§1.2收斂數(shù)列的性質(zhì)§1.2收斂數(shù)列的性質(zhì)定理2.1(唯一性)

若數(shù)列收斂,則其極限唯一.證由定義,一、收斂數(shù)列的基本性質(zhì)故極限唯一.教材P7反證法定理2.1(唯一性)若數(shù)列收斂,則其極限唯一.證由定相應(yīng)的,可以給出有下界的定義定義2.1(數(shù)列有界的定義)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)M，對(duì)數(shù)列所有的項(xiàng)都滿足,

相應(yīng)的,可以給出有下界的定義定義2.1(數(shù)列有界的定義)例如,有界無界一個(gè)數(shù)列即有上界又有下界,則稱為有界數(shù)列.例如,有界無界一個(gè)數(shù)列即有上界又有下界,則稱為有界數(shù)列.定理2.2

收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注：有界未必一定收斂。（有界性是收斂的必要條件）推論

無界數(shù)列必定發(fā)散.定理2.2收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注：有界未必一定定理2.3

見教材P8圖形定理2.3見教材P8圖形證明

證明注注定理2.4二、極限的四則運(yùn)算定理2.4二、極限的四則運(yùn)算證證第2節(jié)收斂數(shù)列的性質(zhì)課件第2節(jié)收斂數(shù)列的性質(zhì)課件說明1有+無=無，無+無=不定；2數(shù)學(xué)分析鞏固與指導(dǎo)說明1有+無=無，無+無=不定；2數(shù)學(xué)分析鞏固與指例1:解例1:解例2解例2解三、夾逼定理證定理2.5三、夾逼定理證定理2.5上兩式同時(shí)成立,上兩式同時(shí)成立,例3-1解由夾逼定理得例3-1解由夾逼定理得證例4證例4第2節(jié)收斂數(shù)列的性質(zhì)課件例5.則證明：由夾逼定理，由不等式例5.則證明：由夾逼定理，由不等式定義2.2數(shù)列中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序，這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列的子數(shù)列，簡(jiǎn)稱子列.(教材P12)四、子列極限定義2.2數(shù)列中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)取則當(dāng)，證設(shè)是數(shù)列的任一子列，由故對(duì)于任意給定的正數(shù)存在著正整數(shù)當(dāng)時(shí)，成立。一子數(shù)列也收斂于.定理2.6如果數(shù)列收斂于，那么它的任取則當(dāng)，證設(shè)是數(shù)列的任一子列，由故對(duì)于任意給定的正數(shù)存在著正若數(shù)列的一個(gè)子列發(fā)散或有兩個(gè)子列收斂于不同的極限,一定發(fā)散.(教材P12)若數(shù)列的一個(gè)子列發(fā)散一定發(fā)散.(教材P12)數(shù)列收斂于的奇數(shù)項(xiàng)子列和偶數(shù)項(xiàng)子列都收斂于a。

對(duì)于單調(diào)數(shù)列,有一收斂子列則原數(shù)列收斂.對(duì)于單調(diào)數(shù)列,數(shù)列收斂的充分必要條件是有一收斂子列.(證明在單調(diào)有界定理)或結(jié)論1結(jié)論2數(shù)列收斂于的奇數(shù)項(xiàng)子列和偶數(shù)項(xiàng)子列都收斂于a。對(duì)于單調(diào)數(shù)列五、無窮小定義2.3

定理2.7五、無窮小定義2.3定理2.7分析：則所證結(jié)論轉(zhuǎn)化為分析：則所證結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明：證明：第2節(jié)收斂數(shù)列的性質(zhì)課件（練習(xí)）（夾逼定理，調(diào)和平均≤幾何平均≤算術(shù)平均）（練習(xí)）P147.證明證明：由例6P147.證明證明：由例6應(yīng)記住的結(jié)果：應(yīng)記住的結(jié)果：六、小結(jié)1、收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性、有界性、不等式性質(zhì)2、極限的四則運(yùn)算5、無窮小3、夾逼準(zhǔn)則(兩邊夾法則)4、子列極限六、小結(jié)1、收斂數(shù)列的性質(zhì):2、極限的四則運(yùn)算5、無第2節(jié)收斂數(shù)列的性質(zhì)課件§1.2收斂數(shù)列的性質(zhì)§1.2收斂數(shù)列的性質(zhì)定理2.1(唯一性)

若數(shù)列收斂,則其極限唯一.證由定義,一、收斂數(shù)列的基本性質(zhì)故極限唯一.教材P7反證法定理2.1(唯一性)若數(shù)列收斂,則其極限唯一.證由定相應(yīng)的,可以給出有下界的定義定義2.1(數(shù)列有界的定義)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)M，對(duì)數(shù)列所有的項(xiàng)都滿足,

相應(yīng)的,可以給出有下界的定義定義2.1(數(shù)列有界的定義)例如,有界無界一個(gè)數(shù)列即有上界又有下界,則稱為有界數(shù)列.例如,有界無界一個(gè)數(shù)列即有上界又有下界,則稱為有界數(shù)列.定理2.2

收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注：有界未必一定收斂。（有界性是收斂的必要條件）推論

無界數(shù)列必定發(fā)散.定理2.2收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注：有界未必一定定理2.3

見教材P8圖形定理2.3見教材P8圖形證明

證明注注定理2.4二、極限的四則運(yùn)算定理2.4二、極限的四則運(yùn)算證證第2節(jié)收斂數(shù)列的性質(zhì)課件第2節(jié)收斂數(shù)列的性質(zhì)課件說明1有+無=無，無+無=不定；2數(shù)學(xué)分析鞏固與指導(dǎo)說明1有+無=無，無+無=不定；2數(shù)學(xué)分析鞏固與指例1:解例1:解例2解例2解三、夾逼定理證定理2.5三、夾逼定理證定理2.5上兩式同時(shí)成立,上兩式同時(shí)成立,例3-1解由夾逼定理得例3-1解由夾逼定理得證例4證例4第2節(jié)收斂數(shù)列的性質(zhì)課件例5.則證明：由夾逼定理，由不等式例5.則證明：由夾逼定理，由不等式定義2.2數(shù)列中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序，這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列的子數(shù)列，簡(jiǎn)稱子列.(教材P12)四、子列極限定義2.2數(shù)列中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)取則當(dāng)，證設(shè)是數(shù)列的任一子列，由故對(duì)于任意給定的正數(shù)存在著正整數(shù)當(dāng)時(shí)，成立。一子數(shù)列也收斂于.定理2.6如果數(shù)列收斂于，那么它的任取則當(dāng)，證設(shè)是數(shù)列的任一子列，由故對(duì)于任意給定的正數(shù)存在著正若數(shù)列的一個(gè)子列發(fā)散或有兩個(gè)子列收斂于不同的極限,一定發(fā)散.(教材P12)若數(shù)列的一個(gè)子列發(fā)散一定發(fā)散.(教材P12)數(shù)列收斂于的奇數(shù)項(xiàng)子列和偶數(shù)項(xiàng)子列都收斂于a。

對(duì)于單調(diào)數(shù)列,有一收斂子列則原數(shù)列收斂.對(duì)于單調(diào)數(shù)列,數(shù)列收斂的充分必要條件是有一收斂子列.(證明在單調(diào)有界定理)或結(jié)論1結(jié)論2數(shù)列收斂于的奇數(shù)項(xiàng)子列和偶數(shù)項(xiàng)子列都收斂于a。對(duì)于單調(diào)數(shù)列五、無窮小定義2.3

定理2.7五、無窮小定義2.3定理2.7分析：則所證結(jié)論轉(zhuǎn)化為分析：則所證結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明：證明：第2節(jié)收斂數(shù)列的性質(zhì)課件（練習(xí)）（夾逼定理，調(diào)和平均≤幾何平均≤算術(shù)平均）（練習(xí)）P147.證明證明：由例6P147.證明證明：