高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1會集（一）內(nèi)容綜述：本講先介紹了以下一些重要的看法：會集、子集、兩會集相等、真子集、并集、交集、相對補集，爾后介紹了出名的容斥原理，接著介紹了以下幾個定律：零律、分配律、排中律、吸取律、補交變換律、德·摩根律。爾后經(jīng)過6道例題解析了一部分會集題目的解題方法與技巧，同學(xué)們應(yīng)在熟悉以上定義、定理、定律的基礎(chǔ)上仔細(xì)解析例題材解法，爭取能夠獨立解決訓(xùn)練題。要點講解：1．基本理論除了課內(nèi)知識外，我們補充以下知識相對補集：稱屬于A而不屬于B的全體元素，組成的會集為B對A的相對補集或差集，記作A-B。容斥原理：以表示會集A中元素的數(shù)目，我們有1高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1，其中為n個會集稱為A的階。2高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1n階會集的全部子集數(shù)目為。A，B，C為三個會集，就有下面的定律。（1）分配律3高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1（2）零律（3）排中律（4）吸取律4高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料15）補交變換律6）德·摩根律的相對形式例題解析：例1：對會集{1，2，，n}及其每一個非空了集，定義一個唯一確定的“交替和”以下：依照遞減的次序重新排列該子集，爾后交替地減或加后繼的數(shù)所得的結(jié)果，例5高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1如，會集的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。那么，對于n=7。求全部子集的“交替和”的總和。6高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1解析；n=7時，會集{7，6，5，4，3，2，1}的非空子集有個，誠然子集數(shù)目有限，但是逐一計算各自的“交替和”再相加，計算量依舊巨大，但是，依照“交替和”的定義，簡單看到會集{1，2，3，4，5，6，7}與{1，2，3，4，5，6}的“交替和”是7；能夠想到把一個不含7的集和A與的“交替和”之和應(yīng)為7。那么，我們也就很簡單解決這個問題了。7高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1解：會集{1，2，3，4，5，6，7}的子集中，除去{7}外還有個非空子會集，把這個非空子集兩兩結(jié)組后分別計算每一組中“交替和”之和，結(jié)組原則是設(shè)這是把8高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1結(jié)合為一組，顯然，每組中，“交替和”之和應(yīng)為7，共有組.因此,全部“交替和”之和應(yīng)該為。9高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1說明：我們在這道題的證明過程中用了這類題目最典型的解法。就是“對應(yīng)”的方法，“對應(yīng)”的方法在解決相等的問題中應(yīng)用得更多。例2：設(shè)A={1，2，，2n.}，證明：A的任意n+1階子集中，存在兩個數(shù)，一個可被另一個整除。解析：對于2n個數(shù)中取n+1個數(shù)，我們應(yīng)該有一個直覺就是把這2n個數(shù)分成n組，每組都必然滿足題目條件，那么由抽屜原則命題就解決了。證明：前2n個自然數(shù)中，共有n個奇數(shù)。依照自然數(shù)的一種適用的表達(dá)形式；n=(2k-1)·2(,L為非負(fù)整數(shù))觀察A的以下n個子集，10高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1簡單看到：考慮A中任意n+1個元素，依照抽屜原則知，最少有兩個元素是上述n個會集中同一個會集中的元素，這兩個數(shù)中，必有一個可被另一個整除。說明：把一個會集分成若干個兩兩不交的子集的并，也則分拆，這類分拆的方法在解決會集的問題時為常用方法之一。例3：某班對數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科總評成績統(tǒng)計以下：優(yōu)秀的人數(shù)：數(shù)學(xué)21個，物理19個，化學(xué)20個，數(shù)學(xué)物理都優(yōu)秀9人，物理化學(xué)都優(yōu)秀7人?；瘜W(xué)數(shù)學(xué)都優(yōu)秀8人。這個班有5人任何一科都不優(yōu)秀。那么確定這個班人數(shù)以及僅有一科優(yōu)秀的三科分別有多少個人。解析：自然地設(shè)A={數(shù)學(xué)總評優(yōu)秀的人}B={物理總評優(yōu)秀的人}C={化學(xué)總評優(yōu)秀的人}11高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1則已知|A|=21|B|=19|C|=20這表示全班人數(shù)在41至48人之間。僅數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)是可見僅數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)在4至11人之間。同理僅物理優(yōu)秀的人數(shù)在3至10人之間。同理僅化學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)在5至12人之間。解：（略）。說明：先將詳盡的實質(zhì)生活中的問題數(shù)學(xué)化，爾后依照數(shù)學(xué)理論來解決這個問題不但是競賽中常有情況，也是在未來學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)真切適用的地方。例4：n元會集擁有多少個不相同的不交子集對？解析：我們一般想法是對于一個子集，求出與它不交的子集個數(shù)，爾后即可以求出總的子集對來了。解：若是子集對是有序的，即在子集對中能夠區(qū)分第一個子集與第二個子集，則第一個子集若是k個元素，第二個子集就由其余n-k個元素組成，可能的情況是12高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1種，而這時第一個會集的采用的可能情況應(yīng)為種，那么k從o變到n，總的情況可能就是。若是子集對是無序的，即兩個子集相同但次序不相同的子集對不認(rèn)為不相同，則13高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1對有序子集對中有一對是由兩個空集組成，而對其余個有序?qū)?，每一對中交換兩個子集的次序，獲取的是同一個無序子集對，因此有個無序子集對，其中最少有一個子集非14高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1空，于是無序子集對的總數(shù)為解析二：我們能夠從元素的角度來思慮問題。對一個元素來說，它有三種不相同的選擇，在第一個會集中，在第二個會集中，也許不在兩個會集中。解法二：在計算有序?qū)Φ臄?shù)目時，對每一個元素來說有三種可能：它或在第一個子集，或在第二個子集，或不在其中任意一個子集，因此不相同的不交有序子集對的總數(shù)，以下同解法一。說明：本題為1973年捷克的競賽題，對題目的不相同解析使我們獲取了差異很大的兩個解法，解法一從題目要求想起，很簡單想到，但解出最后解卻不見得那么簡單，而解法二的想法是近似于會集解析的想法，很難想到，但想出后比較簡單求解，兩個解法比較一下正表現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想的兩方面，一個是純代數(shù)想法，以計算的方法替代對題目更深層次的研究，另一個則是控掘題目自己的內(nèi)在關(guān)系，找出最合適的解答，我們自然介紹第二種做法。例5：1992位科學(xué)家，每人最少與1329人合作過，那么，其中必然有四位數(shù)學(xué)家兩兩合作過。解析：在與一個人A合作的人中我們找到B。再說明必然有人與A和B都合作過為C。最后再說明有人與A、B、C都合作過為D，那么A、B、C、D就是找的人了。15高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1證明：一個人A。不如設(shè)B與之合作。那么。即C與A和B均合作過，分別表示與A、B合作過的人的會集。同樣地，。16高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1因此存在。則A、B、C、D就是所求，證畢。說明：把一個一般的表達(dá)性問題轉(zhuǎn)變成會集的語言描述的問題平時為解題的要點之處，也是同學(xué)們需加強的。例6：會集X由n個元素組成，對兩個子集，求得會集17高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1的元素個數(shù)，證明：全部求得個數(shù)之和為。解析：我們先考慮一個簡單情況，n=2.這時有四個會集，記為。18高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1交集情況就是。那么對于n很大時，我們有的不行是4個會集卻能夠以此形式分組。證明：由于會集X總合有個不同子集，因此不相同的有序子集對共有，將19高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1全部子集對分為個4元組：其中表示子集20高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1的補集X-A。交換子集對的4元組中子集對的次序，獲取的是同一個四元組，事實上，由子集對獲取的4元組與由獲取的完整相同，且21高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1。說明：復(fù)雜的問題先考慮簡單的特其余情況是一種最常用的方法，從中找到共性后就很簡單獲取原題目有答案了。1．一個會集含有10個互不相同的十進(jìn)制兩位數(shù)，證明：這個會集必有兩個無公共元素的子會集，這兩個子集元素和相等。2．可否存在兩個以非頁整數(shù)為元素的會集A、B，使得任一個非負(fù)整數(shù)都能夠被A、B之中各取一數(shù)之和唯一表出。3．對每個使得在n元會集中，能夠取出k個子集，其中任意兩個的交非合。22高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料14．可否把分成兩個積相等的不交集合。參照答案23高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料11．10個元素的會集共有個非空子集，每一個這個會集的非空子集中數(shù)字之和小于，由抽屜原則知，必有兩個子集，它們有相同的元素和，設(shè)為滿足題目要求條件。24高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料12．十進(jìn)制為第1位。為第i位，考慮以下的A、B：A為奇位為o的那些非負(fù)整數(shù)組成。B為偶位為o的那些非負(fù)整數(shù)組成。不難考據(jù)這樣的AB是吻合題目要求的。25高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料13．在會集中取定一個元素，并只考慮含的子集，這類子集的個數(shù)為會集26高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1的子集的個數(shù)，即為。因此。另一方面，設(shè)從會集X最少取出27高中數(shù)學(xué)奧賽系列指導(dǎo)資料1個子集，將會集X的全部子集分成對。每一對