第六章

非參數(shù)統(tǒng)計(jì)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/20231第六章非參數(shù)統(tǒng)計(jì)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組12/12/第一節(jié)引言第二節(jié)單樣本非參數(shù)檢驗(yàn)第四節(jié)兩樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)第四節(jié)秩相關(guān)檢驗(yàn)

第六章非參數(shù)統(tǒng)計(jì)

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/20232第一節(jié)引言第六章非參數(shù)統(tǒng)計(jì)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)本章重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn):了解和掌握單樣本非參數(shù)檢驗(yàn)、兩樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)、秩相關(guān)檢驗(yàn)的基本方法。難點(diǎn):符號秩檢驗(yàn)的基本原理和秩相關(guān)檢驗(yàn)的基本原理及其計(jì)算方法。版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/20233本章重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn):了解和掌握單樣本非參數(shù)檢驗(yàn)、兩樣第一節(jié)引言

一、關(guān)于非參數(shù)統(tǒng)計(jì)二、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中常用統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/20234第一節(jié)引言一、關(guān)于非參數(shù)統(tǒng)計(jì)一、關(guān)于非參數(shù)統(tǒng)計(jì)

非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法的共同特征是與總體分布無關(guān)，即總體分布未知的情況下的統(tǒng)計(jì)推斷方法。非參數(shù)檢驗(yàn)總是比傳統(tǒng)檢驗(yàn)安全。但是在總體分布形式已知時(shí)，非參數(shù)檢驗(yàn)就不如傳統(tǒng)方法效率高。這是因?yàn)榉菂?shù)方法利用的信息要少些。往往在傳統(tǒng)方法可以拒絕零假設(shè)的情況，非參數(shù)檢驗(yàn)無法拒絕。版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/20235一、關(guān)于非參數(shù)統(tǒng)計(jì)非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法的共同特征是與總體分布無關(guān)

注意：非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的“非參數(shù)(nonparametric)”意味著其方法不涉及描述總體分布的有關(guān)參數(shù)；之所以稱和總體分布無關(guān)(distribution—free)，是因?yàn)槠渫茢喾椒ú簧婕暗娇傮w分布，不應(yīng)理解為與所有分布(例如有關(guān)秩的分布)無關(guān)。版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/20236注意：非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的“非參數(shù)(nonparametri二、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中常用統(tǒng)計(jì)量

（一）順序統(tǒng)計(jì)量1．順序統(tǒng)計(jì)量2．基于順序統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)量3．順序統(tǒng)計(jì)量的分布版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/20237二、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中常用統(tǒng)計(jì)量

（一）順序統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有B1．順序統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1、順序統(tǒng)計(jì)量：對于簡單隨機(jī)樣本X1,X2,…,Xn，如果按照升冪排列，得到X(1)≤X(2)≤…≤X(n)稱X(K)為k個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量；稱X(1),X(2),…,X(n)為一個(gè)順序樣本；1/3/202381．順序統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1、順序統(tǒng)計(jì)量：對2．基于順序統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組中位數(shù)極差P分位數(shù)

1/3/202392．基于順序統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組中位數(shù)3．順序統(tǒng)計(jì)量的分布

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組分布函數(shù)為1/3/2023103．順序統(tǒng)計(jì)量的分布

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組分布函數(shù)為版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組第r個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)為1/3/202311版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組第r個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)為12（二）秩統(tǒng)計(jì)量

1．秩統(tǒng)計(jì)量2．秩統(tǒng)計(jì)量的分布和數(shù)字特征3．線性符號秩統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/202312（二）秩統(tǒng)計(jì)量

1．秩統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1．秩統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組設(shè)X1,X2,…,Xn為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本（其中無重復(fù)數(shù)據(jù)點(diǎn)）。記Ri為樣本點(diǎn)Xi的秩，即Ri等于或等于Xi的Xj的個(gè)數(shù)1/3/2023131．秩統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組設(shè)X版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組【例6.1】表6-1原始觀測值及相應(yīng)的秩統(tǒng)計(jì)表對于【例6.1】給定的樣本，分別給出了他們相應(yīng)的秩。原始觀測值xi9.30.23.273.161.5秩Ri71463521/3/202314版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組【例6.1】原始觀測值xi9.2．秩統(tǒng)計(jì)量的分布和數(shù)字特征版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組R1，R2，…，Rn的聯(lián)合分布為：Ri的概率分布為：Ri的數(shù)學(xué)期望：Ri的方差：1/3/2023152．秩統(tǒng)計(jì)量的分布和數(shù)字特征版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組R13．線性符號秩統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組

設(shè)Ri+在∣X1∣,∣X2∣,…,∣Xn∣中的秩，定義an+(.)為在整數(shù)1，2，…,n上的非負(fù)函數(shù)，且滿足an+(1),…,an+(n)不全為0，則稱為線性符號秩統(tǒng)計(jì)量。1/3/2023163．線性符號秩統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組設(shè)R版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組

如果X1,X2,…,Xn為獨(dú)立同分布的連續(xù)隨機(jī)變量，并有關(guān)于0的對稱分布，則區(qū)別于秩統(tǒng)計(jì)量的分布，線性符號統(tǒng)計(jì)量的分布要求總體分布連續(xù)且對稱。1/3/202317版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組如果X1,X2,…,X第二節(jié)單樣本非參數(shù)檢驗(yàn)

一、單樣本擬合優(yōu)度檢驗(yàn)二、符號檢驗(yàn)三、Cox-Stuart趨勢檢驗(yàn)四、游程檢驗(yàn)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/202318第二節(jié)單樣本非參數(shù)檢驗(yàn)

一、單樣本擬合優(yōu)度檢驗(yàn)版權(quán)所有一、單樣本擬合優(yōu)度檢驗(yàn)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組（1）提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0:F(X)=F0(X)（2）選擇適當(dāng)統(tǒng)計(jì)量1/3/202319一、單樣本擬合優(yōu)度檢驗(yàn)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組（1）提出版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組（3）由給定的顯著性水平α，查卡方概率分布表確定臨界值Χα2（m-1-r）(這種檢驗(yàn)是右側(cè)檢驗(yàn))。（4）利用樣本值X1,…,Xn計(jì)算實(shí)際頻數(shù)fi，再計(jì)算經(jīng)驗(yàn)概率p,據(jù)以計(jì)算的值。（5）結(jié)論，若，則拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為總體的分布函數(shù)不為F0(X)；反之，則接受原假設(shè)，即認(rèn)為總體的分布函數(shù)為F0(X)。1/3/202320版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組（3）由給定的顯著性水平α，查卡版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組【例6.2】某公路上，交通部門觀察每15秒鐘內(nèi)路過的汽車輛數(shù)，共觀察了50分鐘，得如下樣本資料：表6-2交通部門觀察每15秒內(nèi)過路的汽車輛數(shù)統(tǒng)計(jì)表試問通過的汽車輛數(shù)可否認(rèn)為服從泊松分布，顯著性水平為α=0.05?輛數(shù)01234Σ實(shí)際頻數(shù)926811102001/3/202321版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組【例6.2】某公路上，交通部門觀版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組【解】由泊松分布的概率函數(shù)的估計(jì)量為：1/3/202322版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組【解】由泊松分布的概率函數(shù)12/版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組由題意，要檢驗(yàn)的假設(shè)為：H1：總體部服從泊松分布將數(shù)軸分為6個(gè)區(qū)間：（-∞，0],(0,1],(1,2],(2,3],(3,4],(4,∞),由泊松分布的概率函數(shù)分別計(jì)算落在這些區(qū)間的概率1/3/202323版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組由題意，要檢驗(yàn)的假設(shè)為：12/11/3/20232412/12/202224版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組由計(jì)算表可知當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，服從自由度為3（m-r-1=5-1-1=3）的χ2分布。由α=0.05，查χ2分布表得臨界值，因?yàn)?所以接受原假設(shè)，認(rèn)為通過該地段的汽車輛數(shù)服從泊松分布。1/3/202325版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組由計(jì)算表可知12/12/2022二、符號檢驗(yàn)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組

假定用總體中位數(shù)M來表示中間位置，并且X1,…,Xn獨(dú)立同分布，這意味著X1,…,Xn取大于M的概率應(yīng)該與取小于M的概率均為1/2。對于我們所研究的問題，可以看作是只有兩種可能“成功”或“失敗”。成功為“+”，即大于中位數(shù)；失敗為“-”，即小于中位數(shù)M。令：S+=得正負(fù)號的數(shù)目S-=得負(fù)負(fù)號的數(shù)目1/3/202326二、符號檢驗(yàn)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組假定用總體中位版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組可以知道S+和S-均服從二項(xiàng)分布B(n,0.5),n=S++S-。則S+或S-可以用來做檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，給定顯著性水平α。

1/3/202327版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組可以知道S+和S-均服從二版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組

對于左側(cè)檢驗(yàn)H0:M=M0；H1:M<M0,當(dāng)零假設(shè)為真時(shí)，S+應(yīng)該不大不小。當(dāng)S+過小，即只有少數(shù)的觀測值大于M0，則M0可能太大，總體的中位數(shù)可能較M0小一些。如果P(S+<s+/H0)<α,則拒絕原假設(shè)。1/3/202328版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組對于左側(cè)檢驗(yàn)H0:M=M版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組

對于右側(cè)檢驗(yàn)H0:M=M0；H1:M>M0,當(dāng)零假設(shè)為真時(shí)，S+應(yīng)該不大不小。當(dāng)S+過大，即有多數(shù)的觀測值大于M0，則M0可能太小，目前總體的中位數(shù)可能較M0大。如果P(S+<s+/H0)<α,則拒絕原假設(shè)。雙側(cè)檢驗(yàn)對備擇假設(shè)H1來說關(guān)心的是等于正的次數(shù)是否與等于負(fù)的次數(shù)有顯著差異。所以當(dāng)P(S+<s+/H0)+P(S->s-/H0)<α則拒絕原假設(shè)。1/3/202329版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組對于右側(cè)檢驗(yàn)H0:M=M（二）Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1、Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)思想Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)關(guān)于中位數(shù)對稱的總體的中位數(shù)是否否等于某個(gè)特定值，檢驗(yàn)假設(shè)：

1/3/202330（二）Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組

為了對假設(shè)做出判定，需要從總體中隨機(jī)抽取n個(gè)樣本。n個(gè)樣本記作X1,…,Xn，它們與M0的差值記為Di,Di=Xi-M0（i=1，2，…，n）。如果H0為真，那么樣本圍繞M0上下浮動(dòng)，即Di關(guān)于0對稱。這時(shí)，對于Di來說，正的差值和負(fù)的差值應(yīng)近似地相等。為了，借助秩統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，先忽略符號，而取絕對值∣Di∣,對n個(gè)∣Di∣按大小順序進(jìn)行排序，并找出他們分別對應(yīng)的n個(gè)秩。再按Di本身符號的正、負(fù)分別加總它們的秩，得到正秩的綜合T+與負(fù)秩T-。雖然秩本身都是正的，但這里是Di的符號計(jì)算秩和。1/3/202331版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組為了對假設(shè)做出判定，需要從版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組

H0為真時(shí)，正秩的總和與負(fù)秩的總和應(yīng)該近似相等。如果正秩的總和遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于負(fù)秩的總和，表明大部分的秩是正的差值，即Di為正的秩大。這時(shí)，數(shù)據(jù)支持備擇假設(shè)H1:M>M0，即實(shí)際的中位數(shù)比M0大。類似的，如果負(fù)秩的總和遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于正秩的總和，表明大部分大的秩是負(fù)的差值，即Di為負(fù)的秩大。這時(shí)，數(shù)據(jù)支持備擇假設(shè)H1:M<M0，即實(shí)際的中位數(shù)比M0小，因?yàn)檎群拓?fù)秩的總和是個(gè)恒定的值，即1+2+…+n=n(n+1)/2,因此對于雙側(cè)備擇H1:M≠M(fèi)0來說，兩個(gè)總和中無論哪一個(gè)太大，都可以被支持。1/3/202332版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組H0為真時(shí)，正秩的總和與版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)所定義的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：正秩的總和T+負(fù)秩的總和T-1/3/202333版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量12/12/20223版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組（1）計(jì)算∣Xi-M0∣，它們代表這些樣本點(diǎn)到中位數(shù)的距離；（2）把上面的n個(gè)絕對值排序，并找出它們的n個(gè)秩；如果有相同的樣本點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)取平均秩（如1，4，4，5的秩為1，2.5，2.5，4）；（3）令T+等于Xi-M0>0的∣Xi-M0∣的秩和；T-等于Xi-M0<0的∣Xi-M0∣的秩和。注意：T++T-=n(n+1)/2;1/3/202334版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組（1）計(jì)算∣Xi-M0∣，它們代版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組(4)對雙邊檢驗(yàn)：H0:M=M0；H1:M≠M(fèi)0，在零假設(shè)下，T+與T-應(yīng)差不多，因而，當(dāng)其中之一非常小時(shí)，應(yīng)懷疑零假設(shè)；在此，取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T=min(T+,T-)。類似地，對H0:M=MO;H1:M>M0,取T=T-；對H0:M=M0；H1:M<M0,取T=T+。（5）根據(jù)得到的T值，查wilcoxon符號秩檢驗(yàn)的分布表得到在零假設(shè)下P一值。如果n很大要用正態(tài)近似；得到一個(gè)與T有關(guān)的正態(tài)隨機(jī)變量Z的值，再查表得P-值?；蛑苯佑糜?jì)算機(jī)得到P-值。（6）如P-值較?。ū热缧∮诨虻扔诮o定的顯著性水平0.05）則可以拒絕零假設(shè)。1/3/202335版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組(4)對雙邊檢驗(yàn)：H0:M=M0三、Cox-Stuart趨勢檢驗(yàn)

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組【例6.4】我國自1985年到1996年出口和進(jìn)口的差額（balance）（以億美元為單位）-149.0119.737.777.5-66.087.480.543.5122.254.0167.0122.2從這個(gè)數(shù)字，我們能否說這個(gè)差額總的趨勢是增長，還是減，還是都不明顯呢？下圖為該數(shù)據(jù)的趨勢圖。從圖可以看出，總趨勢似乎是增長，但1993年有個(gè)低谷；這個(gè)低谷能否說明總趨勢并不是增長的呢？我們希望利用統(tǒng)計(jì)方法對其是否具有趨勢性進(jìn)行檢驗(yàn)。1/3/202336三、Cox-Stuart趨勢檢驗(yàn)

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/202337版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組12/12/202237版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1、H0：無增長趨勢H1：有增長趨勢2、H0：無減少趨勢H1：有減少趨勢3、H0：無趨勢H1：有增長或減少趨勢形式上，該檢驗(yàn)問題可以重新敘述為：假定獨(dú)立觀察值X1，…，Xn分別來自分布為F(X，Θi)的總體，這里F（.）對稱于零點(diǎn)。上面第一個(gè)單邊檢驗(yàn)為H0:Θ1=…=Θn，H1：Θi不盡相同。1/3/202338版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1、H0：無增長趨勢版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)共有C對，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)共有C-1對。在這個(gè)例子中n=12，因而C=6。這6個(gè)對子為（X1，X7），（X2，X8），（X3，X9），（X4，X10），（X5，X11），（X6，X12）。用每一對的兩元素Di=Xi-Xi+c的符號來衡量增減。令S+為Di=Xi-Xi+c大于零的數(shù)目，而令S-為Di=Xi-Xi+c小于零的數(shù)目。顯然當(dāng)正號太多時(shí)，即S+很大時(shí)（或S-很小時(shí)），有下降趨勢，反之，則有增長趨勢。在沒有趨勢的零假設(shè)下它們應(yīng)服從二項(xiàng)分布b(n，0.5)，這里n’為對子的數(shù)目（不包含差為0的對子），該檢驗(yàn)在某種意義上是符號檢驗(yàn)的一個(gè)特例。1/3/202339版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)共有C對，當(dāng)n為奇數(shù)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組

類似于符號檢驗(yàn)，對于上面三種檢驗(yàn)，分別取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量K=S+，K=S-和K=min（S+，S-）。在本例中，這6個(gè)數(shù)據(jù)對的符號為5負(fù)1正，這表明可能有增長的趨勢。因此需要檢驗(yàn)：H0：無增長趨勢H1：有增長趨勢P(S+≤1)=0.1094檢驗(yàn)結(jié)果表明，我們不能拒絕原假設(shè)，因此該數(shù)據(jù)無增長趨勢。1/3/202340版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組類似于符號檢驗(yàn)，對于上面四、游程檢驗(yàn)

1．游程的概念

一個(gè)可以屬性總體，如，按性別區(qū)分的人群、按產(chǎn)品是否有毛病區(qū)分的總體等等，隨機(jī)從中抽取一個(gè)樣本，樣本也可以分為兩類；類型Ⅰ和類型Ⅱ。若凡屬類型Ⅰ的記為符號A，類型Ⅱ的記為符號B，則當(dāng)樣本按某種順序排列(如按抽取時(shí)間先后排列)時(shí)，一個(gè)或者一個(gè)以上相同符號連續(xù)出現(xiàn)的段，就被稱作游程，也就是說，游程是在一個(gè)兩種類型的符號的有序排列中，相同符號連續(xù)出現(xiàn)的段。

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/202341四、游程檢驗(yàn)

1．游程的概念版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組12版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組2、游程檢驗(yàn)的基本原理

假設(shè)隨機(jī)抽取的一個(gè)樣本，其觀察值按某種順序排列，如果研究所關(guān)心的問題是：有序排列的兩類符號是否隨機(jī)，則可以建立雙側(cè)備擇假設(shè)為H0：序列是隨機(jī)的H1：序列不是隨機(jī)的1/3/202342版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組2、游程檢驗(yàn)的基本原理12/12版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組如果關(guān)心的是序列是否具有某種傾向，則應(yīng)建立單側(cè)備擇假設(shè)為：H0：序列是隨機(jī)的H1：序列具有混合的傾向H0：序列是隨機(jī)的H1：序列具有成群的傾向1/3/202343版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組如果關(guān)心的是序列是否具有某種傾向版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組R=游程的總數(shù)目游程R分布的證明是比較麻煩的?，F(xiàn)在m+n各抽屜里隨機(jī)選擇m個(gè)，有Cm+nm種方法。如果游程數(shù)為奇數(shù)R=2K+1，這意味著：1、必定有k+1個(gè)由“1”構(gòu)成的游程和k個(gè)由“0”構(gòu)成的游程；2、或必定有k+1個(gè)由“0”構(gòu)成的游程和k個(gè)“1”構(gòu)成的游程。1/3/202344版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組R=游程的總數(shù)目12/12/20版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組這就必須在m-1個(gè)位置中插入k個(gè)“隔離元”，使有“1”有K+1個(gè)游程，可以有種，同樣可以在n-1個(gè)“0”的n-1個(gè)空位上插入k-1個(gè)“隔離元”，有種。共有有利基本事件數(shù)，所以1/3/202345版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組這就必須在m-1個(gè)位置中插入k個(gè)【例6.5】從生產(chǎn)線上抽取產(chǎn)品檢驗(yàn)瑕疵的產(chǎn)品是否是隨機(jī)出現(xiàn)的。現(xiàn)隨機(jī)抽了30件產(chǎn)品，按生產(chǎn)線抽取的順序排列：000011111111111111000111111111問瑕疵的產(chǎn)品是隨機(jī)出現(xiàn)的嗎？版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/202346【例6.5】從生產(chǎn)線上抽取產(chǎn)品檢驗(yàn)瑕疵的產(chǎn)品是否是隨機(jī)出第三節(jié)兩樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)

一、配對符號檢驗(yàn)二、兩樣本配對Wilcoxon檢驗(yàn)三、Brown-Mood中位數(shù)檢驗(yàn)四、Wlicoxon（Mann-Whitney）秩和檢驗(yàn)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/202347第三節(jié)兩樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)

一、配對符號檢驗(yàn)版權(quán)所有BY一、配對符號檢驗(yàn)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組設(shè)X和Y分別具有分布函數(shù)F(x)和F(y)，從兩個(gè)總體得隨機(jī)配對樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，（x2，y2），…，（xn，yn），研究X和Y是否具有相同的分布。即檢驗(yàn);H0：F(x)=F(y)。如果兩個(gè)總體具有相同的分布，則其中位數(shù)應(yīng)該相等，所以等價(jià)檢驗(yàn)的假設(shè)為：1/3/202348一、配對符號檢驗(yàn)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組設(shè)X版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組配對資料符號檢驗(yàn)的計(jì)算步驟為：與單樣本的符號檢驗(yàn)一樣，也定義S+和S-為檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量。，表示xi>yi的數(shù)目，表示xi<yi的數(shù)目在原假設(shè)成立的條件下S+和S-的分布為二項(xiàng)分布，N=S++S-。如果S+大小適中，則支持原假設(shè)，如果S+太大，S-太小，則支持H1:mx>my；反之，如果S+太小，S-太大，則支持H1:mx<my1/3/202349版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組配對資料符號檢驗(yàn)的計(jì)算步驟為：1二、兩樣本配對Wilcoxon檢驗(yàn)

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)的步驟：1.計(jì)算各觀察值對的差異Di=Xi-Yi；2.求差異的絕對值∣Di∣=∣Xi-Yi∣；3.按差異絕對值的大小排序；4.考慮各差異的符號，由絕對值差異秩得到符號值；5.分別計(jì)算正、負(fù)符號秩的和T+與T-；6.統(tǒng)計(jì)量T=min(T+，T-)7、結(jié)論1/3/202350二、兩樣本配對Wilcoxon檢驗(yàn)

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課三、Brown-Mood中位數(shù)檢驗(yàn)

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組【例6.10】我國沿海地區(qū)和非沿海地區(qū)的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）的1997年抽樣數(shù)據(jù)如下（單位為元）。沿海地區(qū)為（y1,…,y12）:1227053457730222758447945581366834951340815500而非沿海地區(qū)的為（X1,…X18）:5163422042593881371540325122413037632093371527323313290137315167人們想要知道沿海和非沿海地區(qū)的人均GDP的中位數(shù)是否一樣，這就是檢驗(yàn)兩個(gè)總體的位置參數(shù)是否相等的問題。1/3/202351三、Brown-Mood中位數(shù)檢驗(yàn)

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組XY總和>MxyAba+b<Mxym-an-b(m+n)-(a+b)總和mnm+n表6-15兩個(gè)樣本和Mxy比較之后得到各個(gè)樣本中大于和小于它的數(shù)目2X2列聯(lián)表

在原假設(shè)成立的條件下，這個(gè)結(jié)果有一點(diǎn)象超幾何分布。1/3/202352版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組XY總和>MxyAba+b<MxA為樣本X中大于Mxy的樣本點(diǎn)數(shù)，在零假設(shè)下A為超幾何分布，即有取A為樣本X中大于Mxy的樣本點(diǎn)數(shù)作為檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，則A應(yīng)該不大不小，如果A太大或太小，則應(yīng)該懷疑原假設(shè)。檢驗(yàn)規(guī)則如下表所示：1/3/202353A為樣本X中大于Mxy的樣本點(diǎn)數(shù)，在零假設(shè)下A為超幾何分布，版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組表6-16Brown-Wood中位數(shù)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量P值H0:Mx=My;H1:Mx>MyAP(A≥a)H0:Mx=My;H1:Mx<MyAP(A≤a)H0:Mx=My;H1:Mx≠M(fèi)yA2min(P(A≥a),P(A≤a))1/3/202354版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組表6-16版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組大樣本的時(shí)候，在零假設(shè)下，可以利用超幾何分布的正態(tài)近似進(jìn)行檢驗(yàn)：小樣本時(shí)，也可以使用連續(xù)修正為1/3/202355版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組大樣本的時(shí)候，在零假設(shè)下，可以利版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組在上例中有如下結(jié)果：總體容量：30總體中成功的次數(shù)：15樣本容量：12樣本中成功的次數(shù)：111/3/202356版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組在上例中有如下結(jié)果：12/12/四、Wlicoxon（Mann-Whitney）秩和檢驗(yàn)

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設(shè)（X1，…，Xn）和（Y1，…，Yn）分別為兩個(gè)連續(xù)總體F(x)和F(y)中隨機(jī)抽取的樣本，我們關(guān)心兩個(gè)總體是否有相同的分布形狀，或者他們的中位數(shù)是否相等。1/3/202357四、Wlicoxon（Mann-Whitney）秩和檢驗(yàn)

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為了對假設(shè)做出判定，如果H0為真，那么將m個(gè)X、n個(gè)Y的數(shù)據(jù)，按數(shù)值的相對大小升序排列，X、Y的值應(yīng)該期望被很好地混合，這m+n=N個(gè)觀察值能夠被看作來自于共同總體的一個(gè)單一的隨機(jī)樣本。若大部分的Y大于X，或大部分的X大于Y，將不能證實(shí)這個(gè)有序的序列是一個(gè)隨機(jī)的混合，將拒絕X、Y來自一個(gè)相同總體的零假設(shè)。在X、Y混合排列的序列中，X占有的位置是相對于Y的相對位置，因此秩是表示位置的一個(gè)極為方便的方法。在X、Y的混合排列中，秩1是最小的觀測值，秩N是最大的。若X的秩大部分大于Y的秩，那么數(shù)據(jù)將支持H1：Mx>My，而X的秩大部分小于Y的秩，則數(shù)據(jù)將支持H1：Mx<My。1/3/202358版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組為了對假設(shè)做出判定，如果H版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。根據(jù)上面的基本原理，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為Wx=X的秩和Wy=Y的秩和由于X、Y的混合序列的秩和為：1+2+…+N=N(N+1)/21/3/202359版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。根據(jù)上面的基本原理，版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組

所以與Wlicoxon提出統(tǒng)計(jì)量相等價(jià)的統(tǒng)計(jì)量為，該統(tǒng)計(jì)量由Mann-Whitney提出，其含義為：如有第一個(gè)總體的樣本：X1，…，Xm和第二個(gè)總體的樣本：Y1，…，Yn，N=m+n。令是把所有的Y樣本與X樣本做比較后，X大于Y的個(gè)數(shù)，即表示（Xi，Xj）(i=1,…,m;j=1,…,n)共mn對中X大于Y的個(gè)數(shù)，則有1/3/202360版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組所以版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組則當(dāng)n足夠大時(shí)，1/3/202361版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組則當(dāng)n足夠大時(shí)，12/12/20第四節(jié)秩相關(guān)檢驗(yàn)

一、Pearson相關(guān)系數(shù)二、Spearman秩相關(guān)檢驗(yàn)三、Kendallτ檢驗(yàn)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/202362第四節(jié)秩相關(guān)檢驗(yàn)

一、Pearson相關(guān)系數(shù)版權(quán)所有B一、Pearson相關(guān)系數(shù)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組定義4.1設(shè)隨機(jī)變量X與Y具有有限非零方差，則X與Y之間的線性相關(guān)系數(shù)為：線性相關(guān)系數(shù)流行的原因有以下幾點(diǎn)：（1）容易計(jì)算；（2）線性變換下容易出來。特別是嚴(yán)格遞增線性變換情況下相關(guān)系數(shù)不變。1/3/202363一、Pearson相關(guān)系數(shù)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組定義4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組然而，Pearson相關(guān)系數(shù)具有以下幾個(gè)缺點(diǎn)：（1）隨機(jī)變量X與Y具有有限非零方差，否則線性相關(guān)系數(shù)無法定義；（2）兩變量獨(dú)立意味著他們不相關(guān)，但不相關(guān)通常并不獨(dú)立；只有在隨機(jī)變量X與Y具有正態(tài)分布情況下，獨(dú)立與不相關(guān)才是等價(jià)的；（3）在非線性嚴(yán)格遞增變換的情況下相關(guān)系數(shù)不是不變的；（4）對于ρ檢驗(yàn)需假設(shè)總體服從正態(tài)分布。1/3/202364版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組然而，Pearson相關(guān)系數(shù)具有二、Spearman秩相關(guān)檢驗(yàn)

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組Spearman秩相關(guān)檢驗(yàn)是對Spearman秩相關(guān)系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)的方法。在給定一列數(shù)對（X1，Y1），…，（Xn，Yn）之后，要檢驗(yàn)他們所代表的二元變量X和Y是否相關(guān)。我們?nèi)×慵僭O(shè)為：H0:X與Y不相關(guān)而備擇假設(shè)有三種選擇：H1：X與Y正相關(guān)H1：X與Y負(fù)相關(guān)H1：X與Y相關(guān)1/3/202365二、Spearman秩相關(guān)檢驗(yàn)

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組

首先找出所有Xi在X樣本中的秩Ri以及所有Yi在樣本Y中的秩Si，我們得到秩統(tǒng)計(jì)量對計(jì)算R和S的相關(guān)系數(shù)，我們知道令di=Ri-Si；這可以看成某種距離的度量。顯然，如果這些距離很大，說明兩個(gè)變量可能負(fù)相關(guān)，而他們很小則可能正相關(guān)。1/3/202366版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組首先找出所有Xi在X樣本中版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組Spearman秩相關(guān)系數(shù)為和經(jīng)典的樣本相關(guān)系數(shù)一樣，rs滿足-1≤rs≤1,對于n≤100rs在零假設(shè)下的分布有表可查。1/3/202367版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組Spearman秩相關(guān)系數(shù)為12版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組在大樣本的情況下有：1/3/202368版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組在大樣本的情況下有：12/12/三、Kendallτ檢驗(yàn)

Kendallτ檢驗(yàn)是從另一個(gè)角度來看相關(guān),其檢驗(yàn)的假設(shè)為：

先引進(jìn)協(xié)同的概念。

如果乘積，稱對子及為協(xié)同的(concordant）。顯然協(xié)同意味著他們具有相同的趨勢。反之，如果乘積，則稱該對子為不協(xié)同的（disconcordant）.

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/202369三、Kendallτ檢驗(yàn)

Kendallτ檢驗(yàn)是從另一個(gè)角度版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組定義Kendallτ相關(guān)系數(shù)為為Kendallτ相關(guān)系數(shù)。Nc是X與Y協(xié)同的對數(shù)，或得+1的對數(shù)。Nd是X與Y不協(xié)同的對數(shù)，或得-1的對數(shù)。1/3/202370版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組定義Kendallτ相關(guān)系數(shù)為1版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組上面定義的為概率差的一個(gè)估計(jì)值。值界于(-1,1)之間。因?yàn)槿绻袑ψ佣际菂f(xié)同的，則。反之，如果所有對子都是不協(xié)同的則。顯然，對于該檢驗(yàn)來說和K是等價(jià)的，關(guān)于兩者的零分布表都有。當(dāng)嚴(yán)格把你容量足夠大時(shí)，在零假設(shè)的條件下1/3/202371版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組上面定義的為概率差1【例6.12】下面用例6.11中10個(gè)國家和地區(qū)1997年的國際化程度和國際競爭力的資料的關(guān)系來說明Kendallτ檢驗(yàn)。版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/202372【例6.12】下面用例6.11中10個(gè)國家和地區(qū)19版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組表6-1910個(gè)國家和地區(qū)1997年的國際化程度和國際競爭力的統(tǒng)計(jì)表國家或地區(qū)國際化程度排名國際競爭力排名Piqi美國1190新加坡2280香港3370盧森堡4951英國51232荷蘭6440愛爾蘭71130德國81420比利時(shí)92301法國1021001/3/202373版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組表6-1910個(gè)國家和地區(qū)1版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組【解】通過計(jì)算可以得到：**Correlationissignificantatthe0.01level(2-tailed).VAR00001VAR00002Kendall’stau_bVAR00001CorrelationCofficient1.0000.822(**)Sig.(2-tailed)0.0000.001VARoooo2Correlationcoefficient0.822(*)1.000Sig.(2-tailed)0.0010.0001/3/202374版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組【解】VAR00001VAR00

因而對于水平0.000拒絕零假設(shè)。顯然10個(gè)國家和地區(qū)1997年的國際化程度和國際競爭力具有顯著相關(guān)性。

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/202375因而對于水平0.000拒絕零假設(shè)。顯然10本章小結(jié)1．t檢驗(yàn)并不穩(wěn)健，在不知總體分布時(shí)，特別是小樣本時(shí)，應(yīng)用t檢驗(yàn)就可能有風(fēng)險(xiǎn)。這時(shí)就要考慮使用與總體分布無關(guān)的非參數(shù)方法。對于本章所介紹的數(shù)據(jù)趨勢或隨機(jī)性檢驗(yàn)，就不存在簡單的參數(shù)方法。非參數(shù)方法總是簡單實(shí)用的。符號檢驗(yàn)是最有代表性的非參數(shù)檢驗(yàn)，一旦熟悉了符號檢驗(yàn)的基本思路，后面的內(nèi)容就很容易理解了。2．兩相關(guān)樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)通常是用來比較成對數(shù)據(jù)的，它包括符號檢驗(yàn)與兩樣本配對Wilcoxon檢驗(yàn)。符號檢驗(yàn)只用到它們差異的符號，而對數(shù)字大小所包含的信息未能考慮。配對Wilcoxon檢驗(yàn)既考慮了差異的正、負(fù)號，又考慮了兩者差值的大小。版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/202376本章小結(jié)1．t檢驗(yàn)并不穩(wěn)健，在不知總體分布時(shí)，特別是小樣本時(shí)3．兩獨(dú)立樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)通常是用來比較兩個(gè)不同總體的位置參數(shù)，傳統(tǒng)的t檢驗(yàn)在比較兩個(gè)不同總體的位置參數(shù)時(shí)并不穩(wěn)健，在不知總體分布時(shí)，應(yīng)用t檢驗(yàn)是會有風(fēng)險(xiǎn)的。因此我們介紹了一些更為穩(wěn)健的非參數(shù)方法包括：Brown-Mood中位數(shù)檢驗(yàn)、Wlicoxon（Mann-Whitney）秩和檢驗(yàn)。比較兩個(gè)總體的中位數(shù)的檢驗(yàn)時(shí)，Brown-Mood中位數(shù)檢驗(yàn)只利用了樣本大于或小于共同中位數(shù)的數(shù)目，如同前面的單獨(dú)符號秩檢驗(yàn)一樣，只有方向的信息，沒有差異大小的信息。作為單樣本的Wlicoxon秩和檢驗(yàn)的推廣，我們介紹了兩個(gè)樣本的Wlicoxon秩和檢驗(yàn)。版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/2023773．兩獨(dú)立樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)通常是用來比較兩個(gè)不同總體的位置參4．相關(guān)系數(shù)同樣只能度量X與Y的線性關(guān)系，并且存在其他缺陷。非參數(shù)相關(guān)性檢驗(yàn)，Spearman相關(guān)系數(shù)與Kendallτ相關(guān)系數(shù)同樣作為衡量相關(guān)性的工具，克服了相關(guān)系數(shù)的以上缺陷。版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/2023784．相關(guān)系數(shù)同樣只能度量X與Y的線性關(guān)系，并且存在其他缺

本章結(jié)束！版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/202379本章結(jié)束！版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組12/1第六章

非參數(shù)統(tǒng)計(jì)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/202380第六章非參數(shù)統(tǒng)計(jì)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組12/12/第一節(jié)引言第二節(jié)單樣本非參數(shù)檢驗(yàn)第四節(jié)兩樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)第四節(jié)秩相關(guān)檢驗(yàn)

第六章非參數(shù)統(tǒng)計(jì)

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/202381第一節(jié)引言第六章非參數(shù)統(tǒng)計(jì)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)本章重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn):了解和掌握單樣本非參數(shù)檢驗(yàn)、兩樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)、秩相關(guān)檢驗(yàn)的基本方法。難點(diǎn):符號秩檢驗(yàn)的基本原理和秩相關(guān)檢驗(yàn)的基本原理及其計(jì)算方法。版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/202382本章重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn):了解和掌握單樣本非參數(shù)檢驗(yàn)、兩樣第一節(jié)引言

一、關(guān)于非參數(shù)統(tǒng)計(jì)二、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中常用統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/202383第一節(jié)引言一、關(guān)于非參數(shù)統(tǒng)計(jì)一、關(guān)于非參數(shù)統(tǒng)計(jì)

非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法的共同特征是與總體分布無關(guān)，即總體分布未知的情況下的統(tǒng)計(jì)推斷方法。非參數(shù)檢驗(yàn)總是比傳統(tǒng)檢驗(yàn)安全。但是在總體分布形式已知時(shí)，非參數(shù)檢驗(yàn)就不如傳統(tǒng)方法效率高。這是因?yàn)榉菂?shù)方法利用的信息要少些。往往在傳統(tǒng)方法可以拒絕零假設(shè)的情況，非參數(shù)檢驗(yàn)無法拒絕。版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/202384一、關(guān)于非參數(shù)統(tǒng)計(jì)非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法的共同特征是與總體分布無關(guān)

注意：非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的“非參數(shù)(nonparametric)”意味著其方法不涉及描述總體分布的有關(guān)參數(shù)；之所以稱和總體分布無關(guān)(distribution—free)，是因?yàn)槠渫茢喾椒ú簧婕暗娇傮w分布，不應(yīng)理解為與所有分布(例如有關(guān)秩的分布)無關(guān)。版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/202385注意：非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的“非參數(shù)(nonparametri二、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中常用統(tǒng)計(jì)量

（一）順序統(tǒng)計(jì)量1．順序統(tǒng)計(jì)量2．基于順序統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)量3．順序統(tǒng)計(jì)量的分布版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/202386二、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中常用統(tǒng)計(jì)量

（一）順序統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有B1．順序統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1、順序統(tǒng)計(jì)量：對于簡單隨機(jī)樣本X1,X2,…,Xn，如果按照升冪排列，得到X(1)≤X(2)≤…≤X(n)稱X(K)為k個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量；稱X(1),X(2),…,X(n)為一個(gè)順序樣本；1/3/2023871．順序統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1、順序統(tǒng)計(jì)量：對2．基于順序統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組中位數(shù)極差P分位數(shù)

1/3/2023882．基于順序統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組中位數(shù)3．順序統(tǒng)計(jì)量的分布

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組分布函數(shù)為1/3/2023893．順序統(tǒng)計(jì)量的分布

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組分布函數(shù)為版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組第r個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)為1/3/202390版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組第r個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)為12（二）秩統(tǒng)計(jì)量

1．秩統(tǒng)計(jì)量2．秩統(tǒng)計(jì)量的分布和數(shù)字特征3．線性符號秩統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/202391（二）秩統(tǒng)計(jì)量

1．秩統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1．秩統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組設(shè)X1,X2,…,Xn為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本（其中無重復(fù)數(shù)據(jù)點(diǎn)）。記Ri為樣本點(diǎn)Xi的秩，即Ri等于或等于Xi的Xj的個(gè)數(shù)1/3/2023921．秩統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組設(shè)X版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組【例6.1】表6-1原始觀測值及相應(yīng)的秩統(tǒng)計(jì)表對于【例6.1】給定的樣本，分別給出了他們相應(yīng)的秩。原始觀測值xi9.30.23.273.161.5秩Ri71463521/3/202393版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組【例6.1】原始觀測值xi9.2．秩統(tǒng)計(jì)量的分布和數(shù)字特征版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組R1，R2，…，Rn的聯(lián)合分布為：Ri的概率分布為：Ri的數(shù)學(xué)期望：Ri的方差：1/3/2023942．秩統(tǒng)計(jì)量的分布和數(shù)字特征版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組R13．線性符號秩統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組

設(shè)Ri+在∣X1∣,∣X2∣,…,∣Xn∣中的秩，定義an+(.)為在整數(shù)1，2，…,n上的非負(fù)函數(shù)，且滿足an+(1),…,an+(n)不全為0，則稱為線性符號秩統(tǒng)計(jì)量。1/3/2023953．線性符號秩統(tǒng)計(jì)量版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組設(shè)R版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組

如果X1,X2,…,Xn為獨(dú)立同分布的連續(xù)隨機(jī)變量，并有關(guān)于0的對稱分布，則區(qū)別于秩統(tǒng)計(jì)量的分布，線性符號統(tǒng)計(jì)量的分布要求總體分布連續(xù)且對稱。1/3/202396版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組如果X1,X2,…,X第二節(jié)單樣本非參數(shù)檢驗(yàn)

一、單樣本擬合優(yōu)度檢驗(yàn)二、符號檢驗(yàn)三、Cox-Stuart趨勢檢驗(yàn)四、游程檢驗(yàn)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/202397第二節(jié)單樣本非參數(shù)檢驗(yàn)

一、單樣本擬合優(yōu)度檢驗(yàn)版權(quán)所有一、單樣本擬合優(yōu)度檢驗(yàn)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組（1）提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0:F(X)=F0(X)（2）選擇適當(dāng)統(tǒng)計(jì)量1/3/202398一、單樣本擬合優(yōu)度檢驗(yàn)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組（1）提出版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組（3）由給定的顯著性水平α，查卡方概率分布表確定臨界值Χα2（m-1-r）(這種檢驗(yàn)是右側(cè)檢驗(yàn))。（4）利用樣本值X1,…,Xn計(jì)算實(shí)際頻數(shù)fi，再計(jì)算經(jīng)驗(yàn)概率p,據(jù)以計(jì)算的值。（5）結(jié)論，若，則拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為總體的分布函數(shù)不為F0(X)；反之，則接受原假設(shè)，即認(rèn)為總體的分布函數(shù)為F0(X)。1/3/202399版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組（3）由給定的顯著性水平α，查卡版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組【例6.2】某公路上，交通部門觀察每15秒鐘內(nèi)路過的汽車輛數(shù)，共觀察了50分鐘，得如下樣本資料：表6-2交通部門觀察每15秒內(nèi)過路的汽車輛數(shù)統(tǒng)計(jì)表試問通過的汽車輛數(shù)可否認(rèn)為服從泊松分布，顯著性水平為α=0.05?輛數(shù)01234Σ實(shí)際頻數(shù)926811102001/3/2023100版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組【例6.2】某公路上，交通部門觀版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組【解】由泊松分布的概率函數(shù)的估計(jì)量為：1/3/2023101版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組【解】由泊松分布的概率函數(shù)12/版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組由題意，要檢驗(yàn)的假設(shè)為：H1：總體部服從泊松分布將數(shù)軸分為6個(gè)區(qū)間：（-∞，0],(0,1],(1,2],(2,3],(3,4],(4,∞),由泊松分布的概率函數(shù)分別計(jì)算落在這些區(qū)間的概率1/3/2023102版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組由題意，要檢驗(yàn)的假設(shè)為：12/11/3/202310312/12/202224版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組由計(jì)算表可知當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，服從自由度為3（m-r-1=5-1-1=3）的χ2分布。由α=0.05，查χ2分布表得臨界值，因?yàn)?所以接受原假設(shè)，認(rèn)為通過該地段的汽車輛數(shù)服從泊松分布。1/3/2023104版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組由計(jì)算表可知12/12/2022二、符號檢驗(yàn)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組

假定用總體中位數(shù)M來表示中間位置，并且X1,…,Xn獨(dú)立同分布，這意味著X1,…,Xn取大于M的概率應(yīng)該與取小于M的概率均為1/2。對于我們所研究的問題，可以看作是只有兩種可能“成功”或“失敗”。成功為“+”，即大于中位數(shù)；失敗為“-”，即小于中位數(shù)M。令：S+=得正負(fù)號的數(shù)目S-=得負(fù)負(fù)號的數(shù)目1/3/2023105二、符號檢驗(yàn)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組假定用總體中位版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組可以知道S+和S-均服從二項(xiàng)分布B(n,0.5),n=S++S-。則S+或S-可以用來做檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，給定顯著性水平α。

1/3/2023106版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組可以知道S+和S-均服從二版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組

對于左側(cè)檢驗(yàn)H0:M=M0；H1:M<M0,當(dāng)零假設(shè)為真時(shí)，S+應(yīng)該不大不小。當(dāng)S+過小，即只有少數(shù)的觀測值大于M0，則M0可能太大，總體的中位數(shù)可能較M0小一些。如果P(S+<s+/H0)<α,則拒絕原假設(shè)。1/3/2023107版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組對于左側(cè)檢驗(yàn)H0:M=M版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組

對于右側(cè)檢驗(yàn)H0:M=M0；H1:M>M0,當(dāng)零假設(shè)為真時(shí)，S+應(yīng)該不大不小。當(dāng)S+過大，即有多數(shù)的觀測值大于M0，則M0可能太小，目前總體的中位數(shù)可能較M0大。如果P(S+<s+/H0)<α,則拒絕原假設(shè)。雙側(cè)檢驗(yàn)對備擇假設(shè)H1來說關(guān)心的是等于正的次數(shù)是否與等于負(fù)的次數(shù)有顯著差異。所以當(dāng)P(S+<s+/H0)+P(S->s-/H0)<α則拒絕原假設(shè)。1/3/2023108版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組對于右側(cè)檢驗(yàn)H0:M=M（二）Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1、Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)思想Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)關(guān)于中位數(shù)對稱的總體的中位數(shù)是否否等于某個(gè)特定值，檢驗(yàn)假設(shè)：

1/3/2023109（二）Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組

為了對假設(shè)做出判定，需要從總體中隨機(jī)抽取n個(gè)樣本。n個(gè)樣本記作X1,…,Xn，它們與M0的差值記為Di,Di=Xi-M0（i=1，2，…，n）。如果H0為真，那么樣本圍繞M0上下浮動(dòng)，即Di關(guān)于0對稱。這時(shí)，對于Di來說，正的差值和負(fù)的差值應(yīng)近似地相等。為了，借助秩統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，先忽略符號，而取絕對值∣Di∣,對n個(gè)∣Di∣按大小順序進(jìn)行排序，并找出他們分別對應(yīng)的n個(gè)秩。再按Di本身符號的正、負(fù)分別加總它們的秩，得到正秩的綜合T+與負(fù)秩T-。雖然秩本身都是正的，但這里是Di的符號計(jì)算秩和。1/3/2023110版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組為了對假設(shè)做出判定，需要從版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組

H0為真時(shí)，正秩的總和與負(fù)秩的總和應(yīng)該近似相等。如果正秩的總和遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于負(fù)秩的總和，表明大部分的秩是正的差值，即Di為正的秩大。這時(shí)，數(shù)據(jù)支持備擇假設(shè)H1:M>M0，即實(shí)際的中位數(shù)比M0大。類似的，如果負(fù)秩的總和遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于正秩的總和，表明大部分大的秩是負(fù)的差值，即Di為負(fù)的秩大。這時(shí)，數(shù)據(jù)支持備擇假設(shè)H1:M<M0，即實(shí)際的中位數(shù)比M0小，因?yàn)檎群拓?fù)秩的總和是個(gè)恒定的值，即1+2+…+n=n(n+1)/2,因此對于雙側(cè)備擇H1:M≠M(fèi)0來說，兩個(gè)總和中無論哪一個(gè)太大，都可以被支持。1/3/2023111版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組H0為真時(shí)，正秩的總和與版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)所定義的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：正秩的總和T+負(fù)秩的總和T-1/3/2023112版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量12/12/20223版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組（1）計(jì)算∣Xi-M0∣，它們代表這些樣本點(diǎn)到中位數(shù)的距離；（2）把上面的n個(gè)絕對值排序，并找出它們的n個(gè)秩；如果有相同的樣本點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)取平均秩（如1，4，4，5的秩為1，2.5，2.5，4）；（3）令T+等于Xi-M0>0的∣Xi-M0∣的秩和；T-等于Xi-M0<0的∣Xi-M0∣的秩和。注意：T++T-=n(n+1)/2;1/3/2023113版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組（1）計(jì)算∣Xi-M0∣，它們代版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組(4)對雙邊檢驗(yàn)：H0:M=M0；H1:M≠M(fèi)0，在零假設(shè)下，T+與T-應(yīng)差不多，因而，當(dāng)其中之一非常小時(shí)，應(yīng)懷疑零假設(shè)；在此，取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T=min(T+,T-)。類似地，對H0:M=MO;H1:M>M0,取T=T-；對H0:M=M0；H1:M<M0,取T=T+。（5）根據(jù)得到的T值，查wilcoxon符號秩檢驗(yàn)的分布表得到在零假設(shè)下P一值。如果n很大要用正態(tài)近似；得到一個(gè)與T有關(guān)的正態(tài)隨機(jī)變量Z的值，再查表得P-值?；蛑苯佑糜?jì)算機(jī)得到P-值。（6）如P-值較?。ū热缧∮诨虻扔诮o定的顯著性水平0.05）則可以拒絕零假設(shè)。1/3/2023114版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組(4)對雙邊檢驗(yàn)：H0:M=M0三、Cox-Stuart趨勢檢驗(yàn)

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組【例6.4】我國自1985年到1996年出口和進(jìn)口的差額（balance）（以億美元為單位）-149.0119.737.777.5-66.087.480.543.5122.254.0167.0122.2從這個(gè)數(shù)字，我們能否說這個(gè)差額總的趨勢是增長，還是減，還是都不明顯呢？下圖為該數(shù)據(jù)的趨勢圖。從圖可以看出，總趨勢似乎是增長，但1993年有個(gè)低谷；這個(gè)低谷能否說明總趨勢并不是增長的呢？我們希望利用統(tǒng)計(jì)方法對其是否具有趨勢性進(jìn)行檢驗(yàn)。1/3/2023115三、Cox-Stuart趨勢檢驗(yàn)

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/2023116版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組12/12/202237版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1、H0：無增長趨勢H1：有增長趨勢2、H0：無減少趨勢H1：有減少趨勢3、H0：無趨勢H1：有增長或減少趨勢形式上，該檢驗(yàn)問題可以重新敘述為：假定獨(dú)立觀察值X1，…，Xn分別來自分布為F(X，Θi)的總體，這里F（.）對稱于零點(diǎn)。上面第一個(gè)單邊檢驗(yàn)為H0:Θ1=…=Θn，H1：Θi不盡相同。1/3/2023117版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1、H0：無增長趨勢版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)共有C對，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)共有C-1對。在這個(gè)例子中n=12，因而C=6。這6個(gè)對子為（X1，X7），（X2，X8），（X3，X9），（X4，X10），（X5，X11），（X6，X12）。用每一對的兩元素Di=Xi-Xi+c的符號來衡量增減。令S+為Di=Xi-Xi+c大于零的數(shù)目，而令S-為Di=Xi-Xi+c小于零的數(shù)目。顯然當(dāng)正號太多時(shí)，即S+很大時(shí)（或S-很小時(shí)），有下降趨勢，反之，則有增長趨勢。在沒有趨勢的零假設(shè)下它們應(yīng)服從二項(xiàng)分布b(n，0.5)，這里n’為對子的數(shù)目（不包含差為0的對子），該檢驗(yàn)在某種意義上是符號檢驗(yàn)的一個(gè)特例。1/3/2023118版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)共有C對，當(dāng)n為奇數(shù)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組

類似于符號檢驗(yàn)，對于上面三種檢驗(yàn)，分別取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量K=S+，K=S-和K=min（S+，S-）。在本例中，這6個(gè)數(shù)據(jù)對的符號為5負(fù)1正，這表明可能有增長的趨勢。因此需要檢驗(yàn)：H0：無增長趨勢H1：有增長趨勢P(S+≤1)=0.1094檢驗(yàn)結(jié)果表明，我們不能拒絕原假設(shè)，因此該數(shù)據(jù)無增長趨勢。1/3/2023119版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組類似于符號檢驗(yàn)，對于上面四、游程檢驗(yàn)

1．游程的概念

一個(gè)可以屬性總體，如，按性別區(qū)分的人群、按產(chǎn)品是否有毛病區(qū)分的總體等等，隨機(jī)從中抽取一個(gè)樣本，樣本也可以分為兩類；類型Ⅰ和類型Ⅱ。若凡屬類型Ⅰ的記為符號A，類型Ⅱ的記為符號B，則當(dāng)樣本按某種順序排列(如按抽取時(shí)間先后排列)時(shí)，一個(gè)或者一個(gè)以上相同符號連續(xù)出現(xiàn)的段，就被稱作游程，也就是說，游程是在一個(gè)兩種類型的符號的有序排列中，相同符號連續(xù)出現(xiàn)的段。

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/2023120四、游程檢驗(yàn)

1．游程的概念版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組12版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組2、游程檢驗(yàn)的基本原理

假設(shè)隨機(jī)抽取的一個(gè)樣本，其觀察值按某種順序排列，如果研究所關(guān)心的問題是：有序排列的兩類符號是否隨機(jī)，則可以建立雙側(cè)備擇假設(shè)為H0：序列是隨機(jī)的H1：序列不是隨機(jī)的1/3/2023121版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組2、游程檢驗(yàn)的基本原理12/12版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組如果關(guān)心的是序列是否具有某種傾向，則應(yīng)建立單側(cè)備擇假設(shè)為：H0：序列是隨機(jī)的H1：序列具有混合的傾向H0：序列是隨機(jī)的H1：序列具有成群的傾向1/3/2023122版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組如果關(guān)心的是序列是否具有某種傾向版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組R=游程的總數(shù)目游程R分布的證明是比較麻煩的?，F(xiàn)在m+n各抽屜里隨機(jī)選擇m個(gè)，有Cm+nm種方法。如果游程數(shù)為奇數(shù)R=2K+1，這意味著：1、必定有k+1個(gè)由“1”構(gòu)成的游程和k個(gè)由“0”構(gòu)成的游程；2、或必定有k+1個(gè)由“0”構(gòu)成的游程和k個(gè)“1”構(gòu)成的游程。1/3/2023123版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組R=游程的總數(shù)目12/12/20版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組這就必須在m-1個(gè)位置中插入k個(gè)“隔離元”，使有“1”有K+1個(gè)游程，可以有種，同樣可以在n-1個(gè)“0”的n-1個(gè)空位上插入k-1個(gè)“隔離元”，有種。共有有利基本事件數(shù)，所以1/3/2023124版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組這就必須在m-1個(gè)位置中插入k個(gè)【例6.5】從生產(chǎn)線上抽取產(chǎn)品檢驗(yàn)瑕疵的產(chǎn)品是否是隨機(jī)出現(xiàn)的?，F(xiàn)隨機(jī)抽了30件產(chǎn)品，按生產(chǎn)線抽取的順序排列：000011111111111111000111111111問瑕疵的產(chǎn)品是隨機(jī)出現(xiàn)的嗎？版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/2023125【例6.5】從生產(chǎn)線上抽取產(chǎn)品檢驗(yàn)瑕疵的產(chǎn)品是否是隨機(jī)出第三節(jié)兩樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)

一、配對符號檢驗(yàn)二、兩樣本配對Wilcoxon檢驗(yàn)三、Brown-Mood中位數(shù)檢驗(yàn)四、Wlicoxon（Mann-Whitney）秩和檢驗(yàn)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/2023126第三節(jié)兩樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)

一、配對符號檢驗(yàn)版權(quán)所有BY一、配對符號檢驗(yàn)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組設(shè)X和Y分別具有分布函數(shù)F(x)和F(y)，從兩個(gè)總體得隨機(jī)配對樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，（x2，y2），…，（xn，yn），研究X和Y是否具有相同的分布。即檢驗(yàn);H0：F(x)=F(y)。如果兩個(gè)總體具有相同的分布，則其中位數(shù)應(yīng)該相等，所以等價(jià)檢驗(yàn)的假設(shè)為：1/3/2023127一、配對符號檢驗(yàn)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組設(shè)X版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組配對資料符號檢驗(yàn)的計(jì)算步驟為：與單樣本的符號檢驗(yàn)一樣，也定義S+和S-為檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量。，表示xi>yi的數(shù)目，表示xi<yi的數(shù)目在原假設(shè)成立的條件下S+和S-的分布為二項(xiàng)分布，N=S++S-。如果S+大小適中，則支持原假設(shè)，如果S+太大，S-太小，則支持H1:mx>my；反之，如果S+太小，S-太大，則支持H1:mx<my1/3/2023128版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組配對資料符號檢驗(yàn)的計(jì)算步驟為：1二、兩樣本配對Wilcoxon檢驗(yàn)

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)的步驟：1.計(jì)算各觀察值對的差異Di=Xi-Yi；2.求差異的絕對值∣Di∣=∣Xi-Yi∣；3.按差異絕對值的大小排序；4.考慮各差異的符號，由絕對值差異秩得到符號值；5.分別計(jì)算正、負(fù)符號秩的和T+與T-；6.統(tǒng)計(jì)量T=min(T+，T-)7、結(jié)論1/3/2023129二、兩樣本配對Wilcoxon檢驗(yàn)

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課三、Brown-Mood中位數(shù)檢驗(yàn)

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組【例6.10】我國沿海地區(qū)和非沿海地區(qū)的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）的1997年抽樣數(shù)據(jù)如下（單位為元）。沿海地區(qū)為（y1,…,y12）:1227053457730222758447945581366834951340815500而非沿海地區(qū)的為（X1,…X18）:5163422042593881371540325122413037632093371527323313290137315167人們想要知道沿海和非沿海地區(qū)的人均GDP的中位數(shù)是否一樣，這就是檢驗(yàn)兩個(gè)總體的位置參數(shù)是否相等的問題。1/3/2023130三、Brown-Mood中位數(shù)檢驗(yàn)

版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組XY總和>MxyAba+b<Mxym-an-b(m+n)-(a+b)總和mnm+n表6-15兩個(gè)樣本和Mxy比較之后得到各個(gè)樣本中大于和小于它的數(shù)目2X2列聯(lián)表

在原假設(shè)成立的條件下，這個(gè)結(jié)果有一點(diǎn)象超幾何分布。1/3/2023131版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組XY總和>MxyAba+b<MxA為樣本X中大于Mxy的樣本點(diǎn)數(shù)，在零假設(shè)下A為超幾何分布，即有取A為樣本X中大于Mxy的樣本點(diǎn)數(shù)作為檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，則A應(yīng)該不大不小，如果A太大或太小，則應(yīng)該懷疑原假設(shè)。檢驗(yàn)規(guī)則如下表所示：1/3/2023132A為樣本X中大于Mxy的樣本點(diǎn)數(shù)，在零假設(shè)下A為超幾何分布，版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組表6-16Brown-Wood中位數(shù)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量P值H0:Mx=My;H1:Mx>MyAP(A≥a)H0:Mx=My;H1:Mx<MyAP(A≤a)H0:Mx=My;H1:Mx≠M(fèi)yA2min(P(A≥a),P(A≤a))1/3/2023133版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組表6-16版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組大樣本的時(shí)候，在零假設(shè)下，可以利用超幾何分布的正態(tài)近似進(jìn)行檢驗(yàn)：小樣本時(shí)，也可以使用連續(xù)修正為1/3/2023134版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組大樣本的時(shí)候，在零假設(shè)下，可以利版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組在上例中有如下結(jié)果：總體容量：30總體中成功的次數(shù)：15樣本容量：12樣本中成功的次數(shù)：111/3/2023135版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組在上例中有如下結(jié)果：12/12/四、Wlicoxon（Mann-Whitney）秩和檢驗(yàn)

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設(shè)（X1，…，Xn）和（Y1，…，Yn）分別為兩個(gè)連續(xù)總體F(x)和F(y)中隨機(jī)抽取的樣本，我們關(guān)心兩個(gè)總體是否有相同的分布形狀，或者他們的中位數(shù)是否相等。1/3/2023136四、Wlicoxon（Mann-Whitney）秩和檢驗(yàn)

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為了對假設(shè)做出判定，如果H0為真，那么將m個(gè)X、n個(gè)Y的數(shù)據(jù)，按數(shù)值的相對大小升序排列，X、Y的值應(yīng)該期望被很好地混合，這m+n=N個(gè)觀察值能夠被看作來自于共同總體的一個(gè)單一的隨機(jī)樣本。若大部分的Y大于X，或大部分的X大于Y，將不能證實(shí)這個(gè)有序的序列是一個(gè)隨機(jī)的混合，將拒絕X、Y來自一個(gè)相同總體的零假設(shè)。在X、Y混合排列的序列中，X占有的位置是相對于Y的相對位置，因此秩是表示位置的一個(gè)極為方便的方法。在X、Y的混合排列中，秩1是最小的觀測值，秩N是最大的。若X的秩大部分大于Y的秩，那么數(shù)據(jù)將支持H1：Mx>My，而X的秩大部分小于Y的秩，則數(shù)據(jù)將支持H1：Mx<My。1/3/2023137版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組為了對假設(shè)做出判定，如果H版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。根據(jù)上面的基本原理，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為Wx=X的秩和Wy=Y的秩和由于X、Y的混合序列的秩和為：1+2+…+N=N(N+1)/21/3/2023138版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。根據(jù)上面的基本原理，版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組

所以與Wlicoxon提出統(tǒng)計(jì)量相等價(jià)的統(tǒng)計(jì)量為，該統(tǒng)計(jì)量由Mann-Whitney提出，其含義為：如有第一個(gè)總體的樣本：X1，…，Xm和第二個(gè)總體的樣本：Y1，…，Yn，N=m+n。令是把所有的Y樣本與X樣本做比較后，X大于Y的個(gè)數(shù)，即表示（Xi，Xj）(i=1,…,m;j=1,…,n)共mn對中X大于Y的個(gè)數(shù)，則有1/3/2023139版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組所以版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組則當(dāng)n足夠大時(shí)，1/3/2023140版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組則當(dāng)n足夠大時(shí)，12/12/20第四節(jié)秩相關(guān)檢驗(yàn)

一、Pearson相關(guān)系數(shù)二、Spearman秩相關(guān)檢驗(yàn)三、Kendallτ檢驗(yàn)版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1/3/2023141