于直徑AB，∴，∴，設(shè)⊙O的半徑長為R，在Rt△OCE中，有，即，解之得：，⊙O的半徑長為：1．【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了切線的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，學會利用方程的思想解決問題．24、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【解析】（1）推出∠DAC=∠BAE，則可直接由SAS證明△ADC≌△ABE；（2）證明△BCE是直角三角形，再證DC=BE，AC=CE即可推出結(jié)論；（3）如圖2，設(shè)Q為滿足條件的點，將AQ繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)60度得AF，連接QF，BF，QB，DQ，AF，證△ADQ≌△ABF，由勾股定理的逆定理證∠FBQ=90°，求出∠DQB=150°，確定點Q的路徑為過B，D，C三點的圓上，求出的長即可．【詳解】（1）證明：∵∠CAE=∠DAB=60°，∴∠CAE-∠CAB=∠DAB-∠CAB，∴∠DAC=∠BAE，又∵AD=AB，AC=AE，∴△ADC≌△ABE（SAS）；（2）證明：在四邊形ABCD中，∠ADC+∠ABC=360°-∠DAB-∠DCB=270°，∵△ADC≌△ABE，∴∠ADC=∠ABE，CD=BE，∴∠ABC+ABE=∠ABC+∠ADC=270°，∴∠CBE=360°-（∠ABC+ABE）=90°，∴CE2=BE2+BC2，又∵AC=AE，∠CAE=60°，∴△ACE是等邊三角形，∴CE=AC=AE，∴AC2=DC2+BC2；（3）解：如圖2，設(shè)Q為滿足條件的點，將AQ繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)60度得AF，連接QF，BF，QB，DQ，AF，則∠DAQ=∠BAF，AQ=QF，△AQF為等邊三角形，又∵AD=AB，∴△ADQ≌△ABF（SAS），∴AQ=FQ，BF=DQ，∵AQ2=BQ2+DQ2，∴FQ2=BQ2+BF2，∴∠FBQ=90°，∴∠AFB+∠AQB=360°-（∠QAF+∠FBQ）=210°，∴∠AQD+∠AQB=210°，∴∠DQB=360°-（∠AQD+∠AQB）=150°，∴點Q的路徑為過B，D，C三點的圓上，如圖2，設(shè)圓心為O，則∠BOD=2∠DCB=60°，連接DB，則△ODB與△ADB為等邊三角形，∴DO=DB=AB=2，∴點Q運動的路徑長為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，勾股定理的逆定理，圓的有關(guān)性質(zhì)及計算等，綜合性較強，解題關(guān)鍵是能夠熟練掌握并靈活運用圓的有關(guān)性質(zhì)．25、（1）①2；②；（2）或；（3）點E運動形成的圖形與正方形PQMN的“近距離”為．【分析】（1）①由垂線段最短，即可得到答案；②根據(jù)題意，找出正方形PQMN與△ABC的邊界的“近距離”為1，的臨界點，然后分別求出m的最小值和最大值，即可得到m的取值范圍；（2）根據(jù)題意，拋物線與△ABC的“近距離”為1時，可分為兩種情況：當點C到拋物線的距離為1，即CD=1；當拋物線與線段AB的距離為1時，即GH=1；分別求出a的值，即可得到答案；（3）根據(jù)題意，取AB的中點F，連接EF，求出EF的長度，然后根據(jù)題意，求出點F，點Q的坐標，求出FQ的長度，即可得到EQ的長度，即可得到答案．【詳解】解：（1）①∵B（9，2），C（，2），∴點B、C的縱坐標相同，∴線段BC∥x軸，∴原點O到線段BC的最短距離為2；即原點O與線段BC的“近距離”為2；故答案為：2；②∵A（-1，-8），B（9，2），C（-1，2），∴線段BC∥x軸，線段AC∥y軸，∴AC=BC=10，△ABC是等腰直角三角形，當點N與點O重合時，點N與線段AC的最短距離為1，則正方形PQMN與△ABC的邊界的“近距離”為1，此時m為最小值，∵正方形的