全站免費(fèi)，更多資源關(guān)注公眾號拾穗者的雜貨鋪x思維方糖研究所專題43導(dǎo)數(shù)中不等式恒成立問題【高考真題】1．(2022·新高考Ⅱ)已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【方法總結(jié)】1．單變量恒成立之參變分離法參變分離法是將不等式變形成一個一端是f(a)，另一端是變量表達(dá)式g(x)的不等式后，若f(a)≥g(x)在x∈D上恒成立，則f(a)≥g(x)max；若f(a)≤g(x)在x∈D上恒成立，則f(a)≤g(x)min．特別地，經(jīng)常將不等式變形成一個一端是參數(shù)a，另一端是變量表達(dá)式g(x)的不等式后，若a≥g(x)在x∈D上恒成立，則a≥g(x)max；若a≤g(x)在x∈D上恒成立，則a≤g(x)min．利用分離參數(shù)法來確定不等式f(x，a)≥0(x∈D，a為實參數(shù))恒成立問題中參數(shù)取值范圍的基本步驟：(1)將參數(shù)與變量分離，化為f1(a)≥f2(x)或f1(a)≤f2(x)的形式．(2)求f2(x)在x∈D時的最大值或最小值．(3)解不等式f1(a)≥f2(x)max或f1(a)≤f2(x)min，得到a的取值范圍．2．單變量恒成立之最值分析法遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立問題時，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)或“右減左”的函數(shù)u(x)＝g(x)－f(x)，進(jìn)而只需滿足h(x)min≥0或u(x)max≤0，將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)最值的問題，適用范圍較廣，但是往往需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論．3．單變量不等式能成立之參變分離法參變分離法是將不等式變形成一個一端是f(a)，另一端是變量表達(dá)式g(x)的不等式后，若f(a)≥g(x)在x∈D上能成立，則f(a)≥g(x)min；若f(a)≤g(x)在x∈D上能成立，則f(a)≤g(x)max．特別地，經(jīng)常將不等式變形成一個一端是參數(shù)a，另一端是變量表達(dá)式g(x)的不等式后，若a≥g(x)在x∈D上能成立，則a≥g(x)min；若a≤g(x)在x∈D上能成立，則a≤g(x)max．利用分離參數(shù)法來確定不等式f(x，a)≥0(x∈D，a為實參數(shù))能成立問題中參數(shù)取值范圍的基本步驟：(1)將參數(shù)與變量分離，化為f1(a)≥f2(x)或f1(a)≤f2(x)的形式．(2)求f2(x)在x∈D時的最大值或最小值．(3)解不等式f1(a)≥f2(x)min或f1(a)≤f2(x)max，得到a的取值范圍．4．單變量不等式能成立之最值分析法遇到f(x)≥g(x)型的不等式能成立問題時，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)或“右減左”的函數(shù)u(x)＝g(x)－f(x)，進(jìn)而只需滿足h(x)max≥0或u(x)min≤0，將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)最值的問題，適用范圍較廣，但是往往需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論．5．最值定位法解雙變量不等式恒成立問題的思路策略(1)用最值定位法解雙變量不等式恒成立問題是指通過不等式兩端的最值進(jìn)行定位，轉(zhuǎn)化為不等式兩端函數(shù)的最值之間的不等式，列出參數(shù)所滿足的不等式，從而求解參數(shù)的取值范圍．(2)有關(guān)兩個函數(shù)在各自指定范圍內(nèi)的不等式恒成立問題，這里兩個函數(shù)在指定范圍內(nèi)的自變量是沒有關(guān)聯(lián)的，這類不等式的恒成立問題就應(yīng)該通過最值進(jìn)行定位．6．常見的雙變量恒成立能成立問題的類型(1)對于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)min≥g(x2)max．(如圖1)(2)若存在x1∈[a，b]，總存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)max≥g(x2)min．(如圖2)(3)對于任意的x1∈[a，b]，總存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)min≥g(x2)min．(如圖3)(4)若存在x1∈[a，b]，對任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)max≥g(x2)max．(如圖4)(5)若存在x1∈[a，b]，對任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)?f(x1)max≥g(x2)max．(如圖4)(6)若存在x1∈[a，b]，總存在x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)?f(x)的值域與g(x)的值域的交集非空．(如圖5)【題型突破】1．已知函數(shù)f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)．(1)若a＝1，求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；(2)當(dāng)x＞0時，函數(shù)f(x)≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．2．函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x2＋ax(a∈R)，g(x)＝ex＋eq\f(3,2)x2．(1)討論f(x)的極值點(diǎn)的個數(shù)；(2)若對于任意x∈(0，＋∞)，總有f(x)≤g(x)成立，求實數(shù)a的取值范圍．3．已知函數(shù)f(x)＝5＋lnx，g(x)＝eq\f(kx,x＋1)(k∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與函數(shù)y＝g(x)的圖象相切，求k的值；(2)若k∈N*，且x∈(1，＋∞)時，恒有f(x)>g(x)，求k的最大值．(參考數(shù)據(jù)：ln5≈1．61，ln6≈1．7918，ln(eq\r(2)＋1)≈0．8814)4．設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－ax－2．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a＝1，k為整數(shù)，且當(dāng)x＞0時，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0，求k的最大值．5．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x＋1)＋eq\f(1,x)，當(dāng)x>0且x≠1時，f(x)>eq\f(lnx,x－1)＋eq\f(k,x)恒成立，求k的取值范圍．6．設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－1－x－ax2．(1)若a＝0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍．7．(2020·新高考Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝aex－1－lnx＋lna．(1)當(dāng)a＝e時，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．8．已知函數(shù)f(x)＝x－alnx．(1)若曲線y＝f(x)＋b(a，b∈R)在x＝1處的切線方程為x＋y－3＝0，求a，b的值；(2)求函數(shù)g(x)＝f(x)＋eq\f(a＋1,x)(a∈R)的極值點(diǎn)；(3)設(shè)h(x)＝eq\f(1,a)f(x)＋aex－eq\f(x,a)＋lna(a>0)，若當(dāng)x>a時，不等式h(x)≥0恒成立，求a的最小值．9．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(a＋1)x－lnx，g(x)＝x2＋x＋2a＋1．(1)若f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)x∈[1，e]時，f(x)<g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．10．已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex－eq\f(1,2)ax2＋ax(a∈R)．(1)當(dāng)a＝0時，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；(2)當(dāng)x≥2時，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍．11．已知函數(shù)f(x)＝e－x－ax(x∈R)．(1)當(dāng)a＝－1時，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若x≥0時，f(－x)＋ln(x＋1)≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．12．已知函數(shù)f(x)＝ex－eq\f(1,2)x2－ax－1，g(x)＝cosx＋eq\f(1,2)x2－1．(1)當(dāng)a＝1時，求證：當(dāng)x≥0時，f(x)≥0；(2)若f(x)＋g(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍．13．(2016·全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．(1)當(dāng)a＝4時，求曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程；(2)若當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f(x)＞0，求a的取值范圍．14．設(shè)函數(shù)f(x)＝xlnx－ax2＋(b－1)x，g(x)＝ex－ex．(1)當(dāng)b＝0時，函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)若y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與x軸平行，且函數(shù)h(x)＝f(x)＋g(x)在x∈(1，＋∞)時，其圖象上每一點(diǎn)處切線的傾斜角均為銳角，求a的取值范圍．15．已知函數(shù)f(x)＝3lnx－eq\f(1,2)x2＋x，g(x)＝3x＋a．(1)若f(x)與g(x)的圖象相切，求a的值；(2)若?x0>0，使f(x0)>g(x0)成立，求參數(shù)a的取值范圍．16．設(shè)函數(shù)f(x)＝2lnx－mx2＋1．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有極值時，若存在x0，使得f(x0)>m－1成立，求實數(shù)m的取值范圍．17．設(shè)函數(shù)f(x)＝emx＋x2－mx．(1)證明：f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，在(0，＋∞)單調(diào)遞增；(2)若對于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范圍．18．已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax，g(x)＝ax2＋1，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的單調(diào)性；(2)已知a?(0，e)，若對任意x1，x2∈[1，e]，有f(x1)>g(x2)，求實數(shù)a的取值范圍．19．設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx＋x2－ax(a∈R)．(1)已知函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)設(shè)g(x)＝f(x)＋2lneq\f(ax＋2,6\r(x))，對于任意a∈(2，4)，總存在x∈eq\b\lc\[\r